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专题2.8 有理数的九类运算技巧
在有理数的运算中，若能根据题目的特征，采用适当的运算技巧，不但能化繁为简，提高运算速度，提升运算的准确率，而且会使计算过程充满乐趣。本专题重点介绍几种有理数常用的运算技巧。
TOC \o "1-4" \h \z \u 模块1：核心考点 1
考点1.凑整法 1
考点2.拆项法 4
考点3.分组法 6
考点4.裂项相消法 7
考点5..相互转化法 10
考点6.倒数法 13
考点7.错位相减法 15
考点8.利用运算律进行简算 19
考点9.利用图形进行简算 22
模块2：培优训练 25
考点1.凑整法
【解题技巧】凑整法是数学运算中通过调整数字组合使其接近整十、整百等易计算的数值，从而简化运算过程的技巧。
核心思想 ：通过拆分、重组或调整运算顺序，使复杂的非整数值转化为整十、整百等便于计算的整数，从而提升运算效率和准确性。
例1．（2024七年级上·浙江·专题练习）甲、乙两人用简便方法进行计算的过程如下所示，下列判断正确的是（ ）
甲：
乙：
A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确 C．只有甲正确 D．只有乙正确
例2．（24-25七年级上·浙江·随堂练习）用简便方法计算：
(1)； (2)．
变式1．（24-25七年级上·浙江·课堂例题）用简便方法计算：
(1)；(2)．
变式2．（24-25七年级上·浙江·阶段练习）用简便方法计算：
(1)；(2)
变式3．（24-25七年级上·陕西咸阳·期中）用简便方法计算：
（1）；(2)．
考点2.拆项法
【解题技巧】拆项法是一种将带分数或复杂分数表达式拆分为整数和真分数（或更简单的分数组合）进行计算的方法。
结构拆分 ：将带分数分解为整数部分和真分数部分（如）；
分组优化 ：利用加法结合律、乘法分配律等数学规则重组运算顺序。
例1.（24-25七年级上·浙江·专题练习）阅读下面文字
对于可以如下计算：
原式＝
上面这种方法叫拆项法，仿照上面的方法，计算：
(1) 1+（ 2）+7+（ 4）；(2)（ 2020）+2019+（ 2018）+2017
变式1.（23-24七年级上·湖南怀化·期中）阅读下面文字：
对于可以如下计算：
原式
，
上面这种方法叫拆项法，你看懂了吗？
请仿照上面的方法，计算：．
变式2．（24-25七年级上·福建龙岩·期中）阅读下面文字：
对于，可以按如下方法计算：
原式
．
上面这种方法叫拆项法．
仿照上面的方法，请你计算：．
考点3.分组法
【解题技巧】观察算式，找出算式分布规律，然后适当分组，利用结合律将相加和为整数的结合在一起简化计算。
基本运算中的分组策略
1） 加减法的相邻分组 ：针对连续加减混合运算，优先将相邻的数按固定规律分组，简化计算。
示例 ：计算 100 - 99 + 98 - 97 + … + 2 - 1
分析：每两个相邻数为一组：(100-99) + (98-97) + … + (2-1)；每组结果为 1，共 50 组，总和为 50。
2）等差数列与等比数列分组 ：若数列由不同规律的分段组成，可拆分为多个子数列分别求和。
例1.（24-25七年级·浙江·阶段练习）计算值为（ ）
A．0 B．﹣1 C．2024 D．-2024
例2．（24-25·浙江·七年级期中）
变式1.（23-24七年级·重庆·期末）
变式2.（23-24七年级·浙江·阶段练习）计算：
变式3．（24-25七年级上·湖北襄阳·期末）
考点4.裂项相消法
【解题技巧】 裂项相消法 是将分数表达式拆分为若干项的差值或和差形式，使得相邻项在求和时发生抵消，从而快速简化计算的策略。
裂项相消法的核心是通过巧妙的代数变形，将复杂求和转化为简单抵消。掌握常见裂项公式和系数调整技巧，可快速解决分式、数列求和等问题，尤其在竞赛和考试中能大幅提升效率。
第一类（“裂差”型运算）：①或 ；
②。
裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x为任意自然数)的，但是只要将x提取出来即可转化为分子都是1的运算；（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”；（3）分母上几个因数间的差是一个定值。
第二类（“裂和”型运算）： 或 。
裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
例1.（23-24七年级上·浙江宁波·期中）多个数进行相加时，有许多计算技巧，其中一种为裂项相消法，有一种裂项方法为：当n，i均为正整数时，有，例如．根据上述结论，完成问题：
(1)计算：；
(2)直接写出下式的计算结果：______；
(3)①计算的值；②计算的值．
变式1．（24-25七年级上·重庆·期中）计算：
变式2．（24-25七年级上·浙江·期末）观察下列等式：，，，
请将以上三个等式两边分别相加得： 。
（1）猜想并写出： 。（2） 。
（3）探究并计算： 。
（4）计算：
变式3．（24-25七年级上·浙江·期中）计算题：
考点5..相互转化法
【解题技巧】相互转化法通过形式（分数、小数、百分数）统一、结构优化和单位整合，大幅提升计算效率。重点在于灵活选择转化路径，并熟练运用运算定律（如分配律、结合律）进行简化。
例1.（24-25七年级·浙江衢州·阶段练习）用简便方法计算：
(1) (2)
变式1．（24-25七年级上·黑龙江绥化·阶段练习）计算（能简算的要简算）
(1)；(2)；(3)
(4)；(5)；(6)
变式2.（24-25七年级上·重庆·期中）计算：(1)；(2)
考点6.倒数法
【解题技巧】倒数法通过取倒数或表达式的倒数，将复杂运算转化为更易处理的形式。
倒数法通过逆向转化运算逻辑，显著提升分数运算、方程求解及复杂问题的处理效率。重点在于灵活转化运算形式（如除法→乘法、分母→分子），并结合分配律、方程变形等技巧综合应用。
例1.（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）阅读下面材料：
计算：
解法①：原式
；
解法②：原式
；
解法三：原式的倒数为
，
故原式．
(1)上述三种解法得出的结果不同，肯定有解法是错误的，你认为解法_____是错误的（填序号）
(2)在正确的解法中，你认为解法______比较简便．（填序号）
请你进行简便计算：．
变式1.（23-24七年级上·湖南湘西·期末）数学老师为了优化同学们的运算思维，提高数学运算能力，复习有理数综合运算时，布置了一道有意思的计算题：请用不同解法计算
刘聪和他的小伙伴选择常规解法： 张明开动脑筋，经过观察算式特点，和同学们深入分析、探究，又找到了下面这种解法：原式的倒数：
所以，原式
(1)请比较刘聪和张明两位同学的解法，你喜欢哪位同学的解法？ 为什么？
(2)请选择你喜欢的解法计算：
变式2．（24-25七年级上·江苏·期中）计算：
(1)前后两部分之间存在着什么关系？(2)先计算哪部分比较简单 请给予解答；
(3)利用（1）中的关系，直接写出另一部分的结果；(4)根据上述分析，求出原式的结果．
考点7.错位相减法
【解题技巧】错位相减法通过构造等比数列的和式与其公比倍数的错位式，利用 中间项相消的特性简化求和过程，最终导出等比数列前n项和的表达式。
通过错位相减法，可直观理解等比数列求和的数学本质，并确保公式推导的逻辑严密性。实际应用中，直接套用闭合公式可高效解题，但推导过程需熟练掌握。
例1．（24-25七年级上·湖北十堰·期中）【阅读材料】数列是一个古老的数学课题，我国对数列概念的认识很早，例如《易传·系辞》：“河出图，洛出书，圣人则之；两仪生四象，四象生八卦”，这是世界数学史上有关等比数列的最早文字记载．
【等比数列】按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．排在第一位的数称为第一项，记为，排在第二位的数称为第二项，记为，依此类推，排在第n位的数称为第n项，记为．所以，数列的一般形式可以写成：，，，．．．，．．．．
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比值等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用q表示．如：数列1，2，4，8，．．．为等比数列，其中，公比为．根据以上材料，解答下列问题：
（1）等比数列3，9，27，．．．的公比q为___，第5项是___．
【公式推导】如果一个数列，，，．．．，．．．，是等比数列，且公比为q，那么根据定义可得到：，，，．．．，．所以，
，，．．．
（2）由此，请你填空完成等比数列的通项（即第n项）公式___．
【拓广探究】等比数列求和公式并不复杂，但是其推导过程——错位相减法，构思精巧、形式奇特．欧几里得在《几何原本》中就给出了等比数列前n项和公式，而错位相减法则直到1822年才由欧拉在《代数学基础》中给出，时间相差两千多年．下面是小明为了计算的值，采用的方法：
设①， 则②，
得，∴．
【解决问题】（3）求的值；
（4）直接写出的值．
变式1．（24-25七年级上·云南昆明·期末）在数学兴趣活动中，小容为了求的值，写出下列解题过程．
解：设①
两边同乘以2得：②
由②-①得：
(1)应用结论：根据题目的结论，直接写出：______；
(2)模仿计算：请模仿题目中的算法计算：；
(3)拓展迁移：“数形结合”是数学中常用的思想，“以形助数”能够利用几何图形解决相关的不易求解的代数问题．小容在计算（2）的过程中发现，借助几何图形可以快速得出结果．
如图，小容将一个面积为1的正方形按一定规律分割成若干部分．
①请你根据图示说明小容是如何分割正方形的？
②请你说明小容是如何利用分割的图形来计算？
变式2．（23-24七年级上·山东青岛·期中）数和形是数学的两个主要研究对象，我们经常运用数形结合、数形转化的方法解决一些数学问题．下面我们来探究“由数思形，以形助数”的方法在解决代数问题中的应用．
如图，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分①是边长为1的正方形纸片面积的一半，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，依次类推．

(1)图中阴影部分的面积为　　；(2)受此启发，得到＝　　；
(3)联系拓广，得到＝　　（用含n的式子表示）；
(4)迁移应用：得到＝　　（直接写出答案即可）．
考点8.利用运算律进行简算
【解题技巧】加法交换律： 乘法结合律：
乘法交换律： 乘法结合律：
乘法分配律： 乘法分配律的逆用：
运算律法： 变运用运算律改变运算顺序；通过改变运算顺序，简化计算步骤。 逆正难则反，逆用运算律改变次序 ：通过逆用运算律，解决复杂问题。
例1．（24-25七年级上·河北廊坊·阶段练习）用简便方法计算：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
例2．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）计算：
(1)（用简便方法）．(2)（用乘法分配律）
例2．（24-25七年级上·天津宁河·阶段练习）用简便方法计算：
(1)；(2)．
变式1．（24-25七年级上·山东青岛·阶段练习）（1）计算：
（2）计算： （3）计算：
（4）用乘法分配律计算： （5）计算：
（6）用简便方法计算：
变式2．（2024七年级上·江苏·专题练习）用简便方法计算：
(1)； (2)．
考点9.利用图形进行简算
【解题技巧】利用图形进行简便运算的方法，通常被称为 图形法 或 几何法 。这种方法通过将数学问题转化为图形问题，利用图形的直观性和几何性质来简化运算过程。需要注意的是，虽然图形法可以简化运算过程并提高解题效率，但在使用时应确保图形的准确性和规范性。此外，对于一些特殊问题或复杂情况，可能需要结合其他数学方法或工具来共同求解。
例1．（24-25七年级上·山东聊城·期中）如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为的长方形；接着把其中一个面积为的长方形等分成两个面积为的正方形；再把其中一个面积为的正方形等分成两个面积为的长方形…如此进行下去．
(1)利用图形计算：；(2)计算________；
(3)数轴上两点的距离为3，一动点从点出发，按以下规律跳动，第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处．按照这样的规律继续跳动到点（，是整数）处，那么线段的长度为________（，是整数）．
变式1．（24-25七年级上·浙江·期中）如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为的长方形，接着把面积为的长方形等分成两个面积为的正方形，再把面积为的正方形等分成两个面积为的长方形……如此进行下去，试利用图形揭示的规律计算： ．

变式2．（24-25七年级上·山东潍坊·期末）如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为的长方形；接着把其中一个面积为一的长方形等分成两个面积为的正方形；再把其中一个面积为的正方形等分成两个面积为的长方形；……如此进行下去．利用上述图形，能得出 ．
全卷共24题 测试时间：120分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（24-25七年级上·河北保定·期末）下列各式中，运用运算律不正确的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）如图是嘉淇对一道题的解题过程，下列说法正确的是（ ）
…①
…②
…③
A．解题运用了加法结合律 B．解题运用了乘法交换律 C．从②步开始出错 D．从③步开始出错
3．（24-25七年级上·云南西双版纳·期中）用简便方法计算，逆用分配律正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25七年级上·上海·阶段练习）计算的值是（ ）
A． B． C．0 D．
5．（24-25七年级上·广东广州·期末）定义新运算：对任意非零实数，有，则（）
A． B．1 C． D．
6.（23-24七年级·山西太原·阶段练习）计算值为（ ）
A．0 B．﹣1 C．2020 D．-2020
7．（24-25七年级下·山东青岛·期中）数学符号是数学学科中用来表示数量关系和空间形式的符号系统，它们具有高度的抽象性和简洁性．在数学中，记．，，，…，．则的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
8．（24-25七年级下·河北石家庄·期中）为了求的值，可令，则，因此所以，仿照以上推理，计算（ ）
A． B． C． D．
9．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）数学家华罗庚曾经说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”．如图，将一个边长为1的正方形纸板等分成两个面积为的长方形，接着把面积为的长方形分成两个面积为的长方形，如此继续进行下去，根据图形的规律计算：的值为（ ）
A． B． C． D．
10．（24-25七年级上·浙江嘉兴·阶段练习）在军训期间，701班43名学生做游戏，起初全体学生站立，教官每次任意点m个不同学号的学生，被点到的学生，站立的蹲下，蹲下的站立，且学生都正确完成指令（同一名学生可以多次被点名），则n次点名后（n，m为正整数），下列说法正确的是（ ）
A．当m为奇数时，无论n何值，蹲下的学生人数不可能为偶数个
B．当m为奇数时，无论n何值，蹲下的学生人数不可能为奇数个
C．当m为偶数时，无论n何值，蹲下的学生人数不可能为奇数个
D．当m为偶数时，无论n何值，蹲下的学生人数不可能为偶数个
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分，答案写在答题卡上）
11．（24-25七年级上·北京东城·阶段练习）阅读下面文字：对于
可以如下计算：原式
，
上面这种方法叫拆项法．
仿照上面的方法，计算： ．
12．（2024·广东茂名市·七年级期末）为了求的值，可设，则，因此，所以．请仿照以上推理计算出 ________ ．
13．（24-25七年级下·江苏南京·期中）有两组数，第一组：，，，，；第二组：，，，．从第一组数中任取一个数与第二组数中任取一个数相乘，则所有乘积的总和是 ．
14．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）若 ，则整数的值为
15．（24-25七年级上·广东·期中） = 。
16．（2024·七年级上·广东佛山·期末）计算：= 。
三、解答题（本题共8小题，共72分。其中：17-21题8分，22-23题每题10分，24题每题12分，答案写在答题卡上）
17．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）用简便方法计算：
(1)； (2)．
18．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉．例如：；．
(1)根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式：①______；②______．
(2)用合理的方法计算：．
(3)用简便方法计算：．
19．（2024七年级上·江苏·专题练习）用简便方法计算：
(1)；(2)．
20．（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）用简便方法计算
(1)； (2)；
(3)； (4)．
21．（24-25七年级上·新疆阿克苏·阶段练习）学习了有理数的乘除法运算后，张老师给同学们出了这样一道题：计算，看谁算得又快又对，下面是两位同学给出的不同解法：
小刚：原式；
小聪：原式．
(1)以上两种解法，你认为_________（填“小刚”或“小聪”）的解法比较简便；
(2)用简便方法计算．
22．（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）（1）请你观察：
；；…
以上方法称为“裂项相消求和法”
仿照上面的方法，请你计算：的值．
（2）．阅读下面文字：
对于，可以按如下方法计算：
原式
．
上面这种方法叫拆项法；
仿照上面的方法，请你计算：．
23．（24-25七年级上·内蒙古赤峰·期中）先阅读下面文字，然后按要求解题．
例：？如果按个顺次相加太繁，我们仔细分析这100个连续自然数的规律和特点，可以发现运用加法的运算律可以大大简化计算，提高计算速度．
因为，所以将所给算式中各加数经过交换、结合以后，可以很快求出结果．
如：．
解答下列问题：（1）求1，2，3，4，…，199，200的和；（2）计算．
24．（24-25七年级上·山东泰安·期中）数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法．我们经常用数形结合、数形转化的方法解决一些数学问题．如图所示，将一个边长为1的正方形纸片分制成6个部分，部分①的面积是边长为1的正方形纸片面积的一半，部分②的面积是部分①面积的一半，部分③的面积是部分②面积的一半，依此类推．
(1)阴影部分的面积是________．
(2)受（1）的启发，试求出的值．
(3)进而计算：________．
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专题2.8 有理数的九类运算技巧
在有理数的运算中，若能根据题目的特征，采用适当的运算技巧，不但能化繁为简，提高运算速度，提升运算的准确率，而且会使计算过程充满乐趣。本专题重点介绍几种有理数常用的运算技巧。
TOC \o "1-4" \h \z \u 模块1：核心考点 1
考点1.凑整法 1
考点2.拆项法 4
考点3.分组法 6
考点4.裂项相消法 7
考点5..相互转化法 10
考点6.倒数法 13
考点7.错位相减法 15
考点8.利用运算律进行简算 19
考点9.利用图形进行简算 22
模块2：培优训练 25
考点1.凑整法
【解题技巧】凑整法是数学运算中通过调整数字组合使其接近整十、整百等易计算的数值，从而简化运算过程的技巧。
核心思想 ：通过拆分、重组或调整运算顺序，使复杂的非整数值转化为整十、整百等便于计算的整数，从而提升运算效率和准确性。
例1．（2024七年级上·浙江·专题练习）甲、乙两人用简便方法进行计算的过程如下所示，下列判断正确的是（ ）
甲：
乙：
A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确 C．只有甲正确 D．只有乙正确
【答案】D
【详解】解：，可知甲不正确；
，可知乙正确；故选：D．
例2．（24-25七年级上·浙江·随堂练习）用简便方法计算：
(1)； (2)．
【答案】(1) (2)
【详解】（1）
；
（2）解：
．
变式1．（24-25七年级上·浙江·课堂例题）用简便方法计算：
(1)；(2)．
【答案】(1)(2)1
【详解】（1）解：原式
，
（2）解：原式
．
变式2．（24-25七年级上·浙江·阶段练习）用简便方法计算：
(1)；(2)
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：
（2）
变式3．（24-25七年级上·陕西咸阳·期中）用简便方法计算：
（1）；(2)．
【答案】（1）；(2)
【详解】（1）解：
．
（2）解：原式
；
考点2.拆项法
【解题技巧】拆项法是一种将带分数或复杂分数表达式拆分为整数和真分数（或更简单的分数组合）进行计算的方法。
结构拆分 ：将带分数分解为整数部分和真分数部分（如）；
分组优化 ：利用加法结合律、乘法分配律等数学规则重组运算顺序。
例1.（24-25七年级上·浙江·专题练习）阅读下面文字
对于可以如下计算：
原式＝
上面这种方法叫拆项法，仿照上面的方法，计算：
(1) 1+（ 2）+7+（ 4）；(2)（ 2020）+2019+（ 2018）+2017
【答案】(1)(2) 2
【详解】（1） 1（ 2）+7（ 4）
＝（ 1）+（ 2）+（7）+（ 4）
＝（ 1 2+7 4）+（）
＝0；
（2）（ 2020）+2019（ 2018）+2017
＝（ 2020）+（2019）+（ 2018）+（2017）
＝（ 2020+2019 2018+2017）+（）
＝ 2
＝ 2．
变式1.（23-24七年级上·湖南怀化·期中）阅读下面文字：
对于可以如下计算：
原式
，
上面这种方法叫拆项法，你看懂了吗？
请仿照上面的方法，计算：．
【答案】
【详解】解：
．
变式2．（24-25七年级上·福建龙岩·期中）阅读下面文字：
对于，可以按如下方法计算：
原式
．
上面这种方法叫拆项法．
仿照上面的方法，请你计算：．
【答案】
【详解】解：原式
．
考点3.分组法
【解题技巧】观察算式，找出算式分布规律，然后适当分组，利用结合律将相加和为整数的结合在一起简化计算。
基本运算中的分组策略
1） 加减法的相邻分组 ：针对连续加减混合运算，优先将相邻的数按固定规律分组，简化计算。
示例 ：计算 100 - 99 + 98 - 97 + … + 2 - 1
分析：每两个相邻数为一组：(100-99) + (98-97) + … + (2-1)；每组结果为 1，共 50 组，总和为 50。
2）等差数列与等比数列分组 ：若数列由不同规律的分段组成，可拆分为多个子数列分别求和。
例1.（24-25七年级·浙江·阶段练习）计算值为（ ）
A．0 B．﹣1 C．2024 D．-2024
【答案】D
【详解】解：1+2-3-4+5+6-7-8+9+10-11-12+……+2021+2022-2023-2024
=（1+2-3-4）+（5+6-7-8）+（9+10-11-12）+……+（2021+2022-2023-2024）
=（-4）+（-4）+（-4）+（-4）+……+（-4）=（-4）×506＝-2024．故选D.
例2．（24-25·浙江·七年级期中）
【答案】
【详解】将算式中的整数与整数相加，分数与分数相加，分母裂项进行相加：
原式= ）=
变式1.（23-24七年级·重庆·期末）
【答案】0
【详解】原式＝＝0，
变式2.（23-24七年级·浙江·阶段练习）计算：
【答案】1012
【详解】
每两个数为一组，一共有338组，每组的结果是3；原式．
变式3．（24-25七年级上·湖北襄阳·期末）
【答案】5055；
【详解】
＝1＋＋2＋＋3＋＋4＋＋5＋…＋100＋
＝（1＋2＋3＋4＋…＋100）＋（＋＋＋＋…＋）
＝（1＋100）×100÷2＋
＝101×100÷2＋
＝10100÷2＋
＝5050＋
＝5050＋5
＝5055
考点4.裂项相消法
【解题技巧】 裂项相消法 是将分数表达式拆分为若干项的差值或和差形式，使得相邻项在求和时发生抵消，从而快速简化计算的策略。
裂项相消法的核心是通过巧妙的代数变形，将复杂求和转化为简单抵消。掌握常见裂项公式和系数调整技巧，可快速解决分式、数列求和等问题，尤其在竞赛和考试中能大幅提升效率。
第一类（“裂差”型运算）：①或 ；
②。
裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x为任意自然数)的，但是只要将x提取出来即可转化为分子都是1的运算；（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”；（3）分母上几个因数间的差是一个定值。
第二类（“裂和”型运算）： 或 。
裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
例1.（23-24七年级上·浙江宁波·期中）多个数进行相加时，有许多计算技巧，其中一种为裂项相消法，有一种裂项方法为：当n，i均为正整数时，有，例如．根据上述结论，完成问题：
(1)计算：；
(2)直接写出下式的计算结果：______；
(3)①计算的值；②计算的值．
【答案】(1)，(2)(3)
【详解】（1）解：，
故答案为：，
（2），
故答案为：．
（3）①
；
②
，
．
变式1．（24-25七年级上·重庆·期中）计算：
【答案】
【详解】
变式2．（24-25七年级上·浙江·期末）观察下列等式：，，，
请将以上三个等式两边分别相加得： 。
（1）猜想并写出： 。（2） 。
（3）探究并计算： 。
（4）计算：
【答案】（1）（2）（3）（4）
【详解】（1）＝
＝
变式3．（24-25七年级上·浙江·期中）计算题：
【答案】；
【详解】
＝
＝
＝
＝
＝
考点5..相互转化法
【解题技巧】相互转化法通过形式（分数、小数、百分数）统一、结构优化和单位整合，大幅提升计算效率。重点在于灵活选择转化路径，并熟练运用运算定律（如分配律、结合律）进行简化。
例1.（24-25七年级·浙江衢州·阶段练习）用简便方法计算：
(1) (2)
【答案】(1)；(2)
【详解】（1）解：
；
（2）
；
变式1．（24-25七年级上·黑龙江绥化·阶段练习）计算（能简算的要简算）
(1)；(2)；(3)
(4)；(5)；(6)
【答案】(1)(2)3(3)(4)80(5)2(6)
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
；
（5）解：
；
（6）解：
．
变式2.（24-25七年级上·重庆·期中）计算：(1)；(2)
【答案】(1)12 (2)
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：
；
考点6.倒数法
【解题技巧】倒数法通过取倒数或表达式的倒数，将复杂运算转化为更易处理的形式。
倒数法通过逆向转化运算逻辑，显著提升分数运算、方程求解及复杂问题的处理效率。重点在于灵活转化运算形式（如除法→乘法、分母→分子），并结合分配律、方程变形等技巧综合应用。
例1.（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）阅读下面材料：
计算：
解法①：原式
；
解法②：原式
；
解法三：原式的倒数为
，
故原式．
(1)上述三种解法得出的结果不同，肯定有解法是错误的，你认为解法_____是错误的（填序号）
(2)在正确的解法中，你认为解法______比较简便．（填序号）
请你进行简便计算：．
【答案】(1)①(2)③；
【详解】（1）解：三种解法得出的结果不同，解法①是错误的．故答案为：①；
（2）解：在正确的解法中，解法③比较简便．故答案为：③；
原式的倒数为
，
∴原式．
变式1.（23-24七年级上·湖南湘西·期末）数学老师为了优化同学们的运算思维，提高数学运算能力，复习有理数综合运算时，布置了一道有意思的计算题：请用不同解法计算
刘聪和他的小伙伴选择常规解法： 张明开动脑筋，经过观察算式特点，和同学们深入分析、探究，又找到了下面这种解法：原式的倒数：
所以，原式
(1)请比较刘聪和张明两位同学的解法，你喜欢哪位同学的解法？ 为什么？
(2)请选择你喜欢的解法计算：
【答案】(1)更喜欢张明的解法，理由见解析(2)
【详解】（1）解：更喜欢张明的解法，理由如下：
观察两人的解题过程可知，张明的解题过程简单，且省去了通分计算，比较简便，
∴更喜欢张明的解法；
（2）解：原式的倒数为：
，
．
变式2．（24-25七年级上·江苏·期中）计算：
(1)前后两部分之间存在着什么关系？(2)先计算哪部分比较简单 请给予解答；
(3)利用（1）中的关系，直接写出另一部分的结果；(4)根据上述分析，求出原式的结果．
【答案】(1)前后两部分互为倒数(2)先计算后面的部分比较简单，解答过程见解析(3)另一部分的结果为
【解析】解：∵乘积为1的两个数互为倒数
∴前后两部分互为倒数．
（2）解：计算应先通分，然后化除法为乘法，最后进行计算；
计算，先化除法为乘法，然后根据乘法分配律，进行加减计算；
∴先计算后面部分比较方便
计算如下：
．
（3）解：∵前后两部分互为倒数，后面部分：
∴前面部分：．
（4）解：
．
考点7.错位相减法
【解题技巧】错位相减法通过构造等比数列的和式与其公比倍数的错位式，利用 中间项相消的特性简化求和过程，最终导出等比数列前n项和的表达式。
通过错位相减法，可直观理解等比数列求和的数学本质，并确保公式推导的逻辑严密性。实际应用中，直接套用闭合公式可高效解题，但推导过程需熟练掌握。
例1．（24-25七年级上·湖北十堰·期中）【阅读材料】数列是一个古老的数学课题，我国对数列概念的认识很早，例如《易传·系辞》：“河出图，洛出书，圣人则之；两仪生四象，四象生八卦”，这是世界数学史上有关等比数列的最早文字记载．
【等比数列】按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．排在第一位的数称为第一项，记为，排在第二位的数称为第二项，记为，依此类推，排在第n位的数称为第n项，记为．所以，数列的一般形式可以写成：，，，．．．，．．．．
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比值等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用q表示．如：数列1，2，4，8，．．．为等比数列，其中，公比为．根据以上材料，解答下列问题：
（1）等比数列3，9，27，．．．的公比q为___，第5项是___．
【公式推导】如果一个数列，，，．．．，．．．，是等比数列，且公比为q，那么根据定义可得到：，，，．．．，．所以，
，，．．．
（2）由此，请你填空完成等比数列的通项（即第n项）公式___．
【拓广探究】等比数列求和公式并不复杂，但是其推导过程——错位相减法，构思精巧、形式奇特．欧几里得在《几何原本》中就给出了等比数列前n项和公式，而错位相减法则直到1822年才由欧拉在《代数学基础》中给出，时间相差两千多年．下面是小明为了计算的值，采用的方法：
设①， 则②，
得，∴．
【解决问题】（3）求的值；
（4）直接写出的值．
【答案】（1）3，；（2）；（3）；（4）
【详解】（1）解：由题意知，，第5项是，故答案为：3，；
（2）解：由题意知，，故答案为：；
（3）解：令，则，
∴，解得，，∴．
（4）解：令，则，
∴，解得，，
∴的值为．
变式1．（24-25七年级上·云南昆明·期末）在数学兴趣活动中，小容为了求的值，写出下列解题过程．
解：设①
两边同乘以2得：②
由②-①得：
(1)应用结论：根据题目的结论，直接写出：______；
(2)模仿计算：请模仿题目中的算法计算：；
(3)拓展迁移：“数形结合”是数学中常用的思想，“以形助数”能够利用几何图形解决相关的不易求解的代数问题．小容在计算（2）的过程中发现，借助几何图形可以快速得出结果．
如图，小容将一个面积为1的正方形按一定规律分割成若干部分．
①请你根据图示说明小容是如何分割正方形的？
②请你说明小容是如何利用分割的图形来计算？
【答案】(1)(2)(3)①见解析；②见解析
【详解】（1）解：由题干得：，
将代入得：，故答案为：；
（2）解：设
两边同乘得：
由得： ；
（3）解：答：小容将面积为的正方形平均分成两部分，部分Ⅰ的面积为 ；部分Ⅱ是部分Ⅰ面积的一半， ；部分Ⅲ是部分Ⅱ面积的一半， ，，以此类推，第次分出部分， ，剩余阴影部分的面积也是 ；
可以看做各个部分的面积和，即为 ．
变式2．（23-24七年级上·山东青岛·期中）数和形是数学的两个主要研究对象，我们经常运用数形结合、数形转化的方法解决一些数学问题．下面我们来探究“由数思形，以形助数”的方法在解决代数问题中的应用．
如图，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分①是边长为1的正方形纸片面积的一半，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，依次类推．

(1)图中阴影部分的面积为　　；(2)受此启发，得到＝　　；
(3)联系拓广，得到＝　　（用含n的式子表示）；
(4)迁移应用：得到＝　　（直接写出答案即可）．
【答案】(1)(2)(3)(4)
【详解】（1）由题知，正方形每次被分割的部分是前一部分面积的一半，
所以图中阴影部分的面积与部分⑥的面积相等．
又因为部分①的面积为：，部分②的面积为：，
部分③的面积为：，…，依次类图，部分n的面积为．
当时，．所以阴影部分的面积为．故答案为：．
（2）由（1）知，，所以．故答案为：．
（3）根据（2）中的发现可知，．故答案为：．
（4）由题知，原式．
令①，则②，
得，，即，
所以原式．故答案为：．
考点8.利用运算律进行简算
【解题技巧】加法交换律： 乘法结合律：
乘法交换律： 乘法结合律：
乘法分配律： 乘法分配律的逆用：
运算律法： 变运用运算律改变运算顺序；通过改变运算顺序，简化计算步骤。 逆正难则反，逆用运算律改变次序 ：通过逆用运算律，解决复杂问题。
例1．（24-25七年级上·河北廊坊·阶段练习）用简便方法计算：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
【答案】(1)(2)0(3)7(4)
【详解】（1）解：原式
（2）原式
（3）原式
（4）原式
例2．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）计算：
(1)（用简便方法）．(2)（用乘法分配律）
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：
（2）解：
．
例2．（24-25七年级上·天津宁河·阶段练习）用简便方法计算：
(1)；(2)．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
变式1．（24-25七年级上·山东青岛·阶段练习）（1）计算：
（2）计算： （3）计算：
（4）用乘法分配律计算： （5）计算：
（6）用简便方法计算：
【答案】（1）2；（2）；（3）；（4）4；（5）；（6）
【详解】解：（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
；
（5）
；
（6）
．
变式2．（2024七年级上·江苏·专题练习）用简便方法计算：
(1)； (2)．
【答案】(1) (2)
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
考点9.利用图形进行简算
【解题技巧】利用图形进行简便运算的方法，通常被称为 图形法 或 几何法 。这种方法通过将数学问题转化为图形问题，利用图形的直观性和几何性质来简化运算过程。需要注意的是，虽然图形法可以简化运算过程并提高解题效率，但在使用时应确保图形的准确性和规范性。此外，对于一些特殊问题或复杂情况，可能需要结合其他数学方法或工具来共同求解。
例1．（24-25七年级上·山东聊城·期中）如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为的长方形；接着把其中一个面积为的长方形等分成两个面积为的正方形；再把其中一个面积为的正方形等分成两个面积为的长方形…如此进行下去．
(1)利用图形计算：；(2)计算________；
(3)数轴上两点的距离为3，一动点从点出发，按以下规律跳动，第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处．按照这样的规律继续跳动到点（，是整数）处，那么线段的长度为________（，是整数）．
【答案】(1)；(2)或；(3)．
【详解】（1）由图形中数据可知，，，，
∴，，；
（2）同（）理可得：或；
（3）同（）理可得：．
变式1．（24-25七年级上·浙江·期中）如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为的长方形，接着把面积为的长方形等分成两个面积为的正方形，再把面积为的正方形等分成两个面积为的长方形……如此进行下去，试利用图形揭示的规律计算： ．

【答案】
【详解】解：根据图示可知，，，，
∴．故答案为：．
变式2．（24-25七年级上·山东潍坊·期末）如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为的长方形；接着把其中一个面积为一的长方形等分成两个面积为的正方形；再把其中一个面积为的正方形等分成两个面积为的长方形；……如此进行下去．利用上述图形，能得出 ．
【答案】
【详解】解：根据把一个面积为1的正方形等分成两个面积为的长方形，
再把其中一个面积为的长方形等分成两个面积为 的正方形，
再把其中一个面积为的正方形等分成两个面积为 的长方形，…，
所以原式=+++…+=+++…+=1 ．故答案为：1 ．
全卷共24题 测试时间：120分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（24-25七年级上·河北保定·期末）下列各式中，运用运算律不正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：A．符合乘法交换律，正确，不符合题意；
B．符合乘法结合律，正确，不符合题意；
C．符合乘法结合律，正确，不符合题意；
D．，乘法和加法不能结合，错误，符合题意．故选：D．
2．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）如图是嘉淇对一道题的解题过程，下列说法正确的是（ ）
…①
…②
…③
A．解题运用了加法结合律 B．解题运用了乘法交换律
C．从②步开始出错 D．从③步开始出错
【答案】C
【详解】解：
此步骤是将原式变形，
此步骤是利用乘法分配律，
此步骤是利用减法法则，
则原计算步骤从②步开始出错，故选：C．
3．（24-25七年级上·云南西双版纳·期中）用简便方法计算，逆用分配律正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：故选：B．
4．（24-25七年级上·上海·阶段练习）计算的值是（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】D
【详解】解：原式．故选：D．
5．（24-25七年级上·广东广州·期末）定义新运算：对任意非零实数，有，则（）
A． B．1 C． D．
【答案】D
【详解】解∶原式
故选：D．
6.（23-24七年级·山西太原·阶段练习）计算值为（ ）
A．0 B．﹣1 C．2020 D．-2020
【答案】D
【详解】解：1+2-3-4+5+6-7-8+9+10-11-12+……+2017+2018-2019-2020
=（1+2-3-4）+（5+6-7-8）+（9+10-11-12）+……+（2017+2018-2019-2020）
=（-4）+（-4）+（-4）+（-4）+……+（-4）=（-4）×505＝-2020．故选D.
7．（24-25七年级下·山东青岛·期中）数学符号是数学学科中用来表示数量关系和空间形式的符号系统，它们具有高度的抽象性和简洁性．在数学中，记．，，，…，．则的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】B
【详解】解：
；故选B．
8．（24-25七年级下·河北石家庄·期中）为了求的值，可令，则，因此所以，仿照以上推理，计算（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：设，则，
，，，故选：C．
9．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）数学家华罗庚曾经说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”．如图，将一个边长为1的正方形纸板等分成两个面积为的长方形，接着把面积为的长方形分成两个面积为的长方形，如此继续进行下去，根据图形的规律计算：的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：分析数据和图象可知，利用正方形的面积减去最后的一个小长方形的面积来求解面积和即为所求.最后一个小长方形的面积= ；故
即 故选B.
10．（24-25七年级上·浙江嘉兴·阶段练习）在军训期间，701班43名学生做游戏，起初全体学生站立，教官每次任意点m个不同学号的学生，被点到的学生，站立的蹲下，蹲下的站立，且学生都正确完成指令（同一名学生可以多次被点名），则n次点名后（n，m为正整数），下列说法正确的是（ ）
A．当m为奇数时，无论n何值，蹲下的学生人数不可能为偶数个
B．当m为奇数时，无论n何值，蹲下的学生人数不可能为奇数个
C．当m为偶数时，无论n何值，蹲下的学生人数不可能为奇数个
D．当m为偶数时，无论n何值，蹲下的学生人数不可能为偶数个
【答案】C
【详解】解：假设站立记为“”，则蹲下为“”，开始时个“”，其乘积为“”．
每次改变其中的个数，经过次点名，
①当为偶数时，
若有偶数个“”偶数个“”，变为偶数个“”偶数个“”，其积的符号不变；
若有奇数个“”奇数个“”，变为奇数个“”奇数个“”，其积的符号不变；
故当为偶数时，每次改变其中的m个数，其积的符号不变，那么n次点名后，乘积仍然是“”，
故最后出现的“”的个数为偶数，即蹲下的人数为偶数；
②当为奇数时，
若有偶数个“”奇数个“”，变为偶数个“”奇数个“”，其积的符号改变；
若有奇数个“”偶数个“”，变为奇数个“”偶数个“”，其积的符号改变；
故当为奇数时，每次改变其中的个数，其积的符号改变，
那么次点名后，
若为偶数，乘积仍然是“”，故最后出现的“”的个数为偶数，即蹲下的人数为偶数；
若为奇数，乘积最后是“”，故最后出现的“”的个数为奇数，即蹲下的人数为奇数；
综上所述，选项C正确，选项A、B、D均错误；故选：C．
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分，答案写在答题卡上）
11．（24-25七年级上·北京东城·阶段练习）阅读下面文字：对于
可以如下计算：原式
，
上面这种方法叫拆项法．
仿照上面的方法，计算： ．
【答案】
【详解】解：原式
12．（2024·广东茂名市·七年级期末）为了求的值，可设，则，因此，所以．请仿照以上推理计算出 ________ ．
【答案】
【详解】设，则，
因此，，所以，即，故答案为：．
13．（24-25七年级下·江苏南京·期中）有两组数，第一组：，，，，；第二组：，，，．从第一组数中任取一个数与第二组数中任取一个数相乘，则所有乘积的总和是 ．
【答案】
【详解】解：第一组所有数的和为，
第二组所有数的和为，
第一组数中取与第二组数中任取一个数相乘，所有乘积的总和是，
同理可得从第一组数中任取一个数与第二组数中任取一个数相乘，则所有乘积的总和是，故答案为：．
14．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）若 ，则整数的值为
【答案】或或．
【详解】解：，
当时，解得：，此时，其中，，
，成立；
当时，，其中，，
，，成立；
当 时，，其中， ，
，，成立．综上所述，整数解为或或．
15．（24-25七年级上·广东·期中） = 。
【答案】98；
【详解】
＝（1－）＋（1－）＋（1－）＋……＋（1－）＋（1－）
＝99×1－（＋＋＋……＋＋）
＝99－[（1－）＋（－）＋（－）＋……＋（－）＋（－）]
＝99－[1－]
＝98
16．（2024·七年级上·广东佛山·期末）计算：= 。
【答案】1
【详解】
三、解答题（本题共8小题，共72分。其中：17-21题8分，22-23题每题10分，24题每题12分，答案写在答题卡上）
17．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）用简便方法计算：
(1)； (2)．
【答案】(1)2 (2)
【详解】（1）解：原式
；
（2）原式
18．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉．例如：；．
(1)根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式：①______；②______．
(2)用合理的方法计算：．
(3)用简便方法计算：．
【答案】(1)①；②(2)(3)
【详解】（1）解：①；②；故答案为：①；②；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
．
19．（2024七年级上·江苏·专题练习）用简便方法计算：
(1)；(2)．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
20．（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）用简便方法计算
(1)； (2)；
(3)； (4)．
【答案】(1)(2)(3)(4)
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
21．（24-25七年级上·新疆阿克苏·阶段练习）学习了有理数的乘除法运算后，张老师给同学们出了这样一道题：计算，看谁算得又快又对，下面是两位同学给出的不同解法：
小刚：原式；
小聪：原式．
(1)以上两种解法，你认为_________（填“小刚”或“小聪”）的解法比较简便；
(2)用简便方法计算．
【答案】(1)小聪(2)
【详解】（1）解：以上两种解法，认为小聪的解法比较简便；故答案为：小聪；
（2）解：
．
22．（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）（1）请你观察：
；；…
以上方法称为“裂项相消求和法”
仿照上面的方法，请你计算：的值．
（2）．阅读下面文字：
对于，可以按如下方法计算：
原式
．
上面这种方法叫拆项法；
仿照上面的方法，请你计算：．
【答案】（1）；（2）
【详解】解：（1），
，
，……，
以此类推可知，（n为自然数），
∴
；
（2）
．
23．（24-25七年级上·内蒙古赤峰·期中）先阅读下面文字，然后按要求解题．
例：？如果按个顺次相加太繁，我们仔细分析这100个连续自然数的规律和特点，可以发现运用加法的运算律可以大大简化计算，提高计算速度．
因为，所以将所给算式中各加数经过交换、结合以后，可以很快求出结果．
如：．
解答下列问题：（1）求1，2，3，4，…，199，200的和；（2）计算．
【答案】（1）20100；（2）625
【详解】解：（1）
．
（2）．
【点睛】本题考查了有理数的运算，正确理解题意、明确解答的方法是解题的关键．
24．（24-25七年级上·山东泰安·期中）数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法．我们经常用数形结合、数形转化的方法解决一些数学问题．如图所示，将一个边长为1的正方形纸片分制成6个部分，部分①的面积是边长为1的正方形纸片面积的一半，部分②的面积是部分①面积的一半，部分③的面积是部分②面积的一半，依此类推．
(1)阴影部分的面积是________．
(2)受（1）的启发，试求出的值．
(3)进而计算：________．
【答案】(1)(2)(3)
【详解】（1）解：根据题意可得，阴影部分面积占总面积的比例为：，
阴影部分的面积是：，故答案为：；
（2）解：根据题意可得：；
（3）解：根据题意可得：，故答案为：．
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