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高中数学人教A版（2019）必修第一册
第二章2.1等式性质与不等式性质
一、单项选择题
1.在开山工程爆破时，已知导火线燃烧的速度是，人跑开的速度为，为了使点燃导火线的人能够在爆破时跑到以外的安全区，导火线的长度应满足的不等式为（ ）
A. B. C. D.
2.已知，则下列关系中正确的是（ ）
A. B. C. D.
3.已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
4.若实数，满足，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
5.如果克糖水中含有克糖（），再添加克糖（）（假设全部溶解），糖水变甜了，将这一事实表示为不等式正确的是（ ）
A. B. C. D.
6.下列说法正确的是（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
二、多项选择题
7.若，则，，，中最小的是（ ）
A. B. C. D.
8.已知，，则（ ）
A. B. C. D.
9.已知实数，，满足，则以下大小关系正确的是（ ）
A. 时， B. C. D.
三、填空题
10.某校高一年级的213名同学去参观科技馆，租用了某公交公司的辆公交车。如果每辆车坐30人，那么最后一辆车不空也不满，题目中所包含的不等关系为______.
11.已知，，则与的大小关系为______（填“>” “<”或“=”）.
12.已知，，则的取值范围为______.
四、解答题
13.已知，，求证：。
14.设，均为正实数，，，比较与的大小，并说明理由。
15.已知，，求的取值范围。
一、单项选择题
1.答案：C
解析：导火线燃烧时间为，人在该时间内跑的距离为。为跑到以外的安全区，需满足“人跑的距离”，即。
2.答案：A
解析：
A选项：由不等式性质“两边同时减去同一个数，不等号方向不变”，，正确；
B选项：的正负未知（若，则），错误；
C选项：举反例，，，则，错误；
D选项：举反例，，，则，错误。
3.答案：A
解析：作差比较与：
配方得，因，故，即，所以。
4.答案：A
解析：由，得：
因，故；
因，，故。
综上，。
5.答案：A
解析：糖水浓度公式为“糖的质量/糖水的质量”。原浓度为，添加糖后浓度为，“糖水变甜”即浓度变大，故。
6.答案：D
解析：
A选项：举反例，，，则，错误；
B选项：举反例，，，则，但，错误；
C选项：若，则，错误；
D选项：因（分母不为），两边同乘不等号方向不变，故，正确。
二、多项选择题
7.答案：D
解析：设（满足），计算得：
，，，。
比较得最小。
8.答案：AC
解析：由，：
A选项：的范围为到，即，正确；
B选项：的范围为到，即，错误；
C选项：的范围为到，即，正确；
D选项：的范围为（）到（），即，错误。
9.答案：ACD
解析：
A选项：时，幂函数在上单调递增，因，故，正确；
B选项：若，则，错误；
C选项：作差得，因，，故分子分母均为正，差值为正，即，正确；
D选项：由均值不等式，，且（如时，左边），正确。
三、填空题
10.答案：
解析：前辆车可坐人，最后一辆车人数为。“不空”即人数，“不满”即人数，故不等式为。
11.答案：
解析：化简得，。因，故。
12.答案：
解析：由，得；由，得。
两边同乘得，即。
四、解答题
13.证明：
因，故（负负得正），且（）。
两边同除以（正数，不等号方向不变），得，即。
又，两边同乘（负数，不等号方向改变），得，即。
14.答案：
解析：作差比较与：
因式分解得。
因均为正实数，故（当且仅当时取等号），。
因此，即。
15.答案：
解析：设（为常数），整理得：
联立方程组，解得。
因此。
由已知：
；
。
两式相加得，即。

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