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专题课:平抛运动与各种面结合问题
例1　C　[解析] 射出的乒乓球做平抛运动,在竖直方向上,有y=gt2,解得t=,所以运动时间之比为==,初速度之比为===,碰墙前速度变化量之比为==,碰墙时速度与墙之间的夹角的正切值为tan α==,所以正切值之比为==,故选C.
例2　A　[解析] 小球撞在斜面上,速度方向与斜面垂直,则速度方向与竖直方向的夹角为θ,故水平速度与竖直速度之比为=tan θ,选项A正确,B错误;水平位移与竖直位移之比===2tan θ,选项C、D错误.
例3　A　[解析] 如图所示,由平抛运动的规律知Lcos θ=v0t,Lsin θ=gt2,则tan θ=,由图知tan(α+θ)==,可得tan(α+θ)=2tan θ,所以α与抛出速度v0无关,故α1=α2,α1、α2的大小与斜面倾角有关,但α1、α2的关系与斜面倾角θ无关,选项A正确,B、C、D错误.
例4　D　[解析] 小球落到最低点C时所用时间最长,选项A错误;由平抛运动规律可知,小球的速度方向与水平方向的夹角的正切值是位移方向与水平方向的夹角的正切值的2倍,v0取值不同,小球落到环上时的位移方向与水平方向的夹角不同,则速度方向和水平方向的夹角也不相同,选项B错误;小球做平抛运动的末速度斜向右下方,不可能垂直撞击半圆环左半部分,假设小球垂直撞击半圆环右半部分,设小球落点和圆心O的连线与水平方向的夹角为θ,如图所示,根据平抛运动规律可得v0t=R0(1+cos θ),R0sin θ=gt2,tan θ=,联立解得cos θ=1,则垂直撞击到半圆环是不可能的,选项D正确,C错误.
变式　A　[解析] 连接AC和AD,如图甲所示,设AC和AD在竖直方向上的长度分别为hAC和hAD,根据图像可知hAC>hAD,且有hAC=g,hAD=g,可得t1>t2,设AC和AD在水平方向上的长度分别为xAC和xAD,则有xAC随堂巩固
1.A　[解析] 由题可得,飞镖A落在墙上时,速度与水平方向夹角为37°,飞镖B落在墙上时,速度与水平方向夹角为53°,设飞镖A与B的竖直位移分别为y1、y2,飞镖A与B落在墙上时位移与水平方向夹角分别为βA、βB,飞镖A与B落在墙上时的水平位移都为x,飞镖A与B落在墙上时竖直速度分别为vyA、vyB,飞镖A与B水平速度分别为vxA、vxB,则tan 37°==2tan βA=,tan 53°==2tan βB=,y2-y1=1.4 m,联立解得x=4.8 m,故选A.
2.B　[解析] 小球做平抛运动,在飞行过程中恰好与半圆轨道相切于B点,则知速度与水平方向的夹角为30°,则有vy=v0tan 30°,又vy=gt,则得v0tan 30°=gt,t=①,水平方向上小球做匀速直线运动,则有R+Rcos 60°=v0t②,联立①②解得v0=,故B正确.
3.B　[解析] 小球离斜面距离最大时就是它的速度方向与斜面平行时,设经过的时间为t,小球的初速度为v0,则gt=v0tan α,又因为小球从斜面顶端水平抛出,落至斜面底端,则有h=gT2,=v0T,即=,联立得t=,故选项B正确.
4.AC　[解析] 两小球做平抛运动,落到斜面上,竖直方向上做自由落体运动,运动时间t=,竖直位移之比为1∶4,则运动时间之比为1∶2,故A正确;设斜面倾角为θ,根据平抛运动的规律结合几何关系可知,斜面的倾角等于小球位移与水平方向的夹角,位移与水平方向夹角的正切值tan θ===,解得初速度为v0=,则球1和球2抛出时初速度大小之比为1∶2,故B错误;根据平抛运动的规律可知,速度与水平方向夹角φ的正切值等于位移与水平方向夹角θ的正切值的二倍,即tan φ=2tan θ,两小球位移与水平方向夹角相同,则两小球落到斜面上时的速度方向相同,故C正确;速度与水平方向夹角为φ,则小球在落点处的速度v=,则球1和球2在落点处的速度大小之比为1∶2,故D错误.专题课:平抛运动与各种面结合问题
1.C　[解析] 两只飞镖由同一位置水平投出,即两只飞镖的水平位移x相同,则运动时间分别为ta=,tb=,由于va>vb, 所以tavb, 所以tan α2.AC　[解析] 假设没有墙壁,则小球将落到与C点关于墙壁对称的位置C',轨迹为整条的抛物线,根据平抛运动的规律,两球从同一点A下落,则落地时间相同,因为水平速度不同,则水平位移不等,则两次不可能落到同一点,A正确,B错误;两球从同一点做平抛运动,则落地时的竖直速度相等,落地时速度方向与水平方向夹角的正切值分别为tan θ1=,tan θ2=,则=,C正确;两次落地时小球的速度分别为v1=,v2=,则速度之比不等于1∶3,D错误.
3.B　[解析] 如图所示,过抛出点A作斜面的垂线,垂足为B点,当小球落在斜面上的B点时,位移最小,设运动的时间为t,则在水平方向上有x=v0t,在竖直方向上有y=gt2,根据几何关系知=tan θ,联立解得t=,小球的水平位移大小为 x=v0t=,竖直位移大小为 y=gt2=,由水平位移和竖直位移可求出位移的大小,故A、C、D错误,B正确.
4.C　[解析] 根据平抛运动的规律以及落在斜面上的特点可知,x=v0t,y=gt2,tan θ=,分别将θ=30°、θ=60°代入,可得两球平抛所经历的时间之比为1∶3,两球下落高度之比为1∶9,选项C正确.
5.C　[解析] 只要选手落在Q右侧跑道上,其下落高度为一定值,所以下落时间也为一定值,与初速度无关,故A、B错误,C正确;若落在OQ圆弧上,初速度越大,选手落在OQ上的位置越靠右,下落的高度越小,在空中运动时间越短,故D错误.
6.B　[解析] 两球下落的高度相同,根据t=知,下落的时间相同,设圆弧的半径为R,根据几何关系可得∠COB=60°,则A点抛出的球平抛运动的水平位移x1=2R-Rcos 60°=1.5R,从O点抛出的球做平抛运动的水平位移为x2=x1-R=0.5R,根据v=知v1∶v2=3∶1,故选B.
7.A　[解析] 小球从a点正上方O点抛出,做初速度为v0的平抛运动,恰落在b点,改变初速度,落在c点,水平位移变为原来的2倍,假若时间不变,则初速度变为原来的2倍,由于运动时间变长,所以初速度小于2v0,故A正确.
8.C　[解析] A到B过程中,位移偏转角为30°,由平抛运动推论得速度偏转角的正切值tan θ=2tan 30°=9.A　[解析] 小球做平抛运动,则打在曲面上时,竖直方向位移为h=gt2,水平位移x=t,则小球的坐标为t,6-,小球打在曲面上,则满足曲面的方程,将小球坐标代入方程解得t=1 s,故A正确,B、C、D错误.
10.C　[解析] 由几何关系可知,A的竖直位移hA=Rcos α,水平位移xA=Rsin α; B的竖直位移hB=Rcos(90°-α)=Rsin α,水平位移xB=Rsin(90°-α)=Rcos α,由平抛运动的规律可知,h=gt2 ,x=v0t 解得v0=x,则=×=tan α.
11.(1)0.6 s　(2)　(3) m/s
[解析] (1)根据平抛运动规律,对落在B点的小球有R+Rcos θ=g
解得t1=0.6 s.
(2)根据平抛运动规律,对落在B点的小球有Rsin θ=v1t1,v1=1 m/s,
对落在C点的小球有R+Rsin θ=g
解得t2= s,Rcos θ=v2t2,v2= m/s
解得=.
(3)对落在C点的小球有,竖直方向的分速度大小vy=gt2,解得vy=4 m/s,vC== m/s.
12.(1)20 m/s　(2)10 m/s　(3)1.5 s
[解析] (1)平抛运动在水平方向上为匀速直线运动,在竖直方向上为自由落体运动,有v0t=Lcos 37°,gt2=Lsin 37°,联立解得v0=20 m/s,t=3 s.
(2)落到B点时的速度大小为v== m/s=10 m/s.
(3)运动员做平抛运动的示意图如图所示.由图可知,当运动员距斜坡最远时,运动员的运动方向与斜坡平行,即速度方向与水平方向成θ角,由平抛运动知识可得tan θ=,所以运动员飞出后距离斜坡最远时所经过的时间t1==1.5 s.专题课:平抛运动与各种面结合问题
学习任务一　与竖直面有关的平抛运动
图示
定量关系 水平方向:d=v0t 竖直方向:h=gt2
例1 [2023·河北唐山一中月考] 乒乓球发球机是很多球馆和球友家庭的必备娱乐和训练工具.如图所示,某次训练时将发球机置于地面上方某一合适位置,然后向竖直墙面水平发射乒乓球.现有两个乒乓球a和b以不同速度射出,碰到墙面时下落的高度之比为9∶16,不计阻力,则乒乓球a和b(　)
A.碰墙前运动时间之比为9∶16
B.初速度之比为3∶4
C.碰墙前速度变化量之比为3∶4
D.碰墙时速度与墙之间的夹角的正切值之比为4∶3
[反思感悟]

学习任务二　与斜面有关的平抛运动
情景示例 解题策略
已知速 度方向 从斜面外平抛,垂直落在斜面上,如图所示,即已知速度的方向垂直于斜面 分解速度 tan θ==
已知位 移方向 从斜面上平抛又落到斜面上,如图所示,已知位移的方向沿斜面向下 分解位移 tan θ===
在斜面外平抛,落在斜面上位移最小,如图所示,已知位移方向垂直于斜面 分解位移 tan θ===
例2 一水平抛出的小球落到一倾角为θ的斜面上时,其速度方向与斜面垂直,运动轨迹如图中虚线所示,则下列说法正确的是 (　)
A.水平速度与竖直速度之比为tan θ
B.水平速度与竖直速度之比为
C.水平位移与竖直位移之比为
D.水平位移与竖直位移之比为
[反思感悟]

例3 [2023·湖南雅礼中学月考] 如图所示,从倾角为θ的斜面上某点先后将同一小球以不同的初速度水平抛出,小球均落在斜面上.当抛出的速度为v1时,小球到达斜面时速度方向与斜面的夹角为α1;当抛出速度为v2时,小球到达斜面时速度方向与斜面的夹角为α2,则 (　)
A.无论v1、v2关系如何,均有α1=α2
B.当v1>v2时,α1>α2
C.当v1>v2时,α1<α2
D.α1、α2的关系与斜面倾角θ有关
[反思感悟]


【要点总结】
求解平抛运动与斜面相结合问题的方法
(1)物体以不同初速度从斜面上平抛又落到斜面上时,位移方向、速度方向以及速度方向与斜面的夹角均相同.
(2)对于垂直打在斜面上的平抛运动,画出速度分解图;对于重新落在斜面上的平抛运动,画出位移分解图.
(3)确定合速度(或合位移)与水平方向的夹角,利用夹角确定各分速度(或分位移)之间的关系.
学习任务三　与圆弧面有关的平抛运动
情景示例 解题策略
已知速 度方向 从圆弧形轨道外平抛,恰好无碰撞地进入圆弧形轨道,如图所示,即已知速度方向沿该点圆弧的切线方向 分解速度 tan θ==
利用位 移关系 从圆心处抛出落到半径为R的圆弧上,如图所示,位移大小等于半径R
利用位 移关系 从与圆心等高圆弧上抛出落到半径为R的圆弧上,如图所示,水平位移x与R的差的平方与竖直位移的平方之和等于半径的平方
例4 [2023·山东临沂期中] 如图所示,AB为半圆环ACB的水平直径,C为环上的最低点,环半径为R.一个小球从A点沿AB方向以速度v0水平抛出,不计空气阻力,则下列判断正确的是 (　)
A.v0越大,小球从抛出至落到半圆环上经历的时间越长
B.即使v0取值不同,小球落到半圆环上时的速度方向和水平方向的夹角也相同
C.v0取值适当时可以使小球垂直撞击半圆环
D.无论v0取何值,小球都不可能垂直撞击半圆环
[反思感悟]


变式 [2023·浙江镇海中学月考] 如图所示为一半圆形的坑,其中坑边缘两点A、B与圆心O等高且在同一竖直平面内,在半圆边缘A点将一小球以速度v1水平抛出,小球落到C点,运动时间为t1,第二次从A点以速度v2水平抛出,小球落到D点,运动时间为t2,不计空气阻力,则 (　)
A.v1B.t1C.小球落到D点时,速度方向可能垂直圆弧
D.小球落到C点时,速度方向与竖直方向夹角为45°
[反思感悟]

　　　　　 　　　　　 　　　　　
1.(平抛运动与竖直面结合问题)[2023·湖北武汉二中月考] 在电视剧里,我们经常看到这样的画面:屋外刺客向屋里投来两支飞镖,落在墙上,如图所示.现设飞镖是从同一位置做平抛运动射出来的,飞镖A与竖直墙壁成53°角,飞镖B与竖直墙壁成37°角,两落点相距为1.4 m,则刺客与墙壁的距离为已知tan 37°=, tan 53°= (　)
A.4.8 m
B.2.4 m
C.5.2 m
D.6.3 m
2.(平抛运动与圆弧面结合问题)[2023·河南洛阳期中] 如图所示,竖直放置、半径为R的半圆轨道直径边在水平地面上,O为圆心,A、B在轨道上,A是轨道最左端,OB与水平面夹角为60°. 在A点正上方P处将可视为质点的小球水平抛出,小球过B点且与半圆轨道相切,重力加速度为g,小球抛出时的初速度为(　)
A. B.
C. D.
3.(斜面上的平抛运动问题)[2023·河北石家庄一中月考] 如图所示,固定斜面的倾角为α,高为h,一小球从斜面顶端水平抛出,落至斜面底端,重力加速度为g,不计空气阻力,则小球从抛出到离斜面距离最大所用的时间为 (　)
A.
B.
C.
D.
4.(斜面上的平抛运动问题)(多选)如图所示,A、E分别是斜面的顶端和底端,B、C、D 是斜面上的三个点,且AB=BC=CD=DE.从 A 点以不同的水平速度向左抛出两个小球(不计空气阻力),球 1 落在 B 点,球 2 落在 E点.两球从抛出到落在斜面上的运动过程中,下列说法正确的是 (　)
A.球1和球2运动的时间之比为1∶2
B.球1和球2抛出时初速度大小之比为1∶4
C.球1和球2在落点处的速度方向相同
D.球1和球2在落点处的速度大小之比为1∶4专题课:平抛运动与各种面结合问题建议用时:40分钟
◆ 知识点一　平抛运动与竖直面结合问题
1.[2023·人大附中期中] 某同学玩掷飞镖游戏,先后将两只飞镖a、b由同一位置水平投出,已知飞镖投出的初速度va>vb,不计空气阻力,则两只飞镖插在竖直靶上的状态(侧视图)可能是 (　)
A　B　C　D
2.(多选)[2023·北京四中月考] 如图所示,从同一位置A点,分别以初速度v0、3v0分两次水平抛出一小球.每次都仅与墙壁撞击反弹一次后,落到地面上.(设球与墙碰撞时,竖直方向速度不变,水平方向速度等大反向,图中仅画出其中一次轨迹)下列说法正确的是　(　)
A.两次下落时间相同
B.两次均落在同一点
C.两次落地点速度方向与水平方向夹角的正切值之比为3∶1
D.两次落地时小球的速度之比为1∶3
◆ 知识点二　平抛运动与斜面结合问题
3.如图所示,小球以初速度v0正对倾角为θ的斜面水平抛出,重力加速度为g,若小球到达斜面的位移最小,则以下说法正确的是 (　)
A.小球在空中运动的时间为
B.小球的水平位移大小为
C.由于不知道抛出点位置,位移大小无法求解
D.小球的竖直位移大小为
4.相同高度的两斜面倾角分别为30°、60°,两小球分别从斜面顶端以大小相同的水平速度v0抛出,如图所示,假设两球均能落在斜面上,则分别向左、右两侧抛出的小球下落高度之比为 (　)
A.1∶2
B.3∶1
C.1∶9
D.9∶1
◆ 知识点三　平抛运动与曲面结合问题
5.[2023·湖北武汉二中期中] 如图所示为某节目中一个环节的示意图.选手会遇到一个人造山谷POQ,PO是竖直峭壁,OQ是以P点为圆心的弧形坡,Q点右侧是一段水平跑道.选手助跑后从P点水平向右跳出,跃上Q点右侧的跑道.选手可视为质点,忽略空气阻力,下列说法正确的是 (　)
A.初速度越大,选手从P跳出至落在Q右侧跑道上的时间越长
B.初速度越大,选手从P跳出至落在Q右侧跑道上的时间越短
C.只要选手落在Q点右侧跑道上,下落时间为一定值与速度无关
D.若落在OQ圆弧上,初速度越大,选手在空中运动时间越长
6.如图所示,AB是半圆弧的一条水平直径,O是圆弧的圆心,C是圆弧上一点,∠OAC=30°,在A、O两点分别以一定的初速度v1、v2水平抛出两个小球,结果都落在C点,则两个球抛出的初速度v1、v2的大小之比为 (　)
A.v1∶v2=2∶1
B.v1∶v2=3∶1
C.v1∶v2=3∶2
D.v1∶v2=4∶1
7.[2023·山西太原五中月考] 如图所示,斜面上a、b、c三点等距,小球从a点正上方O点抛出,做初速度为v0的平抛运动,恰落在b点.若小球初速度变为v,其落点位于c,则(　)
A.v0B.v=2v0
C.2v0D.v>3v0
8.[2023·福建泉州期中] 如图甲所示的“彩虹滑道”是一种较为受欢迎的新型娱乐项目,游客在滑道上某段的运动可简化为如图乙所示.游客(视为质点)以v0=1.5 m/s的水平速度从A点滑出,然后落在倾角θ=30°的斜面上的B点.不计空气阻力,重力加速度g取10 m/s2,下列说法正确的是 (　)
A.游客在空中运动的时间为0.3 s
B.A、B两点的水平距离为 m
C.游客在B点的速度大小为 m/s
D.游客从A运动到B过程中的速度偏转角为60°
9.[2023·山东青岛二中月考] 如图所示,在竖直平面内有一曲面,曲面方程为y=x2,在y轴上有一点P,坐标为(0,6 m).从P点将一可看成质点的小球水平抛出,初速度为1 m/s.则小球第一次打在曲面上的时间为(不计空气阻力,g取10 m/s2) (　)
A.1 s
B. s
C. s
D. s
10.[2023·广东中山一中月考] 如图所示,在竖直放置的半圆形容器中心O点分别以水平速度v1、v2抛出两个小球(可视为质点),最终它们分别落在圆弧上的A点和B点,已知OA⊥OB,且OA与竖直方向夹角为α,则两小球初速度大小之比为 (　)
A.tan α
B.cos α
C.tan α
D.cos α
11.[2023·河南洛阳一中月考] 圆柱形容器的横截面在竖直平面内,如图所示,其半径R=1 m,从其内部最高点A分别以水平初速度v1、v2抛出两个小球(均可视为质点),最终分别落在圆弧上的B点和C点,已知OB与OC相互垂直,且OB与竖直方向的夹角θ=37°.重力加速度g取10 m/s2,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,不计空气阻力,求:
(1)小球从被抛出到落在B点的时间t1;
(2)小球被抛出时的初速度v1、v2的大小之比;
(3)小球到达C点时的速度大小vC.
12.跳台滑雪是一种极为壮观的运动,运动员穿着滑雪板,从跳台水平飞出,在空中飞行一段距离后着陆.如图所示,在倾角为37°的斜坡上,运动员从A点水平飞出,落在斜坡上B点,测得A、B两点间的距离是75 m.运动员可视为质点,g取10 m/s2,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,求:
(1)运动员飞出时的速度大小;
(2)运动员落到B点时的速度大小;
(3)运动员从A点飞出到距离斜坡最远所用的时间.(共51张PPT)
专题课：平抛运动与各种面结合问题
学习任务一 与竖直面有关的平抛运动
学习任务二 与斜面有关的平抛运动
学习任务三 与圆弧面有关的平抛运动
随堂巩固
练习册
◆
备用习题
学习任务一 与竖直面有关的平抛运动
图示 _____________________________________________________________
定量关系 水平方向:
竖直方向:
例1 [2023·河北唐山一中月考] 乒乓球发球机是很多球馆和球友家庭的必备娱乐和训练工具.如图所示，某次训练时将发球机置于地面上方某一合适位置，然后向竖直墙面水平发射乒乓球.现有两个乒乓球和以不同速度射出，碰到墙面时下落的高度之比为，不计阻力，则乒乓球和( )
C
A.碰墙前运动时间之比为
B.初速度之比为
C.碰墙前速度变化量之比为
D.碰墙时速度与墙之间的夹角的正切值之比为
[解析] 射出的乒乓球做平抛运动，在竖直方向上，有，解得，所以运动时间之比为，初速度之比为，碰墙前速度变化量之比为，碰墙时速度与墙之间的夹角的正切值为，所以正切值之比为，故选C.
学习任务二 与斜面有关的平抛运动
情景示例 解题策略
已知速度方向 从斜面外平抛，垂直落在斜面上，如图所示，即已知速度的方向垂直于斜面 ________________________________________________________________________________________ 分解速度

情景示例 解题策略
已知位移方向 从斜面上平抛又落到斜面上，如图所示，已知位移的方向沿斜面向下 ________________________________________________________________________________________ 分解位移

续表
情景示例 解题策略
已知位移方向 在斜面外平抛，落在斜面上位移最小，如图所示，已知位移方向垂直于斜面 _______________________________________________________________________________________ 分解位移

续表
例2 一水平抛出的小球落到一倾角为 的斜面上时，其速度方向与斜面垂直，运动轨迹如图中虚线所示，则下列说法正确的是( )
A
A.水平速度与竖直速度之比为 B.水平速度与竖直速度之比为
C.水平位移与竖直位移之比为 D.水平位移与竖直位移之比为
[解析] 小球撞在斜面上，速度方向与斜面垂直，则速度方向与竖直方向的夹角为 ，故水平速度与竖直速度之比为 ，选项A正确，B错误；水平位移与竖直位移之比 ，选项C、D错误.
例3 [2023·湖南雅礼中学月考] 如图所示，从倾角为 的斜面上某点先后将同一小球以不同的初速度水平抛出，小球均落在斜面上.当抛出的速度为时，小球到达斜面时速度方向与斜面的夹角为；当抛出速度为时，小球到达斜面时速度方向与斜面的夹角为，则( )
A
A.无论、关系如何，均有 B.当时，
C.当时， D.、的关系与斜面倾角 有关
[解析] 如图所示，由平抛运动的规律知，，则，由图知，可得 ，所以 与抛出速度无关，故，、的大小与斜
面倾角有关，但、的关系与斜面倾角 无关，选项A正确，B、C、D错误.
【要点总结】
求解平抛运动与斜面相结合问题的方法
(1)物体以不同初速度从斜面上平抛又落到斜面上时，位移方向、速度方向以及速度方向与斜面的夹角均相同.
(2)对于垂直打在斜面上的平抛运动，画出速度分解图；对于重新落在斜面上的平抛运动，画出位移分解图.
(3)确定合速度(或合位移)与水平方向的夹角，利用夹角确定各分速度(或分位移)之间的关系.
学习任务三 与圆弧面有关的平抛运动
情景示例 解题策略
已知速度方向 从圆弧形轨道外平抛，恰好无碰撞地进入圆弧形轨道，如图所示，即已知速度方向沿该点圆弧的切线方向 ________________________________________________________________________________________________________________________ 分解速度

情景示例 解题策略
利用位移关系 从圆心处抛出落到半径为的圆弧上，如图所示，位移大小等于半径 __________________________________________________________________________
续表
情景示例 解题策略
利用位移关系 从与圆心等高圆弧上抛出落到半径为的圆弧上，如图所示，水平位移与的差的平方与竖直位移的平方之和等于半径的平方 ________________________________________________________________________
续表
例4 [2023·山东临沂期中] 如图所示,为半圆环的水平直径,为环上的最低点,环半径为.一个小球从点沿方向以速度水平抛出,不计空气阻力,则下列判断正确的是( )
D
A.越大,小球从抛出至落到半圆环上经历的时间越长
B.即使取值不同,小球落到半圆环上时的速度方向和水平方向的夹角也相同
C.取值适当时可以使小球垂直撞击半圆环
D.无论取何值,小球都不可能垂直撞击半圆环
[解析] 小球落到最低点C时所用时间最长,选项A错误;由平抛运动规律可知,小球的速度方向与水平方向的夹角的正切值是位移方向与水平方向的夹角的正切值的2倍,取值不同,小球落到环上时的位移方向与水平方向的夹角不同,则速度方向和水平方向的夹角也不相同,选
项B错误;小球做平抛运动的末速度斜向右下方,不可能垂直撞击半圆环左半部分,假设小球垂直撞击半圆环右半部分,设小球落点和圆心的连线与水平方向的夹角为,如图所示,根据平抛运动规律可得,,,联立解得,则垂直撞击到半圆环是不可能的,选项D正确,C错误.
变式 [2023·浙江镇海中学月考] 如图所示为一半圆形的坑，其中坑边缘两点、与圆心等高且在同一竖直平面内，在半圆边缘点将一小球以速度水平抛出，小球落到点，运动时间为，第二次从点以速度水平抛出，小球落到点，运动时间为，不计空气阻力，则( )
A
A.
B.
C.小球落到点时，速度方向可能垂直圆弧
D.小球落到点时，速度方向与竖直方向夹角为
[解析] 连接和，如图甲所示，设和在竖直方向上的长度分别为和，根据图像可知，且有，,可得,设和在水平方向上的长度分别为和，则有，，,可得,A正确，B错误；连接，如图乙所示，设 ,则有，,可得,若速度方向垂直圆弧，则速度方向与水平方向的夹角也为 ，则有,则有,
整理得,即,这说明小球从A点抛出后速度方向没有发生过改变，显然这是不可能的，所以小球落到D点时，速度方向不可能垂直圆弧，C错误；小球落到C点时，设小球的位移偏转角为 ，即与水平方向的夹角为 ，则有,可得 ,根据平抛运动规律，设小球的速度偏转角为 ，即小球落到C点时速度方向与水平方向的夹角为 ，满足,说明 一定大于 ，则速度与水平方向的夹角一定大于 ，与竖直方向的夹角一定小于 ，D错误.
备 用 习 题
1. (多选)2019年8月1日,在中国内地上映的电影《烈火英雄》源于“大连7·16大火”真实事件,其精彩地还原了真实场景,演员们真挚地表演获得了票房和口碑的双丰收.在一个扑火的镜头中,演员黄晓明利用高压水枪向大楼喷水灭火,水从枪口水平喷出后,射到对面竖直墙面上.若不计空气阻力,水的运动可看作平抛运动,调节阀门,使高压水枪喷出水的速度加倍,则下列说法正确的是 (　 )
A.水喷出后射到竖直墙面的时间将减半
B.水到达竖直墙面时的速度将加倍
C.水在墙面上的落点与水枪口的高度差将减小到原来的
D.水在墙面上的落点和水枪口的连线与水平方向的夹角将增大
AC
备 用 习 题
[解析]水在水平方向做匀速运动,根据t=可知,若高压水枪喷出水的速度加倍,则水喷出后射到竖直墙面的时间将减半,选项A正确;根据vy=gt可知,水到达竖直墙面时竖直速度减半,根据v=可知,合速度不是加倍,选项B错误;根据h=gt2,时间减半,则水在墙面上的落点与水枪口的高度差将减小到原来的,选项C正确;水在墙面上的落点和水枪口的连线与水平方向的夹角的正切值为tan θ=,因x不变,t减小,故θ将减小,选项D错误.
1.(平抛运动与竖直面结合问题)[2023·湖北武汉二中月考] 在电视剧里，我们经常看到这样的画面：屋外刺客向屋里投来两支飞镖，落在墙上，如图所示.现设飞镖是从同一位置做平抛运动射出来的，飞镖与竖直墙壁成 角，飞镖与竖直墙壁成 角，两落点相距为，则刺客与墙壁的距离为已知，( )
A
A. B. C. D.
[解析] 由题可得，飞镖A落在墙上时，速度与水平方向夹角为 ，飞镖B落在墙上时，速度与水平方向夹角为 ，设飞镖A与B的竖直位移分别为、，飞镖A与B落在墙上时位移与水平方向夹角分别为、，飞镖A与B落在墙上时的水平位移都为，飞镖A与B落在墙上时竖直速度分别为、，飞镖A与B水平速度分别为、，则，，，联立解得，故选A.
2.(平抛运动与圆弧面结合问题)[2023·河南洛阳期中] 如图所示，竖直放置、半径为的半圆轨道直径边在水平地面上，为圆心，、在轨道上，是轨道最左端，与水平面夹角为 .在点
B
A. B. C. D.
正上方处将可视为质点的小球水平抛出，小球过点且与半圆轨道相切，重力加速度为，小球抛出时的初速度为( )
[解析] 小球做平抛运动，在飞行过程中恰好与半圆轨道相切于B点，则知速度与水平方向的夹角为 ，则有 ，又，则得，，水平方向上小
球做匀速直线运动，则有，联立①②解得,故B正确.
3.(斜面上的平抛运动问题)[2023·河北石家庄一中月考] 如图所示,固定斜面的倾角为 ,高为,一小球从斜面顶端水平抛出,落至斜面底端,重力加速度为,不计空气阻力,则小球从抛出到离斜面距离最大所用的时间为( )
B
A. B. C. D.
[解析] 小球离斜面距离最大时就是它的速度方向与斜面平行时，设经过的时间为,小球的初速度为，则 ，又因为小球从斜面顶端水平抛出，落至斜面底端，则有,，即，联立得，故选项B正确.
4.(斜面上的平抛运动问题)(多选)如图所示，、分别是斜面的顶端和底端，、、是斜面上的三个点，且.从点以不同的水平速度向左抛出两个小球(不计空气阻力)，球 1 落在点，球 2 落在点.两球从抛出到落在斜面上的运动过程中，下列说法正确的是( )
AC
A.球1和球2运动的时间之比为 B.球1和球2抛出时初速度大小之比为
C.球1和球2在落点处的速度方向相同 D.球1和球2在落点处的速度大小之比为
[解析] 两小球做平抛运动，落到斜面上，竖直方向上做自由落体
运动，运动时间，竖直位移之比为，则运动时间之比
为，故A正确；设斜面倾角为 ，根据平抛运动的规律结合几
何关系可知，斜面的倾角等于小球位移与水平方向的夹角，位移与水平方向夹角的正切值，解得初速度为，则球1和球2抛出时初速度大小之比为，故B错误；根据平抛运动的规律可知，速度与水平方向夹角 的正切值等于位移与水平方向夹角 的正切值的二倍，即 ，两小球位移与水平方向夹角相同，则两小球落到斜面上时的速度方向相同，故C正确；速度与水平方向夹角为 ，则小球在落点处的速度，则球1和球2在落点处的速度大小之比为，故D错误.
知识点一 平抛运动与竖直面结合问题
1.[2023·人大附中期中] 某同学玩掷飞镖游戏，先后将两只飞镖、由同一位置水平投出，已知飞镖投出的初速度，不计空气阻力，则两只飞镖插在竖直靶上的状态(侧视图)可能是( )
C
A.&1& B.&2& C.&3& D.&4&
[解析] 两只飞镖由同一位置水平投出，即两只飞镖的水平位移相同，则运动时间分别为，，由于，所以；其竖直位移分别为，，则，即飞镖插在竖直靶上的位置较高.飞镖的速度方向与水平方向夹角的正切值分别为，，由于，所以 ，即飞镖插在竖直靶上时飞镖的速度方向与水平方向夹角较大.故选C.
2.(多选)[2023·北京四中月考] 如图所示，从同一位置点，分别以初速度、分两次水平抛出一小球.每次都仅与墙壁撞击反弹一次后，落到地面上.(设球与墙碰撞时，竖直方向速度不变，水平方向速度等大反向，图中仅画出其中一次轨迹)下列说法正确的是 ( )
AC
A.两次下落时间相同
B.两次均落在同一点
C.两次落地点速度方向与水平方向夹角的正切值之比为
D.两次落地时小球的速度之比为
[解析] 假设没有墙壁，则小球将落到与C点关于墙壁对称的位置，轨迹为整条的抛物线，根据平抛运动的规律，两球从同一点A下落，则落地时间相同，因为水平速度不同，则水平位移不等，则两次不可能落到同一点，A正确，B错误；两球从同一点做平抛运动，则落地时的竖直速度相等，落地时速度方向与水平方向夹角的正切值分
别为，，则，C正确；两次落地时小球的速度分别为，，则速度之比不等于，D错误.
知识点二 平抛运动与斜面结合问题
3.如图所示，小球以初速度正对倾角为 的斜面水平抛出，重力加速度为，若小球到达斜面的位移最小，则以下说法正确的是( )
B
A.小球在空中运动的时间为
B.小球的水平位移大小为
C.由于不知道抛出点位置，位移大小无法求解
D.小球的竖直位移大小为
[解析] 如图所示，过抛出点A作斜面的垂线，垂足为B点，当小球落在斜面上的B点时，位移最小，设运动的时间为，则在水平方向上有，在竖直方向上有，根据几何关系知 ，联立解得，小球的水平位移大小为，竖直位移大小为，由水平位移和竖直位移可求出位移的大小，故A、C、D错误，B正确.
4.相同高度的两斜面倾角分别为 、 ，两小球分别从斜面顶端以大小相同的水平速度抛出，如图所示，假设两球均能落在斜面上，则分别向左、右两侧抛出的小球下落高度之比为( )
C
A. B. C. D.
[解析] 根据平抛运动的规律以及落在斜面上的特点可知，,，，分别将 、 代入，可得两球平抛所经历的时间之比为，两球下落高度之比为，选项C正确.
知识点三 平抛运动与曲面结合问题
5.[2023·湖北武汉二中期中] 如图所示为某节目中一个环节的示意图.选手会遇到一个人造山谷，是竖直峭壁，是以点为圆心的弧形坡，点右侧是一段水平跑道.选手助跑后从点水平向右跳出，跃上点右侧的跑道.选手可视为质点，忽略空气阻力，下列说法正确的是( )
C
A.初速度越大，选手从跳出至落在右侧跑道上的时间越长
B.初速度越大，选手从跳出至落在右侧跑道上的时间越短
C.只要选手落在点右侧跑道上，下落时间为一定值与速度无关
D.若落在圆弧上，初速度越大，选手在空中运动时间越长
[解析] 只要选手落在右侧跑道上，其下落高度为一定值，所以下落时间也为一定值，与初速度无关，故A、B错误，C正确；若落在圆弧上，初速度越大，选手落在上的位置越靠右，下落的高度越小，在空中运动时间越短，故D错误.
6.如图所示，是半圆弧的一条水平直径，是圆弧的圆心，是圆弧上一点， ，在、两点分别以一定的初速度、水平抛出两个小球，结果都落在点，则两个球抛出的初速度、的大小之比为( )
B
A. B. C. D.
[解析] 两球下落的高度相同，根据知，下落的时间相同，设圆弧的半径为，根据几何关系可得 ，则A点抛出的球平抛运动的水平位移，从点抛出的球做平抛运动的水平位移为,根据知，故选B.
7.[2023·山西太原五中月考] 如图所示，斜面上、、三点等距，小球从点正上方点抛出，做初速度为的平抛运动，恰落在点.若小球初速度变为，其落点位于，则( )
A
A. B. C. D.
[解析] 小球从点正上方点抛出，做初速度为的平抛运动，恰落在点，改变初速度，落在点，水平位移变为原来的2倍，假若时间不变，则初速度变为原来的2倍，由于运动时间变长，所以初速度小于，故A正确.
8.[2023·福建泉州期中] 如图甲所示的“彩虹滑道”是一种较为受欢迎的新型娱乐项目,游客在滑道上某段的运动可简化为如图乙所示.游客(视为质点)以的水平速度从点滑出,然后落在倾角 的斜面上的点.不计空气阻力,重力加速度取,下列说法正确的是( )
C
A.游客在空中运动的时间为0.3s B.、两点的水平距离为
C.游客在点的速度大小为 D.游客从运动到过程中的速度偏转角为
[解析] A到B过程中,位移偏转角为 ,由平抛运动推论得速度偏转角的正切值 ,游客从A运动到B过程中的速度偏转角小于 ,D错误;由平抛运动推论有 ,又,,解得,,A、B错误;游客在B点的速度大小,解得,C正确.
9.[2023·山东青岛二中月考] 如图所示，在竖直平面内有一曲面，曲面方程为，在轴上有一点，坐标为.从点将一可看成质点的小球水平抛出，初速度为.则小球第一次打在曲面上的时间为(不计空气阻力，取( )
A
A. B. C. D.
[解析] 小球做平抛运动，则打在曲面上时，竖直方向位移为，水平位移，则小球的坐标为,，小球打在曲面上，则满足曲面的方程，将小球坐标代入方程解得，故A正确，B、C、D错误.
10.[2023·广东中山一中月考] 如图所示，在竖直放置的半圆形容器中心点分别以水平速度、抛出两个小球(可视为质点)，最终它们分别落在圆弧上的点和点，已知，且与竖直方向夹角为 ，则两小球初速度大小之比为( )
C
A. B. C. D.
[解析] 由几何关系可知，A的竖直位移，水平位移 ；B的竖直位移 ，水平位移 ，由平抛运动的规律可知，，解得，则.
11.[2023·河南洛阳一中月考] 圆柱形容器的横截面在竖直平面内，如图所示，其半径，从其内部最高点分别以水平初速度、抛出两个小球(均可视为质点)，最终分别落在圆弧上的点和点，已知与相互垂直，且与竖直方向的夹角 .重力加速度取，，，不计空气阻力，求:
(1) 小球从被抛出到落在点的时间；
[答案]
[解析] 根据平抛运动规律，对落在点的小球有
解得.
(2) 小球被抛出时的初速度、的大小之比；
[答案]
[解析] 根据平抛运动规律，对落在点的小球有,，
对落在点的小球有
解得，,
解得.
(3) 小球到达点时的速度大小.
[答案]
[解析] 对落在点的小球有，竖直方向的分速度大小，解得，.
12.跳台滑雪是一种极为壮观的运动，运动员穿着滑雪板，从跳台水平飞出，在空中飞行一段距离后着陆.如图所示，在倾角为 的斜坡上,运动员从点水平飞出,落在斜坡上点,测得、两点间的距离是.运动员可视为质点,取,，，求:
(1) 运动员飞出时的速度大小;
[答案]
[解析] 平抛运动在水平方向上为匀速直线运动,在竖直方向上为自由落体运动,有 ，，联立解得,.
(2) 运动员落到点时的速度大小;
[答案]
[解析] 落到点时的速度大小为.
(3) 运动员从点飞出到距离斜坡最远所用的时间.
[答案]
[解析] 运动员做平抛运动的示意图如图所示.由图可知，当运动员距斜坡最远时，运动员的运动方向与斜坡平行，即速度方向与水平方向成 角，由平抛运动知识可得，所以运动员飞出后距离斜坡最远时所经过的时间.

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