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专题2.6 有理数的混合运算
1. 掌握有理数的混合运算的基本概念和方法；
2. 理解混合运算中加、减、乘、除、乘方的优先级顺序；
3. 能够熟练进行有理数混合运算，并正确解释计算过程；
4. 能够熟练运用有理数混合运算解决相关应用问题。
TOC \o "1-4" \h \z \u 模块1：知识梳理 1
模块2：核心考点 2
考点1.加减乘除混合运算 2
考点2.含乘方的有理数混合运算 5
考点3.有理数混合运算与运算技巧 8
考点4.近有理数混合运算--程序框图 11
考点5.有理数混合运算--24点游戏 13
考点6.有理数混合运算--新定义 15
考点7.有理数混合运算的实际应用 18
模块3：培优训练 21
有理数混合运算的顺序：
(1)先乘方，再乘除，最后加减；
(2)同级运算，从左到右进行；
(3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。
考点1.加减乘除混合运算
【解题方法】有理数混合运算的顺序：(1)先乘除，后加减；(2)同级运算，从左到右进行；(3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．
例1．（24-25七年级上·辽宁盘锦·阶段练习）计算：
(1)； (2)； (3)．
【答案】(1)(2)(3)
【详解】（1）解：原式
．
（2）解：
．
（3）解：，
，
，
变式1．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）计算：
(1)；(2)．
【答案】(1)9(2)0
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
变式2．（24-25七年级上·江苏徐州·期中）计算：(1)(2)
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
变式3．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）计算：
(1)； (2)； (3)；
(4)； (5)；
(6)； (7)；
【答案】(1)(2)18(3)(4)2.2(5)(6)(7)
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
；
（5）解：
；
（6）解：
；
（7）解：
；
考点2.含乘方的有理数混合运算
【解题方法】有理数混合运算的顺序：(1)先乘方，再乘除，最后加减；(2)同级运算，从左到右进行；(3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．
例1．（24-25七年级上·四川绵阳·期中）计算：
(1)；(2)．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
例2．（24-25七年级上·山东淄博·期中）计算：(1)(2)
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
变式1．（24-25七年级上·湖南永州·期中）计算．
(1)； (2)；
(3)； (4)．
【答案】(1)(2)(3)2(4)15
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
；
（4）解：原式
．
变式2．（24-25七年级上·内蒙古包头·期中）计算：
(1) (2)
(3) (4)
【答案】(1)(2)(3)(4)
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
考点3.有理数混合运算与运算技巧
【解题方法】运用运算律简化计算常见技巧：
加减法：①相反数结合——抵消；②同号结合——符号易确定；③同分母结合法——无需通分（分母倍数的也可考虑）；④凑整数；⑤同行结合法——分数拆分为整数和分数。
乘除法：①运用结合律，将能约分的先结合计算；②小数与分数相乘，一般先将小数化为分数；③带分数应先化为假分数的形式；④几个分数相乘，先约分，在相乘；⑤一个数与几个数的和相乘，通常用分配律可简化计算。
例1．（24-25七年级上·江苏常州·阶段练习）计算题：
(1)； (2)； (3)；
(4)； (5)； (6)．
【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)
【详解】（1）解：原式
（2）解：原式
（3）解：原式
（4）解：原式
（5）解：原式
（6）解：原式
变式1．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）计算：
(1) (2) (3)
(4) (5) (6)
【答案】(1)8(2)(3)(4)(5)26(6)
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
；
（5）解：
；
（6）解：
．
变式2．（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习）计算：
(1)；(2)；(3)；(4)．
【答案】(1)；(2)；(3)；(4)．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
；
（4）解：原式
．
考点4.有理数混合运算--程序框图
【解题方法】程序框图解题通用步骤：
（1） 明确运算结构 ：①识别流程图中运算模块的先后顺序（如加减、乘除、乘方的位置）；②特别注意条件判断模块的阈值。
（2） 分步代入计算
（3） 循环终止判断 ：①每次计算结果作为新输入值；②结果满足阈值条件时终止循环。
注意：建议优先掌握运算顺序可视化方法与循环终止条件的快速判定技巧，配合至少3种不同类型的流程图案例进行专项训练。
例1．（24-25七年级上·浙江温州·期末）如图是小南设计的的一个运算程序，当她输入1时，输出的结果是 ．
【答案】
【详解】解：输入1时，，输出结果，故答案为：．
变式1．（24-25七年级上·山东泰安·期末）按如图所示的程序计算，若开始输入的数为，则最后输出的结果是（ ）
A．6 B．21 C．156 D．231
【答案】D
【详解】解：由程序图可知，若开始输入的数为，则
第一次：，；第二次：，；
第三次：，；最后输出的结果是，故选：D．
变式2．（24-25七年级上·四川成都·期末）小明同学编写了一个加密数据的代码，如图是这个加密代码的运算程序，按照这个运算程序，当原始数据时，加密后的数据是253；当原始数据时，加密后的数据是235．如果输入的原始数据是正整数，加密后的数据是217，那么原始数据的值可以是 ．
【答案】2或7或37
【详解】解：如果输入的原始数据是正整数，加密后的数据是217，
则；；；故答案为：2或7或37．
变式3．（24-25七年级上·上海·期末）在下图所示的运算程序图中，若输出的数，则输入的数 ．

【答案】2023或2024
【详解】解：由题意得或，
则输入的数或2024．故答案为：2023或2024．
考点5.有理数混合运算--24点游戏
【解题方法】24点游戏易错点：
1） 忽略分数可能性 ：认为必须全部整数运算，实际可用分数；
2） 运算顺序错误 ：漏加括号导致优先级错误；
3） 固定思维局限 ：过度追求乘法对，忽略加减法组合。
例1．（24-25七年级上·广东深圳·期中）从一副扑克牌（去掉大、小王）中任意抽取四张，根据牌面上的数字进行混合运算（包括加、减、乘、除和乘方），每一张牌必须用一次且只能用一次，可以加括号，使得运算结果为24或，其中黑色扑克牌代表正数（黑桃、梅花为黑色），红色扑克牌代表负数（红桃、方块为红色），A，J，Q，K分别代表1，11，12，13．比如，小明抽到了黑桃7，黑桃3，红桃3，梅花7，他运用下面的方法凑成了：．如果抽到的是黑桃A，红桃2，黑桃2，梅花3，则列出算式为 ．
【答案】(答案不唯一)
【详解】解：由题意得：或或．
故答案为：或或．
变式1．（24-25七年级上·四川成都·期中）“24点”游戏规则：从一副扑克牌抽去大小王剩下1~13这52张牌（A代表1），J、Q、K分别代表11、12、13，任意抽取4张牌称为牌组，黑色代表正数，红色代表负数，用加、减、乘、除、乘方把牌面上的数算成24，每张牌必须且只能用一次．如果抽到黑桃Q、红桃Q、梅花3、方块A，请列出一个含有乘方运算的算式，将该牌面上的数字凑成24： ．
【答案】（答案不唯一）
【详解】解：由题意知，抽到的四张牌所代表的数分别为：12，，3，，
可得，故答案为：．
变式2．（24-25七年级上·广东佛山·期中）24点游戏是一种使用扑克牌来进行的益智类游戏，游戏内容是：从一副扑克牌（去掉大王、小王剩下52张）中任意抽取4张牌，把牌面上的数字进行混合运算，使得运算结果为24．每张牌必须用一次且只能用一次，可以加括号．其中 ， 表示正， ， 表示负，分别代表1，11，12，13．
（1）在玩“24点”游戏时，小明抽到图1的4张牌，请你帮他写出2个运算结果为24的算式：______，______；
（2）在玩“24点”游戏时，小刚抽到图2的4张牌，请你帮他写出1个运算结果为24的算式：______．
【答案】（1），（答案不唯一）（2）（答案不唯一）
【详解】解：（1）由题意得：图1中的4张牌分别代表，
则运算结果为24的算式：，，
故答案为：，（答案不唯一）．
（2）由题意得：图2中的4张牌分别代表，
则运算结果为24的算式：，故答案为：（答案不唯一）．
考点6.有理数混合运算--新定义
【解题方法】“新定义”型问题是指在问题中定义了初中数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识进行理解，而后根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型.它一般分为三种类型：（1）定义新运算；（2）定义初、高中知识衔接“新知识”；（3）定义新概念.这类试题考查考生对“新定义”的理解和认识，以及灵活运用知识的能力，解题时需要将“新定义”的知识与已学知识联系起来，利用已有的知识经验来解决问题。
例1．（24-25七年级上·北京·期中）探究规律，完成相关题目．
定义“*”运算：
；
；
；
；
；
；
；
；
；
．
归纳*运算的法则（用文字语言叙述）
(1)绝对值不同的两数进行*运算时，结果的绝对值如何确定？_________．
特别地，0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算，_____．
(2)计算：；(3)是否存在两个非零有理数m，n，使得，若存在，求出m，n满足的关系，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)绝对值较大数的平方减去绝对值较小数的平方，得这个数的平方(2)(3)存在，或
【详解】（1）解：由题意得：绝对值不同的两数进行*运算时，结果的绝对值的确定方法是：绝对值较大数的平方减去绝对值较小数的平方，绝对值为正；0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算，结果都等于这个数的平方；
故答案为：绝对值较大数的平方减去绝对值较小数的平方，绝对值为正；结果都等于这个数的平方；
（2）解：；
（3）解：存在，理由如下，
∵，∴，∴，
∴或， ∴存在两个非零有理数m、n,使得．
变式1．（24-25九年级上·四川成都·期末）数学家祖冲之曾给出圆周率的两个近似值：“约率”与“密率”，它们可用“调日法”得到；称小于3.1415926的近似值为弱率，大于3.1415927的近似值为强率，由，取3为弱率，4为强率，得，故为强率，与上一次的弱率3计算得到，故为强率，继续计算，…，若某次得到的近似值为强率，与上一次的弱率继续计算得到新的近似值；若某次得到的近似值为弱率，故与上一次的强率继续计算得到新的近似值，依次类推，则 ；若，则 ．
【答案】 8
【详解】解：∵，∴3为弱率，4为强率， ，
∵，∴属于强率；
∵是强率，按照规则要与上一次的弱率3进行计算．∴，
∵，也是强率；
∴ ，，故同样是强率．
，∴，同样是强率．
，，依旧是强率．
，，依旧是强率，
，，为弱率，
∵是弱率，按照规则要与上一次的强率计算．
∴，，为弱率，
综上，通过“调日法”依次计算得出，，，，，，，；
故答案为：，8．
变式2．（24-25七年级上·山东青岛·期末）定义：对于确定位置的三个数：，取，，，这三个数的最小值，叫做求a，b，c的最优值，记作，例如，计算：，因为，，，所以，计算 ．
【答案】
【详解】解：∵，，，，
∴，故答案为：．
变式3．（24-25七年级上·河北邯郸·期中）在学习了“有理数的乘方”后，小明使用“乘方”这一数学知识脑洞大开地定义出有理数的“除方”．规定：若干个相同有理数（均不能为0）的除法运算叫做除方，如，等，可以类比有理数的乘方进行运算．小明把记作，把记作．
(1)_________；_________；(2)求的值；
(3)小明深入思考后发现：“除方”运算能够转化成乘方运算，且结果可以写成幂的形式，如，求的值．
【答案】(1)；(2)(3)
【详解】（1）解：，，故答案为：；；
（2）解：
；
（3）解：．
考点7.有理数混合运算的实际应用
【解题方法】有理数混合运算相关的实际应用题种类较多，但是很多题目只是所给的情境不一样，解答的方法并没有发生改变。能够熟练的分析应用题的数量关系，找准解题的方法和技巧。
例1．（24-25七年级上·浙江金华·期末）在某次研学活动中，小慧负责订购全班48位同学的营养午餐，每份营养午餐的单价为20元，现有如下两种订购方式：
订购方式 优惠活动 配送费
方式一：电话订购 每购买10份，免费赠送1份 免费
方式二：外卖APP下单 1．9.2折优惠2．红包立减折扣，一个订单只允许使用一个红包．注：优惠可叠加使用 订单总价满20元起送，每单配送费2元
(1)若小慧通过电话订购的方式购买这48份营养午餐，则需花费多少元？
(2)若小慧通过外卖APP购买这48份营养午餐，最少需花费多少元？
(3)小聪同学说，在同样条件下他能以更低的价格买到，你认为可能吗？如果可能，请制定购买方案，并算出费用（写出一个即可）；若不可能，请说明理由．
【答案】(1)元；(2)元；(3)可能，方案见解析，费用为元
【详解】（1）解：（元），
答：小慧通过电话订购的方式购买这48份营养午餐，需花费元；
（2）（元），
答：小慧通过外卖APP购买这48份营养午餐，最少需花费元；
（3）可能，
方案：通过外卖APP购买两单，一个三份，一个一份，再通过电话订购40份，需要花费
（元），
变式2．（2025·海南三亚·模拟预测）综合与实践
古人在研究天文，历法时，也曾经采用七进制、十二进制、六十进制记数法．至今，我们仍然使用一星期7天、一年个月、一小时分钟的记时方法。某校七年级课外实践小组进行了进位制的认识与探究活动，过程如下：
【进位制的认识】①进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．
②为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，例如，就是二进制数1011的简单写法．十进制数一般不标注基数．③一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式．
规定当时，．
如：；.
【解决问题】任务一、将表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式。________．
任务二、类比十进制加减法计算（结果保留二进制）：
；________．
任务三、已知年1月1日是星期三，请分别用十进制数和七进制数表示到本年6月日的天数，并判断6月日是星期几．（天数算法举例：年1月1日至本年1月6日的天数为6天）
【答案】任务一、；任务二、；任务三、见解析，星期三
【详解】解：（1）；
（2）；
（3）1月：天，2月：天，3月：天，4月：天，5月：天，6月：天，
总天数：天（十进制），
∴1月1日到6月日总天数为天，
七进制：，
∵1月1日是星期三，∴1月1日到1月5日是星期三到星期日，∴（天），
∵，∴可得年6月日仍为星期三．
变式2．（24-25七年级上·云南保山·期末）在我国，国庆节特指每年的10月1日，在国庆节来临之际，小明希望在保山进行5日游（五天四晚，五天四晚是指游玩行程为期五天，但住宿是四个夜晚）．小明爸爸和妈妈拿出9月份收支记录表给小明看，9月份收支情况如表：
日期 项目 收支情况（单位：元）
9月10日 爸爸工资收入5100元
9月11日 水、电、煤气、物业费共支出400元
9月12日 妈妈工资收入5000元
9月13日 电话、手机、网络费共支出900元
9月14日 购买衣物支出1000元
9月15日 偿还银行住房贷款2156元
9月16日 订购报刊、书籍等共支出258元
9月30日 本月伙食费开支1300元
合计 本月收入
本月支出
本月结余
(1)请补充表格；(2)通过调查，往年他们一家游玩期间平均每晚房费需120元，每天伙食费需220元，每天交通费需203元，每天购买纪念品需135元，每天其他开支106元．若他们家计划用9月份结余的钱去旅游，结合上表数据帮小明算一算他们一家是否有条件出去旅游？
【答案】(1)补充表格见解析(2)有条件，理由见解析
【详解】（1）解：妈妈工资收入5000元，记作，本月伙食费开支1300元记作，
本月收入：爸爸工资收入5100元加上妈妈工资收入5000元，即元，记作．
本月支出：元，记作．
本月结余：元．记作．
故答案为：，，，，，补充后的表格如下：
日期 项目 收支情况（单位：元）
9月10日 爸爸工资收入5100元
9月11日 水、电、煤气、物业费共支出400元
9月12日 妈妈工资收入5000元
9月13日 电话、手机、网络费共支出900元
9月14日 购买衣物支出1000元
9月15日 偿还银行住房贷款2156元
9月16日 订购报刊、书籍等共支出258元
9月30日 本月伙食费开支1300元
合计 本月收入
本月支出
本月结余
（2）旅游天的总花费计算如下：房费：每晚元，晚，元．
伙食费：每天元，天，元．
交通费：每天元，天，元．
购买纪念品费用：每天135元，天，元．
其他开支：每天106元，天，元．
总花费为：元．
因为，所以他们家有条件出去旅游．
全卷共24题 测试时间：120分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（24-25七年级上·辽宁盘锦·期中）如图，是一个有理数运算程序的流程图，请根据这个程序回答问题：当输入的x为2时，求最后输出的结果y是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【详解】解： ，
把1作为新数输入时， ，
∴输出的结果为，故选；A．
2．（2025·河北邢台·二模）对于式子，左边的第一个因数增加2后，积变化为（ ）
A．减少5 B．减少10 C．增加6 D．增加10
【答案】C
【详解】解：由题意得：，∴；故选C．
3．（24-25七年级上·上海普陀·阶段练习）为了大力促进人工智能与教育教学深度融合，本学期学校开设了人工智能课程．已知利用如图1的二维码可以进行身份识别，小王同学建立了一个身份识别系统．图2是某个学生的识别图案，黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0，将第一行数字从左到右依次记为a，b，c，d，那么可以转换为学生所在班级序号，其序号为．如图2第一行数字从左到右依次为0，1，0，1，序号为，表示该生为5班学生，表示6班学生的识别图案是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：A、第一行数字从左到右依次为1，0，1，0，序号为，表示该生为10班学生；
B、第一行数字从左到右依次为0，1，1，0，序号为，表示该生为6班学生；
C、第一行数字从左到右依次为1，0，0，1，序号为，表示该生为9班学生；
D、第一行数字从左到右依次为0，1，1，1，序号为，表示该生为7班学生．
故选：B．
4．（24-25七年级下·河北石家庄·期中）为了求的值，可令，则，因此所以，仿照以上推理，计算（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了有理数的混合运算，读懂题目信息，理解求和的运算方法是解题的关键．根据题目信息，设，求出，然后错位相减计算即可得解．
【详解】解：设，则，
，，，故选：C．
5．（24-25九年级上·贵州六盘水·期末）新定义运算：如图，在的正方形网格中，黑色格子表示0，白色格子表示1，每一行都按进行运算，其中x代表第几行，a表示每一行的第一个格子，b表示每一行的第二个格子，c表示每一行的第三个格子．例如：，那么的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【详解】解：根据题意，得，故选：A．
6．（24-25七年级上·北京·期中）按下面的程序计算：当输入时，输出结果是419；当输入时，输出结果是626；如果输入x的值是正整数，输出结果是311，那么满足条件的x的值最多有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【详解】解：第一个数就是直接输出其结果的：，解得：，
第二个数是解得：；
第三个数是：，解得：，
第四个数是，解得：，不是正整数（舍去）；
故满足条件所有x的值是104、35或12．故选：C．
7．（2025·湖北·统考二模）在算式中的“”里填入一个运算符号，使得它的结果最小（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：A、；B、；
C、；D、；
∵，∴结果最小的运算为C选项，故选：C．
8．（2025·广东·七年级校考期中）某公园将免费开放一天，早晨6时30分有2人进公园，第一个30min内有4人进去并出来1人，第二个30min内进去8人并出来2人，第三个30min内进去16人并出来3人，第四个30min内进去32人并出来4人，······按照这种规律进行下去，到上午11时30分公园内的人数是（ ）
A． B．4039 C．8124 D．16304
【答案】B
【详解】解：根据题意知：早晨6时30分有2人进公园，则，
第一个30min内有4人进去并出来1人，则，
第二个30min内进去8人并出来2人，则，
第三个30min内进去16人并出来3人，则，
第四个30min内进去32人并出来4人，则，……
∴第十个30min（即上午11时30分）内进去的人和出来的人数可表示为，
∴到上午11时30分公园内的人数为：
设，
∴，，
∴，
∴，，
∴
．故选：B．
9．（2024·河南漯河·七年级校考阶段练习）计算的值，结果正确的是（ ）
A．1 B． C．0 D．或0
【答案】B
【分析】由运算式中的加数一共个数，其中偶次方有个，奇次方有个，从而可得答案．
【详解】解： 故选B．
【点睛】本题考查的是有理数的混合运算，掌握“乘方运算的符号规律的确定”是解本题的关键．
10．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）如图1，八卦图是中国古代传下来的图形，八卦各有三爻（yáo），“乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑”分立八方，分别代表“天、地、雷、风、水、火、山、泽”八种性质与自然现象，世间万物皆可分类归至八卦之中，它亦是二进制与电子计算机的古老始祖．易经八卦中阴爻用中断线“--”表示或数字“0”表示，阳爻用连线“—”表示或数字“1”表示．十进制的有理数“3”可以用图2中八卦符号表示的是（ ）
A．B．C． D．
【答案】C
【详解】解：，故A不符合题意；
，故B不符合题意；
，故C符合题意；
，故D不符合题意；故选：C
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分，答案写在答题卡上）
11．（24-25七年级上·广东深圳·期末）下图是一个“数值转换机”的示意图，如果输入，，则输出的结果为 ．
【答案】4
【详解】解：当，时，则，故答案为：4．
12．（24-25七年级上·山东聊城·阶段练习）计算，结果应是 ．
【答案】
【详解】解：，故答案为：．
13．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期中）我们定义一种新运算：，则的值为 ．
【答案】
【详解】∵，∴．故答案为：．
14．（2025·广东深圳·二模）文文的教室地面形状是矩形，他想计算铺教室地面的瓷砖有多少块．他量得教室的长是8米，宽是7米，铺地面的瓷砖是边长为的正方形．请你帮他算一算，铺这间教室大约需要 块瓷砖（不计损耗）．
【答案】224
【详解】已知瓷砖边长为，因为，所以，
教室地面面积平方米，瓷砖面积平方米，
所需瓷砖块数为块．故答案为：224．
15．（24-25七年级上·广东深圳·期中）有一种“二十四点”的游戏，其游戏规则如下：将四个有理数（每个数都必须用到且只能用一次）进行加减乘除四则运算（可以添加括号），使其结果等于24．现有四个数2，，6，，运用上述规则写出一道算式，使其结果等于24，则算式是 （答案不唯一，只填一个）．
【答案】
【详解】解：，
按上述规则写出的算式为：．故答案为：．
16．（24-25七年级下·山东枣庄·期中）阅读理解：我们知道一般地，加减运算是互逆运算，乘除运算也是互逆运算；其实乘方运算也有逆运算；如我们规定式子可以变形为，也可以变形为．在式子中，3叫做以2为底8的对数，记为．一般地，若（且，），则n叫做以a为底b的对数，记为，即．根据上面的规定，请计算 ．
【答案】8
【详解】解：∵，，∴，，
∴，故答案为：8．
三、解答题（本题共8小题，共72分。其中：17-21题8分，22-23题每题10分，24题每题12分，答案写在答题卡上）
17．（24-25七年级上·湖南岳阳·期末）计算：
(1) (2)
【答案】(1) (2)
【详解】（1）解：
（2）解：
18．（24-25七年级上·江西鹰潭·阶段练习）计算：
(1)；(2)．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
19．（24-25七年级上·北京·期中）计算：
(1)； (2)；
(3)； (4)；
(5)； (6)．
【答案】(1)0(2)(3)23(4)(5)7(6)
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
；
（5）解：
．
（6）解：
．
20．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）计算：
(1)； (2)；
(3)； (4)
【答案】(1)(2)(3)(4)
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
；
（4）解：原式
21．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）P，Q，K所表示的运算如下表．若给出一个数，根据甲，乙，丙的排列顺序不同，可以得到不同的算式并计算结果．
P
Q
6K
(1)所给数字为“”时，①按的顺序列式并计算；②按的顺序列式并计算．
(2)若给出某个数，按的顺序运算的结果为14，求符合条件的数．
例如：所给数字为“5”，按的顺序运算，列得算式：．计算：原式＝．
【答案】(1)①9；②6(2)
【详解】（1）解：①按的顺序，所给数字为“”时，；
②按的顺序，所给数字为“”时，；
（2）解：若给出某个数，按的顺序运算的结果为14，
则， 即符合条件的数为．
22．（24-25七年级上·贵州遵义·期末）某校为提高全校学生的身体素质，倡导全校学生利用课余时间加强体育锻炼．为响应学校号召，小张同学为自己制定了每天跑步3千米的计划，以下是小张同学一周内的跑步记录，其中超过3千米的记为正，不足3千米的记为负．
日期 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日
与计划的差值（单位：千米）
(1)在这一周内，小张同学跑步路程最长的一天比跑步路程最短的一天多了 千米；
(2)小张同学这一周的跑步总路程是否完成了自己的计划？ 请通过计算说明理由；
(3)若小张同学每跑步1千米大约消耗90大卡的热量，则在这一周的跑步过程中，小张共计消耗多少大卡的热量？（结果用科学记数法表示）
【答案】(1)2.2(2)小张同学这一周的跑步总路程完成了自己的计划，理由见解析(3)大卡
【详解】（1）解：千米，故答案为：2.2；
（2）解：∵千米，
∴小张同学这一周的跑步总路程完成了自己的计划；
（3）解：大卡．
23．（24-25七年级上·辽宁大连·期末）规定两数之间的一种运算，记作：如果，那么．
例如：因为，所以．
(1)______，［____－8］；(2)令，，，，……，则［－2，______］，［－2，______］；
(3)令，，，若，求的值．
【答案】(1)(2)(3)10
【详解】（1）故答案为：；
（2），，，，
，，故答案为：；
（3），，
24．（2025七年级上·重庆·专题练习）“闯黄灯”已成为引发路口交通事故的主因之一．如图所示的十字路口，该路段交通信号灯红灯亮之前，会有亮黄灯的时间．某时刻，小车以的速度沿着中心线行驶到停止线时交通灯恰好变为黄灯，此时人行道的红绿灯也在后变成绿灯，行人以的速度过马路．已知马路宽，停止线到斑马线的距离，小车的尺寸为：长度，宽度．求：
(1)行人通过人行横道的时间；(2)若车闯黄灯，是否会撞到行人；(3)若人行道处有一长为的美团外卖摩托车以的速度横过马路，则小车速度在什么范围不会撞到摩托车．（不计摩托车宽度，保留两位小数）
【答案】(1)行人通过人行横道的时间为(2)小车不会撞到行人；(3)小于或大于
【详解】（1）解：行人通过人行横道的时间：；
（2）解：，，，
，所以，小车不会撞到行人；
（3）解：①摩托车车头碰到小车车尾时，，
所以小车的速度大于不会撞上摩托车；
②当小车的车头刚好撞上摩托车的车尾，则摩托车行驶的路程为
摩托车行驶的时间为：，小车的车头刚好撞上摩托车的车尾的速度为：，
所以甲车的速度小于也不会撞上摩托车；
综上可知，要使小车与摩托不相撞，小车的速度范围是或．
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专题2.6 有理数的混合运算
1. 掌握有理数的混合运算的基本概念和方法；
2. 理解混合运算中加、减、乘、除、乘方的优先级顺序；
3. 能够熟练进行有理数混合运算，并正确解释计算过程；
4. 能够熟练运用有理数混合运算解决相关应用问题。
TOC \o "1-4" \h \z \u 模块1：知识梳理 1
模块2：核心考点 2
考点1.加减乘除混合运算 2
考点2.含乘方的有理数混合运算 5
考点3.有理数混合运算与运算技巧 8
考点4.近有理数混合运算--程序框图 11
考点5.有理数混合运算--24点游戏 13
考点6.有理数混合运算--新定义 15
考点7.有理数混合运算的实际应用 18
模块3：培优训练 21
有理数混合运算的顺序：
(1)先乘方，再乘除，最后加减；
(2)同级运算，从左到右进行；
(3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。
考点1.加减乘除混合运算
【解题方法】有理数混合运算的顺序：(1)先乘除，后加减；(2)同级运算，从左到右进行；(3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．
例1．（24-25七年级上·辽宁盘锦·阶段练习）计算：
(1)； (2)；
(3)．
变式1．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）计算：
(1)；(2)．
变式2．（24-25七年级上·江苏徐州·期中）计算：(1)(2)
变式3．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）计算：
(1)； (2)； (3)；
(4)； (5)；
(6)； (7)；
考点2.含乘方的有理数混合运算
【解题方法】有理数混合运算的顺序：(1)先乘方，再乘除，最后加减；(2)同级运算，从左到右进行；(3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．
例1．（24-25七年级上·四川绵阳·期中）计算：
(1)；(2)．
变式1．（24-25七年级上·湖南永州·期中）计算．
(1)； (2)；
(3)； (4)．
变式2．（24-25七年级上·内蒙古包头·期中）计算：
(1) (2)
(3) (4)
考点3.有理数混合运算与运算技巧
【解题方法】运用运算律简化计算常见技巧：
加减法：①相反数结合——抵消；②同号结合——符号易确定；③同分母结合法——无需通分（分母倍数的也可考虑）；④凑整数；⑤同行结合法——分数拆分为整数和分数。
乘除法：①运用结合律，将能约分的先结合计算；②小数与分数相乘，一般先将小数化为分数；③带分数应先化为假分数的形式；④几个分数相乘，先约分，在相乘；⑤一个数与几个数的和相乘，通常用分配律可简化计算。
例1．（24-25七年级上·江苏常州·阶段练习）计算题：
(1)； (2)； (3)；
(4)； (5)； (6)．
变式1．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）计算：
(1) (2) (3)
(4) (5) (6)
变式2．（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习）计算：
(1)；(2)；(3)；(4)．
考点4.有理数混合运算--程序框图
【解题方法】程序框图解题通用步骤：
（1） 明确运算结构 ：①识别流程图中运算模块的先后顺序（如加减、乘除、乘方的位置）；②特别注意条件判断模块的阈值。
（2） 分步代入计算
（3） 循环终止判断 ：①每次计算结果作为新输入值；②结果满足阈值条件时终止循环。
注意：建议优先掌握运算顺序可视化方法与循环终止条件的快速判定技巧，配合至少3种不同类型的流程图案例进行专项训练。
例1．（24-25七年级上·浙江温州·期末）如图是小南设计的的一个运算程序，当她输入1时，输出的结果是 ．
变式1．（24-25七年级上·山东泰安·期末）按如图所示的程序计算，若开始输入的数为，则最后输出的结果是（ ）
A．6 B．21 C．156 D．231
变式2．（24-25七年级上·四川成都·期末）小明同学编写了一个加密数据的代码，如图是这个加密代码的运算程序，按照这个运算程序，当原始数据时，加密后的数据是253；当原始数据时，加密后的数据是235．如果输入的原始数据是正整数，加密后的数据是217，那么原始数据的值可以是 ．
变式3．（24-25七年级上·上海·期末）在下图所示的运算程序图中，若输出的数，则输入的数 ．

考点5.有理数混合运算--24点游戏
【解题方法】24点游戏易错点：
1） 忽略分数可能性 ：认为必须全部整数运算，实际可用分数；
2） 运算顺序错误 ：漏加括号导致优先级错误；
3） 固定思维局限 ：过度追求乘法对，忽略加减法组合。
例1．（24-25七年级上·广东深圳·期中）从一副扑克牌（去掉大、小王）中任意抽取四张，根据牌面上的数字进行混合运算（包括加、减、乘、除和乘方），每一张牌必须用一次且只能用一次，可以加括号，使得运算结果为24或，其中黑色扑克牌代表正数（黑桃、梅花为黑色），红色扑克牌代表负数（红桃、方块为红色），A，J，Q，K分别代表1，11，12，13．比如，小明抽到了黑桃7，黑桃3，红桃3，梅花7，他运用下面的方法凑成了：．如果抽到的是黑桃A，红桃2，黑桃2，梅花3，则列出算式为 ．
变式1．（24-25七年级上·四川成都·期中）“24点”游戏规则：从一副扑克牌抽去大小王剩下1~13这52张牌（A代表1），J、Q、K分别代表11、12、13，任意抽取4张牌称为牌组，黑色代表正数，红色代表负数，用加、减、乘、除、乘方把牌面上的数算成24，每张牌必须且只能用一次．如果抽到黑桃Q、红桃Q、梅花3、方块A，请列出一个含有乘方运算的算式，将该牌面上的数字凑成24： ．
变式2．（24-25七年级上·广东佛山·期中）24点游戏是一种使用扑克牌来进行的益智类游戏，游戏内容是：从一副扑克牌（去掉大王、小王剩下52张）中任意抽取4张牌，把牌面上的数字进行混合运算，使得运算结果为24．每张牌必须用一次且只能用一次，可以加括号．其中 ， 表示正， ， 表示负，分别代表1，11，12，13．
（1）在玩“24点”游戏时，小明抽到图1的4张牌，请你帮他写出2个运算结果为24的算式：____，_____；
（2）在玩“24点”游戏时，小刚抽到图2的4张牌，请你帮他写出1个运算结果为24的算式：______．
考点6.有理数混合运算--新定义
【解题方法】“新定义”型问题是指在问题中定义了初中数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识进行理解，而后根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型.它一般分为三种类型：（1）定义新运算；（2）定义初、高中知识衔接“新知识”；（3）定义新概念.这类试题考查考生对“新定义”的理解和认识，以及灵活运用知识的能力，解题时需要将“新定义”的知识与已学知识联系起来，利用已有的知识经验来解决问题。
例1．（24-25七年级上·北京·期中）探究规律，完成相关题目．
定义“*”运算：
；
；
；
；
；
；
；
；
；
．
归纳*运算的法则（用文字语言叙述）
(1)绝对值不同的两数进行*运算时，结果的绝对值如何确定？_________．
特别地，0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算，_____．
(2)计算：；(3)是否存在两个非零有理数m，n，使得，若存在，求出m，n满足的关系，若不存在，请说明理由．
变式1．（24-25九年级上·四川成都·期末）数学家祖冲之曾给出圆周率的两个近似值：“约率”与“密率”，它们可用“调日法”得到；称小于3.1415926的近似值为弱率，大于3.1415927的近似值为强率，由，取3为弱率，4为强率，得，故为强率，与上一次的弱率3计算得到，故为强率，继续计算，…，若某次得到的近似值为强率，与上一次的弱率继续计算得到新的近似值；若某次得到的近似值为弱率，故与上一次的强率继续计算得到新的近似值，依次类推，则 ；若，则 ．
变式2．（24-25七年级上·山东青岛·期末）定义：对于确定位置的三个数：，取，，，这三个数的最小值，叫做求a，b，c的最优值，记作，例如，计算：，因为，，，所以，计算 ．
变式3．（24-25七年级上·河北邯郸·期中）在学习了“有理数的乘方”后，小明使用“乘方”这一数学知识脑洞大开地定义出有理数的“除方”．规定：若干个相同有理数（均不能为0）的除法运算叫做除方，如，等，可以类比有理数的乘方进行运算．小明把记作，把记作．
(1)_________；_________；(2)求的值；
(3)小明深入思考后发现：“除方”运算能够转化成乘方运算，且结果可以写成幂的形式，如，求的值．
考点7.有理数混合运算的实际应用
【解题方法】有理数混合运算相关的实际应用题种类较多，但是很多题目只是所给的情境不一样，解答的方法并没有发生改变。能够熟练的分析应用题的数量关系，找准解题的方法和技巧。
例1．（24-25七年级上·浙江金华·期末）在某次研学活动中，小慧负责订购全班48位同学的营养午餐，每份营养午餐的单价为20元，现有如下两种订购方式：
订购方式 优惠活动 配送费
方式一：电话订购 每购买10份，免费赠送1份 免费
方式二：外卖APP下单 1．9.2折优惠2．红包立减折扣，一个订单只允许使用一个红包．注：优惠可叠加使用 订单总价满20元起送，每单配送费2元
(1)若小慧通过电话订购的方式购买这48份营养午餐，则需花费多少元？
(2)若小慧通过外卖APP购买这48份营养午餐，最少需花费多少元？
(3)小聪同学说，在同样条件下他能以更低的价格买到，你认为可能吗？如果可能，请制定购买方案，并算出费用（写出一个即可）；若不可能，请说明理由．
变式2．（2025·海南三亚·模拟预测）综合与实践
古人在研究天文，历法时，也曾经采用七进制、十二进制、六十进制记数法．至今，我们仍然使用一星期7天、一年个月、一小时分钟的记时方法。某校七年级课外实践小组进行了进位制的认识与探究活动，过程如下：
【进位制的认识】①进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．
②为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，例如，就是二进制数1011的简单写法．十进制数一般不标注基数．③一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式．
规定当时，．
如：；.
【解决问题】任务一、将表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式。________．
任务二、类比十进制加减法计算（结果保留二进制）：
；________．
任务三、已知年1月1日是星期三，请分别用十进制数和七进制数表示到本年6月日的天数，并判断6月日是星期几．（天数算法举例：年1月1日至本年1月6日的天数为6天）
变式2．（24-25七年级上·云南保山·期末）在我国，国庆节特指每年的10月1日，在国庆节来临之际，小明希望在保山进行5日游（五天四晚，五天四晚是指游玩行程为期五天，但住宿是四个夜晚）．小明爸爸和妈妈拿出9月份收支记录表给小明看，9月份收支情况如表：
日期 项目 收支情况（单位：元）
9月10日 爸爸工资收入5100元
9月11日 水、电、煤气、物业费共支出400元
9月12日 妈妈工资收入5000元
9月13日 电话、手机、网络费共支出900元
9月14日 购买衣物支出1000元
9月15日 偿还银行住房贷款2156元
9月16日 订购报刊、书籍等共支出258元
9月30日 本月伙食费开支1300元
合计 本月收入
本月支出
本月结余
(1)请补充表格；(2)通过调查，往年他们一家游玩期间平均每晚房费需120元，每天伙食费需220元，每天交通费需203元，每天购买纪念品需135元，每天其他开支106元．若他们家计划用9月份结余的钱去旅游，结合上表数据帮小明算一算他们一家是否有条件出去旅游？
全卷共24题 测试时间：120分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（24-25七年级上·辽宁盘锦·期中）如图，是一个有理数运算程序的流程图，请根据这个程序回答问题：当输入的x为2时，求最后输出的结果y是（ ）
A． B． C． D．1
2．（2025·河北邢台·二模）对于式子，左边的第一个因数增加2后，积变化为（ ）
A．减少5 B．减少10 C．增加6 D．增加10
3．（24-25七年级上·上海普陀·阶段练习）为了大力促进人工智能与教育教学深度融合，本学期学校开设了人工智能课程．已知利用如图1的二维码可以进行身份识别，小王同学建立了一个身份识别系统．图2是某个学生的识别图案，黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0，将第一行数字从左到右依次记为a，b，c，d，那么可以转换为学生所在班级序号，其序号为．如图2第一行数字从左到右依次为0，1，0，1，序号为，表示该生为5班学生，表示6班学生的识别图案是（ ）

A． B． C． D．
4．（24-25七年级下·河北石家庄·期中）为了求的值，可令，则，因此所以，仿照以上推理，计算（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25九年级上·贵州六盘水·期末）新定义运算：如图，在的正方形网格中，黑色格子表示0，白色格子表示1，每一行都按进行运算，其中x代表第几行，a表示每一行的第一个格子，b表示每一行的第二个格子，c表示每一行的第三个格子．例如：，那么的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（24-25七年级上·北京·期中）按下面的程序计算：当输入时，输出结果是419；当输入时，输出结果是626；如果输入x的值是正整数，输出结果是311，那么满足条件的x的值最多有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（2025·湖北·统考二模）在算式中的“”里填入一个运算符号，使得它的结果最小（ ）
A． B． C． D．
8．（2025·广东·七年级校考期中）某公园将免费开放一天，早晨6时30分有2人进公园，第一个30min内有4人进去并出来1人，第二个30min内进去8人并出来2人，第三个30min内进去16人并出来3人，第四个30min内进去32人并出来4人，······按照这种规律进行下去，到上午11时30分公园内的人数是（ ）
A． B．4039 C．8124 D．16304
9．（2024·河南漯河·七年级校考阶段练习）计算的值，结果正确的是（ ）
A．1 B． C．0 D．或0
10．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）如图1，八卦图是中国古代传下来的图形，八卦各有三爻（yáo），“乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑”分立八方，分别代表“天、地、雷、风、水、火、山、泽”八种性质与自然现象，世间万物皆可分类归至八卦之中，它亦是二进制与电子计算机的古老始祖．易经八卦中阴爻用中断线“--”表示或数字“0”表示，阳爻用连线“—”表示或数字“1”表示．十进制的有理数“3”可以用图2中八卦符号表示的是（ ）
A．B．C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分，答案写在答题卡上）
11．（24-25七年级上·广东深圳·期末）下图是一个“数值转换机”的示意图，如果输入，，则输出的结果为 ．
12．（24-25七年级上·山东聊城·阶段练习）计算，结果应是 ．
13．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期中）我们定义一种新运算：，则的值为 ．
14．（2025·广东深圳·二模）文文的教室地面形状是矩形，他想计算铺教室地面的瓷砖有多少块．他量得教室的长是8米，宽是7米，铺地面的瓷砖是边长为的正方形．请你帮他算一算，铺这间教室大约需要 块瓷砖（不计损耗）．
15．（24-25七年级上·广东深圳·期中）有一种“二十四点”的游戏，其游戏规则如下：将四个有理数（每个数都必须用到且只能用一次）进行加减乘除四则运算（可以添加括号），使其结果等于24．现有四个数2，，6，，运用上述规则写出一道算式，使其结果等于24，则算式是 （答案不唯一，只填一个）．
16．（24-25七年级下·山东枣庄·期中）阅读理解：我们知道一般地，加减运算是互逆运算，乘除运算也是互逆运算；其实乘方运算也有逆运算；如我们规定式子可以变形为，也可以变形为．在式子中，3叫做以2为底8的对数，记为．一般地，若（且，），则n叫做以a为底b的对数，记为，即．根据上面的规定，请计算 ．
三、解答题（本题共8小题，共72分。其中：17-21题8分，22-23题每题10分，24题每题12分，答案写在答题卡上）
17．（24-25七年级上·湖南岳阳·期末）计算：
(1) (2)
18．（24-25七年级上·江西鹰潭·阶段练习）计算：
(1)；(2)．
19．（24-25七年级上·北京·期中）计算：
(1)； (2)；
(3)； (4)；
(5)； (6)．
20．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）计算：
(1)； (2)；
(3)； (4)
21．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）P，Q，K所表示的运算如下表．若给出一个数，根据甲，乙，丙的排列顺序不同，可以得到不同的算式并计算结果．
P
Q
6K
(1)所给数字为“”时，①按的顺序列式并计算；②按的顺序列式并计算．
(2)若给出某个数，按的顺序运算的结果为14，求符合条件的数．
例如：所给数字为“5”，按的顺序运算，列得算式：．计算：原式＝．
22．（24-25七年级上·贵州遵义·期末）某校为提高全校学生的身体素质，倡导全校学生利用课余时间加强体育锻炼．为响应学校号召，小张同学为自己制定了每天跑步3千米的计划，以下是小张同学一周内的跑步记录，其中超过3千米的记为正，不足3千米的记为负．
日期 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日
与计划的差值（单位：千米）
(1)在这一周内，小张同学跑步路程最长的一天比跑步路程最短的一天多了 千米；
(2)小张同学这一周的跑步总路程是否完成了自己的计划？ 请通过计算说明理由；
(3)若小张同学每跑步1千米大约消耗90大卡的热量，则在这一周的跑步过程中，小张共计消耗多少大卡的热量？（结果用科学记数法表示）
23．（24-25七年级上·辽宁大连·期末）规定两数之间的一种运算，记作：如果，那么．
例如：因为，所以．
(1)______，［____－8］；(2)令，，，，……，则［－2，______］，［－2，______］；
(3)令，，，若，求的值．
24．（2025七年级上·重庆·专题练习）“闯黄灯”已成为引发路口交通事故的主因之一．如图所示的十字路口，该路段交通信号灯红灯亮之前，会有亮黄灯的时间．某时刻，小车以的速度沿着中心线行驶到停止线时交通灯恰好变为黄灯，此时人行道的红绿灯也在后变成绿灯，行人以的速度过马路．已知马路宽，停止线到斑马线的距离，小车的尺寸为：长度，宽度．求：
(1)行人通过人行横道的时间；(2)若车闯黄灯，是否会撞到行人；(3)若人行道处有一长为的美团外卖摩托车以的速度横过马路，则小车速度在什么范围不会撞到摩托车．（不计摩托车宽度，保留两位小数）
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