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※专题课:带电粒子在交变电场中的运动
例1　B　[解析] 以粒子的速度方向、位移方向向右为正.由题意知,粒子的速度方向时而为正,时而为负,最终打在A板上时位移为负,速度方向为负.分别作出t0=0、、、时刻释放的粒子运动的v-t图像,如图所示.由于速度图线与时间轴所围面积表示粒子通过的位移,故由图像知,0T时刻释放的粒子运动情况与第一个周期内的运动情况类似.因粒子最终打在A板上,故要求粒子在每个周期内的总位移应小于零,选项A、C、D错误,B正确.
变式　BC　[解析] 由A图像可知,电子先做匀加速运动,T时速度最大,T~T时间内做匀减速运动,T时速度减为零,然后重复,一直向一个方向运动且不往返,选项A错误.由B图像可知,电子先做匀加速运动,T时速度最大,T~T时间内做匀减速运动,T时速度减为零,T~T时间内反向做匀加速运动,T时速度最大,T~T时间内做匀减速运动,T时速度减为零,回到出发点,然后重复往返运动,选项B正确.由C图像可知,电子先做加速度减小的加速运动,T时速度最大,T~T时间内做加速度增大的减速运动,T时速度减为零;T~T时间内反向做加速度减小的加速运动,T时速度最大,T~T时间内做加速度增大的减速运动,T时速度减为零,回到出发点,然后重复往返运动,选项C正确.由D图像可知,电子先做匀加速运动,T时速度最大,T~T时间内做匀速运动,然后重复加速运动和匀速运动,一直向一个方向运动且不往返,选项D错误.
例2　BD　[解析] 已知t=0时刻射入的粒子恰好能从金属板射出,则有4d=v0T,=2×a,a=,作出不同时刻进入金属板的粒子在电场方向速度与时间的图像如图所示,由图像可以看出,在时刻(n=0,1,2,3,…)进入金属板的粒子会在电场方向上有最大位移,结合题目条件知最大位移为,其他时刻进入的粒子在电场方向位移都小于,所以不同时刻进入金属板的粒子都能够射出金属板,由水平方向匀速运动可知,粒子射出金属板时间都相同,时间都为T=,A错误;由A中分析,结合图像可知,t=时刻入射的粒子在T时间内沿电场力方向总位移为零,所以恰能从金属板右侧中点O'出射,B正确;t=时刻入射的粒子从金属板间出射时在电场方向有vy=0,离开金属板时动能为Ek=m,C错误;由A中分析可知不同时刻出射的粒子出射的位置在两金属板右侧上下边缘之间,速度均水平向右,出射的粒子经O'O水平向右匀速射到荧光屏上,可知粒子打在右侧荧光屏上的长度范围为d,D正确.
随堂巩固
1.C　[解析] 在0时刻、2 s末释放时粒子做单向运动,0.5 s末释放时,粒子在一个周期内沿正方向通过的位移大于沿负方向通过的位移,一个周期内的合位移沿着正方向,这几种情况下粒子都将撞在金属板上,而在1 s末释放时粒子只在某一空间范围往复运动,粒子可能不会撞在金属板上,C正确.
2.C　[解析] 电子在0~t0时间内做匀加速运动有a1=,x1=a1,在t0~2t0时间内做匀减速运动有a2=,初速度的大小v1=a1t0,电子在这段时间内的位移大小x2=v1t0-a2,0~2t0时间内电子的位移大小为x=x1+x2=,第一个周期末电子的速度大小为v2=v1-a2t0=t0,电子运动的v-t图像如图所示,n个周期内电子的位移为xn=nx+·v2·2t0=(n=1,2,3,…),将n=10,xn=d代入上式可得两极板间的距离为d=t0,故选C.
3.BC　[解析] 由题意,运动时间为周期的整数倍,故所有粒子最终都垂直电场方向射出电场,其中t=nT(n=0,1,2…)时刻进入电场的粒子偏移量最大,B正确,A错误;当该粒子在时刻以速度v0进入电场,则此时粒子竖直方向上在电场力的作用下,先匀加速,再匀减速,接着再匀加速和匀减速后回到中线位置,其两板间最大偏移量为y=2×a,又2×a,联立可得y=,C正确;t=0时刻的粒子入射速度为2v0,则粒子从电场出射时间减半,侧向位移与时间的平方成正比,侧向位移与原v0相比必变成原来的四分之一,D错误.※专题课:带电粒子在交变电场中的运动
1.BD　[解析] 作出微粒的v-t图像如图所示,由图可知选项B、D正确.
2.AD　[解析] 由平行金属板间所加电压的周期性结合a=可推知粒子加速度的周期性,D正确;由v=at可知,A正确,C错误;由x=at2知x-t图像应为曲线,B错误.
3.B　[解析] 由题可知,粒子在电场中运动的时间是相同的,t=0时入射的粒子在竖直方向上先加速,然后减速为零,离开电场时偏离中线的距离最大,选项A正确;t=T时入射的粒子在竖直方向上先加速,然后减速,再反向加速后又减速,正好从中线处离开电场,选项B错误;因粒子在电场中运动的时间等于交变电压的周期T,根据运动的对称性可知,所有粒子离开电场时的竖直方向的速度都为零,即粒子最终都水平射出电场,离开电场时的速度大小均等于v0,选项C、D正确.
4.B　[解析] 两板间电压为Um时,由牛顿第二定律可得=ma,电子做类平抛运动,在水平方向上l=vt,在竖直方向上y=at2,联立可得当y=d时,电子恰好从右端板的边缘飞出,此时Um=,当Um<时,所有电子都能从两板的右端射出,A正确;当Um=时,一个周期内有的时间电压低于临界电压,因此有电子从两板右端射出的时间与无电子从两板右端射出的时间之比为1∶1,B错误;当Um>,时,有部分电子能从两板的右端射出,C正确;当Um=时,一个周期内有的时间电压低于临界电压,因此有电子从两板右端射出的时间与无电子从两板右端射出的时间之比为1∶(-1),D正确.
5.CD　[解析] 设第1 s内粒子的加速度为a1,第2 s内的加速度为a2,由a=可知,a2=2a1,可见粒子第1 s内若向负方向运动,1.5 s末粒子的速度为零,然后向正方向运动,至3 s末回到原出发点,粒子的速度为0,v-t图像如图所示,由动能定理可知,0~3 s内电场力做的总功为零,综上所述,可知C、D正确.
6.(1)4.0×109 m/s2　(2)2×104 m/s　(3)大于5×104 Hz
[解析] (1)带电粒子所受电场力大小为F=qE=
由牛顿第二定律得a==4.0×109 m/s2
(2)粒子在0~时间内运动的距离为
x=a=5.0×10-2 m
由此可见带电粒子在t=时恰好到达A板,则v=a=2×104 m/s
(3)分析可知,在~内,电场力方向、速度方向均向右,带电粒子向A板做匀加速运动;同理,在~内,则向A板做匀减速运动,速度减为零后再返回.由于运动具有“对称性”,即先、后两段位移大小相等,得粒子向A板运动的最大位移为xmax=2×aaT2.因题目要求粒子均不能到达A板,故必有xmax=5×104 Hz.
7.(1)　(2)T　(3)
[解析] (1)因粒子在A、B间运动时,水平方向不受外力作用做匀速运动,所以进入O1'孔时的速度即为进入A、B板的初速度
在C、D间,由动能定理有qU2=m
解得v0= .
(2)由于粒子进入A、B后,在一个周期T内,竖直方向上的速度变为初始状态,即v竖=0,竖直方向的位移也为0,若在第一个周期末粒子从A、B板中射出,则对应两板最短,长度为L=v0T=T.
(3)若粒子在运动过程中刚好不到A板而返回,则此时对应两板间距最小,设为d
则有··×2=
解得d=.※专题课:带电粒子在交变电场中的运动
学习任务一　带电粒子在交变电场中的直线运动
[科学思维] 分析带电粒子在交变电场中的直线运动的方法
1.此类问题中,带电粒子进入电场时初速度为零,或初速度方向与电场方向平行,带电粒子在交变静电力的作用下,做加速、减速交替的直线运动.
2.该问题通常用动力学知识分析求解.重点分析各段时间内的加速度、运动性质、每段时间与交变电场的周期T间的关系等.常用v-t图像法来处理此类问题,通过画出粒子的v-t图像,可将粒子复杂的运动过程形象、直观地反映出来,便于求解.
例1 如图甲所示,两平行正对的金属板A、B间加有如图乙所示的交变电压,一重力可忽略不计的带正电的粒子被固定在两板的正中间P处.若在t0时刻释放该粒子,粒子会时而向A板运动,时而向B板运动,并最终打在A板上,则t0可能是 (　)
A.0C.变式 (多选)如图所示,两金属板(平行)分别加上如下列选项中的电压,能使原来静止在金属板中央的电子(不计重力)有可能做往返运动的U-t图像是(设两板距离足够大) (　)
A
B
C
D
学习任务二　带电粒子在交变电场中的曲线运动
[科学思维] 分析带电粒子在交变电场中的曲线运动的方法
带电粒子以一定的初速度垂直于电场方向进入交变电场,粒子做曲线运动.
(1)若带电粒子的初速度很大,粒子通过交变电场时所用时间极短,故可认为粒子所受静电力为恒力,粒子在电场中做类平抛运动.
(2)若粒子运动时间较长,在初速度方向做匀速直线运动,在垂直初速度方向利用vy-t图像进行分析:
①vy=0时,速度方向沿v0方向.
②y方向位移可用vy-t图像的面积进行求解.
例2 (多选)[2024·广州六中月考] 如图甲所示,长为4d、间距为d的平行金属板水平放置,两金属板左边中点O有一粒子源,能持续水平向右发射初速度为v0、电荷量为q(q>0)、质量为m的粒子,金属板右侧距离为d处竖直放置一足够大的荧光屏.现在两板间加图乙所示电压,已知t=0时刻射入的粒子恰好能从金属板射出.不计粒子重力,则 (　)
A.不同时刻入射的粒子在金属板间运动的时间不相等
B.t=时刻入射的粒子恰能从金属板右侧中点O'出射
C.t=时刻入射的粒子从金属板间出射时动能Ek=mqU0
D.粒子打在右侧荧光屏上的长度范围为d
[反思感悟]

【要点总结】
带电粒子在交变电场中的运动涉及力学和电学知识的综合应用,由于不同时段受力不同,处理起来较为复杂,实际仍可从力学角度解答.该类问题仍需进行受力分析及运动状态分析,应用力学和电学的基本规律定性、定量分析讨论和求解.
(1)利用图像
带电粒子在交变电场中运动时,受静电力作用,其加速度、速度等均做周期性变化,借助图像描述它在电场中的运动情况,可直观展示其运动过程,从而快捷地分析求解.
(2)利用运动的独立性
一个复杂的运动可以分解成几个简单的分运动.某一方向的分运动不会因其他分运动的存在而受到影响.应用这一性质可以分析带电粒子在交变电场中的运动.先分析各分运动的情况,再按运动的合成规律分析合运动情况.
(3)对于锯齿波和正弦波等电压产生的交变电场,若粒子穿过板间的时间极短,带电粒子穿过电场时可认为是在匀强电场中运动.
　　　　　 　　　　　 　　　　　
1.(带电粒子在交变电场中的直线运动)一对正对平行金属板上加有如图所示的电压,在两板的中间位置有一带电粒子(不计重力),在下列哪一时刻由静止释放该粒子,它可能永远撞不上金属板 (　)
A.0 B.0.5 s末
C.1 s末 D.2 s末
2.(带电粒子在交变电场中的直线运动)如图甲所示,纳米薄膜制备装置的工作电极可简化为真空中间距为d的两平行极板,加在极板A、B间的电压UAB周期性变化,其正向电压为U0,反向电压为-U0,电压变化的周期为2t0,如图乙所示.在t=0时,极板B附近有质量为m、电荷量为e的一个电子,在电场作用下由静止开始运动,不计电子的重力作用.电子在20t0时恰好碰到极板A,则两极板间的距离(　)
A.d=t0 B.d=t0
C.d=t0 D.d=t0
3.(带电粒子在交变电场中的曲线运动)(多选)如图甲所示,两平行金属板MN、PQ的板长和板间距离相等,大小都为d,板间存在如图乙所示的随时间周期性变化的电场,电场方向与两板垂直,不计重力的带电粒子沿板间中线且垂直于电场方向源源不断地射入电场,粒子射入电场时的初速度大小均为v0,已知t=0时刻射入电场的粒子刚好沿上板右边缘垂直电场方向射出电场,不计粒子间的相互作用,则(　)
A.t=0之后射入电场的粒子可能会打到极板上
B.所有粒子最终都垂直电场方向射出电场
C.时刻进入电场的粒子在两板间的最大偏移量为
D.若粒子的入射速度变为2v0,则无论哪个时刻进入电场的粒子,其从电场射出时的侧向位移都减半※专题课:带电粒子在交变电场中的运动建议用时:40分钟
◆ 知识点一　带电粒子在交变电场中的直线运动
1.(多选)带正电的微粒放在电场中,场强的大小和方向随时间变化的规律如图所示.带电微粒只在静电力的作用下由静止开始运动,则下列说法中正确的是(　)
A.微粒在0~1 s内的加速度与1~2 s内的加速度相同
B.微粒将沿着一条直线运动
C.微粒将做往复运动
D.微粒在第1 s内的位移与第3 s内的位移相同
2.(多选)如图甲所示,平行金属板中央有一个静止的电子,两板间距离足够大.当两板间加上如图乙所示的交变电压后,下列四个选项中的图像,反映电子速度v、位移x和加速度a三个物理量随时间t的变化规律可能正确的是 (　)
◆ 知识点二　带电粒子在交变电场中的曲线运动
3.[2024·广州六中月考] 图甲为两水平金属板,在两板间加上周期为T的交变电压u,电压u随时间t变化的图线如图乙所示.质量为m、重力不计的带电粒子以初速度v0沿中线射入两板间,经时间T从两板间飞出.下列关于粒子运动描述错误的是(　)
A.t=0时入射的粒子离开电场时偏离中线的距离最大
B.t=T时入射的粒子离开电场时偏离中线的距离最大
C.无论哪个时刻入射的粒子离开电场时的速度方向都水平
D.无论哪个时刻入射的粒子离开电场时的速度大小都相等
4.[2024·天津红桥区期末] 在真空中有水平放置的两个平行正对金属平板,板长为l,两板间距离为d,在两板间加一如图乙所示变化的交变电压,质量为m,电荷量为e的电子以速度v从两板左端中点沿水平方向连续均匀地射入两平行板之间.若电子通过两板间的时间内可以认为两板间的电压是不变的,不考虑电子间的相互作用,下列说法错误的是(　)
A.当Um<时,所有电子都能从极板的右端射出
B.当Um=时,有电子从极板右端射出的时间与无电子从极板右端射出的时间之比为1∶2
C.当Um>时,有电子能从极板的右端射出
D.当Um=时,有电子从极板右端射出的时间与无电子从极板右端射出的时间之比为1∶(-1)
5.(多选)匀强电场的电场强度E随时间t变化的图像如图所示.当t=0时,在此匀强电场中由静止释放一个带电粒子,设带电粒子只受电场力的作用,则下列说法中正确的是(　)
A.带电粒子将始终向同一个方向运动
B.2 s末带电粒子回到原出发点
C.3 s末带电粒子的速度为零
D.0~3 s内,电场力做的总功为零
6.如图甲所示,真空中相距d=5 cm的两块平行金属板A、B与电源连接(图中未画出),其中B板接地(电势为零),A板电势变化的规律如图乙所示.将一个质量m=2.0×10-27 kg、电荷量q=+1.6×10-19 C的带电粒子从紧邻B板处释放,不计粒子重力.
(1)在t=0时刻释放该带电粒子,求释放瞬间粒子加速度的大小;
(2)若A板电势变化周期T=1.0×10-5 s,在t=0时将带电粒子从紧邻B板处无初速度释放,求粒子到达A板时速度的大小;
(3)求A板电势变化频率满足什么条件时,在t=到t=时间内从紧邻B板处无初速度释放该带电粒子,粒子均不能到达A板.
7.[2024·江苏海门高中月考] 如图甲所示,A、B是两块水平放置的足够长的平行金属板,B板接地,A、B两极板间电压随时间的变化情况如图乙所示,C、D两平行金属板竖直放置,中间有两正对小孔O1'和O2,两板间电压为U2.现有一带负电粒子在t=0时刻以一定的初速度沿AB两板间的中轴线O1O1'进入,并能从O1'沿O1'O2进入C、D间.已知粒子的带电荷量为-q,质量为m(不计粒子重力),求:
(1)粒子刚好能到达O2孔时,该粒子进入A、B间的初速度v0;
(2)在(1)的条件下,A、B两板长度的最小值;
(3)A、B两板间距的最小值.(共53张PPT)
※专题课：带电粒子在交变电场中的运动
学习任务一 带电粒子在交变电场中的直线运动
学习任务二 带电粒子在交变电场中的曲线运动
备用习题
练习册
◆
随堂巩固
学习任务一 带电粒子在交变电场中的直线运动
［科学思维］ 分析带电粒子在交变电场中的直线运动的方法
1.此类问题中，带电粒子进入电场时初速度为零，或初速度方向与电场方向平行，带电粒子在交变静电力的作用下，做加速、减速交替的直线运动.
2.该问题通常用动力学知识分析求解.重点分析各段时间内的加速度、运动性质、每段时间与交变电场的周期间的关系等.常用图像法来处理此类问题，通过画出粒子的图像，可将粒子复杂的运动过程形象、直观地反映出来，便于求解.
例1 如图甲所示,两平行正对的金属板、间加有如图乙所示的交变电压,一重力可忽略不计的带正电的粒子被固定在两板的正中间处.若在时刻释放该粒子,粒子会时而向板运动,时而向板运动,并最终打在板上，则可能是( )
B
A. B. C. D.
[解析] 以粒子的速度方向、位移方向向右为正.由题意知,粒子的速度方向时而为正,时而为负,最终打在A板上时位移为负,速度方向为负.分别作出、、、时刻释放的粒子运动的图像,如图所示.由于速度图线与时间轴所围面积表示粒子通过的位移,故由图像知,
与时刻释放的粒子在一个周期内的总位移大于零,时刻释放的粒子在一个周期内的总位移小于零，时刻释放的粒子运动情况与第一个周期内的运动情况类似.因粒子最终打在A板上,故要求粒子在每个周期内的总位移应小于零,选项A、C、D错误，B正确.
变式 (多选)如图所示，两金属板(平行)分别加上如下列选项中的电压，能使原来静止在金属板中央的电子(不计重力)有可能做往返运动的图像是(设两板距离足够大)( )
BC
A.&1& B.&2&
C.&3& D.&4&
[解析] 由A图像可知，电子先做匀加速运动，时速度最大，时间内做匀减速运动，时速度减为零，然后重复，一直向一个方向运动且不往返，选项A错误.由B图像可知，电子先做匀加速运动，时速度最大，
时间内做匀减速运动，时速度减为零，时间内反向做匀加速运动，时速度最大，时间内做匀减速运动，时速度减为零，回到出发点，然后重复往返运动，选项B正确.由C图像可知，电子先做加速度减小的加速运动，时速度最大，时间内做加速度增大的减速运动，时速度减为零；时间内反向做加速度减小的加速运动，时速度最大，时间内做加速度增大的减速运动，时速度减为零，回到出发点，然后重复往返运动，选项C正确.由D图像可知，电子先做匀加速运动，时速度最大，时间内做匀速运动，然后重复加速运动和匀速运动，一直向一个方向运动且不往返，选项D错误.
学习任务二 带电粒子在交变电场中的曲线运动
［科学思维］ 分析带电粒子在交变电场中的曲线运动的方法
带电粒子以一定的初速度垂直于电场方向进入交变电场，粒子做曲线运动.
(1)若带电粒子的初速度很大，粒子通过交变电场时所用时间极短，故可认为粒子所受静电力为恒力，粒子在电场中做类平抛运动.
(2)若粒子运动时间较长，在初速度方向做匀速直线运动，在垂直初速度方向利用图像进行分析：
①时，速度方向沿方向.
②方向位移可用图像的面积进行求解.
例2 (多选)[2024·广州六中月考] 如图甲所示，长为、间距为的平行金属板水平放置，两金属板左边中点有一粒子源，能持续水平向右发射初速度为、电荷量为、质量为的粒子，金属板右侧距离为处竖直放置一足够大的荧光屏.现在两板间加图乙所示电压，已知时刻射入的粒子恰好能从金属板射出.不计粒子重力，则( )
A.不同时刻入射的粒子在金属板间运动的时间不相等
B.时刻入射的粒子恰能从金属板右侧中点出射
C.时刻入射的粒子从金属板间出射时动能
D.粒子打在右侧荧光屏上的长度范围为
√
√
[解析] 已知时刻射入的粒子恰好能从金属板射出，则有，，，作出不同时刻进入金属板的粒子在电场方向速度与时间的图像如图所示，由图像可以看出，在时刻
进入金属板的粒子会在电场方向上有最大位移，结合题目条件知最大位移为，其他时刻进入的粒子在电场方向位移都小于，所以不同时刻进入金属板的粒子都能够射出金属板，由水平方向匀速运动可知，粒子射出金属板时间都相同，时间都为，A错误；
由A中分析，结合图像可知，时刻入射的粒子
在时间内沿电场力方向总位移为零，所以恰能从金
属板右侧中点出射，B正确；时刻入射的粒
子从金属板间出射时在电场方向有，离开金属
板时动能为，C错误；由A中分析可知不同时刻出射的粒子出射的位置在两金属板右侧上下边缘之间，速度均水平向右，出射的粒子经水平向右匀速射到荧光屏上，可知粒子打在右侧荧光屏上的长度范围为，D正确.
【要点总结】
带电粒子在交变电场中的运动涉及力学和电学知识的综合应用，由于不同时段受力不同，处理起来较为复杂，实际仍可从力学角度解答.该类问题仍需进行受力分析及运动状态分析，应用力学和电学的基本规律定性、定量分析讨论和求解.
(1)利用图像
带电粒子在交变电场中运动时，受静电力作用，其加速度、速度等均做周期性变化，借助图像描述它在电场中的运动情况，可直观展示其运动过程，从而快捷地分析求解.
(2)利用运动的独立性
一个复杂的运动可以分解成几个简单的分运动.某一方向的分运动不会因其他分运动的存在而受到影响.应用这一性质可以分析带电粒子在交变电场中的运动.先分析各分运动的情况，再按运动的合成规律分析合运动情况.
(3)对于锯齿波和正弦波等电压产生的交变电场，若粒子穿过板间的时间极短，带电粒子穿过电场时可认为是在匀强电场中运动.
1.一匀强电场的电场强度E随时间t变化的图像如图所示.在该匀强电场中,有一个带电粒子在t=0时刻由静止释放,若带电粒子只受静电力作用,则下列说法中正确的是 (　　)
A.带电粒子只向一个方向运动
B.0~2 s内,静电力所做的功等于零
C.4 s末带电粒子回到原出发点
D.2.5~4 s内,速度的改变量等于零
D
[解析] 由牛顿第二定律可知,带电粒子在第1 s内的加速度大小a1=为第2 s内加速度大小a2=的,因此粒子先加速1 s再减速0.5 s至速度减为零,接下来的0.5 s内粒子将反向加速,v-t图像如图所示,A错误;
0~2 s内,带电粒子的初速度为零,但末速度不为零,由动能定理可知,静电力所做的功不为零,B错误;
v-t图像中图线与横坐标轴所围图形的面积表示粒子的位移,由此可知前4 s内粒子的位移不为零,所以4 s末带电粒子不会回到原出发点,C错误;
由图像可知,2.5 s末和4 s末两个时刻粒子的速度大小相等,
方向相同,所以2.5~4 s内,速度的改变量等于零,D正确.
2. (多选)如图甲所示,两平行金属板MN、PQ的板长和板间距离相等,板间存在如图乙所示的随时间周期性变化的电场,电场方向与两板垂直.不计重力的带电粒子沿板间中线垂直于电场方向源源不断地射入电场,粒子射入电场时的初动能均为Ek0.已知t=0时刻射入电场的粒子刚好沿上板右边缘垂直于电场方向射出电场,则 (　 　)
A.所有粒子都不会打到两极板上
B.所有粒子最终都垂直于电场方向射出电场
C.运动过程中所有粒子的最大动能都不可能超过2Ek0
D.只有t=n(n=0,1,2,…)时刻射入电场的粒子才能垂直于
电场方向射出电场
ABC
[解析] 带电粒子在垂直于电场方向上做匀速运动,在沿电场方向上做加速度大小不变的变速运动,由t=0时刻进入电场的粒子运动情况可知,粒子在平行板间运动时间为交变电场周期的整数倍,在0~时间内带电粒子运动的加速度a=,由匀变速直线运动规律得vy=at=t,同理可分析~T时间内的运动情况,所以带电粒子在沿电场方向的速度vy和E-t图像与时间轴所围面积成正比(时间轴下方的面积取负值),而经过整数个周期,E-t图像与时间轴所围面积始终为零,故带电粒子离开电场时沿电场方向的速度总为零,B正确,D错误;
带电粒子在t=0时刻射入时,在电场方向上的
位移最大,故其他粒子均不可能打到极板上,A正确;
当粒子在t=0时刻射入且经过T时间离开电场时,粒子在t=时达到最大速度,此时垂直于电场方向与沿电场方向的位移之比为2∶1,即v0t=2×at2,可得vy=at=v0,故粒子的最大速度为v=v0,因此最大动能为初动能的2倍,C正确.
3.如图甲所示,A、B为两块距离很近的平行金属板,板中央有小孔O和O',一束电子以初动能E0=120 eV从小孔O不断地垂直于A板射入A、B之间,在B板右侧,平行金属板M、N关于O、O'连线对称放置,在M、N之间形成一个匀强电场,金属板M、N均长L=2×10-2 m,板间距离d=4×10-3 m,偏转电场所加电压为U2=20 V,现在A、B两板间加一个如图乙所示的电压u1,在0~2 s的时间内,A板电势低于B板,则在u1随时间变化的第一个周期内(由于A、B两板间距离很近,可认为电子穿过A、B板所用的时间极短,可不计,不考虑极板的边缘化影响及电子间的相互作用):
(1)在第一个周期内,在哪段时间内射入A板的电子可从B板上的小孔O'射出
[答案] 0~2.6 s及3.4~4 s　
[解析] 设电子到达O'时动能恰好为零,则有ΔEk=-eu1=-120 eV
解得u1=120 V
在0~4 s内u1=120 V时对应的时刻为t1=2.6 s,t2=3.4 s
可见在前半周期0~2 s内,电子做加速运动,全部能通过
在后半周期2~4 s内,电子减速,从图乙中可以看出,在2.6~3.4 s时间内电子将不能从小孔O'射出,所以在第一个周期内,能射出的时间段为0~2.6 s和3.4~4 s.
(2)在第一个周期内,在哪段时间内射入A板的电子能从匀强电场右侧飞出
[答案] 0.65~1.35 s
[解析] 设电子从O'射出时的速度大小为
v1,要使电子能从匀强电场右侧飞出,电子的偏移量小于或等于,即有y=··≤
解得Ek1=m≥=250 eV
由-eu1=Ek1-E0≥130 eV
解得u1≤-130 V
由图乙可知,在第一个周期内,电子能从偏转电场右侧飞出的时间段为0.65~1.35 s.
4.如图甲所示,水平放置的两平行金属板间距离为d,板长为L=2d,两金属板间电势差变化如图乙所示(初始时上金属板带正电),其中U0=.一粒子源连续发射质量为m、电荷量为+q的带电粒子(初速度v0=,重力忽略不计),该粒子源射出的带电粒子恰好从上金属板左端的下边缘水平进入两金属板间.
(1)若带电粒子在t=时刻进入两极板之间,飞出极板时粒子在竖直方向的偏移量y是多少;
[答案] d　
[解析] 在板间运动的时间 t===
设带电粒子加速度大小为a,则a==
带电粒子在t=时刻进入两极板之间,则它在竖直方向上先加速向下运动
y1=a=经过时间后电场反向,开始在竖直方向上减速向下,又经过时间,竖直分速度减为零 y2=a=，此时粒子飞出极板,其偏移量y=y1+y2=d
[答案] t=T(其中n=0,1,2,3,…)　
(2)在哪些时刻进入两金属板间的带电粒子恰好从下金属板右端飞出;
[解析] 在第一个周期内,设带电粒子在t1时刻进入两金属板间运动轨迹如图所示
可知d=2×a,解得Δt1=,所以t1=-Δt1=
考虑到周期性,带电粒子恰好从下金属板右端飞出两金属板间的时刻t满足
t=T(其中n=0,1,2,3,…)
[答案] t=T(其中n=0,1,2,3,…)
(3)在哪些时刻进入两金属板间的带电粒子恰好从上金属板右端飞出.
[解析] 在第一个周期内,设带电粒子在t2时刻进入两金属板间,运动轨迹如图所示
可知2×a=a,解得Δt2=T(Δt2=T舍去),所以t2=-Δt2=T,考虑到周期性,带电粒子恰好从上金属板右端飞出两金属板间的时刻t满足
t=T(其中n=0,1,2,3,…)
5.如图甲所示,在两平行金属板间加有一交变电场,两极板间可以认为是匀强电场,当t=0时,一带电粒子从左侧极板附近开始运动,其速度随时间变化关系如图乙图所示.带电粒子经过4T时间恰好到达右侧极板(带电粒子的质量m、电荷量q、速度最大值vm、时间T为已知量),则下列说法正确的是 (　 　)
A.带电粒子在两板间做往复运动,周期为T
B.两板间距离d=2vmT
C.两板间所加交变电场的周期为T,所加电压大小U=
D.若其他条件不变,该带电粒子从t=开始进入电场,该粒子不能到达右侧极板
B
[解析] 由图像可知位移不断增加,带电粒子在两板间做单向直线运动,A错误;
由图像可知两板间距离为d=4×=2vmT,B正确;
图像斜率表示加速度,由图像可知两板间所加交变电场的周期为T,0~时间内由动能定理有qU=m,解得U=,C错误;
如图带电粒子从t=开始进入电场,该粒子能到达
右侧极板,D错误.
1.(带电粒子在交变电场中的直线运动)一对正对平行金属板上加有如图所示的电压，在两板的中间位置有一带电粒子(不计重力)，在下列哪一时刻由静止释放该粒子，它可能永远撞不上金属板( )
C
A.0 B.末 C.末 D.末
[解析] 在0时刻、末释放时粒子做单向运动，末释放时，粒子在一个周期内沿正方向通过的位移大于沿负方向通过的位移，一个周期内的合位移沿着正方向，这几种情况下粒子都将撞在金属板上，而在末释放时粒子只在某一空间范围往复运动，粒子可能不会撞在金属板上，C正确.
2.(带电粒子在交变电场中的直线运动)如图甲所
示，纳米薄膜制备装置的工作电极可简化为真空
中间距为的两平行极板，加在极板、间的电
压周期性变化，其正向电压为，反向电压为
，电压变化的周期为，如图乙所示.在时，极板附近有质量为、电荷量为的一个电子，在电场作用下由静止开始运动，不计电子的重力作用.电子在时恰好碰到极板，则两极板间的距离( )
C
A. B. C. D.
[解析] 电子在时间内做匀加速运动有，，在时间内做匀减速运动有，初速度的大小，电子在
这段时间内的位移大小，时间内电子的位移大小为，第一个周期末电子的速度大小为，电子运动的图像如图所示，个周期内电子的位移为，将,代入上式可得两极板间的距离为，故选C.
3.(带电粒子在交变电场中的曲线运动)(多选)如图甲所示，两平行金属板、的板长和板间距离相等，大小都为，板间存在如图乙所示的随时间周期性变化的电场，电场方向与两板垂直，不计重力的带电粒子沿板间中线且垂直于电场方向源源不断地射入电场，粒子射入电场时的初速度大小均为，已知时刻射入电场的粒子刚好沿上板右边缘垂直电场方向射出电场，不计粒子间的相互作用，则( )
A.之后射入电场的粒子可能会打到极板上
B.所有粒子最终都垂直电场方向射出电场
C.时刻进入电场的粒子在两板间的最大偏移量为
D.若粒子的入射速度变为，则无论哪个时刻进入电场的粒子，其从电场射出时的侧向位移都减半
√
√
[解析] 由题意，运动时间为周期的整数倍，故
所有粒子最终都垂直电场方向射出电场，其中
时刻进入电场的粒子偏移量
最大，B正确，A错误；当该粒子在时刻以速度
进入电场，则此时粒子竖直方向上在电场力的作用下，先匀加速，再匀减速，接着再匀加速和匀减速后回到中线位置，其两板间最大偏移量为,又，联立可得，C正确；时刻的粒子入射速度为，则粒子从电场出射时间减半，侧向位移与时间的平方成正比，侧向位移与原相比必变成原来的四分之一，D错误.
知识点一 带电粒子在交变电场中的直线运动
1.(多选)带正电的微粒放在电场中，场强的大小和方向随时间变化的规律如图所示.带电微粒只在静电力的作用下由静止开始运动，则下列说法中正确的是( )
BD
A.微粒在内的加速度与内的加速度相同
B.微粒将沿着一条直线运动
C.微粒将做往复运动
D.微粒在第内的位移与第内的位移相同
[解析] 作出微粒的图像如图所示，由图可知选项B、D正确.
2.(多选)如图甲所示，平行金属板中央有一个静止的电子，两板间距离足够大.当两板间加上如图乙所示的交变电压后，下列四个选项中的图像，反映电子速度、位移和加速度三个物理量随时间的变化规律可能正确的是( )
AD
A.&5& B.&6& C.&7& D.&8&
[解析] 由平行金属板间所加电压的周期性结合可推知粒子加速度的周期性，D正确；由可知，A正确，C错误；由知图像应为曲线，B错误.
知识点二 带电粒子在交变电场中的曲线运动
3.[2024·广州六中月考] 图甲为两水平金属板,在两板间加上周期为的交变电压,电压随时间变化的图线如图乙所示.质量为、重力不计的带电粒子以初速度沿中线射入两板间,经时间从两板间飞出.下列关于粒子运动描述错误的是( )
A.时入射的粒子离开电场时偏离中线的距离最大
B.时入射的粒子离开电场时偏离中线的距离最大
C.无论哪个时刻入射的粒子离开电场时的速度方向都水平
D.无论哪个时刻入射的粒子离开电场时的速度大小都相等
B
[解析] 由题可知,粒子在电场中运动的时间是相同的,时入射的粒子在竖直方向上先加速,然后减速为零,离开电场时偏离中线的距离最大,选项A正确;时入射的粒子在竖直方向上先加速,然后减速,再反向加速后又减速,正好从中线处离开电场,选项B错误;因粒子在电场中运动的时间等于交变电压的周期,根据运动的对称性可知,所有粒子离开电场时的竖直方向的速度都为零,即粒子最终都水平射出电场,离开电场时的速度大小均等于,选项C、D正确.
4.[2024·天津红桥区期末] 在真空中有水平放置的两个平行正对金属平板，板长为，两板间距离为，在两板间加一如图乙所示变化的交变电压，质量为，电荷量为的电子以速度从两板左端中点沿水平方向连续均匀地射入两平行板之间.若电子通过两板间的时间内可以认为两板间的电压是不变的，不考虑电子间的相互作用，下列说法错误的是( )
A.当时，所有电子都能从极板的
右端射出
B.当时，有电子从极板右端射出
的时间与无电子从极板右端射出的时间之比为
C.当时，有电子能从极板的右端射出
D.当时，有电子从极板右端射出的
时间与无电子从极板右端射出的时间之比为
√
[解析] 两板间电压为时，由牛顿第二定律可
得，电子做类平抛运动，在水平方向
上，在竖直方向上，联立可得当
时，电子恰好从右端板的边缘飞出，此时
，当时，所有电子都能从两板的右端射出，A正确；当时，一个周期内有的时间电压低于临界电压，因此有电子从两板右端射出的时间与无电子从两板右端射出的时间之比为，B错误;当,时，有部分电子能从两板的右端射出，C正确；当时，一个周期内有的时间电压低于临界电压，因此有电子从两板右端射出的时间与无电子从两板右端射出的时间之比为，D正确.
5.(多选)匀强电场的电场强度随时间变化的图像如图所示.当时，在此匀强电场中由静止释放一个带电粒子，设带电粒子只受电场力的作用，则下列说法中正确的是( )
CD
A.带电粒子将始终向同一个方向运动 B.末带电粒子回到原出发点
C.末带电粒子的速度为零 D.内，电场力做的总功为零
[解析] 设第内粒子的加速度为，第内的加速度为，由可知，，可见粒子第内若向负方向运动，末粒子的速度为零，然后向正方向运动，至末回到原出发点，
粒子的速度为0，图像如图所示，由动能定理可知，内电场力做的总功为零，综上所述，可知C、D正确.
6.如图甲所示，真空中相距的两块平行金属板、与电源连接(图中未画出)，其中板接地(电势为零)，板电势变化的规律如图乙所示.将一个质量、电荷量的带电粒子从紧邻板处释放，不计粒子重力.
(1) 在时刻释放该带电粒子，求释放瞬间粒子加速度的大小；
[答案]
[解析] 带电粒子所受电场力大小为
由牛顿第二定律得
(2) 若板电势变化周期，在时将带电粒子从紧邻板处无初速度释放，求粒子到达板时速度的大小；
[答案]
[解析] 粒子在时间内运动的距离为

由此可见带电粒子在时恰好到达板，则
(3) 求板电势变化频率满足什么条件时，在到时间内从紧邻板处无初速度释放该带电粒子，粒子均不能到达板.
[答案] 大于
[解析] 分析可知，在～内，电场力方向、速度方向均向右，带电粒子向板做匀加速运动；同理，在～内，则向板做匀减速运动，速度减为零后再返回.由于运动具有“对称性”，即先、后两段位移大小相等，得粒子向板运动的最大位移为因题目要求粒子均不能到达板，故必有,根据频率和周期的关系，由以上三式即可求出电势变化频率应满足条件
.
7.[2024·江苏海门高中月考] 如图甲所示，、是两块水平放置的足够长的平行金属板，板接地，、两极板间电压随时间的变化情况如图乙所示，、两平行金属板竖直放置，中间有两正对小孔和，两板间电压为.现有一带负电粒子在时刻以一定的初速度沿两板间的中轴线进入，并能从沿进入、间.已知粒子的带电荷量为，质量为(不计粒子重力)，求：
(1) 粒子刚好能到达孔时，该粒子进入、间的初速度；
[答案]
[解析] 因粒子在、间运动时，水平方向不受外
力作用做匀速运动，所以进入孔时的速度即为
进入、板的初速度
在、间，由动能定理有
解得.
(2) 在(1)的条件下，、两板长度的最小值；
[答案]
[解析] 由于粒子进入、后，在一个周期内，
竖直方向上的速度变为初始状态，即，
竖直方向的位移也为0，若在第一个周期末粒
子从、板中射出，则对应两板最短，长度为
.
(3) 、两板间距的最小值.
[答案]
[解析] 若粒子在运动过程中刚好不到板而返回，
则此时对应两板间距最小，设为
则有
解得.

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