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2.3.1　全称量词命题与存在量词命题
1. 通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义．
2. 能正确地利用全称量词与存在量词表达数学对象．
活动一 理解全称量词与存在量词的概念
思考1
下列语句中用到了“任意”“存在”“有的”等词，它们表示什么含义？
(1) 对任意实数x，都有x2≥0；
(2) 存在有理数x，使x2－2＝0；
(3) 有的矩形是菱形；
(4) 所有的质数都是奇数；
(5) 有一个素数是偶数．
思考2
以上五个语句可以分成几类？每一类有什么特征？
思考3
常见的量词有哪些？
思考4
用符号表示思考1中语句(1)(2)(3).
全称量词 所有、任意、一切、每一个、任意一个
数学符号 x
全称量词命题 含有全称量词的命题
一般形式 x∈M，p(x)
存在量词 存在、至少有一个、有一个、有些、有的
数学符号 x
存在量词命题 含有存在量词的命题
一般形式 x∈M，p(x)
活动二　掌握全称量词与存在量词的简单应用　
例1　用全称量词与存在量词表示下列语句：
(1) 有理数都能写成分数形式；
(2) n边形的内角和等于(n－2)×180°；
(3) 存在一个实数x，使＝0；
(4) 有的正数比它的倒数小．
活动三　全称量词命题和存在量词命题的真假判断　
例2　判断下列命题的真假：
(1) x∈R，x2>x；
(2) x∈R，x2>x；
(3) x∈Q，x2－8＝0；
(4) x∈R，x2＋2>0.
指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断它们的真假．
(1) x∈N，2x＋1是奇数；
(2) x，y为正实数，使x2＋y2＝0；
(3) 对任意实数a，|a|＞0；
(4) 存在一个角α，使sin α＝.
思考5
如何判断存在量词命题和全称量词命题的真假？
思考6
给定的集合对存在量词命题、全称量词命题的真假有没有影响？试举例说明．
活动四 掌握量词的综合应用
例3　已知命题p：“ x∈[1，2]，x2－a≥0”与命题q：“ x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0”都是真命题，则实数a的取值范围是____________．
例4　(1) 是否存在实数m，使不等式m＋(x2－2x＋5)＞0对于任意x∈R恒成立，并说明理由；
(2) 若存在实数x，使不等式m－(x2－2x＋5)＞0成立，求实数m的取值范围．
1. (2024南阳方城一中开学考试)下列命题中，是全称量词命题的是(　　)
A. 存在一个实数的平方是负数
B. 每个四边形的内角和都是360°
C. 至少有一个整数x，使得x2＋3x是质数
D. 存在一个实数x，使得x2＝x
2. (2024项城第一高级中学月考)已知命题p： x∈R，x2＋4x＋a＝0，若p是真命题，则实数a的取值范围是(　　)
A. (0，4) B. (－∞，4] C. (－∞，0) D. [4，＋∞)
3. (多选)(2024盐城期中)下列命题中，是真命题的有(　　)
A. x∈R，x2C. x∈Q，x2－3＝0 D. x∈R，x2＋1>0
4. 若命题p：“ x∈R，x2－2x＋m≠0”是真命题，则实数m的取值范围是________．
5. 判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假．
(1) 两个偶数一定有公约数；
(2) 实数的平方和大于0；
(3) 有一个实数，它的任何正整数次幂为0；
(4) 两个负数的乘积为正数．
2.3.1　全称量词命题与存在量词命题
【活动方案】
思考1：语句(1)使用了“任意”，表示对每一个实数x，必定有“x2≥0”，即没有使“x2≥0”不成立的实数x存在．
语句(2)使用了“存在”，表示至少可以找到一个有理数x，使“x2－2＝0”成立．
语句(3)使用了“有的”，表示可以找到一个矩形，它是菱形．
语句(4)使用了“所有”，表示每一个质数都是奇数．
语句(5)使用了“有一个”，表示可以找到一个素数是偶数．
思考2：以上五个语句可分为两类．表示的量词不同，分别是 “任意”“存在”“有的”“所有”“有一个”．
“所有”“任意”“每一个”等表示全体的词在逻辑学中称为全称量词，通常用符号“ x”表示“对任意x”．“存在”“有的”“有一个”等表示部分或个体的词在逻辑学中称为存在量词，通常用符号“ x”表示“存在x”．
思考3：“所有”“任意”“每一个”“有些”“存在”“有的”“有一个”等．
思考4：(1) x∈R，x2≥0.
(2) x∈Q，x2－2＝0.
(3) x∈{x|x是矩形}，x是菱形．
例1　(1) x∈Q，x能写成分数形式．
(2) x∈{x|x 是n边形}，x的内角和为(n－2)×180°.　
(3) x∈R，＝0.
(4) x∈(0，＋∞)，x＜.
例2　(1) 因为当x＝2时，x2>x成立，
所以“ x∈R，x2>x”是真命题．
(2) 因为当x＝0时，x2>x不成立，
所以“ x∈R，x2>x”是假命题．
(3) 因为使x2－8＝0成立的x的值只有x＝2与x＝－2，但它们都不是有理数，
所以“ x∈Q，x2－8＝0”是假命题．
(4) 因为对任意实数x，都有x2＋2>0成立，
所以“ x∈R，x2＋2>0”是真命题．
跟踪训练　(1) 是全称量词命题．因为 x∈N，2x＋1都是奇数，所以该命题是真命题．
(2) 是存在量词命题．因为当x2＋y2＝0时，x＝y＝0，所以不存在x，y为正实数，使x2＋y2＝0，所以该命题是假命题．
(3) 是全称量词命题．因为|0|＝0，所以对任意实数a，|a|＞0不都成立，所以该命题是假命题．
(4) 是存在量词命题．因为当α＝30°时，sin α＝，所以该命题是真命题．
思考5：要判定一个存在量词命题为真，只要在给定的集合中找到一个元素，使命题为真，否则命题为假．要判定一个全称量词命题为真，必须对给定的集合中的每一个元素，命题都为真；但要判定一个全称量词命题为假，只要在给定的集合中找到一个元素，使命题为假．
思考6：有影响．例如“ x∈R，x2>x”是真命题，但“ x∈(0，1)，x2>x”是假命题．“ x∈R，x2>x”是假命题，但“ x∈(1，＋∞)，x2>x”是真命题．
例3　(－∞，－2]∪{1}　因为命题p是真命题，所以f(x)＝x2－a在区间[1，2]上的最小值也大于等于0，即a≤1.因为 x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0是真命题，所以Δ＝4a2－4(2－a)≥0，解得a≤－2或a≥1.综上所述，a≤－2或a＝1，即实数a的取值范围是(－∞，－2]∪{1}．
例4　(1) 不等式可化为m＞－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4.
要使m＞－(x－1)2－4对于任意x∈R恒成立，只需m＞－4.
故存在实数m，当m>－4时，不等式m＋(x2－2x＋5)>0，对于任意x∈R恒成立．
(2) 原式可化为m＞x2－2x＋5，
若存在实数x使不等式m＞x2－2x＋5成立，则m＞(x2－2x＋5)min.
又x2－2x＋5＝(x－1)2＋4≥4，所以m＞4，
所以实数m的取值范围是(4，＋∞).
【检测反馈】
1. B　由题意，得A，C，D中的命题均为存在量词命题；B中的命题是全称量词命题．
2. B　由p是真命题，得Δ＝16－4a≥0，解得a≤4，故实数a的取值范围是(－∞，4].
3. AD　对于A，B，当00，故D正确．故选AD.
4. (1，＋∞)　命题p：“ x∈R，x2－2x＋m≠0”是真命题，则Δ＝4－4m＜0，解得m＞1，故实数m的取值范围是(1，＋∞).
5. (1) 全称量词命题，真命题．
(2) 全称量词命题，假命题．
(3) 存在量词命题，真命题．
(4) 全称量词命题，真命题．

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