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1.1-2.2直线的方程滚动检测卷
第I卷（选择题）
一、单选题
1．若直线的倾斜角为，则等于（ ）
A．2 B．1 C． D．
2．已知两个向量，且，则（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，，为上一点，且，则异面直线与所成的角的大小为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在正四面体中，E为的中点，，，当时，四点共面，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知直线l过点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程为（ ）
A． B．
C．或 D．或
6．若直线：与直线：平行，则（ ）
A．4 B． C．1或 D．或4
7．已知空间向量，，且，则的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．4
8．，，是从点P出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，，，分别是射线，，上的点，且，，，D，E，F分别为，，的中点，则点E到直线的距离为（ ）．
A． B． C． D．
二、多选题
9．（多选）下列命题中为真命题的是（ ）
A．若，都是直线的方向向量，则必有
B．为空间任意一点，若，且四点共面，则
C．若为不共线的非零向量，，，则
D．若向量是三个不共面的向量，且满足等式则
10．已知直线过定点，则下列说法正确的是（ ）
A．直线过定点
B．若直线不经过第四象限，则的取值范围为
C．若直线在轴上的截距为－3，则
D．若直线分别交x，y轴正半轴于A，B，则当取得最小值时，直线的方程为
11．在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为线段上的动点，为底面（含边界）上的动点，且平面平面，则下列说法正确的是（ ）
A．直线与平面所成角的最大值为
B．点的轨迹长度为
C．三棱锥的体积为定值
D．若，且平面，则的取值范围为
第II卷（非选择题）
三、填空题
12．已知两个向量，，其中，，与的夹角为，则 ； .
13．已知直线，，若，则实数 ．
14．正三棱柱的侧棱长为2，底面边长为1，M是的中点，在侧棱上存在一点，使得，则 ．
四、解答题
15．在中，点，边上的高线所在直线的方程为，边上的中线所在直线的方程为，求边所在直线的一般式方程.
16．如图，在四棱锥中，底面，，，，，为棱的中点.

(1)证明：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)求点到平面的距离.
17．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥AD，PA⊥平面ABCD，AD＝5，BC＝2AB＝4，M为PC的中点．
(1)求证：平面PAC⊥平面PCD；
(2)若AM⊥PC，求直线PB与面PCD所成角的正弦值．
18．已知直线经过点，且与轴正半轴交于点，与轴正半轴交于点为坐标原点.
(1)若直线在两坐标上的截距相等，求直线的方程；
(2)求面积的最小值及此时直线的方程.
19．如图，，是圆锥底面圆的两条互相垂直的直径，过的平面与交于点，若为的中点，，圆锥的体积为.
(1)求证：；
(2)若圆上的点满足，求平面与平面夹角的余弦值.
试卷第2页，共4页
试卷第1页，共4页
《2025-2026学年度高中数学9月月考卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A B B C D B C CD ACD
题号 11
答案 ABD
1．B
【解析】根据已知建立方程可得选项.
【详解】由已知得直线的倾斜角为，所以，解得，
故选：B.
2．A
【分析】运用向量的共线定理求解.
【详解】解：因为，
所以，，
故，即，
解得，.
故选：A.
3．B
【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得异面直线与所成的角的大小.
【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、，，，
，
因此，异面直线与所成的角的大小为.
故选：B.
4．B
【分析】由四点共面可得，，运用空间向量的线性运算得到，代入，根据系数对应相等列方程组即可得到答案.
【详解】因为四点共面，所以存在唯一的，使得.
因为，所以，
因为E为的中点，，
所以，，
所以，
，
，
代入，得，
所以，解得.
故选：B．
5．C
【分析】分直线在两坐标轴上的截距为0和不为0两种情况讨论，分别设出直线的方程，再将点代入即可求解.
【详解】当直线l在坐标轴上的截距均为0时，设直线方程为，
因为直线l过点，所以，所以，所以直线方程为；
当直线l在坐标轴上的截距均不为0时，直线方程设为，
将代入可得，此时直线方程为，
综上，直线l的方程为或．
故选：C.
6．D
【分析】根据直线一般方程的平行关系求的值，并代入检验.
【详解】若直线：与直线：平行，
则，整理可得，解得或，
若，直线：与直线：平行，符合题意；
若，直线：与直线：平行，符合题意；
综上所述：或.
故选：D.
7．B
【分析】由空间向量的坐标表示计算，然后由柯西不等式求解即可.
【详解】因为，
所以
，
当且仅当时等号成立，即时等号成立.
所以，所以的最小值为.
故选：B
8．C
【分析】利用，，表示出与，由点E到直线的距离为可计算得到答案
【详解】

如图所示，为的中点，
则，
，
又，
，
，
，
点E到直线DF的距离为．
故选：C
9．CD
【分析】利用共线向量的意义及定理判断选项A、C；利用共面向量定理可以判断选项B,D.
【详解】对于选项A:一条直线的方向向量有多个，它们是平行向量，方向相同或相反，模长可以不同，故选项A错误；
对于选项B: 由题意可得:，
所以，
因为四点共面，所以由共面向量定理的推论可得，
即；故选项B错误；
对于选项C:因为，所以，故选项C正确；
对于选项D:假设存在不全为零的实数,，使得
不妨设，则
此时共面，与不共面矛盾，
所以只有时，，故选项D正确．
故选：CD.
10．ACD
【分析】直线方程整理得，然后求定点即可判断A；由直线不经过第四象限，则斜率和在轴上的截距都大于等于零，列出不等式求解即可判断B；由截距可求得得到C；设，利用三点共线可得，再表示出，根据基本不等式即可求得最小值，根据取最值的条件即可求出直线方程判断D.
【详解】对于A，直线，即，
令，解得，故直线过定点，故A正确；
对于B，直线，即，
直线不经过第四象限，，解得，
故的取值范围是，故B错误；
对于C，易知时，直线在轴上的截距存在，
依题意，令，得直线在轴上的截距为，解得．
对于D，设三点共线，
，整理得
，
当且仅当，即时等号成立，
当取得最小值时，直线的方程为，即．
故选：ACD.
11．ABD
【分析】对于A，分析可得当点与点重合时，直线与平面所成的角最大，进而计算可判断；对于B，建立空间直角坐标系，设，，由平面平面，可得，，取的中点，连接，可得点的轨迹是线段（不包括点），进而求解判断即可；对于C，分析可得直线与平面不平行，由于点是线段上的动点，进而结合棱锥的体积公式可判断；对于D，由平面，可得，结合，即可求解判断.
【详解】对于A，当点从点移动到点时，直线与平面所成的角逐渐变大，
如图1所示，当点与点重合时，直线与平面所成的角最大，
因为平面，所以即直线与平面所成的角，
因为，所以，即直线与平面所成角的最大值为，故A正确；
对于B，以为坐标原点，所在直线分别为轴，
建立如图2所示的空间直角坐标系，则，，，
则，
设，，（时，平面与平面重合，所以），
则，设平面的法向量为，
由，即，取，得，
设平面的法向量为，
由，即，取，得，
因为平面平面，所以，
即，得，
因为，所以，
取的中点，连接，则点的轨迹是线段（不包括点），
所以其轨迹长度为，故B正确；
对于C，由对B的分析可知，，，，
则，，，
设平面的法向量为，
则，即，取，得，
则，所以直线与平面不平行，
因为点是线段上的动点，所以点到平面的距离不是定值，
又的面积是定值，所以三棱锥的体积不是定值，故C错误；
对于D，，所以，
又，所以，
易知平面的一个法向量，
因为平面，所以，所以，即，
又，所以．
故选：ABD．
12． ； 3.
【分析】①根据坐标求模长即可；
②利用数量积的公式求数量积即可.
【详解】①；
②.
故答案为：①；②3.
13．或
【分析】由直线的一般式方程及两条直线垂直的条件可列出方程，解方程得到的值.
【详解】因为直线，所以，解得或．
故答案为：或
14．/0.125
【分析】建立空间直角坐标系，由题设分别写出四点的坐标，利用垂直关系即可求解．
【详解】正三棱柱中，在平面内过作，以为原点建立空间直角坐标系，
则，设，
则，由，
得，解得，
所以.
故答案为：.
15．
【分析】设出点的坐标，根据条件列出方程求解，然后利用截距式方程求解化简即可．
【详解】设，因为在高线上，所以①，
因为、C中点在中线上，所以②，
联立①②解得，，所以，
设，由与高线垂直，及点在中线上，
可知③，④，
联立③④解得，，所以，
所以AC所在直线的方程为：，化简得.
16．(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）以为原点建立空间直角坐标系，利用向量法证明线面平行；
（2）求出平面的一个法向量，再由向量法求解；
（3）求出平面的法向量，再由向量法求解.
【详解】（1）解：以点为原点，，，分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系.

可得，，，，由为棱的中点，得，
向量，，
故，又为平面的一个法向量，
又面，
所以平面.
（2）向量，，.
设为平面的法向量，则，即，
令，得为平面的一个法向量，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
（3）向量，设平面的法向量，
，即，令，得为平面的一个法向量，
则.
17．(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）利用勾股定理的逆定理证明，再结合线面垂直的性质、判定，面面垂直的判定推理作答；
（2）以A为原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解线面角的正弦值即可.
【详解】（1）在直角梯形中，，，则，而，
于是，，
有，则，
因为平面，平面，即有，
而平面，因此平面，
又平面，所以平面平面.
（2）M为PC的中点，，则.
以A为原点，射线分别为轴的非负半轴，建立空间直角坐标系，如图，
则，
，，.
设平面的法向量，则，
令，得，
设直线PB与面PCD所成角为，
则.
18．(1)
(2)24，
【分析】（1）根据题意，假设直线的方程为，代入所经过点即可得解；
（2）利用直线的截距式方程，结合基本不等式求得，从而得到的面积的最小值与直线的方程，从而得解.
【详解】（1）由题意可知直线不经过原点，
又直线在两坐标上的截距相等，设直线的方程为，
代入点，得，解得，
故直线的方程为，即.
（2）依题意，设直线的方程为，
则，且，
所以，解得，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的面积，
即的面积的最小值为，
此时直线的方程为，即.
19．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）通过证明平面，证得；
（2）以为原点，建立空间直角坐标系，向量法求两个平面夹角的余弦值.
【详解】（1）因为，是圆锥底面圆的两条互相垂直的直径，所以，
底面圆，而底面圆，则，
，，平面，所以平面，
因为平面，所以.
（2）因为，圆锥的体积为，所以，所以，
因为，为的中点，所以，
因为平面，平面，所以，
因为，平面，所以平面，
即平面的法向量为，
显然，
又底面圆，底面圆，
所以，
所以，，两两垂直，
以为原点，分别以直线，，为，，轴建立空间直角坐标系，
，，，，
由题意，
点在圆上，则，如图所示，
在中，，则，
过作轴的垂线，垂足为，
有，，则，
得，
所以，，，
设平面的法向量为，所以，
令，则，所以，
设平面与平面的夹角为，则.
所以平面与平面夹角的余弦值为.
答案第14页，共14页
答案第1页，共14页

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