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1.4 用空间向量研究直线、平面位置关系
【知识点1】直线、平面的向量表示 1
【知识点2】平面的法向量 2
【知识点3】平行问题 3
【知识点4】垂直问题 4
【跟踪训练】 6
1.会求平面的法向量(重点)。
2.掌握垂直关系的证明(重难点)。
3.掌握平行关系的证明用空间向量研究直线、平面位置关系(重点)。
【知识点1】直线、平面的向量表示
直线、平面的向量表示
(1)直线的方向向量：l是空间一直线，A，B是直线l上任意两点，则称为直线l的方向向量，与平行的任意非零向量也是直线l的方向向量．
(2)空间直线的向量表示：．
例1：
【例1】（2024秋 赤峰期末）已知向量（4，﹣2，6），（﹣4，2x2，6x）都是直线l的方向向量，则x的值是（　　）
A．﹣1或1 B．﹣1 C．﹣3 D．1
【例2】（2024秋 怀柔区期末）已知直线l1的一个方向向量为，直线l2的一个方向向量为，若l1∥l2，则t值为（　　）
A．﹣3 B．1 C． D．
【例3】（2024秋 市中区期末）若A（1，0，﹣1），B（2，1，2）在直线l上，则直线l的一个方向向量是（　　）
A．（1，1，1） B．（1，1，3） C．（3，1，1） D．（﹣3，0，1）
【例4】（2025春 滨海县校级月考）已知直线l1的方向向量为（1，0，m），直线l2的方向向量为（0，1，m），若l1与l2的夹角为60°，则m等于（　　）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．0
【知识点2】平面的法向量
1．平面的法向量
(1)直线l⊥α,取直线l的方向向量，称向量为平面α的法向量．
(2)直线l⊥α,取直线l的方向向量，称向量为平面α的法向量．
2．法向量的求解
(1)写出平面内两向量的坐标．
(2)设出法向量．
(3)根据数量积为零列出方程组．
(4)解方程组，求出一个法向量．
例1：
【例5】（2025春 宿州期中）已知平面α内有两个向量，，设平面α的法向量为，则可以为（　　）
A．（1，2，2） B．（﹣1，2，2） C．（1，2，﹣2） D．（﹣1，﹣2，2）
【例6】（2025春 长汀县校级月考）平面α内三点坐标分别为A（1，0，﹣1），B（﹣1，1，﹣1），C（﹣1，0，0），则平面α的一个法向量为　　．
【例7】（2024秋 铜山区校级月考）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1．
（1）求出对角线AC1的一个方向向量．
（2）求出平面ACB1的一个法向量．
【例8】（2024秋 广州校级期中）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝3，点E在棱AB上移动．
（1）证明：D1E⊥A1D；
（2）求平面ACD1的法向量．
【知识点3】平行问题
1．直线、平面的平行关系
(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1∥l2(或l1与l2重合) v1∥v2．
(2)设直线l的方向向量为v，与平面α共面的两个不共线向量v1和v2，则l∥α或l α 存在两个实数x，y，使v＝xv1＋yv2．
(3)设l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l∥α或l α v⊥u．
(4)平面α和β的法向量分别为u1，u2，则α∥β u1∥u2．
2．用向量证明平行问题
(1)线线平行：方向向量平行．
(2)线面平行：平面外的直线方向向量与平面法向量垂直．
(3)面面平行：两平面的法向量平行．
例1：
【例9】（2025春 崇川区期中）已知（4，x﹣1，x+1）是直线l的方向向量，（1，2，3）是平面α的法向量．若l∥α，则x＝（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．1
【例10】（2024秋 铜仁市期末）已知（2，﹣1，3），（﹣4，λ，μ）分别是平面α，β的法向量，且α∥β，则（　　）
A．λ＝2μ B．λ＝μ C．3λ+μ＝0 D．λ+3μ＝8
【例11】（2024秋 咸阳期末）已知直线l1，l2的方向向量分别是，，若l1∥l2，则a+b＝　　　　．
【例12】（2024秋 浦东新区校级期末）设直线l的一个方向向量（2，2，﹣1），平面α的一个法向量（﹣6，8，4），则直线l与平面α的位置关系是　　　　．
【知识点4】垂直问题
1．直线、平面的垂直关系
(1)设l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1⊥l2 v1⊥v2 v1·v2＝0．
(2)设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l⊥α v∥u．
(3)设平面α和β的法向量分别为u1和u2，则α⊥β u1⊥u2 u1·u2＝0．
2．用向量证明垂直问题
(1)线线垂直问题：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零．
(2)线面垂直问题：直线的方向向量与平面的法向量共线，或利用线面垂直的判定定理转化为证明线线垂直．
(3)面面垂直问题：两个平面的法向量垂直，或利用面面垂直的判定定理转化为证明线面垂直．
例1：
【例13】（2025春 邗江区校级期中）已知直线l的方向向量为，平面α的法向量为，若l α，则实数x的值为（　　）
A． B． C． D．
【例14】（2024秋 迎江区校级期末）若直线l的方向向量，平面α的一个法向量，若l⊥α，则实数k＝（　　）
A．2 B．﹣10 C．﹣2 D．10
【例15】（2024秋 娄底期末）已知平面α的一个法向量，平面β的一个法向量，若α⊥β，则y﹣x＝　　　　．
【例16】（2024秋 兴宁市校级月考）已知A（2，2，2），B（2，0，0），C（0，2，﹣2）．
（1）写出直线BC的一个方向向量；
（2）设平面α经过点A，且BC⊥α，M（x，y，z）是平面α内的任意一点，试写出x，y，z满足的关系式．
1.4 用空间向量研究直线、平面位置关系
一．选择题（共14小题）
1．（2024秋 景德镇期末）若P（0，1，1），Q（2，3，5）在直线l上，则直线l的一个方向向量的坐标为（　　）
A．（1，1，2） B．（1，2，1） C．（1，2，2） D．（2，2，2）
2．（2025春 兴化市校级月考）已知平面内的两个向量（2，3，1），（5，6，4），则该平面的一个法向量为（　　）
A．（1，﹣1，1） B．（2，﹣1，1） C．（﹣2，1，1） D．（﹣1，1，﹣1）
3．（2025春 江苏校级期中）平面α经过三点O（0，0，0），A（2，2，0），B（0，0，2），则平面α的法向量可以是（　　）
A．（1，0，1） B．（1，0，﹣1） C．（0，1，1） D．（﹣1，1，0）
4．（2024秋 临高县校级期末）已知点A（0，0，0），B（0，0，1），C（1，1，0）在平面α内，则下列向量为平面α的法向量的是（　　）
A．（0，﹣1，0） B．（1，﹣1，0）
C．（1，1，0） D．（1，1，1）
5．（2024秋 朝阳校级期末）已知直线l的方向向量为，平面α的一个法向量为，若直线l∥平面α，则a＝（　　）
A．﹣7 B．﹣3 C．﹣1 D．2
6．（2024秋 宜春校级期末）已知空间向量，若，则x＝（　　）
A． B．3 C． D．2
7．（2024秋 淄博期末）设x，y∈R，向量，1，1），，y，1），，且，，则（　　）
A． B．3 C． D．4
8．（2024秋 雨山区校级期末）若直线l⊥平面α，直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则下列结论正确的是（　　）
A．（1，0，1），（1，0，﹣1）
B．（1，1，1），（1，1，﹣2）
C．（2，1，1），（﹣4，﹣2，﹣2）
D．（1，3，1），（2，0，﹣1）
9．（2024秋 含山县校级期末）下列命题中正确的是（　　）
A．已知向量，则存在向量可以与，构成空间的一个基底
B．若两个不同平面α，β的法向量分别是，，且，，则α⊥β
C．已知三棱锥O﹣ABC，点P为平面ABC上的一点，且，则m﹣n＝1
D．已知A（0，1，0），B（1，2，0）与方向相同的单位向量是（1，1，0）
10．（2024秋 献县期末）已知向量（λ，﹣λ，1），（2，1+2λ，﹣3），若⊥（），则λ的值是（　　）
A．﹣2 B．0 C．1 D．2
11．（2024秋 朝阳区校级期末）若直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则（　　）
A．l∥α B．l⊥α C．1 α D．l与α斜交
12．（2024秋 朝阳区期末）已知（﹣2，0，k）是直线l的方向向量，（1，0，2）是平面α的法向量，若l⊥α，则实数k＝（　　）
A．﹣4 B．﹣1 C．1 D．4
13．（2024秋 澄海区期末）已知直线l的一个方向向量为（2，1，﹣4），平面α的一个法向量为（3，2，t），若l∥α，则t＝（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
14．（2024秋 滨海新区期末）已知直线l的一个方向向量为，平面α的一个法向量为，若直线l⊥平面α，则x＝（　　）
A． B．20 C． D．﹣20
二．填空题（共8小题）
15．（2024秋 湖北期末）已知，，若，则实数λ＝　 　．
16．（2025春 沭阳县期中）已知直线l的方向向量为，平面α的法向量为．若l∥α，则实数λ的值为　 　．
17．（2025春 上海校级期中）已知直线l的一个方向向量（4，3，1），平面α的一个法向量（m，3，﹣5），且l∥α，则m＝　 　．
18．（2025春 上海期中）已知直线l的一个方向向量为，平面α的一个法向量为，若l⊥α，则s+t＝　 　．
19．（2025春 江苏校级期中）已知直线l的方向向量为，平面α的一个法向量为，若l⊥α，则λ的值为　 　．
20．（2025春 上海校级月考）已知直线l的一个方向向量，平面α的一个法向量，且l∥α，则m＝　 　．
21．（2024秋 金山区期末）已知直线l的一个方向向量为（1，﹣2，0），平面α的一个法向量为（m，3，6），且l∥α，则m＝　 　．
22．（2024秋 呼和浩特期末）已知直线l的一个方向向量为，平面α的一个法向量，若l∥α，则实数x＝　 　．
三．解答题（共6小题）
23．（2025春 常州月考）已知向量（1，﹣3，2），（﹣2，1，1），点A（﹣3，﹣1，4），B（﹣2，﹣2，2）．
（1）求|2|；
（2）在直线AB上，是否存在一点E，使得⊥？（O为原点）
24．（2024秋 朝阳校级期中）如图所示，MA⊥平面ABCD，底面ABCD边长为1的正方形，MA＝2AB，P是MC上一点，且
（1）建立适当的坐标系并求点P坐标；
（2）求证：MB⊥DP．
25．（2024秋 上海校级月考）已知空间直角坐标系中四个点的坐标分别为：A（1，1，1），B（1，2，3），C（4，5，6），D（7，8，x）．
（1）若，求x的值；
（2）若点D在平面ABC上，求x的值．
26．（2024秋 海淀区校级期中）已知空间四点A（0，2，3），B（1，4，6），C（1，2，5），D（0，m，n），．
（Ⅰ）求和n的值；
（Ⅱ）若点D在平面ABC内，请直接写出m的值．
27．（2024春 宁德期中）已知（3，a+b，a﹣b）（a，b∈R）是直线l的方向向量，（1，2，3）是平面α的法向量．
（1）若l∥α，求a，b的关系式；
（2）若l⊥α，求a，b的值．
28．（2024秋 顺德区校级月考）已知空间中三点A（2，0，﹣2），B（1，﹣1，﹣2），C（3，0，﹣4），设．
（1）若|，且，∥，求向量；
（2）已知向量k与互相垂直，求k的值；
（3）若点P（1，﹣1，m）在平面ABC上，求m的值．
第1页 共1页1.4 用空间向量研究直线、平面位置关系
【知识点1】直线、平面的向量表示 1
【知识点2】平面的法向量 3
【知识点3】平行问题 7
【知识点4】垂直问题 9
【跟踪训练】 12
1.会求平面的法向量(重点)。
2.掌握垂直关系的证明(重难点)。
3.掌握平行关系的证明用空间向量研究直线、平面位置关系(重点)。
【知识点1】直线、平面的向量表示
直线、平面的向量表示
(1)直线的方向向量：l是空间一直线，A，B是直线l上任意两点，则称为直线l的方向向量，与平行的任意非零向量也是直线l的方向向量．
(2)空间直线的向量表示：．
例1：
【例1】（2024秋 赤峰期末）已知向量（4，﹣2，6），（﹣4，2x2，6x）都是直线l的方向向量，则x的值是（　　）
A．﹣1或1 B．﹣1 C．﹣3 D．1
【答案】B
【分析】结合方向向量的定义，列出方程组，即可求解．
【解答】解：向量（4，﹣2，6），（﹣4，2x2，6x）都是直线l的方向向量，
则，解得x＝﹣1．
故选：B．
【例2】（2024秋 怀柔区期末）已知直线l1的一个方向向量为，直线l2的一个方向向量为，若l1∥l2，则t值为（　　）
A．﹣3 B．1 C． D．
【答案】A
【分析】由已知可得，设，列方程求t．
【解答】解：因为直线l2的一个方向向量为，直线l1的一个方向向量为，l1∥l2，所以，
设，则2＝﹣2λ，﹣1＝λ，t＝3λ，
所以λ＝﹣1，t＝﹣3．
故选：A．
【例3】（2024秋 市中区期末）若A（1，0，﹣1），B（2，1，2）在直线l上，则直线l的一个方向向量是（　　）
A．（1，1，1） B．（1，1，3） C．（3，1，1） D．（﹣3，0，1）
【答案】B
【分析】根据已知条件，结合方向向量的定义，即可求解．
【解答】解：A（1，0，﹣1），B（2，1，2），
则（1，1，3）．
故选：B．
【例4】（2025春 滨海县校级月考）已知直线l1的方向向量为（1，0，m），直线l2的方向向量为（0，1，m），若l1与l2的夹角为60°，则m等于（　　）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．0
【答案】C
【分析】根据已知条件，结合空间向量的夹角公式，即可求解．
【解答】解：直线l1的方向向量为（1，0，m），直线l2的方向向量为（0，1，m），l1与l2的夹角为60°，
则，解得m＝±1．
故选：C．
【知识点2】平面的法向量
1．平面的法向量
(1)直线l⊥α,取直线l的方向向量，称向量为平面α的法向量．
(2)直线l⊥α,取直线l的方向向量，称向量为平面α的法向量．
2．法向量的求解
(1)写出平面内两向量的坐标．
(2)设出法向量．
(3)根据数量积为零列出方程组．
(4)解方程组，求出一个法向量．
例1：
【例5】（2025春 宿州期中）已知平面α内有两个向量，，设平面α的法向量为，则可以为（　　）
A．（1，2，2） B．（﹣1，2，2） C．（1，2，﹣2） D．（﹣1，﹣2，2）
【答案】B
【分析】根据法向量的概念进行验证即可．
【解答】解：因为为平面α的法向量，所以，且．
对于A，因为2+0+2＝4≠0，故A错误；
对于B，因为2+2＝0，2+2＝0，故B正确；
对于C，因为2+2+0＝4≠0，故C错误；
对于D，因为2﹣2+0＝﹣4≠0，故D错误．
故选：B．
【例6】（2025春 长汀县校级月考）平面α内三点坐标分别为A（1，0，﹣1），B（﹣1，1，﹣1），C（﹣1，0，0），则平面α的一个法向量为　　．
【答案】（1，2，2）（答案不唯一）．
【分析】求出，由，求解即可．
【解答】解：由A（1，0，﹣1），B（﹣1，1，﹣1），C（﹣1，0，0）
则
因为向量是平面α的一个法向量，
所以，令x＝1，则．
故答案为：（1，2，2）．
【例7】（2024秋 铜山区校级月考）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1．
（1）求出对角线AC1的一个方向向量．
（2）求出平面ACB1的一个法向量．
【答案】（1）（﹣a，a，a）．
（2）（1，1，﹣1）．
【分析】（1）建立空间直角坐标系，设出边长，根据点的坐标可得到向量的坐标，即可求得方向向量；
（2）根据（1）中点的坐标可得到平面的一个法向量．
【解答】解：（1）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，
以点D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在的直线分别为x，y，z轴，
建立空间直角坐标系，如图，
设边长为a，则由正方体的结构特征得：
A（a，0，0），C1（0，a，a），C（0，a，0），B1（a，a，a），
∴对角线AC1的方向向量为（﹣a，a，a）；
（2）由（1）可得，
设平面ACB1的一个法向量为，
则，即，
令y＝1，则x＝1，z＝﹣1，∴，
∴平面ACB1的法向量为（1，1，﹣1）．
【例8】（2024秋 广州校级期中）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝3，点E在棱AB上移动．
（1）证明：D1E⊥A1D；
（2）求平面ACD1的法向量．
【答案】（1）证明见解析；
（2）法向量为（3，1，3），（答案不唯一）．
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积的坐标表示公式、空间向量互相垂直的性质进行求解即可；
（2）根据平面法向量的性质，结合空间向量数量积的坐标表示公式进行求解即可．
【解答】解：（1）证明：以D为原点建立如图所示空间直角坐标系，
D1（0，0，1），A1（1，0，1），设E（1，t，0），0≤t≤3，
所以，
所以D1E⊥A1D．
（2）A（1，0，0），C（0，3，0），，，
设平面ACD1的法向量为，
则，故可设，
平面ACD1的法向量为．
【知识点3】平行问题
1．直线、平面的平行关系
(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1∥l2(或l1与l2重合) v1∥v2．
(2)设直线l的方向向量为v，与平面α共面的两个不共线向量v1和v2，则l∥α或l α 存在两个实数x，y，使v＝xv1＋yv2．
(3)设l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l∥α或l α v⊥u．
(4)平面α和β的法向量分别为u1，u2，则α∥β u1∥u2．
2．用向量证明平行问题
(1)线线平行：方向向量平行．
(2)线面平行：平面外的直线方向向量与平面法向量垂直．
(3)面面平行：两平面的法向量平行．
例1：
【例9】（2025春 崇川区期中）已知（4，x﹣1，x+1）是直线l的方向向量，（1，2，3）是平面α的法向量．若l∥α，则x＝（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．1
【答案】C
【分析】利用直线与平面平行时直线的方向向量与平面的法向量垂直这一关系，通过向量垂直的性质来求解x的值．
【解答】解：因为l∥α，所以直线l的方向向量，x﹣1，x+1）与平面α的法向量，3）垂直，
则0，则4×1+（x﹣1）×2+（x+1）×3＝0，解得x＝﹣1．
故选：C．
【例10】（2024秋 铜仁市期末）已知（2，﹣1，3），（﹣4，λ，μ）分别是平面α，β的法向量，且α∥β，则（　　）
A．λ＝2μ B．λ＝μ C．3λ+μ＝0 D．λ+3μ＝8
【答案】C
【分析】由两个平面平行，可得这两个平面的法向量平行，列方程，可得λ，μ的值，选出正确答案．
【解答】解：（2，﹣1，3），（﹣4，λ，μ）分别是平面α，β的法向量，且α∥β，
可得∥，可得，解得λ＝2，μ＝﹣6，
所以A，B，D不正确，C正确．
故选：C．
【例11】（2024秋 咸阳期末）已知直线l1，l2的方向向量分别是，，若l1∥l2，则a+b＝　　　　．
【答案】18．
【分析】由题意可得出，所以，求出a，b，即可得出答案．
【解答】解：因为l1∥l2，所以，
，，所以，解得：a＝10，b＝8，
所以a+b＝18．
故答案为：18．
【例12】（2024秋 浦东新区校级期末）设直线l的一个方向向量（2，2，﹣1），平面α的一个法向量（﹣6，8，4），则直线l与平面α的位置关系是　　　　．
【答案】l∥α或l α．
【分析】根据题意，由空间向量数量积的计算公式可得 12+16﹣4＝0，即⊥，由此分析可得答案．
【解答】根据题意，直线l的一个方向向量（2，2，﹣1），平面α的一个法向量（﹣6，8，4），则 12+16﹣4＝0，即⊥，
则有l∥α或l α；
故答案为：l∥α或l α．
【知识点4】垂直问题
1．直线、平面的垂直关系
(1)设l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1⊥l2 v1⊥v2 v1·v2＝0．
(2)设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l⊥α v∥u．
(3)设平面α和β的法向量分别为u1和u2，则α⊥β u1⊥u2 u1·u2＝0．
2．用向量证明垂直问题
(1)线线垂直问题：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零．
(2)线面垂直问题：直线的方向向量与平面的法向量共线，或利用线面垂直的判定定理转化为证明线线垂直．
(3)面面垂直问题：两个平面的法向量垂直，或利用面面垂直的判定定理转化为证明线面垂直．
例1：
【例13】（2025春 邗江区校级期中）已知直线l的方向向量为，平面α的法向量为，若l α，则实数x的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，建立方程，即可求解．
【解答】解：因为直线l的方向向量为，
又平面α的法向量为，且l α，所以，
所以，解得．
故选：D．
【例14】（2024秋 迎江区校级期末）若直线l的方向向量，平面α的一个法向量，若l⊥α，则实数k＝（　　）
A．2 B．﹣10 C．﹣2 D．10
【答案】A
【分析】由l⊥α，得到∥，由此能求出k．
【解答】解：∵直线l的方向向量，
平面α的一个法向量，l⊥α，∴∥，
∴，解得k＝2．
故选：A．
【例15】（2024秋 娄底期末）已知平面α的一个法向量，平面β的一个法向量，若α⊥β，则y﹣x＝　　　　．
【答案】1．
【分析】利用向量垂直的性质直接求解．
【解答】解：∵平面α的一个法向量，
平面β的一个法向量，α⊥β，
∴x+y﹣1＝0，
解得y﹣x＝1．
故答案为：1．
【例16】（2024秋 兴宁市校级月考）已知A（2，2，2），B（2，0，0），C（0，2，﹣2）．
（1）写出直线BC的一个方向向量；
（2）设平面α经过点A，且BC⊥α，M（x，y，z）是平面α内的任意一点，试写出x，y，z满足的关系式．
【答案】（1）（﹣2，2，﹣2）（答案不唯一）；
（2）x﹣y+z﹣2＝0．
【分析】（1）求出即可作为直线BC的一个方向向量；
（2）由BC⊥α，可得为平面α的一个法向量，所以⊥，由此能求出x，y，z满足的关系式．
【解答】解：（1）因为B（2，0，0），C（0，2，﹣2），
所以（﹣2，2，﹣2），
即（﹣2，2，﹣2）为直线BC的一个方向向量．
（2）因为BC⊥α，所以为平面α的一个法向量，
由题意得（x﹣2，y﹣2，z﹣2），
又AM 平面α，所以⊥，
所以 （﹣2，2，﹣2） （x﹣2，y﹣2，z﹣2）＝0，
即﹣2（x﹣2）+2（y﹣2）﹣2（z﹣2）＝0，
所以x﹣y+z﹣2＝0．
1.4 用空间向量研究直线、平面位置关系
一．选择题（共14小题）
1．（2024秋 景德镇期末）若P（0，1，1），Q（2，3，5）在直线l上，则直线l的一个方向向量的坐标为（　　）
A．（1，1，2） B．（1，2，1） C．（1，2，2） D．（2，2，2）
2．（2025春 兴化市校级月考）已知平面内的两个向量（2，3，1），（5，6，4），则该平面的一个法向量为（　　）
A．（1，﹣1，1） B．（2，﹣1，1） C．（﹣2，1，1） D．（﹣1，1，﹣1）
3．（2025春 江苏校级期中）平面α经过三点O（0，0，0），A（2，2，0），B（0，0，2），则平面α的法向量可以是（　　）
A．（1，0，1） B．（1，0，﹣1） C．（0，1，1） D．（﹣1，1，0）
4．（2024秋 临高县校级期末）已知点A（0，0，0），B（0，0，1），C（1，1，0）在平面α内，则下列向量为平面α的法向量的是（　　）
A．（0，﹣1，0） B．（1，﹣1，0）
C．（1，1，0） D．（1，1，1）
5．（2024秋 朝阳校级期末）已知直线l的方向向量为，平面α的一个法向量为，若直线l∥平面α，则a＝（　　）
A．﹣7 B．﹣3 C．﹣1 D．2
6．（2024秋 宜春校级期末）已知空间向量，若，则x＝（　　）
A． B．3 C． D．2
7．（2024秋 淄博期末）设x，y∈R，向量，1，1），，y，1），，且，，则（　　）
A． B．3 C． D．4
8．（2024秋 雨山区校级期末）若直线l⊥平面α，直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则下列结论正确的是（　　）
A．（1，0，1），（1，0，﹣1）
B．（1，1，1），（1，1，﹣2）
C．（2，1，1），（﹣4，﹣2，﹣2）
D．（1，3，1），（2，0，﹣1）
9．（2024秋 含山县校级期末）下列命题中正确的是（　　）
A．已知向量，则存在向量可以与，构成空间的一个基底
B．若两个不同平面α，β的法向量分别是，，且，，则α⊥β
C．已知三棱锥O﹣ABC，点P为平面ABC上的一点，且，则m﹣n＝1
D．已知A（0，1，0），B（1，2，0）与方向相同的单位向量是（1，1，0）
10．（2024秋 献县期末）已知向量（λ，﹣λ，1），（2，1+2λ，﹣3），若⊥（），则λ的值是（　　）
A．﹣2 B．0 C．1 D．2
11．（2024秋 朝阳区校级期末）若直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则（　　）
A．l∥α B．l⊥α C．1 α D．l与α斜交
12．（2024秋 朝阳区期末）已知（﹣2，0，k）是直线l的方向向量，（1，0，2）是平面α的法向量，若l⊥α，则实数k＝（　　）
A．﹣4 B．﹣1 C．1 D．4
13．（2024秋 澄海区期末）已知直线l的一个方向向量为（2，1，﹣4），平面α的一个法向量为（3，2，t），若l∥α，则t＝（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
14．（2024秋 滨海新区期末）已知直线l的一个方向向量为，平面α的一个法向量为，若直线l⊥平面α，则x＝（　　）
A． B．20 C． D．﹣20
二．填空题（共8小题）
15．（2024秋 湖北期末）已知，，若，则实数λ＝　 　．
16．（2025春 沭阳县期中）已知直线l的方向向量为，平面α的法向量为．若l∥α，则实数λ的值为　 　．
17．（2025春 上海校级期中）已知直线l的一个方向向量（4，3，1），平面α的一个法向量（m，3，﹣5），且l∥α，则m＝　 　．
18．（2025春 上海期中）已知直线l的一个方向向量为，平面α的一个法向量为，若l⊥α，则s+t＝　 　．
19．（2025春 江苏校级期中）已知直线l的方向向量为，平面α的一个法向量为，若l⊥α，则λ的值为　 　．
20．（2025春 上海校级月考）已知直线l的一个方向向量，平面α的一个法向量，且l∥α，则m＝　 　．
21．（2024秋 金山区期末）已知直线l的一个方向向量为（1，﹣2，0），平面α的一个法向量为（m，3，6），且l∥α，则m＝　 　．
22．（2024秋 呼和浩特期末）已知直线l的一个方向向量为，平面α的一个法向量，若l∥α，则实数x＝　 　．
三．解答题（共6小题）
23．（2025春 常州月考）已知向量（1，﹣3，2），（﹣2，1，1），点A（﹣3，﹣1，4），B（﹣2，﹣2，2）．
（1）求|2|；
（2）在直线AB上，是否存在一点E，使得⊥？（O为原点）
24．（2024秋 朝阳校级期中）如图所示，MA⊥平面ABCD，底面ABCD边长为1的正方形，MA＝2AB，P是MC上一点，且
（1）建立适当的坐标系并求点P坐标；
（2）求证：MB⊥DP．
25．（2024秋 上海校级月考）已知空间直角坐标系中四个点的坐标分别为：A（1，1，1），B（1，2，3），C（4，5，6），D（7，8，x）．
（1）若，求x的值；
（2）若点D在平面ABC上，求x的值．
26．（2024秋 海淀区校级期中）已知空间四点A（0，2，3），B（1，4，6），C（1，2，5），D（0，m，n），．
（Ⅰ）求和n的值；
（Ⅱ）若点D在平面ABC内，请直接写出m的值．
27．（2024春 宁德期中）已知（3，a+b，a﹣b）（a，b∈R）是直线l的方向向量，（1，2，3）是平面α的法向量．
（1）若l∥α，求a，b的关系式；
（2）若l⊥α，求a，b的值．
28．（2024秋 顺德区校级月考）已知空间中三点A（2，0，﹣2），B（1，﹣1，﹣2），C（3，0，﹣4），设．
（1）若|，且，∥，求向量；
（2）已知向量k与互相垂直，求k的值；
（3）若点P（1，﹣1，m）在平面ABC上，求m的值．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 A C D B D A C C B D B
题号 12 13 14
答案 A B A
一．选择题（共14小题）
1．【答案】A
【分析】根据给定条件，利用方向向量的定义判断得解．
【解答】解：由题意可知，，
所以直线l的一个方向向量的坐标为（1，1，2）．
故选：A．
2．【答案】C
【分析】利用待定系数法设出平面的法向量，然后由向量垂直的坐标表示，列式求解即可．
【解答】解：设平面的法向量为，则，
令z＝1，则x＝﹣2，y＝1，所以，
则该平面的一个法向量为（﹣2，1，1）．
故选：C．
3．【答案】D
【分析】求出（2，2，0），（0，0，2），设平面α的法向量（x，y，z），由，能求出平面α的法向量．
【解答】解：∵平面α经过三点O（0，0，0），A（2，2，0），B（0，0，2），
∴（2，2，0），（0，0，2），
设平面α的法向量（x，y，z），
则，取x＝﹣1，得（﹣1，1，0），
∴平面α的法向量可以是（﹣1，1，0）．
故选：D．
4．【答案】B
【分析】根据题意，设平面α的法向量为，且（x，y，z），由平面法向量的性质求出，依次分析选项中向量是否与共线，即可得答案．
【解答】解：根据题意，设平面α的法向量为，且（x，y，z），
点A（0，0，0），B（0，0，1），C（1，1，0），
则（0，0，1），（1，1，0），则，解可得，
令x＝1，可得（1，﹣1，0），
选项中，只有B选项中向量与（1，﹣1，0）共线．
故选：B．
5．【答案】D
【分析】由题意可得，根据空间向量的坐标表示建立方程，解之即可求解．
【解答】解：因为直线l∥平面α，所以，
又因为为，，
所以，解得a＝2．
故选：D．
6．【答案】A
【分析】根据空间向量运算的坐标表示进行计算即可．
【解答】解：由题意可得，
因为，所以，
解得．
故选：A．
7．【答案】C
【分析】根据向量垂直、平行的性质，可分别求出x，y的值，再计算即可．
【解答】解：由，知2x﹣2+2＝0，所以x＝0，即（0，1，1），
由，可得，所以y＝﹣1，即（1，﹣1，1），
所以（1，0，2），
所以||．
故选：C．
8．【答案】C
【分析】由于直线l⊥平面α，可得直线l的方向向量与平面α的法向量平行，再利用向量共线定理即可判断出结论．
【解答】解：∵直线l⊥平面α，
∴直线l的方向向量与平面α的法向量平行，即．
经验证可知选项C满足：2，正确．
故选：C．
9．【答案】B
【分析】根据空间向量基底的概念可判定A；由向量的数量积性质可判定B；由空间向量共面定理的推论可判定C；由单位向量的概念经计算可判定D．
【解答】解：对于A，因为向量，所以空间内任一向量与，共面，故不存在向量可以与，构成空间的一个基底，故A错误；
对于B，因为，，所以，则α⊥β，故B正确；
对于C，由，且P，A，B，C共面，得，解得，故C错误；
对于D，由题意，，则与方向相同的单位向量是，故D错误．
故选：B．
10．【答案】D
【分析】根据已知条件，结合向量垂直的性质，即可求解．
【解答】解：向量（λ，﹣λ，1），（2，1+2λ，﹣3），
则，⊥（），
则λ（λ+2）﹣λ（1+λ）﹣2＝0，解得λ＝2．
故选：D．
11．【答案】B
【分析】由两个向量的坐标的关系，可得∥，判断出直线l与平面α的位置关系．
【解答】解：因为直线l的方向向量为，平面α的法向量为，
可得因为4，所以∥，
所以l⊥α．
故选：B．
12．【答案】A
【分析】直接根据向量共线，建立方程，即可求解．
【解答】解：∵（﹣2，0，k）是直线l的方向向量，（1，0，2）是平面α的法向量，
又l⊥α，∴，∴k＝﹣4．
故选：A．
13．【答案】B
【分析】根据l∥α得出，然后得出，代入坐标即可求出t的值．
【解答】解：由l∥α即可得：，所以，解得t＝2．
故选：B．
14．【答案】A
【分析】利用线面垂直可知直线方向向量与平面的法向量平行即可求解．
【解答】解：平面α的一个法向量为，直线l的一个方向向量为，
因为直线l⊥平面α，所以，即，
解得x．
故选：A．
二．填空题（共8小题）
15．【答案】﹣4．
【分析】根据可得，可求λ的值．
【解答】解：，，
则，
由 ，
所以（2，2+λ，λ） （2，2，0）＝0 2×2+2（2+λ）+0＝0，解得λ＝﹣4．
故答案为：﹣4．
16．【答案】．
【分析】根据题意，由直线与平面平行的判断方法可得，进而计算可得答案．
【解答】解：根据题意，直线l的方向向量为，平面α的法向量为．
若l∥α，必有⊥，则有，
即，解得：．
故答案为：．
17．【答案】﹣1．
【分析】由l∥α，得4m+3×3﹣1×5＝0，由此能求出m．
【解答】解：∵直线l的一个方向向量（4，3，1），
平面α的一个法向量（m，3，﹣5），且l∥α，
∴4m+3×3﹣1×5＝0，解得m＝﹣1．
故答案为：﹣1．
18．【答案】．
【分析】由l⊥α有，即，进而得，解出即可．
【解答】解：已知直线l的一个方向向量为，平面α的一个法向量为，
由l⊥α有，即，
即．
故答案为：．
19．【答案】．
【分析】由线面垂直可得，结合向量共线的坐标运算代入计算，即可得到结果．
【解答】解：因为直线l的方向向量为，平面α的一个法向量为，
由l⊥α可得，即，解得．
故答案为：．
20．【答案】﹣3．
【分析】由线面平行得到求解即可．
【解答】解：因为，，且l∥α，
所以，解得m＝﹣3．
故答案为：﹣3．
21．【答案】6．
【分析】由线面平行得到0，由此能求出结果．
【解答】解：∵直线l的一个方向向量为（1，﹣2，0），
平面α的一个法向量为（m，3，6），且l∥α，
∴m﹣6＝0，解得m＝6．
故答案为：6．
22．【答案】10．
【分析】根据直线与平面平行，得到直线的方向向量与平面的法向量垂直，进而利用空间向量数量积为0列出方程，求出x的值．
【解答】解：因为l∥α，所以直线l的方向向量与平面α的法向量垂直，
即，解得：x＝10．
故答案为：10．
三．解答题（共6小题）
23．【答案】（1）5；
（2）存在一点E（，，），使得⊥．
【分析】（1）由题意可得2的坐标，代入模长公式可得答案；
（2）假设存在点E（x，y，z）满足条件，由，和 0可得x、y、z的方程组，解方程组可得．
【解答】解：（1）2（2，﹣6，4）+（﹣2，1，1）＝（0，﹣5，5），
∴|2|5；
（2）假设存在点E（x，y，z）满足条件，
则，且得 0，
又（x+3，y+1，z﹣4），（1，﹣1，﹣2），
∴，解得，
∴在直线AB上，存在一点E（，，），使得⊥
24．【答案】见试题解答内容
【分析】（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AM为z轴，建立空间直角坐标系，能求出点P坐标．
（2）求出，，由∴0，能证明MB⊥DP．
【解答】解：（1）∵MA⊥平面ABCD，底面ABCD边长为1的正方形，
∴以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AM为z轴，建立空间直角坐标系，
∵MA＝2AB，P是MC上一点，且，
∴C（1，1，0），M（0，0，2），设P（a，b，c），
则由，得（a﹣1，b﹣1，c）＝（，，），
∴，解得a，b，c，
∴点P坐标（）．
证明：（2）B（1，0，0），D（0，1，0），
（1，0，﹣2），（，，），
∴0，
∴MB⊥DP．
25．【答案】（1）4.5．
（2）9．
【分析】（1）根据向量垂直的坐标运算即可求解，
（2）根据共面定理，结合坐标运算即可求解．
【解答】解：（1）空间直角坐标系中四个点的坐标分别为：
A（1，1，1），B（1，2，3），C（4，5，6），D（7，8，x），
，
∵，∴，
解得．
（2），
设，
即（6，7，x﹣1）＝（0，a，2a）+（3b，4b，5b）＝（3b，a+4b，2a+5b），
∴，解得a＝﹣1，b＝2，x＝9．
∴点D在平面ABC上，则x的值为9．
26．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）m＝9．
【分析】（Ⅰ）可求出向量的坐标，然后即可得出的值；可写出和的坐标，根据即可求出n的值；
（Ⅱ）可得出和的坐标，根据D在平面ABC内得出存在x，y使得，求出x，y，即可求出m．
【解答】解：（Ⅰ），∴，
，，且，
∴，
解得；
（Ⅱ），，且点D在平面ABC内，
∴存在x，y使，
即（﹣1，m﹣4，）＝x（1，2，3）+y（1，0，2），∴，
解得m＝9．
27．【答案】（1）5a﹣b+3＝0．
（2）a，b．
【分析】（1）由线面平行可得⊥，利用向量垂直数量积为0可得a，b的关系式；
（2）由线面垂直可得∥，利用向量平行的性质能求出a，b的值．
【解答】解：（1）∵（3，a+b，a﹣b）（a，b∈R）是直线l的方向向量，
（1，2，3）是平面α的法向量，
若l∥α，则⊥，∴3+2（a+b）+3（a﹣b）＝0，
可得5a﹣b+3＝0．
（2）∵（3，a+b，a﹣b）（a，b∈R）是直线l的方向向量，
（1，2，3）是平面α的法向量，
若l⊥α，则∥，∴，即，
解得a，b．
28．【答案】（1）（2，1，﹣2）或（﹣2，﹣1，2）；
（2）5；
（3）m＝﹣2．
【分析】（1）先求出向量的坐标，再根据共线可设m，结合模长公式可求；
（2）利用向量的垂直得到它们的数量积为零，从而可求k的值；
（3）因为点P（1，﹣1，m）在平面ABC上，故存在x，y使得xy，从而可得关于x，y，m的方程组，即可求解m的值．
【解答】解：（1）∵空间中三点A（2，0，﹣2），B（1，﹣1，﹣2），C（3，0，﹣4），
则（1，0，﹣2），
∴（3，0，﹣4）﹣（1，﹣1，﹣2）＝（2，1，﹣2），
|，且∥，∴mm（2，1，﹣2）＝（2m，m，﹣2m），
∴||3|m|＝3，
∴m＝±1，∴（2，1，﹣2）或（﹣2，﹣1，2）．
（2）kk（﹣1，﹣1，0）+（1，0，﹣2）＝（1﹣k，﹣k，﹣2），
（1，0，﹣2），
∵向量k与互相垂直，∴（k） 1﹣k+4＝0，解得k＝5．
∴k的值是5．
（3）因为点P（1，﹣1，m）在平面ABC上，
故存在x，y使得xy，
又（﹣1，﹣1，m+2），
所以，解得，
故m＝﹣2
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