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课时分层作业(五十)
A组　基础合格练
1．D　[题意是求函数s＝6sin的周期，T＝＝1，故选D．]
2．C　[由2kπ－≤2kπ＋，k∈Z，知函数F(t)的单调递增区间为[4kπ－π，4kπ＋π]，k∈Z．当k＝1时，t∈[3π，5π]，而[10，15] [3π，5π]，故选C．]
3．C　[当t＝时，s1＝5sin＝－5，当t＝时，s2＝10cos＝－5，故s1＝s2．]
4．C　[当x＝1时图象处于最低点，且易知a＝>0．故选C．]
5．A　[由题干图象知A＝10，，所以ω＝＝100π．
所以I＝10sin(100πt＋φ)．
因为为五点作图法中的第二个点，
所以100π×＋2kπ(k∈Z)，且0<φ<，所以φ＝．
所以I＝10sin，
当t＝ 秒时，I＝－5安．]
6．20.5　[由题意可知A＝＝5，a＝＝23．从而y＝5cos＋23．故10月份的月平均气温值为y＝5cos＋23＝20.5．]
7．y＝2sin　[由题图可设y＝Asin(ωt＋φ)，则A＝2，又T＝2(0.5－0.1)＝0.8，
所以ω＝π，
所以y＝2sin，
将点(0.1，2)代入y＝2sin中，
得sin＝1，
所以φ＋＝2kπ＋，k∈Z，
即φ＝2kπ＋，k∈Z，令k＝0，得φ＝，
所以y＝2sin．]
8．7　[函数y＝－sinx的周期T＝4，且x＝3时y＝1是最大值，因此t≥7．所以正整数t的最小值是7．]
9．解：(1)由题意可作图如图．过点O作地面平行线ON，过点B作ON的垂线BM交ON于点M．当θ>时，∠BOM＝θ－．
h＝|OA|＋0.8＋|BM|＝5.6＋4.8sin；
当0≤θ≤时，上述解析式也适合．
则h与θ间的函数解析式为
h＝5.6＋4.8sin．
(2)点A在☉O上逆时针运动的角速度是，
∴t秒转过的弧度数为t，
∴h＝4.8sin＋5.6，t∈[0，＋∞)．
10．解：(1)散点图如图所示．
(2)由(1)知选择y＝Asin(ωt＋φ)＋b较合适．令A>0，ω>0，|φ|<π．
由图可知，A＝0.4，b＝1，T＝12，所以ω＝．
把t＝0，y＝1代入y＝0.4sin＋1，得φ＝0．
故所求拟合模型的解析式为y＝0.4sin t＋1(0≤t≤24)．
(3)由y＝0.4sin t＋1≥0.8，得sin ．则－＋2kπ≤＋2kπ(k∈Z)，即12k－1≤t≤12k＋7(k∈Z)，
注意到t∈[0，24]，所以0≤t≤7，或11≤t≤19，或23≤t≤24，再结合题意可知，应安排在11时到19时训练较恰当．
B组　能力过关练
11．C　[因为y＝500sin(ωx＋φ)＋9 500(ω>0)，所以当x＝1时，500sin(ω＋φ)＋9 500＝10 000；当x＝2时，500sin(2ω＋φ)＋9 500＝9 500，所以ω可取，φ可取π，即y＝500sin＋9 500．当x＝3时，y＝9 000．]
12．C　[令所对圆心角为θ，由|OA|＝1，得l＝θ，sin，∴d＝2sin，
即d＝f (l)＝2sin(0≤l≤2π)，它的图象为C．]
13．y＝－6sinx，x∈[0，24]　[设y与x的函数关系式为y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，则A＝6，T＝＝12，ω＝．
当x＝9时，ymax＝6，
故＋2kπ，k∈Z．
取k＝1得φ＝π，即y＝－6sinx，x∈[0，24]．]
14．－　[由条件|f (x1)－f (x2)|＝2时，|x1－x2|的最小值为，结合图象(略)可知函数f (x)的最小正周期为，则由T＝，得ω＝3．又因为角φ的终边经过点P(1，－1)，所以不妨取φ＝－，则f (x)＝sin，于是f ．]
C组　拓广探索练
15．解：(1)根据规律①可知，该函数为周期函数，且周期为12，所以T＝＝12，得ω＝．
由规律②可知，f (n)max＝f (8)＝100A＋100k，f (n)min＝f (2)＝－100A＋100k，f (8)－f (2)＝200A＝400，得A＝2．
根据规律③可知，当n＝2时，f (2)＝200·cos＋100k＝100，
得k≈2.99，因为k是正整数，故取k＝3．
综上可得，f (n)＝200cos＋300(n∈[1，12]，且n∈N+)．
(2)令200cos＋300>400，
可得cos，则2kπ－n＋2<2kπ＋，k∈Z，
即12k－2－，k∈Z．
所以当k＝1时，6.18因为n∈[1，12]，n∈N+，所以n＝7，8，9，10，即一年中的7，8，9，10四个月是该地区的旅游“旺季”．
3/4课时分层作业(五十)　三角函数模型的简单应用
说明：单项选择题每题5分，填空题每题5分，本试卷共105分
一、选择题
1．如图所示，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离s(cm)和时间t(s)的函数关系式为s＝6sin ，那么单摆摆动一个周期所需的时间为(　　)
A．2π s B．π s
C．0.5 s D．1 s
2．商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，五一那天某商场的人流量满足函数F(t)＝50＋4sin (t≥0)，则在下列时间段内人流量增加的是(　　)
A．[0，5] B．[5，10]
C．[10，15] D．[15，20]
3．在两个弹簧上各有一个质量分别为M1和M2的小球做上下自由振动．已知它们在时间t(s)离开平衡位置的位移s1(cm)和s2(cm)分别由s1＝5sin ，s2＝10cos 2t确定，则当t＝ s时，s1与s2的大小关系是(　　)
A．s1＞s2 B．s1＜s2
C．s1＝s2 D．不能确定
4．下表是某市近30年来月平均气温(℃)的数据统计表：
月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
平均 温度 －5.9 －3.3 2.2 9.3 15.1 20.3 22.8 22.2 18.2 11.9 4.3 －2.4
则适合这组数据的函数模型是(　　)
A．y＝a cos
B．y＝a cos ＋k(a＞0，k＞0)
C．y＝－a cos ＋k(a＞0，k＞0)
D．y＝a cos －3
5．电流强度I(安)随时间t(秒)变化的函数I＝A sin (ωt＋φ)的图象如图所示，则当t＝ 秒时，电流强度是(　　)
A．－5安 B．5安
C．5 安 D．10安
二、填空题
6．某城市一年中12个月的月平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y＝a＋A cos (x＝1，2，3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28 ℃，12月份的月平均气温最低，为18 ℃，则10月份的月平均气温值为________℃．
7．如图是弹簧振子做简谐振动的图象，横轴表示振动的时间，纵轴表示振动的位移，则这个振子振动的函数解析式是________．
8．一种波的波形为函数y＝－sin x的图象，若其在区间[0，t]上至少有2个波峰(图象的最高点)，则正整数t的最小值是________．
三、解答题
9．如图为一个观光缆车示意图，该观光缆车半径为4.8 m，圆上最低点与地面距离为0.8 m，60秒转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ角到OB，设点B与地面距离为h．
(1)求h与θ间关系的函数解析式；
(2)设从OA开始转动，经过t秒到达OB，求h与t间关系的函数解析式．
10．某帆板集训队在一海滨区域进行集训，该海滨区域的海浪高度y(米)随着时间t(0≤t≤24，单位：时)呈周期性变化，每天时刻t的浪高数据的平均值如下表：
t(时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y(米) 1.0 1.4 1.0 0.6 1.0 1.4 0.9 0.5 1.0
(1)作出这些数据的散点图；
(2)从y＝ax＋b，y＝A sin (ωt＋φ)＋b和y＝A tan (ωt＋φ)中选一个合适的函数模型，并求出该模型的解析式；
(3)如果确定在一天内的7时到19时之间，当浪高不低于0.8米时才进行训练，试安排恰当的训练时间．
11．某房地产中介对本市一楼盘在今年的房价作了统计与预测：发现每个季度的平均单价y(每平方米的价格，单位：元)与第x季度之间近似满足：y＝500sin (ωx＋φ)＋9 500(ω>0)，已知第一、二季度平均单价如下表所示：
x 1 2
y 10 000 9 500
则此楼盘在第三季度的平均单价大约是(　　)
A．10 000元 B．9 500元
C．9 000元 D．8 500元
12．如图，设点A是单位圆上的一定点，动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P所旋转过的的长为l，弦AP的长为d，则函数d＝f (l)的图象大致是(　　)
A　　　　　B　　　　　C　　　　D
13．如图所示的图象显示的是相对于平均海平面的某海湾的水面高度y(单位：m)在某天24 h内的变化情况，则水面高度y关于从夜间0时开始的时间x的函数关系式为____________________．
14．已知角φ的终边经过点P(1，－1)，点A(x1，y1)，B(x2，y2)是函数f (x)＝sin (ωx＋φ)(ω＞0)图象上的任意两点，若|f (x1)－f (x2)|＝2时，|x1－x2|的最小值为，则f ＝________．
15．在某个以旅游业为主的地区，每年各个月份从事旅游服务工作的人数会发生周期性的变化，该地区每年各个月份从事旅游服务工作的人数f (n)可近似地用函数f (n)＝100·[A cos (ωn＋2)＋k]来刻画，其中A和k是正整数，ω>0，正整数n表示月份且n∈[1，12]，n∈N＋，例如n＝1时表示1月份．经统计发现，该地区每年各个月份从事旅游服务工作的人数有以下规律：
①各年相同的月份，该地区从事旅游服务工作的人数基本相同；
②该地区从事旅游服务工作的人数最多的8月份和最少的2月份相差约400人；
③2月份该地区从事旅游服务工作的人数约为100人，随后逐月递增，直到8月份达到最多．
(1)试根据已知信息，确定一个符合条件的f (n)的表达式；
(2)一般地，如果当该地区从事旅游服务工作的人数超过400人时，该地区也进入了一年中的旅游“旺季”，那么，一年中的哪几个月是该地区的旅游“旺季”？请说明理由．
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