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专题1.4全等三角形八大题型（一课一讲）
1.全等图形的定义
全等图形：能够完全重合的两个图形，即它们的形状和大小完全相同。
特点：①对应边长度相等；②对应角度数相等；③周长和面积相等。
表示方法：用符号“≌”表示，如△ABC≌△DEF。
常见全等图形：全等三角形、全等四边形等。
变换关系：平移、旋转、翻折后的图形与原图形全等
2.全等三角形的定义
全等三角形：能够完全重合的两个三角形，即对应边相等、对应角相等。
表示方法：△ABC≌△DEF（顶点顺序需对应）。
题型一：全等图形的判断
【例题1】下列各组的两个图形属于全等形的是（ ）
A．B．C． D．
【变式训练1-1】(24-25八上·福建莆田荔城区莆田第九中学·月考)下列各组中的两个图形属于全等图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【变式训练1-2】(24-25八上·江苏无锡经开区·期中)下列各选项中的两个图形属于全等图形的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-3】(24-25九上·河北石家庄·期中)下列各组的两个图形属于全等图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练1-4】(24-25八上·江苏南京秦淮区·期中)下图是2024年巴黎奥运会和残奥会的吉祥物“弗里热”，它的座右铭是“独行快，众行远”，下列与该图片是全等的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-5】(24-25八上·贵州贵阳花溪区久安中学·期中)下列各组图形中，属于全等形的是（ ）
A． B．
C． D．
题型二：利用全等三角形的概念判断
【例题2】(23-24八上·山东滨州阳信县第四实验中学·月考)下列说法正确的是（ ）
①全等三角形的对应边相等，对应角相等；②全等三角形的周长相等，面积相等；
③面积相等的三角形全等；④周长相等的三角形全等
A．②③ B．③④ C．①② D．①②③
【变式训练2-1】(23-24八上·江苏盐城大丰区大丰区飞达路初级中学·月考)下列说法中，正确的有(　　)
①形状相同的两个图形是全等形；②面积相等的两个图形是全等形；③全等三角形的周长相等，面积相等；④若，则．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式训练2-2】(23-24八上·云南昆明云南民族大学附属中学·月考)下列说法错误的是（ ）
A．全等三角形的形状相同、大小相等
B．全等三角形的对应边相等、对应角相等
C．面积相等的两个三角形全等
D．全等三角形的周长相等
【变式训练2-3】(24-25八上·天津河西区·期中)下列说法正确的是（ ）
A．形状相同的两个三角形一定是全等三角形 B．周长相等的两个三角形一定是全等三角形
C．面积相等的两个三角形一定是全等三角形 D．边长为的等边三角形都是全等三角形
【变式训练2-4】(24-25八上·江苏常州经开区·期中)下列说法正确的是（　　）
A．两个全等三角形的面积相等
B．线段不是轴对称图形
C．面积相等的两个三角形全等
D．两个等腰三角形一定全等
【变式训练2-5】(24-25八上·辽宁大石桥周家镇中学·月考)下列说法正确的是（ ）
A．到一个角两边距离相等的点在这个角的角平分线上
B．面积相等的两个三角形一定是全等三角形
C．两个等边三角形是全等三角形
D．有两条边对应相等的两个直角三角形全等
1.全等三角形的性质
若△ABC≌△DEF，则：
①对应边相等：AB=DE，BC=EF，AC=DF。
②对应角相等：∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F。
③对应线段相等：
④中线、高线、角平分线长度相等。
⑤周长和面积相等。
⑥对称性：若△ABC≌△DEF，则△DEF≌△ABC。
⑦传递性：若△ABC≌△DEF，△DEF≌△GHI，则△ABC≌△GHI。
题型三：利用全等三角形的性质判断结论是否正确
【例题3】如图，，则对于结论①，②，③，④，其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式训练3-1】如图，若，C，D是对应顶点，则下列结论错误的是（ ）
A．与是对应角 B．与是对应角
C．与是对应边 D．与是对应边
【变式训练3-2】如图，如果，那么下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-3】(24-25七下·江西鹰潭余江区正源学校·月考)如图，点B，E，C，F在同一条直线上，与相交于点M，，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练3-4】如图，已知，且点E与点F，点A与点B是对应点，下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-4】(24-25七下·四川成都邛崃·期末)如图，若，则下列结论中不成立的是（ ）
A． B．
C．平分 D．
题型四：利用全等三角形的性质求角度大小
【例题4】(24-25七下·福建泉州洛江区·期末)如图，，且，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练4-1】(24-25八上·广东广州海珠区绿翠现代实验学校·期中)已知图中的两个三角形全等，图中的字母表示三角形的边长，则等于（ ）
A． B． C． D．
【变式训练4-2】(24-25八上·广东东莞石龙第二中学·月考)如图，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练4-3】(25-26八上·黑龙江哈尔滨德强学校·)如图，，延长交于，交于，，，，则 度．
【变式训练4-4】(24-25八上·安徽淮南寿县寿县广岩初级中学·月考)如图，，点共线，和交于点．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练4-5】(24-25七下·陕西咸阳永寿县蒿店中学·期中)如图，，点在边上，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
题型五：利用全等三角形的性质求线段长度
【例题5】(24-25八上·江苏无锡华庄中学·阶段练习)如图，点F、A、D、C在同一直线上，，，则的长为（　　）
A． B．6 C． D．7
【变式训练5-1】(24-25八上·湖南邵阳第三中学·期末)已知，的周长为，如果，， ．
【变式训练5-2】(24-25七下·上海西延安中学·期中)如图，已知，点A、B、C的对应点分别是点D、E、B，点E在边上，与交于点F．如果，，则线段的长是 ．
【变式训练5-3】(24-25八下·江苏南通海门区海南中学·)一个三角形的三条边长分别为4、7、x，另一个三角形的三条边分别为y、4、6，若这两个三角形全等，则＝ ．
【变式训练5-4】(24-25七下·广东揭阳普宁·期末)如图，C、D、B在同一直线上，A、B、E在同一直线上，，若，，则的长为 ．
【变式训练5-5】(24-25七下·福建福州延安中学·期末)如图，，B、C、D在同一直线上，且，，则长为 ．
【变式训练5-6】(24-25七下·四川成都第三十七中学·期中)如图，其中点A，E，B，D在一条直线上，若，，则的长为 ．
【变式训练5-7】(24-25七下·山东济南济阳区·期中)如图，在中，于点，是上的一点．若，，，则的周长为 ．
题型六：全等三角形的性质综合（解答题）
【例题6】(24-25八上·福建莆田文献中学·月考)如图，已知，点E在边上，与交于点F．
(1)若，求线段的长；
(2)若，求的度数．
【变式训练6-1】如图，已知和是对应角，，，，，．求：
(1)及的长．
(2)的度数．
【变式训练6-2】(24-25七下·河南周口太康县·期末)如图，已知，，，，．
(1)求的度数及的长；
(2)与平行吗？说明理由．
【变式训练6-3】(24-25七下·陕西汉中宁强县·期末)如图所示，已知于 D．
(1)已知，求的长．
(2)判断与的位置关系，并说明理由．
【变式训练6-4】(24-25七下·福建泉州第七中学·期末)如图，已知，点E在上，与相交于点F，，．
(1)的度数为________；
(2)求的度数．
【变式训练6-5】(24-25七下·广东深圳福田区外国语学校·期中)如图，已知，点在边上，与交于点．
(1)若，，求线段的长；
(2)若，，求的度数．
【变式训练6-6】(24-25七下·山西晋城高平部分学校·期末)如图，在中，于点D，点E在边上，连接交于点F，．
(1)若，，求的面积；
(2)试判断与之间的位置关系，并说明理由．
题型七：全等三角形的性质中动点问题
【例题7】(24-25七下·山东枣庄滕州龙泉实验学校·月考)如图，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在射线上以的速度运动，它们运动的时间为（当点运动结束时，点运动随之结束）．在射线上取点，在运动到某处时，有与全等，求此时的长度．
【变式训练7-1】(25-26八上·吉林长春汽开区第四中学·开学考)如图①，在中，，，，，动点从点出发；沿着边运动，回到点停止，速度为；设运动时间为．
(1)当时，用含的代数式表示的长；
(2)当为何值时，的面积等于面积的？
(3)如图②，在中，，，，．在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中，某一时刻恰好与全等，点的运动速度为___________．
【变式训练7-2】如下图，中，，，．点P从点A出发沿路径向终点B运动；点Q从点B出发沿路径向终点A运动．点P和点Q分别以和的速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动．在某一时刻，分别过点P，Q作于点E，于点F．若与全等，则点P运动了多长时间？
【变式训练7-3】(24-25八·四川乐山马边彝族自治县第一初级中学·期末)如图，在中，，，为的中点，点在线段上以的速度由点向点运动．同时，点在线段上以相同速度由点向点运动，一个点到达终点后，另一个点也停止运动．当与全等时，求点运动的时间．
【变式训练7-4】(24-25七下·吉林长春长春力旺实验初级中学·期中)在中，，，，，动点从点出发，以的速度沿着三角形的边运动，回到点停止，设运动时间为．
(1)如图1，当时，___________，当时，___________（用含的式子表示）；
(2)如图1，当___________s时，的周长被线段平分为相等的两部分；
(3)如图1，若的面积等于面积的一半，求的值；
(4)如图3，在中，，，，．如图2，在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边 运动，回到点停止；在两点运动过程中的某一时刻，恰好和可以完全重合，直接写出点的运动速度．
【变式训练7-5】(24-25八上·江苏常州第二十四中学天宁分校·月考)如图①，在中，，，，，现有一动点从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为秒．
(1)如图①，当时，______cm．
(2)如图①，当______时，的面积等于面积的一半；
(3)如图②，在中，，，，，在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中的某时刻，恰好，求点的运动速度．
题型八：全等三角形的性质与完全平方综合
【例题8】(25-26八上·辽宁丹东第五中学)我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到，基于此，请解答下列问题：
(1)若，求的值；
(2)填空：
①若，则 ；
②若，则 ；
(3)两块全等的特制直角三角板（）如图2所示放置，当A，O，D在同一直线上时，连接．若，求的面积．
【变式训练8-1】(24-25八上·四川眉山洪雅田锡中学·期末)如图1，将一个边长为的大正方形拆分为边长分别为a，b的两个小正方形，以及两个长方形，通过计算几何图形的面积可以得到一个完全平方的代数恒等式．
(1)【直接应用】①这个完全平方的代数恒等式是_____________；
②如果，，则_______；如果，，则_______；
(2)【类比应用】①若，则______；
②若x满足，则_____；
(3)【知识迁移】两块全等的特制直角三角板（）如图2所示放置，其中A，O，D在一直线上，连结．若，，求一块直角三角板的面积．
【变式训练8-2】(23-24八上·四川乐山·期末)【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式，例如图1可以得到，基于此，请解答下列问题：
(1)【直接应用】若，，求的值；
(2)【类比应用】
①若，则______
②若满足，求的值．
(3)【知识迁移】两块全等的特制直角三角板（）如图2所示放置，其中A，，在一直线上，连接，．若，，求一块直角三角板的面积．
【变式训练8-3】(24-25八下·海南三亚·期末)知识生成：我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式，如图1可以得到，等式变形可得，基于此，请解答下列问题：
(1)直接应用：若，直接写出的值为______；
(2)类比应用：若，则_______；（直接写结果）
(3)知识迁移：两个全等的直角三角形，，其中．如图2所示放置，其中，，在一直线上，连接，，若，，设，求四边形的面积的大小．
【变式训练8-4】(24-25七下·江西鹰潭余江区正源学校·月考)为了证明“三角形的内角和是”，综合实践小组给出了如图所示的四种作辅助线的方法．
(1)其中不能证明“三角形的内角和是”的是______（填选项）；
A．如图1，过点C作
B．如图2，作
C．如图3，过上一点D作，
D．如图4，过点C作
(2)请选择可以证明“三角形的内角和为”的一幅图加以证明．
【变式训练8-5】(24-25七下·广东河源·期末)【操作发现】（1）如图1是一个长为、宽为的长方形，沿图1中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2）．用两种不同方法表示图2中阴影部分面积：方法1：____________，方法2：____________；（用a，b的代数式表示）；观察图2，请你写出，，之间的等量关系是 ；
【灵活应用】（2）运用所得到的公式计算：若，为实数，且，，求的值；
【拓展迁移】（3）将两块全等的特制直角三角板，按如图3所示的方式放置，A，O，D在同一直线上，连接AC，BD．若，，求阴影部分的面积．中小学教育资源及组卷应用平台
专题1.4全等三角形八大题型（一课一讲）
1.全等图形的定义
全等图形：能够完全重合的两个图形，即它们的形状和大小完全相同。
特点：①对应边长度相等；②对应角度数相等；③周长和面积相等。
表示方法：用符号“≌”表示，如△ABC≌△DEF。
常见全等图形：全等三角形、全等四边形等。
变换关系：平移、旋转、翻折后的图形与原图形全等
2.全等三角形的定义
全等三角形：能够完全重合的两个三角形，即对应边相等、对应角相等。
表示方法：△ABC≌△DEF（顶点顺序需对应）。
题型一：全等图形的判断
【例题1】下列各组的两个图形属于全等形的是（ ）
A．B．C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查全等图形的定义；
根据能完全重合的两个图形，是全等图形，逐一判断即可．
【详解】解：A、两个图形不能完全重合，不是全等图形，不符合题意；
B、两个图形不能完全重合，不是全等图形，不符合题意；
C、两个图形能完全重合，是全等图形，符合题意；
D、两个图形不能完全重合，不是全等图形，不符合题意．
故选：C．
【变式训练1-1】(24-25八上·福建莆田荔城区莆田第九中学·月考)下列各组中的两个图形属于全等图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了全等图形，解题的关键是掌握能够完全重合的两个图形叫做全等图形．
利用全等图形的定义进行判断即可．
【详解】解：A：两个图形不能完全重合，不属于全等图形，故该选项不合题意；
B：两个图形能完全重合，属于全等图形，故该选项符合题意；
C：两个图形不能完全重合，不属于全等图形，故该选项不合题意；
D：两个图形不能完全重合，不属于全等图形，故该选项不合题意．
故选：B．
【变式训练1-2】(24-25八上·江苏无锡经开区·期中)下列各选项中的两个图形属于全等图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是全等形的识别、利用全等图形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形可得答案．
【详解】解：解：A、两个图形大小不相等，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意；
B、两个图形大小不相等，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意；
C、两个图形能够完全重合，是全等图形，符合题意；
D、两个图形大小不相等，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意；
故选：C．
【变式训练1-3】(24-25九上·河北石家庄·期中)下列各组的两个图形属于全等图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查全等图形的定义，熟练掌握“能完全重合的两个图形，是全等图形”是解题的关键．根据全等图形的定义，逐一判断选项，即可．
【详解】解：A、两个图形不能完全重合，不是全等图形，不符合题意；
B、两个图形不能完全重合，不是全等图形，不符合题意；
C、两个图形不能完全重合，不是全等图形，不符合题意；
D、两个图形能完全重合，是全等图形，符合题意．
故选：D．
【变式训练1-4】(24-25八上·江苏南京秦淮区·期中)下图是2024年巴黎奥运会和残奥会的吉祥物“弗里热”，它的座右铭是“独行快，众行远”，下列与该图片是全等的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了全等图形的定义，根据全等图形定义直接选择即可．
【详解】解：由题意得，与题中图片形状、大小都相同的全等图形的是D，
故选：D．
【变式训练1-5】(24-25八上·贵州贵阳花溪区久安中学·期中)下列各组图形中，属于全等形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是全等图形，根据能够完全重合的两个图形是全等图形对各选项分析即可得解．
【详解】解：A、由图可知两个图形不可能完全重合，所以不是全等形，故A选项不符合题意；
B、由图可知两个图形不可能完全重合，所以不是全等形，故B选项不符合题意；
C、由图可知两个图形可以完全重合，所以是全等图形，故C选项符合题意；
D、由图可知两个图形不可能完全重合，所以不是全等形，故D选项不符合题意．
故选：C．
题型二：利用全等三角形的概念判断
【例题2】(23-24八上·山东滨州阳信县第四实验中学·月考)下列说法正确的是（ ）
①全等三角形的对应边相等，对应角相等；②全等三角形的周长相等，面积相等；
③面积相等的三角形全等；④周长相等的三角形全等
A．②③ B．③④ C．①② D．①②③
【答案】C
【分析】理清全等三角形的判定及性质，即可熟练求解此题．
【详解】解：①全等三角形的对应边相等，对应角相等，正确；
②全等三角形的周长相等，面积相等，正确；
③面积相等的三角形形状不一定相同，故错误；
④周长相等的三角形形状不一定相同，故错误．
所以①②正确，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，能够掌握并熟练运用是解题的关键．
【变式训练2-1】(23-24八上·江苏盐城大丰区大丰区飞达路初级中学·月考)下列说法中，正确的有(　　)
①形状相同的两个图形是全等形；②面积相等的两个图形是全等形；③全等三角形的周长相等，面积相等；④若，则．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据全等形的定义，全等三角形的判定与性质，即可判断．
【详解】解：能够完全重合的两个图形叫做全等形，即形状和大小相同的两个图形是全等形，故①②说法错误；
全等三角形能够完全重合，所以全等三角形的周长相等，面积相等，故③说法正确；
若，的对应角为，所以，故④说法正确；
说法正确的有③④，共2个．
故选：B．
【点睛】本题考查全等形，理解能够完全重合的两个图形叫做全等形是解题关键．
【变式训练2-2】(23-24八上·云南昆明云南民族大学附属中学·月考)下列说法错误的是（ ）
A．全等三角形的形状相同、大小相等
B．全等三角形的对应边相等、对应角相等
C．面积相等的两个三角形全等
D．全等三角形的周长相等
【答案】C
【分析】根据全等三角形的性质及概念逐项判断即可得到答案．
【详解】解：A、全等三角形的形状相同、大小相等，原说法正确，故此选项不符合题意；
B、全等三角形的对应边相等、对应角相等，原说法正确，故此选项不符合题意；
C、面积相等的两个三角形，形状不一定相同，不一定全等，原说法错误，故此选项符合题意；
D、全等三角形的周长相等，原说法正确，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的概念及性质，熟练掌握能够完全重合的两个三角形是全等三角形及三角形的性质是解此题的关键．
【变式训练2-3】(24-25八上·天津河西区·期中)下列说法正确的是（ ）
A．形状相同的两个三角形一定是全等三角形 B．周长相等的两个三角形一定是全等三角形
C．面积相等的两个三角形一定是全等三角形 D．边长为的等边三角形都是全等三角形
【答案】D
【分析】根据全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形为全等三角形，据此判断即可．
【详解】A、形状相同且大小相同的两个三角形一定是全等三角形，原说法错误，不符合题意；
B、周长相等的两个三角形不一定是全等三角形，原说法错误，不符合题意；
C、面积相等的两个三角形不一定是全等三角形，原说法错误，不符合题意；
D、边长为的等边三角形都是全等三角形，原说法正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了全等三角形的定义，熟记定义是解本题的关键．
【变式训练2-4】(24-25八上·江苏常州经开区·期中)下列说法正确的是（　　）
A．两个全等三角形的面积相等
B．线段不是轴对称图形
C．面积相等的两个三角形全等
D．两个等腰三角形一定全等
【答案】A
【分析】全等三角形的概念：能够完全重合的两个三角形是全等三角形，利用概念逐一判断A，C，D，轴对称图形：把一个图形沿某条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，则这个图形是轴对称图形，利用轴对称图形的含义判断B，
【详解】解：两个全等三角形能够完全重合，所以面积相等，故A符合题意；
线段是轴对称图形，故B不符合题意；
面积相等的两个三角形不一定能够完全重合，所以不一定全等，故C不符合题意；
两个等腰三角形不一定能够完全重合，所以不一定全等，故D不符合题意；
故选A
【点睛】本题考查的是全等三角形的概念与性质，轴对称图形的概念，掌握“能够完全重合的两个三角形是全等三角形”是解题的关键.
【变式训练2-5】(24-25八上·辽宁大石桥周家镇中学·月考)下列说法正确的是（ ）
A．到一个角两边距离相等的点在这个角的角平分线上
B．面积相等的两个三角形一定是全等三角形
C．两个等边三角形是全等三角形
D．有两条边对应相等的两个直角三角形全等
【答案】D
【分析】根据角平分线的判定可判断选项A错误，根据全等三角形的判定可判断选项B、C错误，选项D正确，即可得．
【详解】解：A、根据角平分线的判定“角的内部到角的两边的距离相等的点在角平分线上”，选项说法错误，不符合题意；
B、能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形，选项说法错误，不符合题意；
C、两个等边三角形不是全等三角形，再有一条对应边相等才行，选项说法错误，不符合题意；
D、有两条边对应相等的两个直角三角形全等，选项说法正确，符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查了角平分线，全等三角形的判定，解题的关键是掌握这些知识点．
1.全等三角形的性质
若△ABC≌△DEF，则：
①对应边相等：AB=DE，BC=EF，AC=DF。
②对应角相等：∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F。
③对应线段相等：
④中线、高线、角平分线长度相等。
⑤周长和面积相等。
⑥对称性：若△ABC≌△DEF，则△DEF≌△ABC。
⑦传递性：若△ABC≌△DEF，△DEF≌△GHI，则△ABC≌△GHI。
题型三：利用全等三角形的性质判断结论是否正确
【例题3】如图，，则对于结论①，②，③，④，其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查全等三角形的性质，全等三角形的对应边相等，对应角相等，由此逐项判断即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，，，故①、③符合题意；
∵，，
∴，
∴，故④符合题意；
不一定成立，故②不符合题意．
综上可知，正确的有3个，
故选C．
【变式训练3-1】如图，若，C，D是对应顶点，则下列结论错误的是（ ）
A．与是对应角 B．与是对应角
C．与是对应边 D．与是对应边
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的性质的应用，熟练掌握全等三角形的对应角相等，对应边相等是解题的关键；
根据全等三角形的性质进行判断即可．
【详解】∵，，是对应顶点，
∴对应角为与，与，与；对应边为与，与，与．
A．与是对应角，正确，故本选项不符合题意；
B．与是对应角，正确，故本选项不符合题意；
C．与是对应边，不是，错误，故本选项符合题意；
D．与是对应边，正确，故本选项不符合题意；
故选C．
【变式训练3-2】如图，如果，那么下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了全等三角形的性质．根据全等三角形对应边相等、对应角相等判断结论是否成立．
【详解】解：∵，
∴，，，
∴，，，
不能证明，
故选：A．
【变式训练3-3】(24-25七下·江西鹰潭余江区正源学校·月考)如图，点B，E，C，F在同一条直线上，与相交于点M，，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了三角形全等的性质，全等三角形的对应角相等、对应边相等、对应边上的高对应相等、对应角的角平分线相等、对应边上的中线相等，全等三角形面积和周长相等，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
直接根据全等三角形的性质进行逐项分析即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴选项D正确；
无法判断选项A， B，C，
故选：D．
【变式训练3-4】如图，已知，且点E与点F，点A与点B是对应点，下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的性质，平行线的判定，掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等是解题的关键．根据全等三角形的性质，平行线的判定定理判断即可．
【详解】解：∵
∴，
∴，
∴，故A正确，不符合题意；
∵
∴
∴，故B正确，不符合题意；
∵
∴，，和不一定相等，故C错误，符合题意；
∴，故D正确，不符合题意．
故选：C．
【变式训练3-4】(24-25七下·四川成都邛崃·期末)如图，若，则下列结论中不成立的是（ ）
A． B．
C．平分 D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，根据全等三角形的对应边相等，对应角相等解答即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
即，
所以不是的平分线；
∵，
∴，
∴．
则A，B，D正确，C不正确．
故选：C．
题型四：利用全等三角形的性质求角度大小
【例题4】(24-25七下·福建泉州洛江区·期末)如图，，且，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的性质．
根据全等三角形的性质得到，，可知，则，根据对顶角相等得到，进而得到，即可求出的度数．
【详解】解：∵
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴
故选：C
【变式训练4-1】(24-25八上·广东广州海珠区绿翠现代实验学校·期中)已知图中的两个三角形全等，图中的字母表示三角形的边长，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了全等三角形的性质、三角形内角和定理，根据全等三角形的对应角相等并结合三角形内角和定理计算即可得解，熟练掌握全等三角形的性质是解此题的关键．
【详解】解：∵图中的两个三角形全等，
∴，
故选：D．
【变式训练4-2】(24-25八上·广东东莞石龙第二中学·月考)如图，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是全等三角形的性质，根据全等三角形的性质得到，根据角的和差计算得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
又，
∵，
∴，
故选：B．
【变式训练4-3】(25-26八上·黑龙江哈尔滨德强学校·)如图，，延长交于，交于，，，，则 度．
【答案】80
【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解决本题的关键．
先由，可得，，再根据周角可求解的度数，根据三角形内角和可求解，即可求解的度数．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：80 ．
【变式训练4-4】(24-25八上·安徽淮南寿县寿县广岩初级中学·月考)如图，，点共线，和交于点．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理及外角性质，由全等三角形的性质可得，，即可得，再根据三角形外角性质即可求解，掌握全等三角形的性质是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
故选：．
【变式训练4-5】(24-25七下·陕西咸阳永寿县蒿店中学·期中)如图，，点在边上，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查全等三角形的性质，由全等三角形的性质推出，由三角形的外角性质得到．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴．
故选：D．
题型五：利用全等三角形的性质求线段长度
【例题5】(24-25八上·江苏无锡华庄中学·阶段练习)如图，点F、A、D、C在同一直线上，，，则的长为（　　）
A． B．6 C． D．7
【答案】C
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、线段的和差等知识点，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
根据全等三角形对应边相等易得，然后求出的长度，再根据求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴．
故选：C．
【变式训练5-1】(24-25八上·湖南邵阳第三中学·期末)已知，的周长为，如果，， ．
【答案】13
【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形对应边相等是解题的关键．根据全等三角形对应边相等，可得，再根据三角形的周长公式即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵的周长为，
∴，
又∵，
∴．
故答案为：13．
【变式训练5-2】(24-25七下·上海西延安中学·期中)如图，已知，点A、B、C的对应点分别是点D、E、B，点E在边上，与交于点F．如果，，则线段的长是 ．
【答案】20
【分析】本题主要考查了三角形全等的性质，根据，得出，，根据，得出，即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，，
∵，
∴，
故答案为：20．
【变式训练5-3】(24-25八下·江苏南通海门区海南中学·)一个三角形的三条边长分别为4、7、x，另一个三角形的三条边分别为y、4、6，若这两个三角形全等，则＝ ．
【答案】13
【分析】本题考查全等三角形的性质、代数式求值，根据全等三角形的对应边相等求得x、y值，进而相加即可求解．
【详解】解：∵三条边长分别为4、7、x的三角形与三条边分别为y、4、6的三角形全等，
当，，
∴．
当，时两个三角形不全等，舍去．
故答案为：13．
【变式训练5-4】(24-25七下·广东揭阳普宁·期末)如图，C、D、B在同一直线上，A、B、E在同一直线上，，若，，则的长为 ．
【答案】6
【分析】本题考查全等三角形的性质，由全等三角形的性质推出，，即可求出的长．
【详解】解：∵，
∴，，
∴．
故答案为：6．
【变式训练5-5】(24-25七下·福建福州延安中学·期末)如图，，B、C、D在同一直线上，且，，则长为 ．
【答案】6
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，由全等三角形的性质得出，，根据线段的和差关系得出，即可得出．
【详解】解：∵，
∴，，
∵
∴，
∴，
故答案为：6．
【变式训练5-6】(24-25七下·四川成都第三十七中学·期中)如图，其中点A，E，B，D在一条直线上，若，，则的长为 ．
【答案】2
【分析】本题考查了全等三角形的性质，直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．根据得到，从而得到，结合，即可求得答案．
【详解】解：，，，
，
，即，
，
．
故答案为：2．
【变式训练5-7】(24-25七下·山东济南济阳区·期中)如图，在中，于点，是上的一点．若，，，则的周长为 ．
【答案】
【分析】本题考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应边相等，是解题的关键．由全等三角形的性质可得，，即可得的周长，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，，
∴的周长，
∵，，
∴的周长为．
故答案为：．
题型六：全等三角形的性质综合（解答题）
【例题6】(24-25八上·福建莆田文献中学·月考)如图，已知，点E在边上，与交于点F．
(1)若，求线段的长；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)14(2)
【分析】本题考查了全等三角形的性质以及三角形外角的性质，解题的关键是熟练运用全等三角形对应边相等、对应角相等的性质．
（1）利用全等三角形对应边相等，先得出，再结合已知的长度求出，进而得到；
（2）利用全等三角形对应角相等求出，再结合已知角求出，最后根据三角形外角性质求出．
【详解】（1）解∶∵，
，
，
；
（2）解∶∵，
，
，
，
。
【变式训练6-1】如图，已知和是对应角，，，，，．求：
(1)及的长．
(2)的度数．
【答案】(1)，
(2)
【分析】本题考查的是全等三角形的性质，三角形的外角的性质；
（1）由全等三角形的性质可得，再进一步求解即可；
（2）由全等三角形的性质可得，再进一步利用三角形的外角的性质求解即可.
【详解】（1）解： ，
，
，
，
，
．
（2）解：，
，
，
.
【变式训练6-2】(24-25七下·河南周口太康县·期末)如图，已知，，，，．
(1)求的度数及的长；
(2)与平行吗？说明理由．
【答案】(1)，6
(2)平行，理由见解析
【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，平行线的判定的应用，解题的关键是掌握以上知识点．
（1）由得到，，然后利用三角形的内角和定理求解即可；
（2）由全等得到，即可得到．
【详解】（1），
，，
在中，，
，
，
；
（2），
理由：，
，
．
【变式训练6-3】(24-25七下·陕西汉中宁强县·期末)如图所示，已知于 D．
(1)已知，求的长．
(2)判断与的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)3
(2)；理由见解析
【分析】本题主要考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质，是解题的关键．
（1）根据全等三角形的性质，结合线段的和差关系进行求解即可；
（2）根据全等三角形的性质，推出，进而得到，即可得证．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）， 理由如下：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴， 即．
【变式训练6-4】(24-25七下·福建泉州第七中学·期末)如图，已知，点E在上，与相交于点F，，．
(1)的度数为________；
(2)求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是：
（1）根据全等三角形的性质求解即可；
（2）根据全等三角形的性质求出的度数，根据三角形内角和定理求出的度数，然后根据角的和差关系求解即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
又，
∴，
又，
∴．
【变式训练6-5】(24-25七下·广东深圳福田区外国语学校·期中)如图，已知，点在边上，与交于点．
(1)若，，求线段的长；
(2)若，，求的度数．
【答案】(1)22
(2)
【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形内角和定理，掌握全等三角形的对应角、对应边相等，是解题的关键．
（1）由全等三角形的对应边相等得出，结合即可求解；
（2）由全等三角形的对应角相等，结合三角形内角和定理，即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【变式训练6-6】(24-25七下·山西晋城高平部分学校·期末)如图，在中，于点D，点E在边上，连接交于点F，．
(1)若，，求的面积；
(2)试判断与之间的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)96
(2)，见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形面积计算，垂线定义理解，熟练掌握全等三角形的性质，是解题的关键．
（1）根据全等三角形的性质得出，求出，根据三角形面积公式求出结果即可；
（2）根据垂线定义得出，根据，得出，求出即可得出答案．
【详解】（1）解：：，
．
又，
．
又，
．
；
（2）解：．
理由：，
，
，
，
，
．
．
．
题型七：全等三角形的性质中动点问题
【例题7】(24-25七下·山东枣庄滕州龙泉实验学校·月考)如图，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在射线上以的速度运动，它们运动的时间为（当点运动结束时，点运动随之结束）．在射线上取点，在运动到某处时，有与全等，求此时的长度．
【答案】的长度为或
【分析】本题主要考查全等三角形的性质，一元一次方程的运用，掌握全等三角形的性质正确列式是关键．
根据题意得到，，则，结合全等三角形的性质分类讨论，并列式求解即可．
【详解】解：点在线段上以的速度由点向点运动，
∴点从的时间为，
∵它们运动的时间为，
∴，，则，
当时，
∴，
∴，
解得，，
∴；
当时，
∴，
∴，
解得，，
∴；
综上所述，的长度为或．
【变式训练7-1】(25-26八上·吉林长春汽开区第四中学·开学考)如图①，在中，，，，，动点从点出发；沿着边运动，回到点停止，速度为；设运动时间为．
(1)当时，用含的代数式表示的长；
(2)当为何值时，的面积等于面积的？
(3)如图②，在中，，，，．在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中，某一时刻恰好与全等，点的运动速度为___________．
【答案】(1)当时，；当时，
(2)或6
(3)或或或
【分析】（1）分两种情况：当时，点P在边上，当时，点P在边上，即可求解；
（2）分两种情况：当点P在边上时，当点P在边上时，即可求解；
（3）根据题意可得点A和点D为对应点，设点Q的运动速度为，然后分类讨论：
若，此时，当点P在边，点Q在边时，；当点Q在边，点P在边时，；若，此时，当点P在边，点Q在边时，；当点Q在边，点P在边时，，结合全等三角形的性质，列出方程，即可求解．
【详解】（1）解：根据题意得：点P到达点C所用的运动时间为，到达点B所用的运动时间为，到达点A所用的运动时间为，
当时，点P在边上，此时；
当时，点P在边上，此时；
综上所述，当时，；当时， ；
（2）解：∵，，，
∴，
如图，当点P在边上时，，
此时，
∵的面积等于面积的，
∴，
解得：；
如图，当点P在边上时，过点C作于点K，，
此时，
∵，
∴，即，
∴，
∵的面积等于面积的，
∴，
解得：；
综上所述，当或6时，的面积等于面积的；
（3）解：∵，
∴点A和点D为对应点，
设点Q的运动速度为，
若，此时，
如图，当点P在边，点Q在边时，，
∴，
∴，
此时，
即点Q的运动速度为；
如图，当点Q在边，点P在边时，，
∴，
∴，
此时，
即点Q的运动速度为；
若，此时，
如图，当点P在边，点Q在边时，，
∴，
∴，
此时，
即点Q的运动速度为；
如图，当点Q在边，点P在边时，，
∴，
∴，
此时，
即点Q的运动速度为；
综上所述，点Q的运动速度为或或或．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质及三角形面积、一元一次方程的几何应用，分类讨论思想，掌握全等三角形的性质及分情况讨论是解题的关键．
【变式训练7-2】如下图，中，，，．点P从点A出发沿路径向终点B运动；点Q从点B出发沿路径向终点A运动．点P和点Q分别以和的速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动．在某一时刻，分别过点P，Q作于点E，于点F．若与全等，则点P运动了多长时间？
【答案】点P运动了或或
【分析】本题主要考查动点与几何图形的变换．根据点的运动规律，设点运动秒时，以为顶点的三角形和以为顶点的三角形全等，分类讨论，①如图1，在上，在上，则，；②如图2，在上，在上，则，；③如图3所示，当都在上时；④当到点停止，在上时，；⑤和都在上的情况；图形结合，根据三角形全等的判定方法即可求解．
【详解】解：设点运动秒时，以为顶点的三角形和以为顶点的三角形全等，分为五种情况：
①如图1，在上，在上，则，，

∵，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，即，
∴；
②如图2，在上，在上，则，，

由①知：，
∴，
∴；
∵此时，
∴此种情况不符合题意；
③当都在上时，如图3，
，
∴；
④当到点停止，在上时，，
∴时，解得；
⑤∵的速度是每秒，的速度是每秒，
∴，，
∵，
∴和都在上的情况不存在；
综上所述，点P运动了或或时，与全等．
【变式训练7-3】(24-25八·四川乐山马边彝族自治县第一初级中学·期末)如图，在中，，，为的中点，点在线段上以的速度由点向点运动．同时，点在线段上以相同速度由点向点运动，一个点到达终点后，另一个点也停止运动．当与全等时，求点运动的时间．
【答案】与全等时，点运动的时间为秒
【分析】本题考查了全等三角形的对应边相等的性质，设点、的运动时间为，表示出、、、，再根据全等三角形对应边相等，分①、是对应边， ②与是对应边两种情况，列方程求解即可.
【详解】解：∵，， 点为的中点，
，
设点、的运动时间为， 则， ，
∴，
①、是对应边时，
∵与全等，，
∴， ，
∴且，解得；
②与是对应边时， ，
∵与全等，
∴，，
∴且，
解得 且(相互矛盾，则舍去) ，
综上所述，与全等时，点运动的时间为秒．
【变式训练7-4】(24-25七下·吉林长春长春力旺实验初级中学·期中)在中，，，，，动点从点出发，以的速度沿着三角形的边运动，回到点停止，设运动时间为．
(1)如图1，当时，___________，当时，___________（用含的式子表示）；
(2)如图1，当___________s时，的周长被线段平分为相等的两部分；
(3)如图1，若的面积等于面积的一半，求的值；
(4)如图3，在中，，，，．如图2，在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边 运动，回到点停止；在两点运动过程中的某一时刻，恰好和可以完全重合，直接写出点的运动速度．
【答案】(1)6，
(2)6
(3)5.5或9.5
(4)或或或
【分析】本题考查三角形中的动点问题，全等三角形的性质，熟练掌握相关知识点，利用数形结合和分类讨论的思想求解，是解题的关键：
（1）根据路程等于速度乘以时间，列出代数式即可；
（2）根据题意，易得，即点的路程等于三角形周长的一半，列出方程进行计算即可；
（3）分点为的中点和点为的中点两种情况，进行求解即可；
（4）分，两种情况，再分点在上和点在上，进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：当时，；
，
当时，此时点在边上，；
故答案为：，；
（2）解：由题意，得：，
∴，
解得：；
故答案为：6；
（3）解：①当点为的中点时，为的中线，则：，
；
②当点为的中点时，为的中线，则：，
；
综上：或；
（4）解：①当，则：，
当点在上时，，解得：，
∴点的速度为：；
当点在上时，则：，
∴点的速度为：；
②当时，则：，
当点在上时，，解得：，
∴点的速度为：；
当点在上时，则：，
∴点的速度为：；
综上：点的速度为或或或．
【变式训练7-5】(24-25八上·江苏常州第二十四中学天宁分校·月考)如图①，在中，，，，，现有一动点从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为秒．
(1)如图①，当时，______cm．
(2)如图①，当______时，的面积等于面积的一半；
(3)如图②，在中，，，，，在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中的某时刻，恰好，求点的运动速度．
【答案】(1)
(2)或；
(3)或
【分析】本题主要考查全等三角形的性质及三角形面积、一元一次方程的几何应用，分类讨论思想，掌握全等三角形的性质及分情况讨论是解题的关键．
（1）当时，点在线段上，则点的运动距离即为的长；
（2）先求出，进而得出，分两种情况讨论：当点在上时，，利用三角形面积公式求解即可；解得：；
当点在上时，过点作于点，此时，先利用等面积法求出，再利用三角形面积公式求解即可；
（3）分两种情况讨论：①当点在上，点在上；②当点在上，点在上，根据全等三角形的性质，得到，，再分别求出点的运动时间，进而求出点的运动速度即可．
【详解】（1）解：由题意可知，当时，点的运动距离为，
，
当时，点在线段上，此时，
故答案为：；
（2）解：在中，，，，，
，
的面积等于面积的一半，
当点在上时，如图，此时，
，
解得：；
当点在上时，如图，过点作于点，此时，
，
，
，
，
，
解得：，
综上可知，当或时，的面积等于面积的一半，
故答案为：或；
（3）解：由题意可知，，，，，
①当点在上，点在上，
，
，，
点的运动时间，
点的运动速度为；
②当点在上，点在上，
，
，，
点的运动时间，
点的运动速度为；
综上可知，点的运动速度为或时，恰好．
题型八：全等三角形的性质与完全平方综合
【例题8】(25-26八上·辽宁丹东第五中学)我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到，基于此，请解答下列问题：
(1)若，求的值；
(2)填空：
①若，则 ；
②若，则 ；
(3)两块全等的特制直角三角板（）如图2所示放置，当A，O，D在同一直线上时，连接．若，求的面积．
【答案】(1)
(2)①11②2
(3)30
【分析】本题考查的是完全平方公式及其变形的应用，全等三角形的性质，熟练的运用完全平方公式的几个变形是解本题的关键．
（1）利用完全平方公式进行计算即可；
（2）利用完全平方公式的变形式进行求解即可；
（3）先证明 三点共线， 可得 结合已知条件可得 再利用 ，求解，从而可得答案．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∴；
（2）解：①∵，，
∴，
∴；
故答案为：11；
②，，
∴
即，
∴；
故答案为：2；
（3）解：三点共线，且
三点共线，
，，
，
；
．
【变式训练8-1】(24-25八上·四川眉山洪雅田锡中学·期末)如图1，将一个边长为的大正方形拆分为边长分别为a，b的两个小正方形，以及两个长方形，通过计算几何图形的面积可以得到一个完全平方的代数恒等式．
(1)【直接应用】①这个完全平方的代数恒等式是_____________；
②如果，，则_______；如果，，则_______；
(2)【类比应用】①若，则______；
②若x满足，则_____；
(3)【知识迁移】两块全等的特制直角三角板（）如图2所示放置，其中A，O，D在一直线上，连结．若，，求一块直角三角板的面积．
【答案】(1)①；②，5
(2)①31，②1010
(3)30
【分析】本题考查的是完全平方公式及其变形的应用，全等三角形的性质，三角形面积的计算，完全平方公式在几何图形中的应用，熟练的运用完全平方公式的几个变形是解本题的关键．
（1）①根据大正方形的面积等于两个小正方形的面积加上两个长方形的面积列出等式即可解答；②利用完全平方公式，再代入已知数据计算即可；
（2）①先求出，根据求出结果即可；②同理①，根据求出结果即可；
（3）先证明 三点共线，，可得 结合已知条件可得，再利用求出，从而可得答案．
【详解】（1）解：①根据题意：；
② ，
若，，
，
；
若，，
，
；
（2）解：① ，，
；
② ，，
；
（3）解：三点共线，且，
，
∴，
∴三点共线，
∴，
，
，
，，
，
，
，
，
，
即一块直角三角板的面积为30．
【变式训练8-2】(23-24八上·四川乐山·期末)【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式，例如图1可以得到，基于此，请解答下列问题：
(1)【直接应用】若，，求的值；
(2)【类比应用】
①若，则______
②若满足，求的值．
(3)【知识迁移】两块全等的特制直角三角板（）如图2所示放置，其中A，，在一直线上，连接，．若，，求一块直角三角板的面积．
【答案】(1)
(2)①3；②1007
(3)一块直角三角板的面积为30
【分析】（1）把，，代入，从而可得答案；
（2）①先求出，根据求出结果即可；
②先求出，再利用完全平方公式变形求值即可；
（3）先证明 三点共线，，可得 结合已知条件可得，再利用求出，从而可得答案．
【详解】（1）解： ，，而，
，
解得：；
（2）①，
∵，
∴
；
故答案为：3；
②，
∵，
∴
．
故答案为：1007．
（3）解：三点共线，且，
，
∴，
∴三点共线，
∴，
，
，
，，
，
，
，
，
，
即一块直角三角板的面积为30．
【点睛】本题考查的是完全平方公式及其变形的应用，全等三角形的性质，三角形面积的计算，完全平方公式在几何图形中的应用，熟练的运用完全平方公式的几个变形是解本题的关键．
【变式训练8-3】(24-25八下·海南三亚·期末)知识生成：我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式，如图1可以得到，等式变形可得，基于此，请解答下列问题：
(1)直接应用：若，直接写出的值为______；
(2)类比应用：若，则_______；（直接写结果）
(3)知识迁移：两个全等的直角三角形，，其中．如图2所示放置，其中，，在一直线上，连接，，若，，设，求四边形的面积的大小．
【答案】(1)3
(2)
(3)28
【分析】本题考查了全等三角形的性质、完全平方公式与图形面积，熟练掌握完全平方公式是解题关键．
（1）根据代入计算即可得；
（2）根据和代入计算即可得；
（3）先根据全等三角形的性质可得，，设，，从而可得，，再根据四边形的面积，利用完全平方公式变形运算即可得．
【详解】（1）解：∵，，
∴
，
故答案为：．
（2）解：∵，，
∴
，
故答案为：．
（3）解：∵，
∴，，
设，，
∵，，
∴，
∵，，
∴，即，
∴四边形的面积
，
所以四边形的面积的大小为．
【变式训练8-4】(24-25七下·江西鹰潭余江区正源学校·月考)为了证明“三角形的内角和是”，综合实践小组给出了如图所示的四种作辅助线的方法．
(1)其中不能证明“三角形的内角和是”的是______（填选项）；
A．如图1，过点C作
B．如图2，作
C．如图3，过上一点D作，
D．如图4，过点C作
(2)请选择可以证明“三角形的内角和为”的一幅图加以证明．
【答案】(1)A
(2)见解析
【分析】本题考查了三角形内角和定理的证明及辅助线的作用，解题的关键是理解不同辅助线构造思路与平行线性质、全等三角形性质的结合，判断能否转化角的关系证明内角和为 ．
（1）分析各选项辅助线作用：选项A作无法建立角之间的转化关系，不能证明；选项B利用全等三角形性质可转化角；选项C通过平行线性质转移角；选项D借助平行线将角转化为平角，故不能证明的是A．
（2）选择合适图形，如选项利用平行线的性质（内错角相等、同位角相等）将三角形三个内角转化为一个平角，进而证明内角和为．
【详解】（1）分析各选项辅助线能否实现角的转化：
选项过点C作此辅助线无法建立三角形内角与其他角的等量关系，不能证明三角形内角和是．
选项作可利用全等三角形对应角相等转化角的关系，能证明．
选项过上一点D作可利用平行线内错角相等转移角，能证明．
选项过点C作可利用平行线内错角相等将内角转化为平角，能证明．
故答案为：A．
（2）选择图2（选项B）证明
已知：，作．
求证：．
证明：延长至E，
∵，
∴．
∵，
∴，
∵，又（全等三角形对应角相等）
∴（等量代换）．
即三角形的内角和是．
选择图3（选项C）证明：
已知：．
求证：．
证明：∵，
∴，
∵，
∴．
选择图4（选项D）进行证明：
已知：．
求证：．
证明：过点C作延长至
∴（两直线平行，内错角相等），
（两直线平行，同位角相等）．
∵（平角的定义），
∴（等量代换）．
即三角形的内角和是．
【变式训练8-5】(24-25七下·广东河源·期末)【操作发现】（1）如图1是一个长为、宽为的长方形，沿图1中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2）．用两种不同方法表示图2中阴影部分面积：方法1：____________，方法2：____________；（用a，b的代数式表示）；观察图2，请你写出，，之间的等量关系是 ；
【灵活应用】（2）运用所得到的公式计算：若，为实数，且，，求的值；
【拓展迁移】（3）将两块全等的特制直角三角板，按如图3所示的方式放置，A，O，D在同一直线上，连接AC，BD．若，，求阴影部分的面积．
【答案】（1）；；
（2）
（3）
【分析】本题主要考查的是完全平方公式及其变形的应用、全等三角形的性质等知识点，熟练地运用完全平方公式的几何变形是解答本题的关键．
（1）图2中阴影部分的面积可以用两种方法得到，先表示阴影部分的边长，再表示面积，二是图2大正方形面积减去图1的面积，然后再化简即可得出三个代数式之间的关系；
（2）利用（1）中关系，整体代入求值即可；
（3）根据两块全等的特制直角三角板可得，进而得到，设，根据已知条件、列方程求得y，进而求得影音部分的面积即可．
【详解】解：（1）图2中，方法1：阴影部分的边长为的正方形，因此面积为，
方法2：从边长为的正方形面积减去图1的面积，即
∴
故答案为：；；；
（2）由（1）可得，
∴，
解得：；
（3）∵两块直角三角板全等，
∴，
∵点A，O、D在同一直线上，点B，O，C也在同一直线上，
∴，
设，
∴，
∵，即
∴
∵，
∴，解得：，
∴,
∴阴影部分的面积为．

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