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1．2　子集、全集、补集
1. 理解集合之间包含的含义，能识别给定集合的子集．
2. 了解全集的含义，理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集．
3. 能使用Venn图表达集合的包含关系与“补”运算，体会图形对理解抽象概念的作用．
活动一 集合的基本关系
实数有相等关系、大小关系，如5＝5，5＜7，5＞3等，类比实数之间的关系，你会想到集合之间的什么关系？
思考1
观察下面几个例子，你能发现集合A与B之间具有怎样的关系？
(1) A＝{1，2，3}，B＝{1，2，3，4，5}；
(2) A＝N，B＝R；
(3) A＝{x|x为直角三角形}，B＝{x|x为三角形}．
思考2
如何用数学语言来表述思考1中两个集合的关系？
思考3
思考1中的集合A，B的“包含”关系能不能用Venn图直观形象地表示出来？
思考4
以下式子成立吗？
(1) A A；(2) A；(3) .
任何一个集合是它本身的子集，空集是任何集合的子集．
例1　判断下列各组集合中，A是否为B的子集．
(1) A＝{0，1}，B＝{－1，0，1，－2}；
(2) A＝{0，1}，B＝{x|x＝2k，k∈N}．
若{1，a} {1，2，3}，则a＝________．
在子集的定义中，不能把集合A是集合B的子集理解为A是B中部分元素所组成的集合．因为集合B的子集也包括它本身，而这个子集是由集合B的全体元素组成的，另外，空集也是集合B的子集，而这个集合中并不含有集合B中的元素．
思考5
A B与B A能否同时成立？你能举出一个例子吗？
集合与集合之间的“相等”关系：若A B，且B A，则A?B.
思考6
对于实数a，b，a≤b含有a思考7
由A B，B C，能否推出A C？为什么？
例2　写出集合{a，b}的所有子集．
集合{a，b}的所有子集中我们把除它自身外的所有子集称为集合{a，b}的真子集．一般有：如果A B，且A≠B，那么集合A称为集合B的真子集，记为A?B或B?A，读作“A真包含于B”或“B真包含A”，如{a}?{a，b}，{a，b}?{b}等．
写出集合{a，b，c}所有的子集、真子集．
思考8
若集合A中有n个元素，则集合A的子集有多少个？真子集又有多少个？
任何一个集合的子集中都含有 ，同时 也是任何非空集合的真子集．一个非空集合的真子集的个数比它的子集个数少1.
例3　下列各组的三个集合中，哪两个集合之间具有包含关系？
(1) S＝{－2，－1，1，2}，A＝{－1，1}，B＝{－2，2}；
(2) S＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x>0}；
(3) S＝{x|x为整数}，A＝{x|x为奇数}，B＝{x|x为偶数}．
观察下列几组集合，集合A与集合B具有什么关系？
(1) A＝{1，2，3}，B＝{1，2，3，4，5}；
(2) A＝{x|x>3}，B＝{x|3x－6>0}；
(3) A＝{x|x为平行四边形}，B＝{x|x为四边形}．
由A?B可推出A B，但由A B推不出A?B.
活动二　补集与全集
思考9
观察例3中每一组的3个集合，它们之间还有什么关系？
思考10
对于例3中的(1)，如果A＝{1}，那么集合S中除去元素1得到的集合是什么？
思考11
我们把例3中的集合B称为A在S中的补集，那么如何定义集合S的子集A的补集？
思考12
如何用Venn图来表示集合 SA 这里集合S可看作一个全集，你能给出全集的含义吗？
例4　设全集U＝R，不等式组的解集为A，试求A及 UA，并将它们分别表示在数轴上．
已知集合A＝{x|x<－1或x>5}，C＝{x|x>a}，若 RA C，则实数a的取值范围是(　　)
A. {a|a≤－1} B. {a|a<－1}
C. {a|a≥5} D. {a|a>5}
不等式问题通常借助数轴来研究，但要注意实心点与空心点．
1. 已知集合A＝{x|3≤x≤7，x∈N}，B＝{x|4A. {3} B. {3，4}
C. {3，7} D. {3，4，7}
2. (2024河北师范大学附中月考)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|xA. {a|a≥2} B. {a|a<2} C. {a|a≤2} D. {a|a>2}
3. (多选)(2024杭州期中)若集合A＝{1，9，x}，B＝{1，x2}，且B A，则x的值为(　　)
A. －3 B. 0 C. 1 D. 3
4. (2024佛山期中)集合A＝{x∈N|x2≤2}的子集个数为__________．
5. (2024临沂一中期初)已知集合A＝{x|－2(1) 若B A，求实数m的取值范围；
(2) 若x∈Z，求A的非空真子集的个数．
1．2　子集、全集、补集
【活动方案】
思考1：集合A中的每个元素都是集合B的元素．
思考2：如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素(若a∈A，则a∈B)，那么集合A称为集合B的子集，记为A B或B A，读作“集合A包含于集合B”或“集合B包含集合A”．
思考3：用Venn图表示两个集合间的“包含”关系A B(或B A)，如图．
思考4：根据集合子集的定义，三个式子都成立．
例1　(1) 因为0∈B，1∈B，即A中的每一个元素都是B的元素，所以A是B的子集．
(2) 因为1∈A，但1 B，所以A不是B的子集．
跟踪训练　2或3　因为{1，a} {1，2，3}，所以a必定是集合{1，2，3}中的一个元素，且a≠1，故 a＝2或a＝3.
思考5：能同时成立，如：A＝{1，2，3}，B＝{3，2，1}．
思考6：如果A B，并且A≠B，那么集合A称为集合B的真子集，记为A?B或B?A，读作“A真包含于B”或“B真包含A”．
思考7：能推出，用Venn图表示出A B，B C，从“形”的角度来观察，结论成立．
例2　集合{a，b}的所有子集是 ，{a}，{b}，{a，b}．
跟踪训练　子集： ，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}，其中真子集： ，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}．
思考8：子集有2n个，真子集有(2n－1)个．
例3　在(1)(2)(3)中都有A?S，B?S.
跟踪训练　在(1)(2)(3)中，A中的每一个元素都是集合B的元素，但A≠B，所以A?B.
思考9：在例3中，观察(1)，可以发现，A S，S中的元素－2，－1，1，2去掉A中的元素－1，1后，剩下的元素为－2，2，这两个元素组成的集合就是B.观察(2)(3)，它们也有同样的特征．
思考10：{－2，－1，2}
思考11：设A S，由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集，记为 SA，读作“A在 S中的补集”，即 SA＝{x|x∈S，且x A}．
思考12：用Venn图表示集合 SA如下图中的阴影部分．
如果一个集合包含我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，全集通常记作U.
例4　由题意，得A＝， UA＝{x|x≤或x>2}．在数轴上分别表示如下：
跟踪训练　B　由题意，得 RA＝{x|－1≤x≤5}，要使 RA C，则a<－1，故实数a的取值范围是{a|a<－1}．　
【检测反馈】
1. B　因为A＝{3，4，5，6，7}，B＝{5，6，7}，所以 AB＝{3，4}．
2. D　由题意，得 A＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1，2}，由图可知A?B，所以a>2.
3. ABD　由题意，得x2＝9或x2＝x，解得x＝3或x＝－3或x＝0或x＝1.当x＝3时，A＝{1，9，3}，B＝{1，9}，满足题意；当x＝－3时，A＝{1，9，－3}，B＝{1，9}，满足题意；当x＝0时，A＝{1，9，0}，B＝{1，0}，满足题意；当x＝1时，A＝{1，9，1}，B＝{1，1}，不满足集合的互异性，舍去. 综上，x＝±3或x＝0.故选ABD.
4. 4　由题意，得A＝{x∈N|x2≤2}＝{0，1}，所以A的子集个数为22＝4.
5. (1) 因为B A，
①若B＝ ，则m＋1>2m－1，解得m<2；
②若B≠ ，则解得2≤m<3.
综上，实数m的取值范围是{m|m<3}．
(2) 因为x∈Z，
所以A＝{－1，0，1，2，3，4}，共有6个元素，
所以A的非空真子集的个数为26－2＝62.

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