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课时分层作业(五十七)　用频率分布直方图估计总体分布
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共102分
一、选择题
1．某校高一(3)班的40位同学对班内一名准备参加学校绘画比赛的同学的绘画作品进行打分(满分100分，分数均在[80，96]内)，并绘制出如图所示的频率分布直方图，则下列结论中正确的是(　　)
A．打分在[94，96]内的有2人　
B．中位数在[86，88]内
C．众数是90　
D．平均数大于90
2．某工厂对一批新产品的长度(单位：mm)进行检测，如图是检测结果的频率分布直方图，据此估计这批产品长度的中位数为(　　)
A．20 B．25
C．22.5 D．22.75
3．为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：
根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是(　　)
A．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%
B．该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%
C．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元
D．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间
4．将容量为100的样本数据，从小到大排列，分成8个组，如表：
组号 1 2 3 4 5 6 7 8
频数 10 13 14 14 x 13 12 9
则第5组数据的频率是(　　)
A．0.15 B．0.4
C．0.3 D．0.2
5．(多选题)在某次高中学科竞赛中，4 000名考生的参赛成绩统计如图所示，60分以下视为不及格，若同一组中的数据用该组区间中点值代表，则(　　)
A．成绩在[70，80)分的考生人数最多
B．不及格的考生人数为1 000
C．考生竞赛成绩的平均分约为70.5分
D．考生竞赛成绩的中位数为75分
二、填空题
6．一个频率分布表(样本容量为30)不小心被损坏了一部分，若样本中数据在[20，60)内的频率为0.6，则样本中在[40，60)内的数据的频率为________．
7．据调查，某地6岁至17岁青少年超重肥胖率高达19.0%．为了解该地中学生的体重情况，某机构从该地中学生中随机抽取100名学生，测量他们的体重(单位：千克)，根据测量数据，按[40，45)，[45，50)，[50，55)，[55，60)，[60，65)，[65，70]分成六组，得到的频率分布直方图如图所示．根据调查的数据，估计该地中学生体重的中位数是________．
8．为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党、知史爱国的热情，某校举办了“学党史、育文化”党史知识竞赛，并将1 000名师生的竞赛成绩(满分100分，成绩取整数)整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是________．(填序号)
①a的值为0.005；②估计这组数据的众数为75；③估计成绩低于60分的有25人．
三、解答题
9．现有某城市100户居民的月平均用电量(单位：kW·h)的数据，根据这些数据，以[160，180)，[180，200)，[200，220)，[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300)分组的频率分布直方图如图所示．
(1)求直方图中x的值；
(2)求月平均用电量的众数和中位数；
(3)在月平均用电量为[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300)的四组用户中，用分层随机抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220，240)内的用户中应抽取多少户？
10．已知50个数据的分组以及各组的频数如下：
[153.5，155.5)，2；[155.5，157.5)，7；
[157.5，159.5)，9；[159.5，161.5)，11；
[161.5，163.5)，10；[163.5，165.5)，6；
[165.5，167.5)，4；[167.5，169.5)，1．
(1)列出频率分布表；
(2)画出频率分布直方图和频率分布折线图．
11．甲、乙、丙三名学生在一项集训中的40次测试分数都在[50，100]内，将他们的测试分数分别绘制成频率分布直方图，如图所示，记甲、乙、丙的分数的标准差分别为s1，s2，s3，则它们的大小关系为(　　)
A．s1＞s2＞s3 B．s1＞s3＞s2
C．s3＞s1＞s2 D．s3＞s2＞s1
12．(多选题)容量为100的样本，其数据分布在[2，18)内，将样本数据分为4组：[2，6)，[6，10)，[10，14)，[14，18)，得到频率分布直方图如图所示，则下列说法中正确的是(　　)
A．样本数据分布在[6，10)内的频率为0.32
B．样本数据分布在[10，14)内的频数为40
C．样本数据分布在[2，10)内的频数为40
D．估计总体数据大约有10%分布在[10，14)内
13．我国是世界上严重缺水的国家之一，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查．通过抽样，获得了某年100户居民每人的月均用水量(单位：吨)．将数据按照[0，0.5)，[0.5，1)，…，[4，4.5)分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．
(1)直方图中a的值为________；
(2)用每组区间的中点作为每组用水量的平均值，这9组居民每人的月均用水量前4组的方差都为0.3，后5组的方差都为0.4，则这100户居民月均用水量的方差为________．
14．某班100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100)．
(1)求图中a的值；
(2)若在同一组数据中，将该组区间的中点值作为这组数据的平均分，根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；
(3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数(x)与数学成绩相应分数段的人数(y)之比如表所示，求数学成绩在[50，90)之外的人数．
分数段 [50，60) [60，70) [70，80) [80，90)
x∶y 1∶1 2∶1 3∶4 4∶5
7/7课时分层作业(五十七)
A组　基础合格练
1．B　[对于A，根据频率分布直方图可知，打分在[94，96]内的人数为0.012 5×2×40＝1，故A错误；
对于B，前三组的频率之和为(0.037 5＋0.062 5＋0.075 0)×2＝0.35<0.5，前四组的频率之和为(0.037 5＋0.062 5＋0.075 0＋0.100 0)×2＝0.55>0.5，故中位数在[86，88]内，故B正确；
对于C，众数为最高小长方形底边中点的横坐标，故众数是89，故C错误；
对于D，根据频率分布直方图得平均数为81×2×0.037 5＋83×2×0.062 5＋85×2×0.075＋87×2×0.1＋89×2×0.112 5＋91×2×0.075＋93×2×0.025＋95×2×0.012 5＝87.3<90，故D错误．故选B．]
2．C　[设中位数为x，则0.1＋0.2＋0.08×(x－20)＝0.5，得x＝22.5．]
3．C　[对于A，根据频率分布直方图可知，家庭年收入低于4.5万元的农户比率约为(0.02＋0.04)×1×100%＝6%，故A正确；对于B，根据频率分布直方图可知，家庭年收入不低于10.5万元的农户比率约为(0.04＋0.02＋0.02＋0.02)×1×100%＝10%，故B正确；对于C，根据频率分布直方图可知，该地农户家庭年收入的平均值约为3×0.02＋4×0.04＋5×0.10＋6×0.14＋7×0.20＋8×0.20＋9×0.10＋10×0.10＋11×0.04＋12×0.02＋13×0.02＋14×0.02＝7.68(万元)，故C错误；对于D，根据频率分布直方图可知，家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的农户比率约为(0.10＋0.14＋0.20＋0.20)×1×100%＝64%>50%，故D正确．]
4．A　[8个小组的频数之和等于样本容量100，故第5组的频数x＝100－(10＋13＋14＋14＋13＋12＋9)＝15．所以第5组数据的频率为＝0.15．]
5．ABC　[显然A正确；由频率分布直方图可得，成绩在[40，60)内的频率为0.25，因此，不及格的人数为4 000×0.25＝1 000，故B正确；平均分约为45×0.1＋55×0.15＋65×0.2＋75×0.3＋85×0.15＋95×0.1＝70.5(分)，故C正确；因为成绩在[40，70)内的频率为0.45，[70，80)内的频率为0.3，所以中位数为70＋10×≈71.67，故D错误．]
6．0.2　[样本中在[40，60)内的数据的个数为30×0.6－8－4＝6，故样本中在[40，60)内的数据的频率为＝0.2．]
7．53.75　[∵(0.01＋0.03)×5＝0.2<0.5，0.2＋0.08×5＝0.6>0.5，
∴该地中学生体重的中位数位于[50，55)内，
设中位数为m，则0.2＋(m－50)×0.08＝0.5，
解得m＝53.75．]
8．①②　[对①：10×(2a＋3a＋3a＋6a＋5a＋a)＝1，即10×20a＝1，a＝0.005，故①正确；
对②：由面积最大的小矩形可知，估计这组数据的众数为75，故②正确；
对③：成绩低于60分的频率为0.025×10＝0.25，故估计成绩低于60分的有1 000×0.25＝250(人)，③错误，故填①②．]
9．解：(1)由(0.002＋0.009 5＋0.011＋0.012 5＋x＋0.005＋0.002 5)×20＝1，得x＝0.007 5，
故直方图中x的值是0.007 5．
(2)月平均用电量的众数为＝230(kW·h)．
∵(0.002＋0.009 5＋0.011)×20＝0.45<0.5，0.45＋0.0125×20＝0.7>0.5，
∴月平均用电量的中位数在[220，240)内，设中位数为a，
由(0.002＋0.009 5＋0.011)×20＋0.012 5×(a－220)＝0.5，得a＝224，
即月平均用电量的中位数为224 kW·h．
(3)月平均用电量在[220，240)内的有0.012 5×20×100＝25(户)，月平均用电量在[240，260)内的有0.007 5×20×100＝15(户)，月平均用电量在[260，280)内的有0.005×20×100＝10(户)，月平均用电量在[280，300]内的有0.002 5×20×100＝5(户)，
抽取比例为，
∴月平均用电量在[220，240)内的用户中应抽取25×＝5(户)．
10．解：(1)频率分布表如表所示．
分组 频数 频率
[153.5，155.5) 2 0.04
[155.5，157.5) 7 0.14
[157.5，159.5) 9 0.18
[159.5，161.5) 11 0.22
[161.5，163.5) 10 0.20
[163.5，165.5) 6 0.12
[165.5，167.5) 4 0.08
[167.5，169.5) 1 0.02
合计 50 1.00
(2)频率分布直方图和频率分布折线图如图所示．
B组　能力过关练
11．B　[根据频率分布直方图中的数据信息知乙的分数比较集中，故s2最小，甲的分数比较分散，故s1最大，所以s1>s3>s2．]
12．ABC　[对于A，由题图可得，样本数据分布在[6，10)内的频率为0.08×4＝0.32，所以A正确．对于B，由题图可得，样本数据分布在[10，14)内的频数为100×(0.1×4)＝40，所以B正确．对于C，由题图可得，样本数据分布在[2，10)内的频数为100×(0.02＋0.08)×4＝40，所以C正确．对于D，由题图可估计，总体数据分布在[10，14)内的比例为0.1×4＝0.4＝40%，所以D错误．故选ABC．]
13．(1)0.30　(2)1.113 6　[(1)由频率分布直方图可知，月均用水量在[0，0.5)内的频率为0.08×0.5＝0.04，同理，在[0.5，1)，[1.5，2)，[2，2.5)，[3，3.5)，[3.5，4)，[4，4.5)内的频率分别为0.08，0.21，0.25，0.06，0.04，0.02．
由1－(0.04＋0.08＋0.21＋0.25＋0.06＋0.04＋0.02)＝2a×0.5，解得a＝0.30．
(2)由题意可知，这9组月均用水量的平均数依次是＝0.25，＝0.75，＝1.25，＝1.75，＝2.25，＝2.75，＝3.25，＝3.75，＝4.25，
这100户居民的月均用水量为＝0.04×0.25＋0.08×0.75＋0.15×1.25＋0.21×1.75＋0.25×2.25＋0.15×2.75＋0.06×3.25＋0.04×3.75＋0.02×4.25＝2.03(吨)，
则这100户居民月均用水量的方差为
s2＝0.04×[0.3＋(0.25－2.03)2]＋0.08×[0.3＋(0.75－2.03)2]＋0.15×[0.3＋(1.25－2.03)2]＋0.21×[0.3＋(1.75－2.03)2]＋0.25×[0.4＋(2.25－2.03)2]＋0.15×[0.4＋(2.75－2.03)2]＋0.06×[0.4＋(3.25－2.03)2]＋0.04×[0.4＋(3.75－2.03)2]＋0.02×[0.4＋(4.25－2.03)2]＝1.113 6．]
C组　拓广探索练
14．解：(1)由频率分布直方图知(0.04＋0.03＋0.02＋2a)×10＝1，解得a＝0.005．
(2)估计这次语文成绩的平均分＝55×0.05＋65×0.4＋75×0.3＋85×0.2＋95×0.05＝73(分)．
所以这100名学生语文成绩的平均分为73分．
(3)分别求出语文成绩在分数段[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)的人数依次为0.05×100＝5，0.4×100＝40，0.3×100＝30，0.2×100＝20．
所以数学成绩分数段在[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)的人数依次为5，20，40，25．
所以数学成绩在[50，90)之外的人数有100－(5＋20＋40＋25)＝10(人)．
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