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2．3.2　全称量词命题与存在量词命题的否定
1. 能正确使用存在量词对全称量词命题的否定．
2. 能正确使用全称量词对存在量词命题的否定．
3. 进一步提高用全称量词与存在量词准确、简洁地叙述数学内容的能力．
4. 培养对立统一的思维．
活动一 理解含有一个量词的命题的否定的概念
思考1
对于下列命题，试判断是存在量词命题还是全称量词命题？
(1) 所有的正方形都是矩形；
(2) 存在有理数x，使x2－2＝0；
(3) 对任意的实数a，都有|a|≥0；
(4) 有的矩形是菱形．
思考2
你能写出思考1中的四个命题的否定吗？
思考3
这四个命题和它们的否定在形式上有什么变化？
含有一个量词的命题的否定：
原命题 命题的否定
全称量词命题的否定 x∈M，p(x) x∈M， p(x)
存在量词命题的否定 x∈M，p(x) x∈M， p(x)
其中，“ p(x)”是对语句“p(x)”的否定．
对一个命题进行否定，就得到了一个新的命题，这两个命题的关系是“一真一假”或“此假彼真”．
思考4
试分别写出一个全称量词命题和一个存在量词命题，并写出它们的否定．
活动二　掌握含有一个量词的命题的否定的应用
例1　写出下列命题的否定：
(1) 所有的无理数都是实数；
(2) x∈R，x2＋x＋1>0；
(3) 菱形不是矩形；
(4) x∈R，x2－x＋1＝0.
例2　写出下列命题的否定，并判断真假．
(1) 所有的菱形都是正方形；
(2) x∈R，x2－x＋≥0；
(3) x∈R，x2＋2x＋2≤0；
(4) 至少有一个实数x，使x3＋1＝0.
写出下列命题的否定，并判断真假．
(1) p： x∈R，≥0；
(2) q：所有的正方形都是矩形；
(3) r： x∈R，x2＋2x＋3≤0；
(4) s：至少有一个实数x，使x3＜－1.
活动三 掌握命题的否定的综合应用
例3　已知命题“ x∈R，x2－5x＋a＞0”的否定为假命题，求实数a的取值范围．
已知命题p： x∈R，x2＋x＋a＝0，若命题p是假命题，则实数a的取值范围是(　　)
A. 　　　B. 　　　C. 　　　D.
1. (2024福州期中)已知命题p： x∈(0，＋∞)，2xA. x∈(0，＋∞)，2xx2
C. x∈(0，＋∞)，2x≥x2 D. x∈(0，＋∞)，2x≥x2
2. (2024河北沧衡名校联盟期中)已知命题p：所有的正方形都是菱形，则命题p的否定为(　　)
A. 所有的菱形都不是正方形 B. 存在一个正方形不是菱形
C. 所有的正方形都不是菱形 D. 存在一个正方形是菱形
3. (多选)下列说法中，正确的是(　　)
A. 命题p： x>0，x2－6x－12＝0，则p的否定： x>0，x2－6x－12≠0
B. 命题p： x>0，x(x－4)>0，则p的否定： x≤0，x(x－4)≤0
C. 命题“任意一个平行四边形的四个顶点都在同一个圆上”的否定是假命题
D. 命题“存在两个不全等三角形的面积相等”的否定是假命题
4. (2024南宁武鸣高中月考)若命题“ x>2 025，x5. 判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，请写出它们的否定，并判断其真假．
(1) 对任意x∈R，x2＋x＋2≠0都成立；
(2) x∈R，x2＋3x＋2<0.
2．3.2　全称量词命题与存在量词命题的否定
【活动方案】
思考1：(1) 全称量词命题．
(2) 存在量词命题．
(3) 全称量词命题．
(4) 存在量词命题．
思考2：命题(1)的否定是“不是所有的正方形都是矩形”，换言之，“有的正方形不是矩形”．
命题(2)的否定是“不存在有理数x，使x2－2＝0”，换言之，“对所有的有理数x，x2－2≠0”．
命题(3)的否定是“不是对任意的实数a，都有|a|≥0”，换言之，“存在实数a，使|a|＜0”．
命题(4)的否定是“不是有的矩形是菱形”，换言之，“所有的矩形都不是菱形”．
思考3：命题否定后，全称量词变为存在量词，“肯定”变为“否定”，或存在量词变为全称量词，“肯定”变为“否定”．
思考4：全称量词命题：“所有矩形的对角线相等”的否定是“存在矩形的对角线不相等”．存在量词命题：“ x>0，x2>1”的否定是“ x>0，x2≤1”．(答案不唯一)
例1　(1) 有的无理数不是实数．
(2) x∈R，x2＋x＋1≤0.
(3) 存在一个菱形，它是矩形．
(4) x∈R，x2－x＋1≠0.
例2　(1) 存在菱形不是正方形，是真命题．
(2) x∈R，x2－x＋<0，是假命题．
(3) x∈R，x2＋2x＋2>0，是真命题．
(4) x∈R，x3＋1≠0，是假命题．
跟踪训练　(1) p： x∈R，＜0，是假命题．
(2) q：至少存在一个正方形不是矩形，是假命题．
(3) r： x∈R，x2＋2x＋3＞0，是真命题．
(4) s： x∈R，x3≥－1，是假命题．
例3　由“ x∈R，x2－5x＋a＞0”的否定为假命题，可知命题“ x∈R，x2－5x＋a＞0”为真命题，即二次函数y＝x2－5x＋a的最小值大于0，所以＞0，解得a＞，即实数a的取值范围为.
跟踪训练　A　假设命题p为真，则 x∈R，x2＋x＋a＝0，即关于x的一元二次方程x2＋x＋a＝0有解，所以Δ＝12－4a≥0，解得a≤.因为命题p是假命题，所以a>.
【检测反馈】
1. C　因为存在量词命题的否定是全称量词命题，所以 p为 x∈(0，＋∞)，2x≥x2.
2. B　命题p：所有的正方形都是菱形，则命题p的否定为存在一个正方形不是菱形．
3. AD　对于A，命题p： x>0，x2－6x－12＝0，则p的否定： x>0，x2－6x－12≠0，故A正确；对于B，命题p： x>0，x(x－4)>0，则p的否定： x>0，x(x－4)≤0，故B错误；对于C，命题“任意一个平行四边形的四个顶点都在同一个圆上”其否定为“存在一个平行四边形的四个顶点不都在同一个圆上”是真命题，故C错误；对于D，命题“存在两个不全等三角形的面积相等”其否定为“任意两个不全等三角形的面积不相等”是假命题，故D正确．故选AD.
4. (－∞，2 025]　因为命题“ x>2 025，x2 025，x≥a”是真命题，所以a≤2 025.故实数a的取值范围是(－∞，2 025].
5. (1) 全称量词命题，它的否定为“ x∈R，x2＋x＋2＝0”．
因为x2＋x＋2＝＋≠0，
所以命题“对任意x∈R，x2＋x＋2≠0都成立”为真命题，故它的否定为假命题．
(2) 存在量词命题，它的否定为“ x∈R，x2＋3x＋2≥0”．
对于方程x2＋3x＋2＝0，可得Δ＝32－4×2＝1>0，
所以命题“ x∈R，使x2＋3x＋2<0”为真命题，故它的否定为假命题．

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