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1.5 用空间向量研究距离、夹角问题
【知识点1】点到线的距离 1
【知识点2】点到面的距离 3
【知识点3】线线角 4
【知识点4】线面角 5
【知识点5】面面角 7
1.掌握点到线的距离、点到面的距离(重点)。
2.掌握空间向量求空间角(重难点)。
【知识点1】点到线的距离
1．点到直线的距离
点到线的距离：l的单位方向向量为，=，则点P到直线l的距离．
2．向量法求距离的方法
(1)构建恰当的空间直角坐标系．
(2)准确求解相关点的坐标．
(3)求出直线的方向向量．
(4)应用公式求解．
例1：
【例1】（2025春 江苏校级期中）已知空间中三点A（﹣1，0，0），B（0，1，﹣1），C（﹣1，﹣1，2），则点C到直线AB的距离为（　　）
A． B． C． D．
【例2】（2024秋 珲春市校级期末）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BC的中点，P为D1E的中点，则点P到直线CC1的距离为（　　）
A．1 B． C． D．
【例3】（2025 岳麓区校级模拟）在空间直角坐标系中，若一条直线经过点P（x0，y0，z0），且以向量（a，b，c）（abc≠0）为方向向量，则这条直线可以用方程来表示．已知直线l的方程为z+1，则点Q（2，4，﹣4）到直线l的距离为（　　）
A． B． C． D．
【例4】（2025春 百色校级期中）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝1，AA1＝2，AD＝4，点E在棱BC上，且BC＝4BE，点G为△AB1C的重心，则点G到直线AE的距离为（　　）
A． B． C． D．
【知识点2】点到面的距离
1．点到平面的距离
如图，设AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则B到平面α的距离d＝．
2．向量法求距离的方法
(1)构建恰当的空间直角坐标系．
(2)准确求解相关点的坐标．
(3)求出直线的方向向量．
(4)应用公式求解
例1：
【例5】（2025春 盐城期中）若平面α过点A（2，3，0）且该平面的一个法向量为（2，1，1），则点P（﹣4，﹣9，30）到平面α的距离为（　　）
A． B． C． D．
【例6】（2025春 连云港校级月考）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P，Q分别为平面A1B1C1D1，平面BCC1B1的中心，则点B到平面APQ的距离为（　　）
A． B． C． D．
【例7】（2025春 兴化市期中）空间直角坐标系中，u（x﹣x0）+v（y﹣y0）+w（z﹣z0）＝0表示经过点（x0，y0，z0），且法向量为（u，v，w）的平面的方程．已知平面α的方程为x+2y+z﹣3＝0，过点P（1，2，3）作直线l⊥α，点M（a，b，c）为直线l上任意一点，则a，b满足的关系式为　　　　；点P到平面α的距离为　　　　．
【例8】（2025 滨海新区校级三模）在如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，AF⊥平面ABCD，EF∥AB，其中AD＝2，AB＝AF＝2EF＝1，P是棱DF的中点．
（Ⅰ）求证：BF∥平面APC；
（Ⅱ）求直线DF与平面APC夹角的正弦值；
（Ⅲ）求点E到平面APC的距离；
【知识点3】线线角
1．异面直线所成的角
(1)设a，b是两条异面直线，过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，则a′与b′所夹的锐角或直角叫做a与b所成的角．
(2)两异面直线所成角θ的取值范围是．
(3)设直线a，b的方向向量为a，b，其夹角为φ，则有．
2．向量法求两异面直线所成角的步骤
(1)选好基底或建立空间直角坐标系．
(2)求出两直线的方向向量v1，v2．
(3)代入公式|cos〈v1，v2〉|＝求解．
例1：
【例9】（2025 南宁模拟）空间中，已知两条直线m，n，其方向向量分别为，则“”是“m与n所成角为”的（　　）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分又非必要条件
【例10】（2025春 常州月考）已知四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝DC＝1，AB＝2，则异面直线AC与PB所成的角的余弦值为　　　　．
【例11】（2025 苏州三模）如图，正四棱锥S﹣ABCD，SA＝2，，P为侧棱SD上的点，且．
（1）求证：AC⊥SD；
（2）求异面直线SA与CP所成角的余弦值．
【例12】（2025 闵行区校级三模）如图，P是圆锥的顶点，AB是底面圆O的一条直径，OC是一条半径，且∠AOC＝60°，已知该圆锥的侧面展开图是一个面积为8π的半圆面．
（1）求该圆锥的体积；
（2）求异面直线PB与AC所成角的余弦值．
【知识点4】线面角
1．直线与平面所成角
如图所示，设直线l的方向向量为e，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为φ，两向量e与n的夹角为θ，则有sin φ＝|cos θ|＝．
2．向量法求线面角的方法
(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)．
(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角(钝角时取其补角)，取其余角就是斜线和平面所成的角
例1：
【例13】（多选）（2025春 长沙月考）在三棱锥P﹣ABC中，P（2，2，0），A（4，0，6），B（0，4，2），C（0，0，4），则（　　）
A．
B．直线CA与直线CB夹角的余弦值为
C．向量（﹣1，1，2）是平面ABC的一个法向量
D．PB与平面ABC所成角的正弦值为
【例14】（2025春 江门期中）若点A（0，2，0），B（1，3，﹣1），平面α的一个法向量为（1，2，﹣2），则直线AB与平面α所成角的正弦值为　　　　．
【例15】（2025 河北模拟）如图，在棱长为3的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，BB1的中点，点G满足．
（1）证明：A1C1∥平面BED1；
（2）求直线DG与平面D1EF所成角的正弦值．
【例16】（2025春 虹口区校级月考）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，，D，E分别为AA1，AC的中点．
（1）求证：BE⊥AC1；
（2）求直线AC1与平面DBC所成角的大小．
【知识点5】面面角
1．求二面角的大小
(1)如图1，AB、CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈，〉．
(2)如图2、3，分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小(或)．
2．向量法计算二面角大小的方法
(1)找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小．但要注意结合实际图形判断所求角的大小．
(2)找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小
例1：
【例17】（2025春 海安市期中）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝2，点E满足（0＜λ＜1）．
（1）若λ，求点A到平面DEC的距离；
（2）若平面DEC与平面BEC夹角的余弦值为，求λ．
【例18】（2025 淄博校级模拟）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是等腰梯形，AD∥BC，面PAC⊥底面ABCD，PA⊥AC，PA＝BC＝2AB＝4，∠ABC＝60°．
（1）证明：AB⊥AP；
（2）求平面ACP与平面CDP夹角的余弦值．
【例19】（2025 金凤区校级模拟）已知ABCD是菱形，AB＝3，AC＝2，E为AC的中点，将△DAC沿AC折起，使点D与点P重合，且PB＝4．
（1）证明：PE⊥平面ABC；
（2）求二面角B﹣PA﹣C的余弦值．
【例20】（2025 裕安区校级模拟）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，AB＝2，PB＝PD，AC∩BD＝O．
（1）证明：BD⊥AP；
（2）若二面角A﹣BD﹣P为60°，且，求PD与平面PBC所成角的余弦值．1.5 用空间向量研究距离、夹角问题
【知识点1】点到线的距离 1
【知识点2】点到面的距离 4
【知识点3】线线角 9
【知识点4】线面角 13
【知识点5】面面角 18
1.掌握点到线的距离、点到面的距离(重点)。
2.掌握空间向量求空间角(重难点)。
【知识点1】点到线的距离
1．点到直线的距离
点到线的距离：l的单位方向向量为，=，则点P到直线l的距离．
2．向量法求距离的方法
(1)构建恰当的空间直角坐标系．
(2)准确求解相关点的坐标．
(3)求出直线的方向向量．
(4)应用公式求解．
例1：
【例1】（2025春 江苏校级期中）已知空间中三点A（﹣1，0，0），B（0，1，﹣1），C（﹣1，﹣1，2），则点C到直线AB的距离为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据点到直线距离的向量坐标公式计算，即可得出答案．
【解答】解：∵A（﹣1，0，0），B（0，1，﹣1），C（﹣1，﹣1，2），
∴，
则点C到直线AB的距离为．
故选：C．
【例2】（2024秋 珲春市校级期末）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BC的中点，P为D1E的中点，则点P到直线CC1的距离为（　　）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【分析】建立空间直角坐标系，利用坐标法求解点线距即可．
【解答】解：如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，
则E（1，2，0），D1（0，0，2），P（，1，1），C（0，2，0），
∴，（0，0，2），
∴点P到直线CC1的距离：
．
故选：B．
【例3】（2025 岳麓区校级模拟）在空间直角坐标系中，若一条直线经过点P（x0，y0，z0），且以向量（a，b，c）（abc≠0）为方向向量，则这条直线可以用方程来表示．已知直线l的方程为z+1，则点Q（2，4，﹣4）到直线l的距离为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据直线方程，求出直线l经过点P（﹣1，0，1），且为一个方向向量，再利用向量法求解即可．
【解答】解：因为直线l的方程为z+1，
即，
所以直线l经过点P（﹣1，0，1），且为一个方向向量，
又点Q（2，4，﹣4），所以，
故点Q到直线l的距离为．
故选：B．
【例4】（2025春 百色校级期中）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝1，AA1＝2，AD＝4，点E在棱BC上，且BC＝4BE，点G为△AB1C的重心，则点G到直线AE的距离为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间向量求出点到直线的距离．
【解答】解：在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，建立如图所示的空间直角坐标系，
由AB＝1，AA1＝2，AD＝4，得A（0，0，0），C（1，4，0），B1（1，0，2），
由点E在棱BC上，且BC＝4BE，得E（1，1，0），△AB1C的重，
则，，，，，
所以点G到直线AE的距离．
故选：A．
【知识点2】点到面的距离
1．点到平面的距离
如图，设AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则B到平面α的距离d＝．
2．向量法求距离的方法
(1)构建恰当的空间直角坐标系．
(2)准确求解相关点的坐标．
(3)求出直线的方向向量．
(4)应用公式求解
例1：
【例5】（2025春 盐城期中）若平面α过点A（2，3，0）且该平面的一个法向量为（2，1，1），则点P（﹣4，﹣9，30）到平面α的距离为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意可得，利用空间向量求点到面的距离．
【解答】解：由题意可知，且平面α的一个法向量为，
所以点P（﹣4，﹣9，30）到平面α的距离．
故选：A．
【例6】（2025春 连云港校级月考）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P，Q分别为平面A1B1C1D1，平面BCC1B1的中心，则点B到平面APQ的距离为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用正方体建系，分别求出相关点和向量的坐标，计算出平面APQ的法向量坐标，利用点到平面距离的向量公式计算即得．
【解答】解：如图，以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系D﹣xyz，
则A（1，0，0），B1（1，1，1），D1（0，0，1），B（1，1，0），C1（0，1，1），
因点P，Q分别为平面A1B1C1D1，平面BCC1B1的中心，
则，
于是，，
设平面APQ的法向量为，
则，即，令y＝1，故可取，
又，||，
则点B到平面APQ的距离为．
故选：B．
【例7】（2025春 兴化市期中）空间直角坐标系中，u（x﹣x0）+v（y﹣y0）+w（z﹣z0）＝0表示经过点（x0，y0，z0），且法向量为（u，v，w）的平面的方程．已知平面α的方程为x+2y+z﹣3＝0，过点P（1，2，3）作直线l⊥α，点M（a，b，c）为直线l上任意一点，则a，b满足的关系式为　　　　；点P到平面α的距离为　　　　．
【答案】b＝2a；．
【分析】空一：根据平面的法向量与共线即可求解；
空二；利用P到平面α的距离公式，求解即可．
【解答】解：平面α的方程为x+2y+z﹣3＝0，
所以平面α的法向量为，
又直线l⊥α，且P，M∈l，
因为点P（1，2，3），M（a，b，c），
所以，则，则存在λ∈R，使得，
即（1﹣a，2﹣b，3﹣c）＝λ（1，2，1），即，
所以2（1﹣a）＝2﹣b，即b＝2a；
又平面x+2y+z﹣3＝0经过点（0，0，3），记为A，则，
所以点P到平面α的距离为．
故答案为：b＝2a；．
【例8】（2025 滨海新区校级三模）在如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，AF⊥平面ABCD，EF∥AB，其中AD＝2，AB＝AF＝2EF＝1，P是棱DF的中点．
（Ⅰ）求证：BF∥平面APC；
（Ⅱ）求直线DF与平面APC夹角的正弦值；
（Ⅲ）求点E到平面APC的距离；
【答案】（Ⅰ）证明见解答；（Ⅱ）；（Ⅲ）1．
【分析】（Ⅰ）根据中位线性质得出BF∥PO，即可得证；
（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出平面APC的法向量，利用向量法求解即可；
（Ⅲ）求出，结合平面APC的法向量，利用向量法求解即可．
【解答】解：（Ⅰ）证明：连接BD交AC于点O，因为P，O分别为DF，DB的中点，所以BF∥PO，
又PO 平面APC，BF 平面APC，
则BF∥平面APC；
（Ⅱ）直线AF⊥平面ABCD，AB 平面ABCD，
所以AF⊥AB，且AF⊥AD，AB⊥AD，
则以A为原点，AB，AD，AF所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则B（1，0，0），D（0，2，0），，C（1，2，0），F（0，0，1），，
所以，，
设平面APC的法向量为，
由，得，
令x＝2，得，且，
所以，
直线DF与平面APC夹角的正弦值为；
（Ⅲ）因为，
且平面APC的法向量为，
则点E到平面APC的距离．
【知识点3】线线角
1．异面直线所成的角
(1)设a，b是两条异面直线，过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，则a′与b′所夹的锐角或直角叫做a与b所成的角．
(2)两异面直线所成角θ的取值范围是．
(3)设直线a，b的方向向量为a，b，其夹角为φ，则有．
2．向量法求两异面直线所成角的步骤
(1)选好基底或建立空间直角坐标系．
(2)求出两直线的方向向量v1，v2．
(3)代入公式|cos〈v1，v2〉|＝求解．
例1：
【例9】（2025 南宁模拟）空间中，已知两条直线m，n，其方向向量分别为，则“”是“m与n所成角为”的（　　）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分又非必要条件
【答案】A
【分析】根据空间两直线所成角及直线方向向量的定义，结合充分条件、必要条件的定义判断即可．
【解答】解：空间中，已知两条直线m，n，其方向向量分别为，
由，可以推出直线m与n所成角为，
但直线m与n所成角为时，或，
所以是直线m与n所成角为的充分不必要条件．
故选：A．
【例10】（2025春 常州月考）已知四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝DC＝1，AB＝2，则异面直线AC与PB所成的角的余弦值为　　　　．
【答案】．
【分析】根据空间直角坐标系即可求解．
【解答】解：以A为坐标原点，AD，AB，AP所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图，
则A（0，0，0），B（0，2，0），C（1，1，0），P（0，0，1），
所以，，
故，，，
所以，即AC与PB所成角的余弦值为．
故答案为：
【例11】（2025 苏州三模）如图，正四棱锥S﹣ABCD，SA＝2，，P为侧棱SD上的点，且．
（1）求证：AC⊥SD；
（2）求异面直线SA与CP所成角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；
（2）．
【分析】（1）连接BD，交AC于点O，连结SO，可证出SO⊥平面ABCD，SO⊥AC，结合AC⊥BD，运用线面垂直的判定定理证出AC⊥平面SBD，进而证出AC⊥SD；
（2）以{}为正交基底，建立空间直角坐标系，求出向量，的坐标，根据空间向量的夹角公式算出cos，，进而求出异面直线SA与CP所成角的余弦值．
【解答】（1）证明：连接BD，交AC于点O，连结SO，
因为四棱锥S﹣ABCD为正四棱锥，所以SO⊥平面ABCD，
结合AC 平面ABCD，可得SO⊥AC，
正四棱锥S﹣ABCD中，底面四边形ABCD是正方形，所以AC⊥BD，
因为AC⊥SO，AC⊥BD，SO∩BD＝O，SO、SO 平面SBD，
所以AC⊥平面SBD，结合SD 平面SBD，可得AC⊥SD；
（2）解：以{}为正交基底，建立空间直角坐标系，
则A（0，﹣1，0），，C（0，1，0），D（﹣1，0，0），
所以（0，﹣1，），（1，0，），
（﹣1，﹣1，0）+（，0，）＝（，﹣1，），
可得cos，，
因此异面直线SA与CP所成角的余弦值为．
【例12】（2025 闵行区校级三模）如图，P是圆锥的顶点，AB是底面圆O的一条直径，OC是一条半径，且∠AOC＝60°，已知该圆锥的侧面展开图是一个面积为8π的半圆面．
（1）求该圆锥的体积；
（2）求异面直线PB与AC所成角的余弦值．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）设该圆锥的母线长为l，底面圆半径为r，高为h，由题意，得l＝4，底面圆周长C＝2πr＝πl＝4π，求出r＝2，从而h2，由此能求出该圆锥的体积．
（2）取弧AB中点D，则OD⊥OB，由OP垂直于底面，得OD，OB，OP两两垂直，以OD为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线PB与AC所成角的大小．
【解答】解：（1）设该圆锥的母线长为l，底面圆半径为r，高为h，
由题意，解得l＝4，
底面圆周长C＝2πr＝πl＝4π，解得r＝2，∴h2，
∴该圆锥的体积V．
（2）如图所示，取弧AB中点D，则OD⊥OB，
∵OP垂直于底面，∴OD，OB，OP两两垂直，
以OD为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，
由题意A（0，﹣2，0），B（0，2，0），C（），P（0，0，2），
（），（0，2，﹣2），
设PB与AC所成角为θ，则cosθ，
∴异面直线PB与AC所成角的余弦值为．
【知识点4】线面角
1．直线与平面所成角
如图所示，设直线l的方向向量为e，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为φ，两向量e与n的夹角为θ，则有sin φ＝|cos θ|＝．
2．向量法求线面角的方法
(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)．
(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角(钝角时取其补角)，取其余角就是斜线和平面所成的角
例1：
【例13】（多选）（2025春 长沙月考）在三棱锥P﹣ABC中，P（2，2，0），A（4，0，6），B（0，4，2），C（0，0，4），则（　　）
A．
B．直线CA与直线CB夹角的余弦值为
C．向量（﹣1，1，2）是平面ABC的一个法向量
D．PB与平面ABC所成角的正弦值为
【答案】ACD
【分析】由空间两点间的距离公式判断A；利用数量积求夹角判断B；由数量积为0判断C；求出平面ABC的一个法向量，再由向量求夹角判断D．
【解答】解：对于A：∵P（2，2，0），B（0，4，2），∴，故A正确；
∵A（4，0，6），B（0，4，2），C（0，0，4），∴，（0，4，﹣2），∴，∴直线CA与直线CB夹角的余弦值为，故B错误；
∵（﹣1，1，2），且，0×（﹣1）+4×1+（﹣2）×2＝0，∴是平面ABC的一个法向量，故C正确；
又，PB与平面ABC所成角的正弦值为，故D正确．
故选：ACD．
【例14】（2025春 江门期中）若点A（0，2，0），B（1，3，﹣1），平面α的一个法向量为（1，2，﹣2），则直线AB与平面α所成角的正弦值为　　　　．
【答案】．
【分析】利用线面夹角公式即可求解．
【解答】解：由条件可得：，
直线AB与平面α所成角的正弦值为：．
故答案为：．
【例15】（2025 河北模拟）如图，在棱长为3的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，BB1的中点，点G满足．
（1）证明：A1C1∥平面BED1；
（2）求直线DG与平面D1EF所成角的正弦值．
【答案】（1）证明过程见解析；（2）．
【分析】（1）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面BED1的法向量，求出，从而得到A1C1∥平面BED1；
（2）求出平面D1EF的法向量，利用线面角的正弦公式求出答案．
【解答】解：（1）证明：以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
，
，
设平面BED1的法向量为，
则，则，
令z＝2，得x＝y＝1，故，
所以，
故，所以A1C1∥平面BED1；
（2），，，
设平面D1EF的法向量为，
则，则，
解得y1＝0，令x1＝1，则z1＝2，故，
设直线DG与平面D1EF所成角大小为θ，
则．
【例16】（2025春 虹口区校级月考）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，，D，E分别为AA1，AC的中点．
（1）求证：BE⊥AC1；
（2）求直线AC1与平面DBC所成角的大小．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的判定、性质推理得证；
（2）以E为原点建立空间直角坐标系，求出平面DBC的法向量，再利用线面角的向量法求解．
【解答】解：（1）证明：在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，BE 平面ABC，则AA1⊥BE，
由BA＝BC，E为AC的中点，得AC⊥BE，
又AA1∩AC＝A，AC 平面ACC1A1，AA1 平面ACC1A1，BE⊥平面ACC1A1，
又AC1 平面ACC1A1，所以BE⊥AC1．
（2）以E为原点，直线EA，EB分别为x，y轴，过点E作与AA1平行的直线为z轴，建立空间直角坐标系，
由E为AC的中点，，得，
，又D为AA1的中点，则，
，
设平面BCD的法向量为，
则，则，令x＝﹣1，得，
记直线AC1与平面DBC所成角的大小为θ，
则，
所以直线AC1与平面DBC所成角为．
【知识点5】面面角
1．求二面角的大小
(1)如图1，AB、CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈，〉．
(2)如图2、3，分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小(或)．
2．向量法计算二面角大小的方法
(1)找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小．但要注意结合实际图形判断所求角的大小．
(2)找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小
例1：
【例17】（2025春 海安市期中）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝2，点E满足（0＜λ＜1）．
（1）若λ，求点A到平面DEC的距离；
（2）若平面DEC与平面BEC夹角的余弦值为，求λ．
【答案】（1）；（2）λ．
【分析】（1）以D为原点建系，利用向量法求点到平面的距离即可；
（2）利用向量法求面面角，可得关于λ的方程，解之即可．
【解答】解：（1）以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则D（0，0，0），P（0，0，2），A（2，0，0），C（0，2，0），B（2，2，0），
当λ时，E是PB的中点，所以E（1，1，），
所以（2，0，0），（0，2，0），（1，1，），
设平面DEC的一个法向量为（x，y，z），则，
取z＝﹣1，则x，y＝0，所以（，0，﹣1），
所以点A到平面DEC的距离为．
（2）由题意知，λ（﹣2，﹣2，2），
所以（2，0，0）+λ（﹣2，﹣2，2）＝（2﹣2λ，﹣2λ，2λ），
设平面DEC的一个法向量为（x1，y1，z1），则，
取x1，z1＝λ﹣1，所以（，0，λ﹣1），
设平面BEC的一个法向量为（x2，y2，z2），则，
取z2＝1，x2＝0，y2，所以（0，，1），
因为平面DEC与平面BEC夹角的余弦值为，
所以|cos，|，
整理得3λ2+2λ﹣1＝0，解得λ或λ＝﹣1（舍），
故λ．
【例18】（2025 淄博校级模拟）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是等腰梯形，AD∥BC，面PAC⊥底面ABCD，PA⊥AC，PA＝BC＝2AB＝4，∠ABC＝60°．
（1）证明：AB⊥AP；
（2）求平面ACP与平面CDP夹角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）利用面面垂直的性质可得PA⊥平面ABCD，再利用线面垂直的性质可得结论；
（2）以A为原点，以AB，AC，AP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，求出平面CDP的一个法向量以及平面ACP的一个法向量，利用空间向量夹角公式求解即可．
【解答】解：（1）证明：∵平面PAC⊥底面ABCD，平面PAC∩平面ABCD＝AC，
PA 平面PAC，PA⊥AC，∴PA⊥平面ABCD，
又∵AB 平面ABCD，∴PA⊥AB；
（2）∵底面ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AB＝2，BC＝4，∠ABC＝60°，
∴，
∴AB2+AC2＝16＝BC2，∴BA⊥AC，
由（1）PA⊥平面ABCD，
以A为原点，以AB，AC，AP所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的坐标系，
，，P（0，0，4），
∴，，
设平面CDP的一个法向量，
则，
令，可得，
而平面ACP的一个法向量，
设平面ACP与平面CDP的夹角为θ，
则．
【例19】（2025 金凤区校级模拟）已知ABCD是菱形，AB＝3，AC＝2，E为AC的中点，将△DAC沿AC折起，使点D与点P重合，且PB＝4．
（1）证明：PE⊥平面ABC；
（2）求二面角B﹣PA﹣C的余弦值．
【答案】（1）证明见解答；（2）．
【分析】（1）根据菱形得出PE⊥AC，再利用勾股定理得出PE⊥BE，利用线面垂直的判定定理即可得证；
（2）建立空间直角坐标系，分别求出平面ABP和平面PAC的一个法向量，利用向量法求解即可．
【解答】解：（1）证明：因为ABCD是菱形，E为AC的中点，所以PE⊥AC，
又因为AB＝3，AC＝2，所以，
又PB＝4，所以PE2+BE2＝PB2，
即PE⊥BE，又AC∩BE＝E，AC，BE 平面ABC，
所以PE⊥平面ABC；
（2）由（1）知，EP，EA，EB互相垂直，
故以E为原点，EA，EB，EP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则，A（1，0，0），C（﹣1，0，0），，
，，
设平面ABP的一个法向量为，
则，
令，则y＝z＝1，故，
易知平面PAC的一个法向量为，
由图知二面角B﹣PA﹣C为锐角，
所以二面角B﹣PA﹣C的余弦值为．
【例20】（2025 裕安区校级模拟）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，AB＝2，PB＝PD，AC∩BD＝O．
（1）证明：BD⊥AP；
（2）若二面角A﹣BD﹣P为60°，且，求PD与平面PBC所成角的余弦值．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由底面ABCD是正方形，得到BD⊥AC，再由△PBD为等腰三角形得到BD⊥PO，最后根据线面垂直的判定定理得到BD⊥平面PAC，即可证明BD⊥AP；
（2）先证得AP⊥平面ABCD，得到AP，AB，AD两两互相垂直，建立空间直角坐标系A﹣xyz，再利用向量法求线面角的余弦值即可．
【解答】解：（1）证明：因为ABCD为正方形，所以BD⊥AC，
因为PB＝PD，O为BD中点，所以BD⊥PO，
又PO 平面PAC，AC 平面PAC，且AC∩PO＝O，所以BD⊥平面PAC，
PA 平面PAC．所以BD⊥PA．
（2）由（1）得PO⊥BD，AO⊥BD，
所以∠AOP为二面角A﹣BD﹣P的平面角，即∠AOP＝60°，
AB＝2，则，又，
则，
因为AP2+AO2＝OP2，可得AP⊥AO，
又BD⊥AP，BD∩AO＝O，且BD 平面ABCD，AO 平面ABCD，
则AP⊥平面ABCD，则AP，AB，AD两两互相垂直，
建立如图所示空间直角坐标系A﹣xyz，
有，
则，
设平面PBC的法向量，
则，则，即为，取，
设PD与平面PBC所成角为θ，
则，，
故PD与平面PBC所成角的余弦值为．

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