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1.3 空间向量及其运算的坐标表示--2025-2026学年高中数学人教A版选择性必修一课时作业
一、选择题
1．已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则( )
A.-1 B.1 C.2 D.4
2．已知，，，则( )
A. B. C. D.
3．已知向量，向量，若，则实数( )
A.3 B.-3 C.-6 D.6
4．已知,,,若,则( )
A.5 B.4 C.1 D.
5．已知向量,,若,则( )
A. B. C. D.
6．已知，，且，则( )
A. B. C.-6 D.6
7．已知，，若，则m的值为( )
A. B. C.6 D.8
8．在所有棱长均为2的平行六面体中，，则的长为( )
A. B. C. D.6
二、多项选择题
9．已知是直线l的一个方向向量,是平面的一个法向量,则下列说法正确的是( )
A.若,则 B.若,则
C.若,则 D.若,则
10．已知空间中三点,,,则下列说法正确的是( )
A.
B.与是共线向量
C.和夹角的余弦值是1
D.与同向的单位向量是
11．若是平面的一个法向量,是平面的一个法向量,A,B是直线b上不同的两点,则以下命题正确的是( )
A.
B.
C.,使得
D.设与的夹角为,则
三、填空题
12．空间直角坐标系中向量的坐标表示：在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作.由空间向量基本定理，存在__________的有序实数组，使.有序实数组__________叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，上式可简记作__________.
13．已知空间向量，，则____________.
14．若，，，则的值为________.
15．已知,,,点,若平面,则点P的坐标为________.
四、解答题
16．已知点，，，且O为坐标原点，求点C的坐标.
17．分别求与a方向相同的单位向量：
（1）；
（2）.
18．求下列两个空间向量夹角的余弦：
（1），；
（2），.
19．已知向量，，若，则________.
20．已知:,,,,,求:
（1）,,;
（2）
参考答案
1．答案：B
解析：已知，
所以
解得：
故选：B.
2．答案：C
解析：.
3．答案：C
解析：由可得，
解得.
故选：C.
4．答案：A
解析：因为,,,
所以,
因为,所以,解得,,
所以.
故选:A.
5．答案：D
解析：向量,,由,得,
解得,,所以.
故选:D.
6．答案：A
解析：因为,所以,
即,
解得,
故选:A.
7．答案：D
解析：因为，所以，即，解得，故选D.
8．答案：C
解析：因为，
所以
，
从而，即的长为.
故选：C.
9．答案：AD
解析：若,则,得,得,A正确,B错误.
若,则,得,得,C错误,D正确.
故选：AD.
10．答案：AD
解析：对于A,,,A正确;
对于B,,,,所以不共线,B错误;
对于C,,C错误;
对于D,,
所以其同向的单位向量为,D正确.
故选:AD
11．答案：BCD
解析：对于A,当且平面时,才满足,故A错误;
对于B,若,则,若,则,即可得到,故B正确;
对于C,若,则,则,使得,若,使得则,所以,故C正确;
对于D,设与的夹角为,则,所以,故D正确.
故选：BCD.
12．答案：唯一；；
解析：
13．答案：
解析：因为，，
所以，则.
故答案为：.
14．答案：5
解析：因为，，
所以，
又因为，
所以.
15．答案：
解析：因为,,,点,
所以,
因为平面,
所以,
所以点P的坐标为,
故答案为:
16．答案：
解析：设，，
，
把坐标代入上式得，
，，，
点C的坐标为.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1），
与a方向相同的单位向量为.
（2），
与a方向相同的单位向量为.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）；
（2）.
19．答案：-1
解析：，
，即，
解得.
故答案为：-1.
20．答案：（1）,,
（2）
解析：（1）因,所以设,即,
故,解得,
,,
,
,解得,
;
（2）,,
.
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