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2　运动的合成与分解
第1课时　运动的合成与分解一般规律
1.A　[解析] 两个分运动相互独立,互不影响,两次的运动时间相等,t1=t2,故选A.
2.A　[解析] 当合速度的方向与合力(合加速度)的方向不在同一条直线上时,物体将做曲线运动,且轨迹夹在速度与合力方向之间,合力的方向指向轨迹的凹侧,而本题蜡烛块竖直向上做匀速直线运动,水平向右做匀加速直线运动,因此蜡烛块将做匀变速曲线运动,合力水平向右,指向凹侧,故符合要求的轨迹是曲线1,A正确.
3.C　[解析] 根据题意可知,两个速度夹角为60°,根据速度合成可知,合速度为v实际=2vcos 30°=v,故选C.
4.B　[解析] 本题易错之处是误认为风的实际速度方向是正南,却不知道人感觉到的风的方向是风对人的速度方向.将风速v沿正东和正南方向分解,分速度分别为v1、v2,则v1=10 m/s,v2=10 m/s,v==10 m/s,方向为东偏南45°,只有选项B正确.
5.C　[解析] 笔尖同时参与了竖直向上的匀速直线运动和水平向右初速度为零的匀加速直线运动,合初速度竖直向上,合加速度水平向右,笔尖相对于黑板的运动即实际运动,由于笔尖的合加速度恒定,所以笔尖做匀变速运动,笔尖的合初速度与合加速度不在同一直线上,所以笔尖的轨迹是曲线,笔尖做匀变速曲线运动,故A、B、D错误,C正确.
6.D　[解析] 由题图可知质点在x轴方向上做匀加速直线运动,在y轴方向做匀速直线运动,合力的方向沿x轴方向,在x轴方向上的初速度为3 m/s,在y轴方向上的速度为-4 m/s,则初速度v0= m/s=5 m/s,初速度方向不沿x轴方向,所以质点做匀变速曲线运动,故A错误,D正确;质点在x轴方向上的加速度为ax=1.5 m/s2,y轴方向上的加速度为零,则合加速度为a=1.5 m/s2,所以合力为F=ma=4×1.5 N=6 N,故B错误;2 s末在x轴方向上的速度为vx=6 m/s,在y轴方向上的速度为vy=-4 m/s,则合速度v= m/s>6 m/s,故C错误.
7.D　[解析] 开始时沿题图x轴的正方向做匀速运动,具有沿x轴正方向的速度,开启P1一段时间,则探测器将沿x轴的正方向加速,关闭P1后开启P2或P4,探测器将在四或一象限做曲线运动,故A、B错误;开启P3一段时间,则探测器将沿x轴的正方向减速,如速度减为0,关闭P3后再开启P2,则探测器将向y轴负方向运动,故C错误;开启P3一段时间,则探测器将沿x轴的正方向减速,如速度减为0,关闭P3后再开启P4,则探测器将向y轴正方向运动,故D正确.
8.A　[解析] 根据运动的合成和分解可知,斜劈垂直于斜边的加速度a1=asin ,设立方体加速度为a2,则立方体垂直于斜边的加速度为a3=a2cos ,又a1=a3,联立可得a2=atan ,故选A.
9.(1)y=　(2)　(3)合运动与分运动具有等效性　合运动与分运动的时间相等
[解析] (1)红蜡块沿水平x轴方向做初速度为零的匀加速直线运动,有
x=at2
沿y轴方向做匀速直线运动,有y=v0t
整理上面两个式子,轨迹方程为y=
(2)沿水平x轴方向做初速度为零的匀加速直线运动,有vx=at
沿y轴方向做匀速直线运动,有vy=v0
整理上面两个式子,得到v==
(3)①运动的合成和分解都遵循平行四边形定则
②合运动与分运动具有等效性
③合运动与分运动的时间相等
10.BCD　[解析] 如图所示,橡皮参与了斜向上方向上的初速度为零的匀加速直线运动和竖直方向上的初速度为零的匀加速直线运动,两个运动的合运动仍然是匀加速直线运动,故A错误,B正确;如图所示,根据速度的合成可知,橡皮的合速度是由v1与v2合成得到的,由于这两个速度大小相等,结合几何知识可知,橡皮的速度方向始终与水平方向成60°角,故C正确;t0时间内,
斜向上的位移大小为x1=a,而竖直方向的位移大小也为x1=a,因此由矢量的合成法则可知,橡皮距离出发点的距离为a,故D正确.
11.(1)质点在x轴方向上做匀加速直线运动,y轴方向上做匀速直线运动　(2)(5 m,5 m)　(3)y2+20y-25x=0
[解析] (1)质点在x轴方向上做匀加速直线运动,y轴方向上做匀速直线运动;
(2)加速度为a= m/s2=2 m/s2
横坐标为x=v0t+at2=4×1 m+×2×12 m=5 m
纵坐标为y=5 m
该质点的位置坐标为(5 m,5 m);
(3)在x轴方向有x=v0t+at2
根据图像得v0=4 m/s
解得x=4t+t2
在y轴方向有y=t=5t
该质点运动的轨迹方程为y2+20y-25x=02　运动的合成与分解
第1课时　运动的合成与分解一般规律建议用时:40分钟
◆ 知识点一　探究运动的合成与分解的过程
1.[2023·江苏苏州中学月考] 竖直放置的两端封闭的玻璃管中注满清水,内有一个红蜡块能在水中匀速上浮.如图所示,当红蜡块从玻璃管的下端匀速上浮的同时,第一次使玻璃管水平向右匀速运动,测得红蜡块运动到顶端所需时间为t1;第二次使玻璃管水平向右加速运动, 测得红蜡块从下端运动到顶端所需时间为t2,则 (　)
A.t1=t2
B.t1>t2
C.t1D.无法比较t1与t2的大小
2.如图所示,蜡烛块可以在直玻璃管内的水中匀速上升,若在蜡烛块从A点开始匀速上升的同时,玻璃管水平向右做匀加速直线运动,蜡烛块最终到达C点,蜡烛块从A点到C点的运动轨迹可能是图中的 (　)
A.曲线1
B.曲线2
C.直线3
D.曲线4
◆ 知识点二　运动的合成与分解应用
3.[2024·广东深圳中学月考] 如图为自动控制货品运动的智能传送带,其奥秘在于面板上蜂窝状的小正六边形部件,每个部件上有三个导向轮A、B、C,在单个方向轮子的作用下,货品可获得与导向轮同向的速度v,若此时仅控制A、C两个方向的轮子同时按图示箭头方向等速转动,则货品获得的速度大小为 (　)
A.v B.v
C.v D.2v
4.某人骑自行车以10 m/s的速度在大风中向正东方向行驶,他感到风正以相当于车的速度从正北方向吹来,风的实际速度是 (　)
A.10 m/s,方向为正南
B.10 m/s,方向为东偏南45°
C.10 m/s,方向为正北
D.10 m/s,方向为南偏西45°
◆ 知识点三　合运动性质的判断
5.[2023·吉林一中月考] 如图所示,某同学在研究运动的合成与分解时做了下述活动:用左手沿黑板推动直尺竖直向上运动,运动中保持直尺水平,同时,用右手沿直尺向右移动笔尖.若该同学左手的运动为匀速直线运动,右手的运动为初速度为零的匀加速直线运动,则关于笔尖相对于黑板的运动,下列说法中正确的是 (　)
A.笔尖做匀速直线运动
B.笔尖做匀变速直线运动
C.笔尖做匀变速曲线运动
D.笔尖的运动轨迹是一条斜向上的直线
6.有一个质量为4 kg的质点在xOy平面内运动,在x方向的速度图像和y方向的位移图像分别如图甲、乙所示.下列说法正确的是 (　)
A.质点做匀变速直线运动
B.质点所受的合外力为22 N
C.2 s时质点的速度为6 m/s
D.零时刻质点的速度为5 m/s
7.一空间探测器,如图所示,装有四台喷气发动机P1、P2、P3、P4;开始时沿如图x轴的正方向做匀速运动,现要使探测器变为沿y轴正方向运动可采取的措施是 (　)
A.开启P1一段时间后关闭,再开启P2
B.开启P1一段时间后关闭,再开启P4
C.开启P3一段时间后关闭,再开启P2
D.开启P3一段时间后关闭,再开启P4
8.[2023·江苏连云港期末] 如图所示,两个相同的光滑立方体放在水平面上,在它们之间再放一个顶角为θ的尖劈,已知尖劈的加速度为a,则立方体的加速度为 (　)
A.atan
B.atan θ
C.
D.
9.[2023·浙江学军中学月考] 如图所示,在注满清水的竖直密封玻璃管中,红蜡块R正以较小的速度v0沿y轴匀速上浮,与此同时玻璃管沿水平x轴正方向做加速度为a的匀加速直线运动.从红蜡块通过坐标原点O开始计时(此时的水平x轴方向的初速度为零),直至红蜡块运动到玻璃管顶端为止.在此过程中:
(1)求红蜡块的轨迹方程.
(2)求红蜡块在某时刻t运动的速度.
(3)在这个实例中,我们看到红蜡块向右上方的运动(称为合运动)可以看成由沿玻璃管向上的运动(称为分运动)和水平向右的运动(称为分运动)共同构成.请列举出一些关于“合运动与分运动”的特点(至少说出两条).
10.(多选)如图所示,一块橡皮用细线悬挂于O点,用一竖直挡板靠着线的左侧,在t=0时刻挡板上边缘沿与水平方向成θ=30°角的斜面向右上方做初速度为零、加速度为a的匀加速运动,运动中始终保持挡板竖直,则在运动过程中,下列说法正确的是 (　)
A.橡皮做加速度增加的加速直线运动
B.橡皮做匀加速直线运动
C.橡皮的速度方向始终与水平方向成60°角
D.在t=t0时刻,橡皮距离出发点的距离为a
11.[2023·浙江学军中学月考] 某质点在xOy平面上运动时,质点位于坐标原点上,它在x轴方向运动的速度—时间图像如图甲所示,它在y轴方向的位移—时间图像如图乙所示.
(1)分析图甲、乙,说明该质点在x轴方向和y轴方向上的运动性质;
(2)求t=1 s时该质点的位置坐标;
(3)写出该质点运动的轨迹方程.2　运动的合成与分解
第1课时　运动的合成与分解一般规律
[教材链接] (1)水平向右　竖直向上　(2)vxt　vyt
(3)x　过原点的直线　(4)①　②
例1　B　[解析] 合初速度的方向竖直向上,合加速度的方向水平向右,两者不在同一条直线上,小蜡块必然做曲线运动,根据轨迹每点的切线方向表示速度的方向,轨迹的弯曲方向大致与合加速度方向一致,即合加速度方向指向轨迹的凹侧,故选B.
[教材链接] (1)运动的合成　运动的分解　速度　位移
(2)矢量运算法则
例2　C　[解析] 设蜡块沿玻璃管匀速上升的速度为v1,位移为x1,玻璃管水平向右移动的速度为v2,位移为x2,如图所示,v2== m/s≈0.173 m/s.蜡块沿玻璃管匀速上升的时间t== s=10 s,由于各分运动具有等时性,故玻璃管水平移动的时间为10 s,水平运动的距离x2=v2t=0.173×10 m=1.73 m,故选项C正确.
变式1　A　[解析] 甲的运动示意图如图所示,自动扶梯前进的速度是0.60 m/s,则甲上楼速度大小为0.6 m/s;分解在竖直方向上的速度为v甲y=v甲sin 30°=0.60× m/s=0.3 m/s,乙在竖直方向的速度v乙y= m/s=0.3 m/s,由于甲、乙在竖直方向速度相等,故甲、乙上楼的时间一定相等,因为不知道乙水平方向的速度大小,故无法确定甲、乙上楼的速度大小是否相同,故A项正确,B、D项错误;因为步行楼梯和自动扶梯与水平面夹角不一定相同,故甲、乙上楼的位移大小不一定相同,故C项错误.
例3　BD　[解析] 两个直线运动的合运动不一定是直线运动,若合加速度与合速度不共线,则合运动是曲线运动,A错误;两个不在同一直线上的匀速直线运动的合运动一定是匀速直线运动,因为合力等于零,B正确;两个互成角度的匀变速直线运动的合运动轨迹不一定是直线,如果合力的方向与合速度的方向不在同一条直线上,物体做曲线运动,C错误;根据运动的等时性,两个分运动的时间和它们合运动的时间相等,D正确.
变式2　D　[解析] 由轨迹方程可知在Oy方向的速度是Ox方向上的二倍,所以两个方向如果做匀速直线运动,有vy=2vx,故A错误;如果在Ox方向上做初速度为零、加速度为2 m/s2的匀加速运动,在Oy方向上做2 m/s的匀速运动,速度不能保持始终是二倍的关系,故B错误;如果在Ox方向上做1 m/s的匀速运动,在Oy方向上做初速度为零、加速度为2 m/s2的匀加速运动,两个方向上的速度不能保持始终是二倍的关系,故C错误;如果在Ox方向上做初速度为零、加速度为1 m/s2的匀加速运动,在Oy方向上做初速度为零、加速度为2 m/s2的匀加速运动,则vx=axt=t,vy=ayt=2t,则有vy=2vx,故D正确.
变式3　D　[解析] 由图像可知,在t1时刻,无人机在竖直方向上做匀加速直线运动,则竖直方向上无人机有向上的加速度,处于超重状态,故A错误;由图像可知,在0~t2这段时间内,无人机在竖直方向上做匀加速直线运动,而在水平方向上做匀减速直线运动,可知其合加速度与合初速度不共线,所以无人机做曲线运动,故B错误;无人机在竖直方向上先向上做匀加速直线运动,后向上做匀减速直线运动,因此在t2时刻没有上升至最高点,故C错误;在t2~t3时间内,无人机在水平方向上做匀速直线运动,在竖直方向上做匀减速直线运动,因此合运动为匀变速运动,故D正确.
随堂巩固
1.B　[解析] 两个直线运动的合初速度与合加速度共线时合运动是直线运动,合初速度与合加速度不共线时合运动是曲线运动,选项A错误;两个分运动都是匀速直线运动,代表其受力平衡,即合外力为零,因此两个不在同一直线上的匀速直线运动的合运动一定是匀速直线运动,选项B正确;两个初速度不为零的匀加速直线运动,若合初速度与合加速度不共线,则合运动是匀加速曲线运动,选项C错误;一个匀加速直线运动和一个匀速直线运动的合运动,若合初速度与合加速度不共线,则合运动是匀加速曲线运动,选项D错误.
2.D　[解析] 货物在竖直方向上以3 m/s的速度匀速向上运动,处于平衡状态,故绳索的拉力大小等于货物的重力,A错误;货物在水平方向上和竖直方向上均做匀速直线运动,故相对地面的合运动也是匀速直线运动,B错误;货物对地合运动的速度大小为v= m/s=5 m/s,C错误,D正确.
3.B　[解析] 根据图像可知质点在y轴方向做初速度为0的匀加速直线运动,在x轴方向做匀速直线运动,则质点合初速度沿x轴方向,合加速度沿y轴方向,不在一条直线上,故质点做匀变速曲线运动,A错误;0~4 s内质点沿x轴的分位移x=v0t=16 m,质点沿y轴的位移y=×4 m=8 m,则该质点在0~4 s内的位移大小为x0==8 m,B正确;根据速度的合成,该质点在4 s末的速度大小v= m/s=4 m/s,C错误;根据牛顿第二定律,该质点所受合外力大小为F=ma=m=0.1× N=0.1 N,D错误.2　运动的合成与分解
第1课时　运动的合成与分解一般规律
学习任务一　运动描述的实例——探究合运动与分运动
[教材链接] 阅读教材,完成下列填空:
(1)建立直角坐标系
如图所示,以运动开始时蜡块的位置为原点,　　　　的方向和　　　　的方向分别为x轴和y轴的方向.
(2)蜡块沿玻璃管匀速上升的速度设为vy,玻璃管向右匀速移动的速度设为vx.从蜡块开始运动的时刻计时,在t时刻,蜡块的位置P可以用它的x、y两个坐标表示:x=　　　　,y=　　　　.
(3)蜡块的运动轨迹
由以上两式可得:y=　　　　.因为vy、vx都是常量,所以蜡块的运动轨迹是一条　　　　　　　　.
(4)蜡块运动的速度
①蜡块运动的速度大小v=　　　　.
②蜡块运动的速度方向与x轴正方向夹角为θ,则tan θ=　　　　.
例1 [2023·江苏无锡期中] 如图甲所示是演示小蜡块在玻璃管中运动规律的装置.现让玻璃管沿水平方向做初速度为零的匀加速直线运动, 同时小蜡块从O点开始沿竖直玻璃管向上做匀速直线运动,那么图乙中能够大致反映小蜡块运动轨迹的是(　)
甲
乙
[反思感悟]


【要点总结】
1.在教材实验中,蜡块同时参与了两个运动——在竖直方向上蜡块沿玻璃管向上运动,在水平方向上蜡块随着玻璃管向右运动,这两个运动都叫作分运动,而蜡块的实际运动,即相对于黑板向右上方的运动,被称为合运动.
2.对合运动与分运动关系的理解
同一性 分运动与合运动对应同一物体
独立性 一个物体同时参与两个(或多个)分运动,分运动之间互不影响
等时性 分运动总是同时开始,同时结束
等效性 各分运动叠加起来与合运动有相同的效果,可以相互替代
学习任务二　运动的合成与分解
[教材链接] 阅读教材,完成下列填空:
(1)由分运动求合运动的过程叫　　　　　,由合运动求分运动的过程叫　　　　　　　.运动的合成与分解包括　　　　的合成与分解和　　　　的合成与分解.
(2)运动的合成与分解应遵从　.
例2 [2023·江苏苏州中学月考] 竖直放置的两端封闭的玻璃管中注满清水,内有一个蜡块能在水中以0.1 m/s的速度匀速上浮.在蜡块从玻璃管的底端匀速上浮的同时,使玻璃管沿水平方向匀速向右运动,测得蜡块实际运动方向与水平方向成30°角,如图所示.若玻璃管的长度为1.0 m,则在蜡块从玻璃管底端上升到顶端的过程中,玻璃管沿水平方向移动的速度大小和水平运动的距离分别为(　)
A.0.1 m/s和1.73 m
B.0.173 m/s和1.0 m
C.0.173 m/s和1.73 m
D.0.1 m/s和1.0 m
[反思感悟]

变式1 (教材改编)某商场设有步行楼梯和自动扶梯.步行楼梯每级的高度是0.15 m,自动扶梯与水平面的夹角为30°,自动扶梯前进的速度是0.60 m/s.甲、乙两位顾客,分别从自动扶梯和步行楼梯的起点同时上楼,甲在自动扶梯上站立不动,乙在步行楼梯上以每秒上两个台阶的速度匀速上楼.则 (　)
A.甲、乙上楼的时间一定相等
B.甲、乙上楼的速度大小一定相同
C.甲、乙上楼的位移大小一定相同
D.甲上楼速度大小为0.3 m/s
学习任务三　合运动性质的判断
[科学思维] 分析两个互成角度的直线运动的合运动的性质时,应先求出合运动的合速度v和合力F(合加速度a),然后进行判断.
例3 (多选)[2023·山东聊城期中] 关于两个运动的合运动,下列说法中正确的是 (　)
A.两个直线运动的合运动一定是直线运动
B.两个不在同一直线上的匀速直线运动的合运动一定是匀速直线运动
C.两个互成角度的匀变速直线运动的合运动一定是匀变速直线运动
D.两个分运动的时间和它们合运动的时间相等
[反思感悟]

变式2 [2023·北京西城区期中] 质点在xOy平面内从O点开始运动,其轨迹在xOy平面直角坐标系中的方程为y=2x,则质点可能 (　)
A.在Ox方向上做2 m/s的匀速运动,在Oy方向做1 m/s的匀速运动
B.在Ox方向上做初速度为零、加速度为2 m/s2的匀加速运动,在Oy方向做2 m/s的匀速运动
C.在Ox方向上做1 m/s的匀速运动,在Oy方向做初速度为零、加速度为2 m/s2的匀加速运动
D.在Ox方向上做初速度为零、加速度为1 m/s2的匀加速运动,在Oy方向做初速度为零、加速度为2 m/s2的匀加速运动
[反思感悟]


变式3 如图甲所示的某台无人机上升、向前追踪拍摄的飞行过程中竖直方向上的速度vy及水平方向上的速度vx与飞行时间t的关系图像如图乙和丙所示.下列说法正确的是 (　)
甲
乙
丙
A.无人机在t1时刻处于失重状态
B.无人机在0~t2这段时间内沿直线飞行
C.无人机在t2时刻上升至最高点
D.无人机在t2~t3时间内做匀变速运动
[反思感悟]


【要点总结】
几种常见的运动合成情况
两个互成角度 (0<θ<180°)的分运动 合运动的性质
两个匀速直线运动 匀速直线运动
一个匀速直线运动、一个匀变速直线运动 匀变速曲线运动
两个初速度为零的匀加速直线运动 匀加速直线运动
两个初速度不为零的匀变速直线运动 若v合与a合共线,则为匀变速直线运动
若v合与a合不共线,则为匀变速曲线运动
1.(对运动的合成与分解的理解)有关运动的合成,下列说法中正确的是 (　)
A.两个直线运动的合运动一定是直线运动
B.两个不在同一直线上的匀速直线运动的合运动一定是匀速直线运动
C.两个初速度不为零的匀加速直线运动的合运动一定是匀加速直线运动
D.一个匀加速直线运动和一个匀速直线运动的合运动一定是匀加速直线运动
2.(运动的合成)[2023·广东深圳一中月考] 如图所示, 飞机与货物以4 m/s的速度水平匀速飞行,同时以3 m/s的速度匀速收拢绳索将货物接到飞机里,绳索始终竖直,该过程中 (　)
A.绳索的拉力大于货物的重力
B.货物相对地面做曲线运动
C.货物的速度大小为7 m/s
D.货物的速度大小为5 m/s
3.(两个直线运动的合成)[2023·南京师大附中月考] 某质量m=0.1 kg的质点在x轴正方向做速度v0=4 m/s的匀速直线运动,在y轴方向的速度—时间关系如图所示, 则下列说法正确的是 (　)
A.该质点做匀变速直线运动
B.该质点在0~4 s内的位移大小为8 m
C.该质点在4 s末的速度大小为4 m/s
D.该质点所受合外力恒为0.2 N(共47张PPT)
2 运动的合成与分解
第1课时 运动的合成与分解一般规律
学习任务一 运动描述的实例——探究合运动与分运动
学习任务二 运动的合成与分解
学习任务三 合运动性质的判断
随堂巩固
练习册
◆
备用习题
学习任务一 运动描述的实例——探究合运动与分运动
［教材链接］ 阅读教材，完成下列填空：
(1) 建立直角坐标系
如图所示,以运动开始时蜡块的位置为原点,__________的方向和__________的方向分别为轴和轴的方向.
水平向右
竖直向上
(2) 蜡块沿玻璃管匀速上升的速度设为,玻璃管向右匀速移动的速度设为.从蜡块开始运动的时刻计时,在时刻,蜡块的位置可以用它的、两个坐标表示:____,____.
(3) 蜡块的运动轨迹
由以上两式可得:_____.因为、都是常量,所以蜡块的运动轨迹是一条______________.
过原点的直线
(4) 蜡块运动的速度
① 蜡块运动的速度大小_ _________.
② 蜡块运动的速度方向与轴正方向夹角为 ，则___.
甲
例1 [2023·江苏无锡期中] 如图甲所示是演示小蜡块在玻璃管中运动规律的装置.现让玻璃管沿水平方向做初速度为零的匀加速直线运动，同时小蜡块从点开始沿竖直玻璃管向上做匀速直线运动，那么图乙中能够大致反映小蜡块运动轨迹的是( )
B
A.&1& B.&2& C.&3& D.&4&
[解析] 合初速度的方向竖直向上，合加速度的方向水平向右，两者不在同一条直线上，小蜡块必然做曲线运动，根据轨迹每点的切线方向表示速度的方向，轨迹的弯曲方向大致与合加速度方向一致，即合加速度方向指向轨迹的凹侧，故选B.
【要点总结】
1.在教材实验中,蜡块同时参与了两个运动——在竖直方向上蜡块沿玻璃管向上运动,在水平方向上蜡块随着玻璃管向右运动,这两个运动都叫作分运动，而蜡块的实际运动,即相对于黑板向右上方的运动,被称为合运动.
2.对合运动与分运动关系的理解
同一性 分运动与合运动对应同一物体
独立性 一个物体同时参与两个(或多个)分运动,分运动之间互不影响
等时性 分运动总是同时开始,同时结束
等效性 各分运动叠加起来与合运动有相同的效果,可以相互替代
学习任务二 运动的合成与分解
［教材链接］ 阅读教材，完成下列填空：
(1) 由分运动求合运动的过程叫____________，由合运动求分运动的过程叫____________.运动的合成与分解包括______的合成与分解和______的合成与分解.
(2) 运动的合成与分解应遵从______________.
运动的合成
运动的分解
速度
位移
矢量运算法则
例2 [2023·江苏苏州中学月考] 竖直放置的两端封闭的玻璃管中注满清水,内有一个蜡块能在水中以的速度匀速上浮.在蜡块从玻璃管的底端匀速上浮的同时,使玻璃管沿水平方向匀速向右运动,测得蜡块实际运动方向与水平方向成 角,如图所示.若玻璃管的长度为,则在蜡块从玻璃管底端上升到顶端的过程中,玻璃管沿水平方向移动的速度大小和水平运动的距离分别为( )
C
A.和 B.和
C.和 D.和
[解析] 设蜡块沿玻璃管匀速上升的速度为，位移为，玻璃管水平向右移动的速度为，位移为，如图所示，.蜡块沿玻璃管匀速上升的时间，由于各分运动具有等时性，故玻璃管水平移动的时间为，水平运动的距离，故选项C正确.
变式1 [教材改编] 某商场设有步行楼梯和自动扶梯.步行楼梯每级的高度是，自动扶梯与水平面的夹角为 ，自动扶梯前进的速度是.甲、乙两位顾客，分别从自动扶梯和步行楼梯的起点同时上楼，甲在自动扶梯上站立不动，乙在步行楼梯上以每秒上两个台阶的速度匀速上楼.则( )
A
A.甲、乙上楼的时间一定相等 B.甲、乙上楼的速度大小一定相同
C.甲、乙上楼的位移大小一定相同 D.甲上楼速度大小为
[解析] 甲的运动示意图如图所示，自动扶梯前进的速度是，则甲上楼速度大小为；分解在竖直方向上的速度为，乙在竖直方向的速度，由于甲、乙在竖直方向速度相等，故甲、乙上楼的时间一定相等，因为不知道乙水平方向的速度大小，故无法确定甲、乙上楼的速度大小是否相同，故A项正确，B、D项错误；因为步行楼梯和自动扶梯与水平面夹角不一定相同，故甲、乙上楼的位移大小不一定相同，故C项错误.
学习任务三 合运动性质的判断
［科学思维］ 分析两个互成角度的直线运动的合运动的性质时,应先求出合运动的合速度和合力(合加速度),然后进行判断.
例3 (多选)[2023·山东聊城期中] 关于两个运动的合运动，下列说法中正确的是( )
BD
A.两个直线运动的合运动一定是直线运动
B.两个不在同一直线上的匀速直线运动的合运动一定是匀速直线运动
C.两个互成角度的匀变速直线运动的合运动一定是匀变速直线运动
D.两个分运动的时间和它们合运动的时间相等
[解析] 两个直线运动的合运动不一定是直线运动，若合加速度与合速度不共线，则合运动是曲线运动，A错误；两个不在同一直线上的匀速直线运动的合运动一定是匀速直线运动，因为合力等于零，B正确；两个互成角度的匀变速直线运动的合运动轨迹不一定是直线，如果合力的方向与合速度的方向不在同一条直线上，物体做曲线运动，C错误；根据运动的等时性，两个分运动的时间和它们合运动的时间相等，D正确.
变式2 [2023·北京西城区期中] 质点在平面内从点开始运动，其轨迹在平面直角坐标系中的方程为，则质点可能( )
D
A.在方向上做的匀速运动，在方向做的匀速运动
B.在方向上做初速度为零、加速度为的匀加速运动，在方向做的匀速运动
C.在方向上做的匀速运动，在方向做初速度为零、加速度为的匀加速运动
D.在方向上做初速度为零、加速度为的匀加速运动，在方向做初速度为零、加速度为的匀加速运动
[解析] 由轨迹方程可知在方向的速度是方向上的二倍，所以两个方向如果做匀速直线运动，有，故A错误；如果在方向上做初速度为零、加速度为的匀加速运动，在方向上做的匀速运动，速度不能保持始终是二倍的关系，故B错误；如果在方向上做的匀速运动，在方向上做初速度为零、加速度为的匀加速运动，两个方向上的速度不能保持始终是二倍的关系，故C错误；如果在方向上做初速度为零、加速度为的匀加速运动，在方向上做初速度为零、加速度为的匀加速运动，则，，则有，故D正确.
变式3 如图甲所示的某台无人机上升、向前追踪拍摄的飞行过程中竖直方向上的速度及水平方向上的速度与飞行时间的关系图像如图乙和丙所示.下列说法正确的是( )
D
甲
乙
丙
A.无人机在时刻处于失重状态 B.无人机在这段时间内沿直线飞行
C.无人机在时刻上升至最高点 D.无人机在时间内做匀变速运动
[解析] 由图像可知，在时刻，无人机在竖直方向上做匀加速直线运动，则竖直方向上无人机有向上的加速度，处于超重状态，故A错误；由图像可知，在这段时间内，无人机在竖直方向上做匀加速直线运动，而在水平方向上做匀减速直线运动，可知其合加速度与合初速度不共线，所以无人机做曲线运动，故B错误；无人机在竖直方向上先向上做匀加速直线运动，后向上做匀减速直线运动，因此在时刻没有上升至最高点，故C错误；在时间内，无人机在水平方向上做匀速直线运动，在竖直方向上做匀减速直线运动，因此合运动为匀变速运动，故D正确.
【要点总结】
几种常见的运动合成情况
两个互成角度的分运动 合运动的性质
两个匀速直线运动 匀速直线运动
一个匀速直线运动、一个匀变速直线运动 匀变速曲线运动
两个初速度为零的匀加速直线运动 匀加速直线运动
两个初速度不为零的匀变速直线运动 若与共线,则为匀变速直线运动
若与不共线,则为匀变速曲线运动
备 用 习 题
1. 某一物体在相互垂直的x方向和y方向运动的v-t图像分别如图甲、乙所示.关于物体在0~2 s的运动情况,以下判断正确的是 (　 　)
A.0~1 s内一定做匀变速直线运动,1~2 s内一定做匀变速直线运动
B.0~1 s内一定做匀变速直线运动,1~2 s内可能做匀变速曲线运动
C.0~1 s内一定做匀变速曲线运动,1~2 s内可能做匀变速直线运动
D.0~1 s内一定做匀变速曲线运动,1~2 s内一定做匀变速曲线运动
C
备 用 习 题
[解析]在0~1 s内,x方向为匀速运动,y方向为匀加速运动,则合运动为匀变速曲线运动,故A、B错误;由于1~2 s内x、y两方向初速度的大小未知,无法判断速度方向与加速度方向是否在一条直线上,故可能做匀变速直线运动,也可能做匀变速曲线运动,故C正确,D错误.
备 用 习 题
2. (多选)在某玻璃自动切割生产线上,宽6 m的成型玻璃板以2 m/s的速度匀速向前运动,在切割工序处,金刚钻的割刀速度为4 m/s.为了使割下的玻璃都成规定尺寸的矩形,则下列说法正确的是 (　　)
A.金刚钻的割刀速度与玻璃板的运动方向成60°角
B.金刚钻的割刀速度与玻璃板的运动方向成30°角
C.切割一次的时间为3 s
D.切割一次的时间为3 s
BC
备 用 习 题
[解析为使割线垂直于玻璃两边,就要求割刀速度v2在沿玻璃板的运动速度v1方向的分量等于v1,这样割刀就在v1方向上与玻璃同步了,如图所示,由几何关系可知cos α=,解得α=30°,故A错误,B正确;切割一次的时间为t= s=3 s,故C正确,D错误.
1.(对运动的合成与分解的理解)有关运动的合成，下列说法中正确的是( )
B
A.两个直线运动的合运动一定是直线运动
B.两个不在同一直线上的匀速直线运动的合运动一定是匀速直线运动
C.两个初速度不为零的匀加速直线运动的合运动一定是匀加速直线运动
D.一个匀加速直线运动和一个匀速直线运动的合运动一定是匀加速直线运动
[解析] 两个直线运动的合初速度与合加速度共线时合运动是直线运动，合初速度与合加速度不共线时合运动是曲线运动，选项A错误；两个分运动都是匀速直线运动，代表其受力平衡，即合外力为零，因此两个不在同一直线上的匀速直线运动的合运动一定是匀速直线运动，选项B正确；两个初速度不为零的匀加速直线运动，若合初速度与合加速度不共线，则合运动是匀加速曲线运动，选项C错误；一个匀加速直线运动和一个匀速直线运动的合运动，若合初速度与合加速度不共线，则合运动是匀加速曲线运动，选项D错误.
2.(运动的合成)[2023·广东深圳一中月考] 如图所示，飞机与货物以的速度水平匀速飞行，同时以的速度匀速收拢绳索将货物接到飞机里，绳索始终竖直，该过程中( )
D
A.绳索的拉力大于货物的重力 B.货物相对地面做曲线运动
C.货物的速度大小为 D.货物的速度大小为
[解析] 货物在竖直方向上以的速度匀速向上运动，处于平衡状态，故绳索的拉力大小等于货物的重力，A错误；货物在水平方向上和竖直方向上均做匀速直线运动，故相对地面的合运动也是匀速直线运动，B错误；货物对地合运动的速度大小为
，C错误，D正确.
3.(两个直线运动的合成)[2023·南京师大附中月考] 某质量的质点在轴正方向做速度的匀速直线运动，在轴方向的速度—时间关系如图所示，则下列说法正确的是( )
B
A.该质点做匀变速直线运动
B.该质点在内的位移大小为
C.该质点在末的速度大小为
D.该质点所受合外力恒为
[解析] 根据图像可知质点在轴方向做初速度为0的匀加速直线运动，在轴方向做匀速直线运动，则质点合初速度沿轴方向，合加速度沿轴方向，不在一条直线上，故质点做匀变速曲线运动，A错误；内质点沿轴的分位移，质点沿轴的位移，则该质点在内的位移大小为
，B正确；根据速度的合成，该质点在末的速度大小，C错误；根据牛顿第二定律，该质点所受合外力大小为，D错误.
知识点一 探究运动的合成与分解的过程
1.[2023·江苏苏州中学月考] 竖直放置的两端封闭的玻璃管中注满清水，内有一个红蜡块能在水中匀速上浮.如图所示，当红蜡块从玻璃管的下端匀速上浮的同时，第一次使玻璃管水平向右匀速运动，测得红蜡块运动到顶端所需时间为；第二次使玻璃管水平向右加速运动，测得红蜡块从下端运动到顶端所需时间为，则( )
A
A. B.
C. D.无法比较与的大小
[解析] 两个分运动相互独立，互不影响，两次的运动时间相等,，故选A.
2.如图所示，蜡烛块可以在直玻璃管内的水中匀速上升，若在蜡烛块从点开始匀速上升的同时，玻璃管水平向右做匀加速直线运动，蜡烛块最终到达点，蜡烛块从点到点的运动轨迹可能是图中的( )
A
A.曲线1 B.曲线2 C.直线3 D.曲线4
[解析] 当合速度的方向与合力(合加速度)的方向不在同一条直线上时，物体将做曲线运动，且轨迹夹在速度与合力方向之间，合力的方向指向轨迹的凹侧，而本题蜡烛块竖直向上做匀速直线运动，水平向右做匀加速直线运动，因此蜡烛块将做匀变速曲线运动，合力水平向右,指向凹侧，故符合要求的轨迹是曲线1，A正确.
知识点二 运动的合成与分解应用
3.[2024·广东深圳中学月考] 如图为自动控制货品运动的智
能传送带，其奥秘在于面板上蜂窝状的小正六边形部件，
每个部件上有三个导向轮、、，在单个方向轮子的
作用下，货品可获得与导向轮同向的速度 ，若此时仅控制 、 两个方向的轮子同时按图示箭头方向等速转动，则货品获得的速度大小为( )
C
A. B. C. D.
[解析] 根据题意可知，两个速度夹角为 ，根据速度合成可知，合速度为，故选C.
4.某人骑自行车以的速度在大风中向正东方向行驶,他感到风正以相当于车的速度从正北方向吹来,风的实际速度是 ( )
B
A.,方向为正南 B.,方向为东偏南
C.,方向为正北 D.,方向为南偏西
[解析] 本题易错之处是误认为风的实际速度方向是正南,却不知道人感觉到的风的方向是风对人的速度方向.将风速沿正东和正南方向分解,分速度分别为、,则,,,方向为东偏南 ,只有选项B正确.
知识点三 合运动性质的判断
5.[2023·吉林一中月考] 如图所示，某同学在研究运动的合成与分解时做了下述活动：用左手沿黑板推动直尺竖直向上运动，运动中保持直
C
A.笔尖做匀速直线运动 B.笔尖做匀变速直线运动
C.笔尖做匀变速曲线运动 D.笔尖的运动轨迹是一条斜向上的直线
尺水平，同时，用右手沿直尺向右移动笔尖.若该同学左手的运动为匀速直线运动，右手的运动为初速度为零的匀加速直线运动，则关于笔尖相对于黑板的运动，下列说法中正确的是( )
[解析] 笔尖同时参与了竖直向上的匀速直线运动和水平向右初速度为零的匀加速直线运动，合初速度竖直向上，合加速度水平向右，笔尖
相对于黑板的运动即实际运动，由于笔尖的合加速度恒定，所以笔尖做匀变速运动，笔尖的合初速度与合加速度不在同一直线上，所以笔尖的轨迹是曲线，笔尖做匀变速曲线运动，故A、B、D错误，C正确.
6.有一个质量为的质点在平面内运动，在方向的速度图像和方向的位移图像分别如图甲、乙所示.下列说法正确的是( )
D
A.质点做匀变速直线运动 B.质点所受的合外力为
C.时质点的速度为 D.零时刻质点的速度为
[解析] 由题图可知质点在轴方向上做匀加速直线运动，在轴方向做匀速直线运动，合力的方向沿轴方向，在轴方向上的初速度为，在轴方向上的速度为，则初速度，初速度方向不沿轴方向，所以质点做匀变速曲线运动，故A错误，D正确；质点在轴方向上的加速度为，轴方向上的加速度为零，则合加速度为，所以合力为，故B错误；末在轴方向上的速度为，在轴方向上的速度为，则合速度,故C错误.
7.一空间探测器，如图所示，装有四台喷气发动机、、、；开始时沿如图x轴的正方向做匀速运动，现要使探测器变为沿轴正方向运动可采取的措施是( )
D
A.开启一段时间后关闭，再开启 B.开启一段时间后关闭，再开启
C.开启一段时间后关闭，再开启 D.开启一段时间后关闭，再开启
[解析] 开始时沿题图x轴的正方向做匀速运动，具有沿轴正方向的速度，开启一段时间，则探测器将沿轴的正方向加速，关闭后开启或，探测器将在四或一象限做曲线运动，故A、B错误；开启一段时间，则探测器将沿轴的正方向减速，如速度减为0，关闭后再开启，则探测器将向轴负方向运动，故C错误；开启一段时间，则探测器将沿轴的正方向减速，如速度减为0，关闭后再开启，则探测器将向轴正方向运动，故D正确.
8.[2023·江苏连云港期末] 如图所示，两个相同的光滑立方体放在水平面上，在它们之间再放一个顶角为 的尖劈，已知尖劈的加速度为，则立方体的加速度为( )
A
A. B. C. D.
[解析] 根据运动的合成和分解可知，斜劈垂直于斜边的加速度，设立方体加速度为，则立方体垂直于斜边的加速度为,又,联立可得，故选A.
9.[2023·浙江学军中学月考] 如图所示，在注满清水的竖直密封玻璃管中，红蜡块正以较小的速度沿轴匀速上浮，与此同时玻璃管沿水平轴正方向做加速度为的匀加速直线运动.从红蜡块通过坐标原点开始计时(此时的水平轴方向的初速度为零)，直至红蜡块运动到玻璃管顶端为止.在此过程中：
(1) 求红蜡块的轨迹方程.
[答案]
[解析] 红蜡块沿水平轴方向做初速度为零的匀加速直线运动，有
沿轴方向做匀速直线运动，有
整理上面两个式子，轨迹方程为
(2) 求红蜡块在某时刻运动的速度.
[答案]
[解析] 沿水平轴方向做初速度为零的匀加速直线运动，有
沿轴方向做匀速直线运动，有
整理上面两个式子，得到
(3) 在这个实例中，我们看到红蜡块向右上方的运动(称为合运动)可以看成由沿玻璃管向上的运动(称为分运动)和水平向右的运动(称为分运动)共同构成.请列举出一些关于“合运动与分运动”的特点(至少说出两条).
[答案] 合运动与分运动具有等效性; 合运动与分运动的时间相等
[解析] ①运动的合成和分解都遵循平行四边形定则
②合运动与分运动具有等效性
③合运动与分运动的时间相等
10.(多选)如图所示,一块橡皮用细线悬挂于点,用一竖直挡板靠着线的左侧,在时刻挡板上边缘沿与水平方向成 角的斜面向右上方做初速度为零、加速度为的匀加速运动,运动中始终保持挡板竖直,则在运动过程中,下列说法正确的是( )
BCD
A.橡皮做加速度增加的加速直线运动
B.橡皮做匀加速直线运动
C.橡皮的速度方向始终与水平方向成 角
D.在时刻,橡皮距离出发点的距离为
[解析] 如图所示，橡皮参与了斜向上方向上的初速度为零的匀加速直线运动和竖直方向上的初速度为零的匀加速直线运动,两个运动的合运动仍然是匀加速直线运动,故A错误,B正确;如图所示,根据速度的合成可知,橡皮的合速度是由与合成得到的,由于这两个速度大小相等,结合几何知识可知,橡皮的速度方向始终与水平方向成 角,故C正确;时间内,
斜向上的位移大小为,而竖直方向的位移大小也为,因此由矢量的合成法则可知,橡皮距离出发点的距离为,故D正确.
11.[2023·浙江学军中学月考] 某质点在平面上运动时，质点位于坐标原点上，它在轴方向运动的速度—时间图像如图甲所示，它在轴方向的位移—时间图像如图乙所示.
(1) 分析图甲、乙，说明该质点在轴方向和轴方向上的运动性质；
[答案] 质点在轴方向上做匀加速直线运动，轴方向上做匀速直线运动
[解析] 质点在轴方向上做匀加速直线运动，轴方向上做匀速直线运动；
(2) 求时该质点的位置坐标；
[答案]
[解析] 加速度为
横坐标为
纵坐标为
该质点的位置坐标为；
(3) 写出该质点运动的轨迹方程.
[答案]
[解析] 在轴方向有
根据图像得
解得
在轴方向有
该质点运动的轨迹方程为

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