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5　共点力的平衡
◆ 知识点一　对共点力和平衡状态的理解
1.(多选)关于共点力,下列说法正确的是(　)
A.作用在一个物体上的两个力,如果大小相等,方向相反,那么这两个力是共点力
B.作用在一个物体上的两个力,如果是一对平衡力,那么这两个力是共点力
C.作用在一个物体上的几个力,如果它们的作用点不在同一点上,那么这几个力不可能是共点力
D.作用在一个物体上的几个力,如果它们的作用线可以交于一点,那么这几个力是共点力
2.[2023·吉林长春十一中月考] 如图所示,一只质量为m的萤火虫停在倾角为θ的枝条上,重力加速度为g,则枝条对萤火虫的作用力大小为(　)
A.mgsin θ
B.mgcos θ
C.mgtan θ
D.mg
◆ 知识点二　共点力平衡条件的应用
3.如图所示,一箱苹果静止在斜面上.在箱子的中央有一个苹果A,它受到周围苹果对它的作用力的方向(　)
A.沿斜面向上
B.沿斜面向下
C.竖直向上
D.垂直于斜面向上
4.[2023·河北衡水中学月考] 如图所示,五个共点力的合力为0.现在保持其他力不变,进行如下操作,其中正确的是(　)
A.如果撤去F1,则其余几个力的合力大小为2F1,方向与F1方向相反
B.如果将F5逆时针旋转90°,则合力大小将变为2F5
C.如果将F2减半,则合力大小为
D.如果将F5逆时针旋转180°,则合力大小将变为3F5
◆ 知识点三　正交分解法解决共点力平衡问题
5.(多选) 如图所示,质量为m的物体受到推力F作用,沿水平方向做匀速直线运动.已知推力F与水平面的夹角为θ,物体与地面间的动摩擦因数为μ,重力加速度为g,则物体所受的摩擦力大小为 (　)
A.Fsin θ B.Fcos θ
C.μF D.μ(mg+Fsin θ)
6.如图所示,质量为m的物体在水平力F的作用下沿倾角为α的粗糙斜面向上做匀速直线运动,物体与斜面间的动摩擦因数为μ,重力加速度为g,则水平推力的大小为(　)
A.mg
B.mg
C.mg(sin α+μcos α)
D.mg
7.如图所示,置于水平地面的三脚架上固定着一质量为m的照相机.三脚架的三根轻质支架等长,与竖直方向均成30°角,重力加速度为g,则每根支架承受的压力大小是(　)
A.mg
B.mg
C.mg
D.mg
8.[2023·天津耀华中学月考] 如图所示,在水平天花板的A点处固定一根轻杆a,杆与天花板保持垂直,杆的下端有一个轻滑轮O.一根细线上端固定在该天花板的B点处,细线跨过滑轮O,下端系一个重为G的物体,BO段细线与天花板的夹角θ=30°.系统保持静止,不计一切摩擦.下列说法中正确的是(　)
A.细线BO对天花板的拉力大小是
B.a杆对滑轮的作用力大小是
C.a杆和细线对滑轮的合力大小是G
D.a杆对滑轮的作用力大小是G
9.如图甲、乙为两种形式的吊车的示意图,OA为可绕O点转动的轻杆,轻杆的重力不计,AB为缆绳,当它们吊起相同重物时,杆OA在图甲、乙中的受力分别为Fa、Fb,则下列关系正确的是(　)
A.Fa=Fb B.Fa>Fb
C.Fa10.[2023·浙江绍兴一中月考] 在一水平固定的木板上有一质量为m=10 kg的木块,在F1=50 N的水平拉力作用下木块沿水平方向匀速直线运动(如图甲所示).(sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,g取10 m/s2)
(1)木块与木板之间的动摩擦因数为多少
(2)将木板垫成倾角为θ的斜面,若施加沿水平向右的拉力F2=200 N(如图乙所示),木块沿斜面匀速向上滑行,请作出此时木块的受力示意图并求出倾角θ;
(3)若将木板竖直固定(如图丙所示),现施加与水平方向成37°角的斜向上的推力F3,木块沿竖直木板做匀速直线运动,则推力F3应多大
11.如图甲所示,横截面为直角的斜槽与水平方向的夹角为θ,横截面为正方形的长方体形物体恰好沿斜槽匀速下滑,斜槽横截面MON如图乙所示,过斜槽底部OP的竖直面(图中未画出)与斜槽横截面MON相交处为虚线OO',MO与虚线OO'的夹角也为θ,斜槽两侧面为同种材料,则物体与斜槽间的动摩擦因数为(　)
A.tan θ B.
C. D.cot θ
12.物体的质量为2 kg,两根轻绳AB和AC的一端连接于竖直墙上(B、C在同一竖直线上),另一端系于物体上,在物体上另施加一个与水平方向成θ=60°角的斜向上的拉力F.要使两绳都能伸直,如图所示,伸直时绳AC与墙面垂直,绳AB与绳AC间夹角也为θ=60°,求拉力F大小的取值范围.(g取10 m/s2)5　共点力的平衡
[物理观念] 处于平衡状态时,物体将保持静止或匀速直线运动状态;竖直上抛的篮球运动到最高点时,速度为零,但不是处于静止或匀速直线运动状态,故其在最高点不是处于平衡状态.
例1　C　[解析] 处于平衡状态的物体的运动特点是始终处于静止或匀速直线运动状态,其受力特点是物体所受合力为零,选项C正确,A、B、D错误.
变式1　A　[解析] 物体处于静止或匀速直线运动状态,则物体处于平衡状态.做竖直上抛运动的小球、做自由落体运动的石块、沿斜面加速下滑的木块均做变速运动,只有静止在水平地面上的杯子处于平衡状态,故A正确,B、C、D错误.
例2　(1)0.6mg　(2)0.5
[解析] 对拖把头进行受力分析,如图所示.
(1)根据共点力的平衡条件,水平方向上有F1sin 37°=Ff1
其中F1=mg
解得Ff1=0.6mg.
(2)根据共点力的平衡条件,水平方向上有F2sin 37°=Ff2
竖直方向上有FN2=mg+F2cos 37°
其中F2=2.5mg
又知Ff2=μFN2
联立解得μ=0.5.
例3　
[解析] 对木块受力分析,如图所示.
将水平力F、重力沿斜面和垂直于斜面方向正交分解,由于木块处于平衡状态,根据共点力平衡的条件得
Fcos θ=Ff+mgsin θ
FN=Fsin θ+mgcos θ
又知Ff=μFN
联立解得F=
例4　D　[解析] 对工件进行受力分析,工件处于三力平衡状态,受力分析如图所示,由几何关系可知,F1'=mgcos 30°=mg,F2'=mgsin 30°=mg,由牛顿第三定律可知,F1=mg,F2=mg,故D正确.
变式2　D　[解析] 对扫雷器受力分析,扫雷器受到重力mg、浮力F1、水平冲击力F2及绳子的拉力FT作用,将绳子的拉力沿水平方向和竖直方向分解,根据共点力平衡的条件得FTsin θ=F2,FTcos θ+F1=mg,所以FT=,FT>F2,选项A、B、C错误,D正确.
素养提升
示例1　40 N　20 N
[解析] 对O点进行受力分析,由平衡条件得
FAOsin 30°=mg,
FAOcos 30°=FBO,
联立解得FAO=40 N,FBO=20 N.
示例2　B　[解析] 轻绳b穿过圆环,一端拴连一个物体,可知轻绳b的拉力与物体重力大小相等,根据力的合成法则可知轻绳b两段拉力的合力F与绳a共线,合力F沿两力夹角平分线,将C端上移,则两力夹角变大,可知绳a与竖直方向的夹角变大,故A、D错误;轻绳b倾斜段与F的夹角变大,则绳b的倾斜段与绳a的夹角变小,故B正确;根据力的合成法则可知,两分力的夹角变大,合力变小,故绳a中的张力变小,故C错误.
示例3　(1)　(2)M1g,方向与水平方向成30°角指向右上方　(3)M2g,方向水平向右
[解析] 题图甲和题图乙中的两个物体都处于平衡状态,分别取C点和G点为研究对象,进行受力分析,如图甲和图乙所示.
(1)由题知,图甲中,细绳AC段的张力FTAC=FTCD=M1g,
图乙中,由平衡条件得FTEGsin 30°=M2g,
解得FTEG=2M2g,
所以=.
(2)图甲中,FTAC、FNC、FTCD三个力之间的夹角都为120°.根据平衡条件有FNC=FTAC=M1g,
FNC的方向与水平方向成30°角指向右上方.
(3)图乙中,根据平衡条件有FTEGcos 30°=FNG,
解得FNG=M2g,方向水平向右.
随堂巩固
1.B　[解析] 共点力为作用于同一点的力,或力的作用线相交于一点的力,甲、丙图中三力均为共点力,乙图中三力不是共点力,故B正确.
2.C　[解析] 足球受到重力、拉力和支持力,处于平衡状态,受力如图所示,根据平行四边形定则,悬
绳对足球的拉力FT=,A、B错误;墙壁的支持力FN=Gtan α,根据牛顿第三定律可知,足球对墙壁的压力FN'=Gtan α,C正确,D错误.
3.A　[解析] 设OA、OB、OC、OD与竖直方向夹角为θ,OA、OB、OC、OD绳子拉力均为FT,根据受力分析及几何关系可知4FTcos θ=G,绳子与竖直方向夹角余弦值为cos θ==,联立可得FT=G,故选A.
4.(1)见解析　(2)mgsin θ　mgcos θ　(3)见解析
[解析] (1)木块的受力示意图如图甲所示
(2)如图乙所示
两分力大小分别为F1=mgsin θ,F2=mgcos θ
(3)垂直于斜面方向上,由平衡条件可得,木块受到的支持力大小为FN=F2=mgcos θ
斜面对木块的支持力FN与木块对斜面的压力F'N为相互作用力,大小相等,故FN'=FN=F2,
即木块对斜面的压力等于F2.5　共点力的平衡
学习任务一　对共点力平衡状态的理解
[物理观念] 处于平衡状态的物体的运动特点是什么 如图所示,竖直上抛的篮球运动到最高点时,速度为零,处于平衡状态吗
例1 物体在共点力作用下,下列说法中正确的是(　)
A.物体的速度在某一时刻等于零,物体就一定处于平衡状态
B.物体相对另一物体保持静止时,物体一定处于平衡状态
C.物体所受合力为零,就一定处于平衡状态
D.物体做匀加速直线运动时,物体处于平衡状态
变式1 [2023·山东烟台二中月考] 下列物体处于平衡状态的是(　)
A.静止在水平地面上的杯子
B.做竖直上抛运动的小球
C.做自由落体运动的石块
D.沿斜面加速下滑的木块
【要点总结】
1.物体保持静止或匀速直线运动的状态为平衡状态,平衡状态的特征是物体的速度恒定,即加速度为零.
2.正确区分“静止”和“v=0”:物体处于静止状态时,v=0,a=0,是平衡状态;但当v=0时,物体不一定处于平衡状态,v=0但a≠0不是平衡状态,如上抛物体到达最高点时物体所处状态.
学习任务二　正交分解法解决共点力平衡问题
例2 [2023·湖北武汉二中月考] 如图所示,拖把是生活中常用的清洁工具,由拖杆和拖把头构成.设某拖把头的质量为m,拖杆质量可忽略,假设用该拖把在水平地板上拖地时,拖杆与竖直方向的夹角为37°.已知sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,重力加速度为g.
(1)若沿拖杆方向施加大小为mg的推力推拖把时,拖把头在水平地板上保持静止,此时拖把头与水平地板间的摩擦力为多大
(2)在拖地过程中,若沿拖杆施加大小为2.5mg的推力推拖把,拖把头在水平地板上刚好做匀速直线运动,求拖把头与水平地板间的动摩擦因数.
例3 倾角为θ的斜面上有质量为m 的木块,木块与斜面间的动摩擦因数为μ,重力加速度为g.现用水平力F推木块,如图所示,使木块恰好沿斜面向上做匀速直线运动,斜面始终保持静止,求水平推力F的大小.
【要点总结】
正交分解法中坐标轴方向的选取技巧
(1)研究水平面上的物体时,通常沿水平方向和竖直方向建立坐标轴;
(2)研究斜面上的物体时,通常沿斜面方向和垂直于斜面方向建立坐标轴;
(3)研究在杆或绳的作用下转动的物体时,通常沿杆或绳的方向和垂直于杆或绳的方向建立坐标轴.
学习任务三　共点力平衡条件的应用
[物理观念] (1)共点力平衡的条件是合力为0.
(2)表示为:F合=0;或将各力分解到x轴和y轴上,满足=0,且=0.
①二力平衡:若物体在两个力作用下处于平衡状态,则这两个力一定等大、反向、共线.
②三力平衡:若物体在三个共点力作用下处于平衡状态,则其中任意两个力的合力与第三个力等大、反向、共线.
③多力平衡:若物体在多个共点力作用下处于平衡状态,则其中任意一个力与其余所有力的合力等大、反向、共线.
(3)当物体受三个力平衡,将表示这三个力的有向线段依次首尾相连,则会构成一个矢量三角形,表示合力为0.
例4 [2023·广东执信中学月考] 用卡车运输质量为m的匀质圆筒状工件,为使工件保持固定,将其置于两光滑斜面之间,如图所示.两斜面Ⅰ、Ⅱ固定在车上,倾角分别为30°和60°.重力加速度为g.当卡车沿平直公路匀速行驶时,工件对斜面Ⅰ、Ⅱ的压力大小分别为F1、F2,则 (　)
A.F1=mg,F2=mg
B.F1=mg,F2=mg
C.F1=mg,F2=mg
D.F1=mg,F2=mg
变式2 如图所示为一架直升机在某海域拖曳扫雷器进行扫除水雷演习的模拟图.扫雷器质量为m,由于海水的流动对扫雷器产生水平方向的冲击力,使绳子偏离竖直方向,当直升机相对地面静止时,绳子与竖直方向成θ角.已知扫雷器所受的浮力不能忽略,重力加速度为g.下列说法正确的是(　)
A.绳子的拉力为
B.绳子的拉力一定大于mg
C.扫雷器受到海水的水平方向的作用力大小等于绳子拉力
D.扫雷器受到海水的水平方向的作用力小于绳子的拉力
【要点总结】
1.解决平衡问题的步骤
(1)适当选取研究对象;
(2)对研究对象进行受力分析,并画出物体的受力示意图;
(3)选取适当的方法如合成法、分解法,对物体受到的力进行处理(画出平行四边形);
(4)列平衡方程求解.
2.若物体受三个力作用而处于平衡状态,则任意两个力的合力与第三个力等大、反向.
活结与死结、活杆与死杆问题
类型一　“活结”与“死结”模型
(1)“活结”:一般是由轻绳跨过光滑滑轮或者绳上挂一光滑挂钩而形成的.绳虽然因“活结”而弯曲,但实际上是同一根绳,所以由“活结”分开的两段绳上弹力大小一定相等,两段绳的合力方向一定沿这两段绳夹角的角平分线.
(2)“死结”:两侧的绳因结而变成了两根独立的绳,因此由“死结”分开的两段绳上弹力大小不一定相等.
示例1 [2023·福建三明一中月考] 如图所示,质量为2 kg的重物与一小段绳子连接,该段绳子与绳子AO和绳子BO连接于O点,重物静止.绳子AO与水平方向的夹角为30°,绳子BO水平,重力加速度大小g取10 m/s2,绳子均为理想轻绳,则绳子AO和绳子BO上的拉力大小分别为多少
示例2 [2023·浙江杭州十四中月考] 如图所示,轻绳a的一端固定于竖直墙壁,另一端拴连一个光滑圆环.轻绳b穿过圆环,一端拴连一个物体,用力拉住另一端C将物体吊起,使其处于静止状态.不计圆环受到的重力,现将C端沿竖直方向上移一小段距离,待系统重新静止时(　)
A.绳a与竖直方向的夹角不变
B.绳b的倾斜段与绳a的夹角变小
C.绳a中的张力变大
D.绳b中的张力变小
类型二　“活杆”与“死杆”模型
(1)“活杆”:杆用转轴或铰链连接,当杆处于平衡状态时,杆所受到的弹力方向一定沿着杆,否则会引起杆的转动.如图甲所示,若C为转轴,则轻杆在缓慢转动中,弹力方向始终沿杆的方向.
(2)“死杆”:轻杆被固定而不发生转动,杆所受到的弹力方向不一定沿杆的方向,如图乙所示.水平横梁的一端A插在墙壁内,另一端B装有一个小滑轮,绳的一端C固定于墙壁上,另一端跨过滑轮后悬挂重物.滑轮对绳的作用力应为图丙中两段绳中拉力F1和F2的合力F的反作用力,即AB杆所受到的弹力方向不沿杆的方向.
示例3 如图甲所示,细绳AD跨过固定的水平轻杆BC右端的轻质光滑定滑轮悬挂一质量为M1的物体,∠ACB=30°;如图乙所示,轻杆HG一端用铰链固定在竖直墙壁上,另一端G通过细绳EG拉住,EG与水平方向的夹角为30°,在轻杆的G点用细绳GF悬挂一质量为M2的物体.两图中的物体都处于静止状态,重力加速度为g,求:(1)细绳AC段的张力FTAC与细绳EG的张力FTEG之比;
(2)轻杆BC对C端的弹力;
(3)轻杆HG对G端的弹力.
1.(对共点力的理解)如图所示的三种情况下,日光灯所受的拉力F1、F2及重力G不是共点力的是(　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.甲情况下 B.乙情况下
C.丙情况下 D.甲、乙、丙三种情况下
2.(共点力平衡条件的应用)[2023·宁夏银川一中月考] 在光滑墙壁上用网兜把足球挂在A点,足球与墙壁的接触点为B.若足球所受的重力为G,悬绳与墙壁的夹角为α,网兜的质量不计,则(　)
A.悬绳对足球的拉力大小为Gcos α
B.悬绳对足球的拉力大小为
C.足球对墙壁的压力大小为Gtan α
D.足球对墙壁的压力大小为Gsin α
3.(共点力平衡条件的应用)如图所示,两个长度相同的轻绳在中点处垂直交叉形成一个“绳兜”,重力为G的光滑球静置于“绳兜”中.绳端挂于O点静止,A、B、C、D为每根绳与球面相切点,OA=OB=OC=OD=2R,R为球的半径,则OA绳中的拉力大小为(　)
A.G B.G
C.G D.G
4.(正交分解法解决平衡问题)[2023·吉林长春十一中月考] 如图所示,质量为m的木块静止在倾角为θ的斜面上.
(1)画出木块的受力示意图;
(2)将重力分解,写出其沿斜面的分力F1与垂直于斜面的分力F2的大小;
(3)证明:木块对斜面的压力等于F2.5　共点力的平衡
1.BD　[解析] 大小相等、方向相反的力不一定作用在同一点,如平行而不相交,但一对平衡力必须作用于同一物体且作用在同一直线上,是共点力,选项A错误,B正确;作用在一个物体上的几个力,如果作用在物体的同一点,或者虽不作用在物体的同一点,但力的作用线交于一点,那么这几个力是共点力,选项C错误,D正确.
2.D　[解析] 萤火虫是静止的,所以处于平衡状态,它受到方向竖直向下、大小为mg的重力以及枝条的作用力,说明枝条对它的作用力与重力大小相等、方向相反,所以枝条对萤火虫的作用力大小为mg,方向竖直向上.
3.C　[解析] 苹果A受到重力和周围苹果对它的作用力而处于平衡状态,故周围苹果对它的作用力与它的重力等大反向,即方向竖直向上,C正确.
4.C　[解析] 五个共点力的合力为0,如果撤去F1,则其余几个力的合力大小为F1,方向与F1方向相反,选项A错误;如果将F5逆时针旋转90°,则将其余几个力的合力与旋转后的F5合成,合力大小为F5,选项B错误;如果将F2减半,则将其余几个力的合力与合成,合力大小为,选项C正确;如果将F5逆时针旋转180°,则将其余几个力的合力与旋转后的F5同方向合成,合力大小将变为2F5,选项D错误.
5.BD　[解析] 物体做匀速直线运动,处于平衡状态,物体受力如图所示,由平衡条件可知,在水平方向上有Ff=Fcos θ,在竖直方向上有FN=mg+Fsin θ,则Ff=μFN=μ(mg+Fsin θ),故B、D正确.
6.A　[解析] 物体做匀速直线运动,处于平衡状态,受力分析如图所示,由平衡条件可知,沿斜面方向上有Fcos α-mgsin α-Ff=0,垂直于斜面方向上有FN-mgcos α-Fsin α=0,又知Ff=μFN,联立解得F=mg,选项A正确.
7.B　[解析] 对照相机受力分析,设每根支架对照相机的支持力为FN,由平衡条件可知3FNcos 30°=mg,解得FN=mg,根据牛顿第三定律可知,每根支架承受的压力大小F'N=FN=mg,B正确.
8.D　[解析] 对物体受力分析,受到重力和拉力FT,根据平衡条件得FT=G,同一根细线上拉力处处相等,故细线对天花板的拉力大小也等于G,故A错误;对滑轮受力分析,受到细线的压力(等于两边细线拉力的合力)以及杆的弹力(向右上方的支持力),如图所示,因滑轮两边细线的夹角为120°,由平衡条件可知,a杆对滑轮的作用力大小 F=FT=G,故B错误,D正确;由于滑轮处于平衡状态,故a杆和细线对滑轮的合力大小是零,故C错误.
9.A　[解析] 对题图中的A点受力分析,则由图甲可得Fa=Fa'=2mgcos 30°=mg,由图乙可得tan 30°=,则Fb=Fb'=mg,故Fa=Fb.
10.(1)0.5　(2)如图所示　37°　(3)100 N或500 N
[解析] (1)木块做匀速直线运动,根据平衡条件可得F1=μmg
木块与木板之间的动摩擦因数为μ=0.5
(2)受力分析如图所示,沿斜面方向根据平衡条件可得F2cos θ=mgsin θ+μFN
垂直斜面方向根据平衡条件可得mgcos θ+F2sin θ=FN
可得tan θ=
倾角θ=37°
(3)若木块匀速上滑有F3sin 37°=mg+μF3cos 37°
解得F3=500 N
若木块匀速下滑有mg=F3sin 37°+μF3cos 37°
可得F3=100 N
11.B　[解析] 物体重力沿O'O方向的分力F=mgcos θ,物体对ON截面的压力F1=Fcos θ=mgcos2 θ,对OM截面的压力F2=Fsin θ=mgcos θsin θ,对物体,根据平衡条件得mgsin θ=μ(F1+F2),解得μ=,故B正确.
12. N≤F≤ N
[解析] 对物体受力分析,如图所示,由平衡条件得
Fsin θ+F1sin θ-mg=0
Fcos θ-F2-F1cos θ=0
F用F1表示为F=-F1
F用F2表示为F=+
当F1=0时,F有最大值,Fmax== N
当F2=0时,F有最小值,Fmin== N
故拉力F大小的取值范围为 N≤F≤ N.(共62张PPT)
5 共点力的平衡
◆ 导学案
学习任务一 对共点力平衡状态的理解
学习任务二 正交分解法解决共点力平衡问题
学习任务三共点力平衡条件的应用
素养提升
备用习题
随堂巩固
◆ 练习册
学习任务一 对共点力平衡状态的理解
［物理观念］ 处于平衡状态的物体的运动特点是什么 如图所示，竖直上抛的篮球运动到最高点时，速度为零，处于平衡状态吗
[答案] 处于平衡状态时,物体将保持静止或匀速直线运动状态;竖直上抛的篮球运动到最高点时,速度为零,但不是处于静止或匀速直线运动状态,故其在最高点不是处于平衡状态.
例1 物体在共点力作用下，下列说法中正确的是( )
C
A.物体的速度在某一时刻等于零，物体就一定处于平衡状态
B.物体相对另一物体保持静止时，物体一定处于平衡状态
C.物体所受合力为零，就一定处于平衡状态
D.物体做匀加速直线运动时，物体处于平衡状态
[解析] 处于平衡状态的物体的运动特点是始终处于静止或匀速直线运动状态，其受力特点是物体所受合力为零，选项C正确，A、B、D错误.
变式1 [2023·山东烟台二中月考] 下列物体处于平衡状态的是( )
A
A.静止在水平地面上的杯子 B.做竖直上抛运动的小球
C.做自由落体运动的石块 D.沿斜面加速下滑的木块
[解析] 物体处于静止或匀速直线运动状态，则物体处于平衡状态.做竖直上抛运动的小球、做自由落体运动的石块、沿斜面加速下滑的木块均做变速运动，只有静止在水平地面上的杯子处于平衡状态，故A正确，B、C、D错误.
【要点总结】
1.物体保持静止或匀速直线运动的状态为平衡状态，平衡状态的特征是物体的速度恒定，即加速度为零.
2.正确区分“静止”和“”：物体处于静止状态时，，，是平衡状态；但当时，物体不一定处于平衡状态，但不是平衡状态，如上抛物体到达最高点时物体所处状态.
学习任务二 正交分解法解决共点力平衡问题
例2 [2023·湖北武汉二中月考] 如图所示，拖把是生活中常用的清洁工具，由拖杆和拖把头构成.设某拖把头的质量为，拖杆质量可忽略，假设用该拖把在水平地板上拖地时，拖杆与竖直方向的夹角为 .已知，，重力加速度为.
(1) 若沿拖杆方向施加大小为的推力推拖把时，拖把头在水平地板上保持静止，此时拖把头与水平地板间的摩擦力为多大？
[答案]
[解析] 根据共点力的平衡条件，水平方向上有
其中
解得.
(2) 在拖地过程中，若沿拖杆施加大小为的推力推拖把，拖把头在水平地板上刚好做匀速直线运动，求拖把头与水平地板间的动摩擦因数.
[答案] 0.5
[解析] 对拖把头进行受力分析，如图所示.
根据共点力的平衡条件，水平方向上有
竖直方向上有
其中
又知
联立解得.
例3 倾角为 的斜面上有质量为的木块，木块与斜面间的动摩擦因数为 ，重力加速度为.现用水平力推木块，如图所示，使木块恰好沿斜面向上做匀速直线运动，斜面始终保持静止，求水平推力的大小.
[答案]
[解析] 对木块受力分析，如图所示.
将水平力、重力沿斜面和垂直于斜面方向正交分解，由于木块处于平衡状态，根据共点力平衡的条件得


又知
联立解得【要点总结】
正交分解法中坐标轴方向的选取技巧
(1)研究水平面上的物体时，通常沿水平方向和竖直方向建立坐标轴；
(2)研究斜面上的物体时，通常沿斜面方向和垂直于斜面方向建立坐标轴；
(3)研究在杆或绳的作用下转动的物体时，通常沿杆或绳的方向和垂直于杆或绳的方向建立坐标轴.
学习任务三 共点力平衡条件的应用
［物理观念］(1)共点力平衡的条件是合力为0.
(2)表示为：；或将各力分解到轴和轴上，满足，且.
①二力平衡：若物体在两个力作用下处于平衡状态，则这两个力一定等大、反向、共线.
②三力平衡：若物体在三个共点力作用下处于平衡状态，则其中任意两个力的合力与第三个力等大、反向、共线.
③多力平衡：若物体在多个共点力作用下处于平衡状态，则其中任意一个力与其余所有力的合力等大、反向、共线.
(3)当物体受三个力平衡，将表示这三个力的有向线段依次首尾相连，则会构成一个矢量三角形，表示合力为0.
车沿平直公路匀速行驶时，工件对斜面Ⅰ、Ⅱ的压力大小分别为、，则( )
例4 [2023·广东执信中学月考] 用卡车运输质量为的匀质圆筒状工件，为使工件保持固定，将其置于两光滑斜面之间，如图所示.两斜面Ⅰ、Ⅱ固定在车上，倾角分别为 和 .重力加速度为.当卡
D
A.， B.，
C.， D.，
[解析] 对工件进行受力分析，工件处于三力平衡状态，受力分析如图所示，由几何关系可知，，，由牛顿第三定律可知，，，故D正确.
变式2 如图所示为一架直升机在某海域拖曳扫雷器进行扫除水雷演习的模拟图.扫雷器质量为，由于海水的流动对扫雷器产生水平方向的冲击力，使绳子偏离竖直方向，当直升机相对地面静止时，绳子与竖直方向成 角.已知扫雷器所受的浮力不能忽略，重力加速度为.下列说法正确的是( )
D
A.绳子的拉力为
B.绳子的拉力一定大于
C.扫雷器受到海水的水平方向的作用力大小等于绳子拉力
D.扫雷器受到海水的水平方向的作用力小于绳子的拉力
[解析] 对扫雷器受力分析，扫雷器受到重力、浮力、水平冲击力及绳子的拉力作用，将绳子的拉力沿水平方向和竖直方向分解，根据共点力平衡的条件得，，所以,，选项A、B、C错误，D正确.
【要点总结】
1.解决平衡问题的步骤
(1)适当选取研究对象；
(2)对研究对象进行受力分析，并画出物体的受力示意图；
(3)选取适当的方法如合成法、分解法，对物体受到的力进行处理(画出平行四边形)；
(4)列平衡方程求解.
2.若物体受三个力作用而处于平衡状态，则任意两个力的合力与第三个力等大、反向.
活结与死结、活杆与死杆问题
类型一 “活结”与“死结”模型
(1)“活结”：一般是由轻绳跨过光滑滑轮或者绳上挂一光滑挂钩而形成的．绳虽然因“活结”而弯曲，但实际上是同一根绳，所以由“活结”分开的两段绳上弹力大小一定相等，两段绳的合力方向一定沿这两段绳夹角的角平分线．
(2)“死结”：两侧的绳因结而变成了两根独立的绳，因此由“死结”分开的两段绳上弹力大小不一定相等．
示例1 [2023·福建三明一中月考] 如图所示，质量为的重物与一小段绳子连接，该段绳子与绳子和绳子连接于点，重物静止.绳子与水平方向的夹角为 ，绳子水平，重力加速度大小取，绳子均为理想轻绳，则绳子和绳子上的拉力大小分别为多少
[答案] ;
[解析] 对点进行受力分析，由平衡条件得
，
，
联立解得，.
示例2 [2023·浙江杭州十四中月考] 如图所示，轻绳的一端固定于竖直墙壁，另一端拴连一个光滑圆环.轻绳穿过圆环，一端拴连一个物体，用力拉住另一端将物体吊起，使其处于静止状态.不计圆环受到的重力，现将端沿竖直方向上移一小段距离，待系统重新静止时( )
B
A.绳与竖直方向的夹角不变 B.绳的倾斜段与绳的夹角变小
C.绳中的张力变大 D.绳中的张力变小
[解析] 轻绳穿过圆环，一端拴连一个物体，可知轻绳的拉力与物体重力大小相等，根据力的合成法则可知轻绳两段拉力的合力与绳共线，合力沿两力夹角平分线，将C端上移，则两力夹角变大，可知绳与竖直方向的夹角变大，故A、D错误；
轻绳倾斜段与的夹角变大，则绳的倾斜段与绳的夹角变小，故B正确；
根据力的合成法则可知，两分力的夹角变大，合力变小，故绳中的张力变小，故C错误.
类型二 “活杆”与“死杆”模型
(1)“活杆”：杆用转轴或铰链连接，当杆处于平衡状态时，杆所受到的弹力方向一定沿着杆，否则会引起杆的转动．如图甲所示，若为转轴，则轻杆在缓慢转动中，弹力方向始终沿杆的方向．
(2)“死杆”：轻杆被固定而不发生转动，杆所受到的弹力方向不一定沿杆的方向，如图乙所示.水平横梁的一端插在墙壁内，另一端装有一个小滑轮，绳的一端固定于墙壁上，另一端跨过滑轮后悬挂重物.滑轮对绳的作用力应为图丙中两段绳中拉力和的合力的反作用力，即杆所受到的弹力方向不沿杆的方向．
示例3 如图甲所示，细绳跨过固定的水平轻杆右端的轻质光滑定滑轮悬挂一质量为的物体， ；如图乙所示，轻杆一端用铰链固定在竖直墙壁上，另一端通过细绳拉住，与水平方向的夹角为 ，
在轻杆的点用细绳悬挂一质量为的物体.两图中的物体都处于静止状态，重力加速度为，求：
(1) 细绳段的张力与细绳的张力之比；
[答案]
[解析] 由题知，图甲中，细绳段的张力，
图乙中，由平衡条件得，
解得，
所以.
(2) 轻杆对端的弹力；
[答案] ，方向与水平方向成 角指向右上方
[解析] 图甲中，、、三个力之间的夹角都为 .根据平衡条件有，
的方向与水平方向成 角指向右上方．
(3) 轻杆对端的弹力．
[答案] ，方向水平向右
[解析] 图乙中，根据平衡条件有，
解得，方向水平向右.
[解析] 题图甲和题图乙中的两个物体都处于平衡状态，分别取点和点为研究对象，进行受力分析，如图甲和图乙所示．
甲
乙
1.[2022·湖南卷] 2022年北京冬奥会跳台滑雪空中技巧比赛场地边，有一根系
有飘带的风力指示杆，教练员根据飘带的形态提示运动员现场风力的情况.若
飘带可视为粗细一致的匀质长绳，其所处范围内风速水平向右、大小恒定且不
随高度改变.当飘带稳定时，飘带实际形态最接近的是( )
A
A.&1& B.&2& C.&3& D.&4&
[解析] 由于飘带可视为粗细一致的匀质长绳,设单位长度绳子的质量为 .因所
处范围内风速水平向右、大小恒定且不随高度改变，设单位长度绳子受风力为
.飘带上任意选取一点 ,以 点及 点以下的部分飘带为研究对象，其长度
为 ，其重力为 ，风力为 ，绳子拉力为 ，受力分析如图所
示，重力与风力的合力与水平方向的夹角为 ，则 ，
因为 处处相等，所以当飘带稳定时呈直线状态，选项A正确.
2.[2022·江苏启东中学月考] 如图所示，轻杆 端用光滑
水平铰链装在竖直墙面上， 端用水平绳结在墙 处并
吊一重物 .在水平向右的力缓缓拉起重物 的过程中，
杆 所受的压力( )
D
A.变大 B.变小 C.先变小再变大 D.不变
[解析] 以重物 为研究对象，因为是缓缓拉起，所以 处于平衡状态，根据共
点力平衡条件得 ，对 点分析，竖直方向上有
，联立可得 ，因为 不变，可知 不变，根
据牛顿第三定律可知，杆 所受压力不变，故选项D正确.
3.如图所示，一质量为 的沙袋用不可伸长的轻绳悬挂
在支架上，一练功队员用垂直于绳的力将沙袋缓慢拉起
使绳与竖直方向的夹角为 ，且绳绷紧，重力加
速度为 ，则练功队员对沙袋施加的作用力大小为
( )
A
A. B. C. D.
[解析] 方法一：合成法.对沙袋受力分析如图甲所示，沙袋在三个力作用下处
于平衡，其中任意两个力的合力与第三个力等大、反向，作出力的合成图，由
图中几何关系可得 ,故A正确.
方法二：正交分解法.如图乙所示，建立直角坐标系，对沙袋进行受力分析，由平衡条件得
， ，联立解得 ，
故A正确.
方法三：正交分解法.对沙袋进行受力分析，
由于拉力 与绳垂直，建立如图丙所示的
直角坐标系，由 轴上合力为零得
,故A正确.
4.如图所示，在倾角 的固定斜面上，用一水
平力 推一质量为 的物体，欲使物体沿斜
面做匀速运动，已知物体与斜面间的动摩擦因数
[答案] 或
，求 的大小， ， ， 取
[解析] 若物体沿斜面向上做匀速运动，则受力分析如图甲所示，根据平衡条件
得 又知 解得 .
若物体沿斜面向下做匀速运动，则受力分析如图乙所示，根据平衡条件得
又知
解得 .
1.(对共点力的理解)如图所示的三种情况下，日光灯所受的拉力、及重力不是共点力的是( )
B
A.甲情况下 B.乙情况下
C.丙情况下 D.甲、乙、丙三种情况下
[解析] 共点力为作用于同一点的力，或力的作用线相交于一点的力，甲、丙图中三力均为共点力，乙图中三力不是共点力，故B正确.
2.(共点力平衡条件的应用)[2023·宁夏银川一中月考] 在光滑墙壁上用网兜把足球挂在点，足球与墙壁的接触点为.若足球所受的重力为，悬绳与墙壁的夹角为 ，网兜的质量不计，则( )
C
A.悬绳对足球的拉力大小为 B.悬绳对足球的拉力大小为
C.足球对墙壁的压力大小为 D.足球对墙壁的压力大小为
[解析] 足球受到重力、拉力和支持力，处于平衡状态，受力如图所示，根据平行四边形定则，悬绳对足球的拉力，A、B错误；
墙壁的支持力 ，根据牛顿第三定律可知，足球对墙壁的压力 ，C正确,D错误.
3.(共点力平衡条件的应用)如图所示，两个长度相同的轻绳在中点处垂直交叉形成一个“绳兜”，重力为的光滑球静置于“绳兜”中.绳端挂于点静止，、、、为每根绳与球面相切的点，，为球的半径，则绳中的拉力大小为( )
A
A. B. C. D.
[解析] 设、、、与竖直方向夹角为 ，、、、
绳子拉力均为，根据受力分析及几何关系可知，绳子与竖直方向夹角余弦值为，联立可得，故选A.
4.(正交分解法解决平衡问题)[2023·吉林长春十一中月考] 如图所示，质量为的木块静止在倾角为 的斜面上.
(1) 画出木块的受力示意图；
[答案] 见解析
[解析] 木块的受力示意图如图甲所示
甲
(2) 将重力分解，写出其沿斜面的分力与垂直于斜面的分力的大小；
[答案] ;
[解析] 如图乙所示
两分力大小分别为 ，
乙
(3) 证明：木块对斜面的压力等于.
[答案] 见解析
[解析] 垂直于斜面方向上，由平衡条件可得，木块受到的支持力大小为
斜面对木块的支持力与木块对斜面的压力为相互作用
力，大小相等，故，
即木块对斜面的压力等于.
知识点一 对共点力和平衡状态的理解
1.(多选)关于共点力，下列说法正确的是( )
BD
A.作用在一个物体上的两个力，如果大小相等，方向相反，那么这两个力是共点力
B.作用在一个物体上的两个力，如果是一对平衡力，那么这两个力是共点力
C.作用在一个物体上的几个力，如果它们的作用点不在同一点上，那么这几个力不可能是共点力
D.作用在一个物体上的几个力，如果它们的作用线可以交于一点，那么这几个力是共点力
[解析] 大小相等、方向相反的力不一定作用在同一点，如平行而不相交，但一对平衡力必须作用于同一物体且作用在同一直线上，是共点力，选项A错误，B正确；
作用在一个物体上的几个力，如果作用在物体的同一点，或者虽不作用在物体的同一点，但力的作用线交于一点，那么这几个力是共点力，选项C错误，D正确.
2.[2023·吉林长春十一中月考] 如图所示，一只质量为的萤火虫停在倾角为 的枝条上，重力加速度为，则枝条对萤火虫的作用力大小为( )
D
A. B. C. D.
[解析] 萤火虫是静止的，所以处于平衡状态，它受到方向竖直向下、大小为的重力以及枝条的作用力，说明枝条对它的作用力与重力大小相等、方向相反，所以枝条对萤火虫的作用力大小为，方向竖直向上.
知识点二 共点力平衡条件的应用
3.如图所示，一箱苹果静止在斜面上.在箱子的中央有一个苹果，它受到周围苹果对它的作用力的方向( )
C
A.沿斜面向上 B.沿斜面向下 C.竖直向上 D.垂直于斜面向上
[解析] 苹果A受到重力和周围苹果对它的作用力而处于平衡状态，故周围苹果对它的作用力与它的重力等大反向，即方向竖直向上，C正确.
4.[2023·河北衡水中学月考] 如图所示，五个共点力的合力为0.现在保持其他力不变，进行如下操作，其中正确的是( )
C
A.如果撤去，则其余几个力的合力大小为，方向与方向相反
B.如果将逆时针旋转 ，则合力大小将变为
C.如果将减半，则合力大小为
D.如果将逆时针旋转 ，则合力大小将变为
[解析] 五个共点力的合力为0，如果撤去，则其余几个力的合力大小为，方向与方向相反，选项A错误；
如果将逆时针旋转 ，则将其余几个力的合力与旋转后的合成，合力大小为，选项B错误；
如果将减半，则将其余几个力的合力与合成，合力大小为，选项C正确；
如果将逆时针旋转 ，则将其余几个力的合力与旋转后的同方向合成，合力大小将变为，选项D错误.
知识点三 正交分解法解决共点力平衡问题
5.(多选) 如图所示，质量为的物体受到推力作用，沿水平方向做匀速直线运动.已知推力与水平面的夹角为 ，物体与地面间的动摩擦因数为 ，重力加速度为，则物体所受的摩擦力大小为( )
BD
A. B. C. D.
[解析] 物体做匀速直线运动，处于平衡状态，物体受力如图所示，由平衡条件可知，在水平方向上有 ，在竖直方向上有，则，故B、D正确.
6.如图所示，质量为的物体在水平力的作用下沿倾角为 的粗糙斜面向上做匀速直线运动，物体与斜面间的动摩擦因数为 ，重力加速度为,则水平推力的大小为( )
A
A. B.
C. D.
[解析] 物体做匀速直线运动，处于平衡状态，受力分析如图所示，由平衡条件可知，沿斜面方向上有，垂直于斜面方向上有，又知，联立解得，选项A正确.
7.如图所示，置于水平地面的三脚架上固定着一质量为的照相机.三脚架的三根轻质支架等长，与竖直方向均成 角，重力加速度为，则每根支架承受的压力大小是( )
B
A. B. C. D.
[解析] 对照相机受力分析，设每根支架对照相机的支持力为，由平衡条件可知，解得，根据牛顿第三定律可知，每根支架承受的压力大小，B正确.
8.[2023·天津耀华中学月考] 如图所示，在水平天花板的点处固定一根轻杆，杆与天花板保持垂直，杆的下端有一个轻滑轮.一根细线上端固定在该天花板的点处，细线跨过滑轮，下端系一个重为的物体，段细线与天花板的夹角 .系统保持静止，不计一切摩擦.下列说法中正确的是( )
D
A.细线对天花板的拉力大小是 B.杆对滑轮的作用力大小是
C.杆和细线对滑轮的合力大小是 D.杆对滑轮的作用力大小是
[解析] 对物体受力分析，受到重力和拉力，根据平衡条件得，同一根细线上拉力处处相等，故细线对天花板的拉力大小也等于，故A错误；
对滑轮受力分析，受到细线的压力(等于两边细线拉力的合力)以及杆的弹力(向右上方的支持力)，如图所示，因滑轮两边细线的夹角为 ，由平衡条件可知，杆对滑轮的作用力大小，故B错误，D正确；
由于滑轮处于平衡状态，故杆和细线对滑轮的合力大小是零，故C错误.
9.如图甲、乙为两种形式的吊车的示意图，为可绕点转动的轻杆，轻杆的重力不计，为缆绳，当它们吊起相同重物时，杆在图甲、乙中的受力分别为、，则下列关系正确的是( )
A
A. B. C. D.大小不确定
[解析] 对题图中的A点受力分析，则由图甲可得，由图乙可得，则，故.
10.[2023·浙江绍兴一中月考] 在一水平固定的木板上有一质量为的木块，在的水平拉力作用下木块沿水平方向匀速直线运动(如图甲所示)，，取
(1) 木块与木板之间的动摩擦因数为多少？
[答案] 0.5
[解析] 木块做匀速直线运动，根据平衡条件可得
木块与木板之间的动摩擦因数为
(2) 将木板垫成倾角为 的斜面，若施加沿水平向右的拉力(如图乙所示)，木块沿斜面匀速向上滑行，请作出此时木块的受力示意图并求出倾角 ；
[答案] 如图所示 ;
&1&
[解析] 受力分析如图所示，沿斜面方向根据平衡条件可得
垂直斜面方向根据平衡条件可得
可得
倾角
(3) 若将木板竖直固定(如图丙所示)，现施加与水平方向成 角的斜向上的推力，木块沿竖直木板做匀速直线运动，则推力应多大？
[答案] 或
[解析] 若木块匀速上滑有
解得
若木块匀速下滑有
可得
11.如图甲所示，横截面为直角的斜槽与水平方向的夹角为 ，横截面为正方形的长方体形物体恰好沿斜槽匀速下滑，斜槽横截面如图乙所示，过斜槽底部的竖直面(图中未画出)与斜槽横截面相交处为虚线，与虚线的夹角也为 ，斜槽两侧面为同种材料，则物体与斜槽间的动摩擦因数为( )
B
A. B. C. D.
[解析] 物体重力沿方向的分力 ，物体对截面的压力 ，对截面的压力 ，对物体，根据平衡条件得，解得，故B正确.
12.物体的质量为，两根轻绳和的一端连接于竖直墙上(、在同一竖直线上)，另一端系于物体上，在物体上另施加一个与水平方向成 角的斜向上的拉力.要使两绳都能伸直，如图所示，伸直时绳与墙面垂直，绳与绳间夹角也为 ，求拉力大小的取值范围.取
[答案]
[解析] 对物体受力分析，如图所示，由平衡条件得


F用表示为
F用表示为
当时，有最大值，
当时，有最小值，
故拉力大小的取值范围为.

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