资源简介

2.2 直线的方程
【知识点1】直线的点斜式方程 1
【知识点2】直线的两点式方程 3
【知识点3】直线的一般式方程 6
【知识点4】动直线过定点 8
【知识点5】直线方程的应用 11
【知识点6】对称问题 13
1.知道直线的点斜式、两点式、一般式方程(重点)。
2.掌握直线过定点问题、对称问题(重难点)。
3.理解直线方程的应用(重点)。
【知识点1】直线的点斜式方程
1．求直线点斜式方程的步骤
(1)确定点P（x0,y0）．
(2)若斜率不存在，方程为x=x0；若斜率存在，方程为y﹣y0＝k（x﹣x0）．
2．求直线的斜截式方程
(1)先求参数k和b，再写出斜截式方程．
(2)斜率可以是已知的，也可以利用倾斜角来求出，还可以利用平行、垂直关系来求出．
(3)b是直线在y轴上的截距。
【例1】（2024秋 怀柔区期末）已知直线l的倾斜角为60°，且经过点（0，1），则直线l的方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求出斜率，再由直线的点斜式方程求解即可．
【解答】解：由题意知：直线l的斜率为，则直线l的方程为．
故选：C．
【例2】（多选）（2024秋 东海县期中）设直线l过两点和，则（　　）
A．直线l的斜率为
B．直线l的倾斜角为150°
C．直线l在x轴上的截距为6
D．直线l在y轴上的截距为
【答案】BC
【分析】先根据条件表示出直线方程，然后逐一分析每个选项．
【解答】解：直线l过两点和，
则，故A错误，
设直线倾斜角为α，0≤α＜180°，且，则α＝150°，B正确，
直线的方程为：，即，
令y＝0，则x＝6，令x＝0，则，
故直线l在x轴上的截距为6，在y轴上的截距为，C正确，D错误．
故选：BC．
【例3】（2025春 宝山区期末）经过点（1，2）且斜率为1的直线方程为　　　　．
【答案】x﹣y+1＝0．
【分析】根据题意运用直线的点斜式方程列式，化简即可得到所求直线的方程．
【解答】解：经过点（1，2）且斜率为1的直线方程为y﹣2＝1×（x﹣1），整理得x﹣y+1＝0．
故答案为：x﹣y+1＝0．
【例4】（2024秋 嘉定区校级期末）已知两点A（3，4）、B（﹣5，6），则直线AB的斜截式方程是　　　　．
【答案】．
【分析】直接利用两点的坐标求出直线的方程，进一步转换为斜截式．
【解答】解：已知两点A（3，4）、B（﹣5，6），故直线的方程为：，整理得x+4y＝19，
转化为直线的斜截式为．
故答案为：．
【知识点2】直线的两点式方程
直线的截距式方程
(1)若直线与轴的交点为，与y轴的交点为，其中，则过AB两点的直线方程为，这个方程称为直线的截距式方程．
(2)a叫做直线在x轴上的截距，b叫做直线在y轴上的截距．
(3)求直线在坐标轴上的截距的方法：令x=0得直线在y轴上的截距；令y=0得直线在x轴上的截距
例1：
【例5】（多选）（2024秋 上城区校级期末）下列说法正确的有（　　）
A．直线倾斜角越大，斜率越大
B．过点P（x1，y1），Q（x2，y2）的直线方程是
C．经过点（1，1）且在x轴和y轴上截距相等的直线有2条
D．直线在y轴上的截距是﹣3
【答案】CD
【分析】根据直线倾斜角与斜率的关系可得选项A错误；根据直线两点式方程的限制条件可得选项B错误；计算直线过原点和不过原点时的直线方程可得选项C正确；根据截距的概念可得选项D正确．
【解答】解：A．当直线倾斜角为钝角时，直线斜率k＜0，当直线倾斜角为锐角时，直线斜率k＞0，故A错误．
B．当x1≠x2，y1≠y2时，过点P（x1，y1），Q（x2，y2）的直线方程是，故B错误．
C．当直线不过原点时，设直线方程为，把点（1，1）代入直线方程得，解得a＝2，故直线方程为x+y﹣2＝0，当直线过原点时，由直线过点（1，1）可得直线斜率k＝1，故直线方程为y＝x．综上得，经过点（1，1）且在x轴和y轴上截距相等的直线有2条，故C正确．
D．对于直线，令x＝0，得y＝﹣3，故直线在y轴上的截距是﹣3，故D正确．
故选：CD．
【例6】（多选）（2024秋 鄂尔多斯期中）已知直线l过点（1，3），若l与x，y轴的正半轴围成的三角形的面积为S，则S的值可以是（　　）
A．3 B．5 C．7 D．9
【答案】CD
【分析】利用直线的截距式，结合基本不等式可得解．
【解答】解：由题意知直线l在x，y轴上的截距存在且大于0，
可设l的方程为（a，b＞0），
由直线l过点（1，3），得，
所以，当且仅当，即a＝2，b＝6时，等号成立，
即ab≥12，所以，
故选：CD．
【例7】（2024秋 龙岩期末）已知△ABC的三个顶点分别是A（1，2），B（5，4），C（2，7），则边AB上的中线所在直线方程为　　　　．
【答案】4x+y﹣15＝0．
【分析】根据中点坐标以及中点坐标公式即可根据点斜式方程求解．
【解答】解：A（1，2），B（5，4），C（2，7），
AB的中点坐标为D（3，3），
则，故边AB上的中线所在直线方程为y﹣3＝﹣4（x﹣3），
即4x+y﹣15＝0，
故答案为：4x+y﹣15＝0．
【例8】（2025春 浦东新区校级月考）已知直线l过点P（2，3），根据下列条件分别求直线l的方程：
（1）直线l的倾斜角为45°；
（2）直线l在x轴、y轴上的截距相等．
【答案】（1）直线l的方程为x﹣y+1＝0；
（2）直线l的方程为3x﹣2y＝0或x+y﹣5＝0．
【分析】（1）根据题意，由直线的倾斜角可得直线l的斜率，代入直线的截距式方程即可得答案，
（2）根据题意，分直线l是否经过原点2种情况讨论，求出直线l的方程，综合即可得答案．
【解答】解：（1）根据题意，直线l的倾斜角为45°，则其斜率k＝tan45°＝1，
又由直线l过点P（2，3），
则直线l的方程为y﹣3＝（x﹣2），变形得x﹣y+1＝0，
即直线l的方程为x﹣y+1＝0．
（2）根据题意，分2种情况讨论：
若直线l经过原点，直线l的方程为yx，即3x﹣2y＝0；
若直线l不经过原点，则直线l的方程为1．
将点P（2，3）代入，得1，即a＝5．
所以直线l的方程为x+y﹣5＝0．
综合可得：直线l的方程为3x﹣2y＝0或x+y﹣5＝0．
【知识点3】直线的一般式方程
直线方程的一般式
(1)关于x和y的一次方程表示一条直线．我们把方程写为，这个方程（其中A、B不全为零）叫做直线方程的一般式．
(2) A、B不全为零才能表示一条直线，若A、B全为零则不能表示一条直线．
(3)当时，方程可变形为，它表示过点，斜率为的直线．
(4)当，时，方程可变形为，即，它表示一条与轴垂直的直线
例1：
【例9】（2024秋 台州期末）已知直线l的一般式方程为x﹣2y+6＝0，则（　　）
A．直线l的截距式方程为
B．直线l的截距式方程为
C．直线l的斜截式方程为
D．直线l的斜截式方程为
【答案】A
【分析】根据方程之间的互化，对各选项逐项判定，即可求出结果．
【解答】解：因为直线l的一般式方程为x﹣2y+6＝0，
两边同时除以6整理可得：直线l的截距式方程为，故A正确，B错误；
直线l的斜截式方程为，故C，D错误．
故选：A．
【例10】（多选）（2024秋 宁城县期末）下列说法正确的是（　　）
A．直线l：mx+y+2﹣m＝0恒过定点（1，﹣2）
B．如果AB＜0，BC＜0，那么直线Ax+By+C＝0不经过第四象限
C．已知直线l过点P（2，3），且在x，y轴上截距相等，则直线l的方程为x+y﹣5＝0 D．若直线l沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则该直线l的斜率为
【答案】ABD
【分析】将直线化为l：m（x﹣1）+y+2＝0确定定点判断A；由，直线为判定B；注意直线过原点的情况判断C；根据平移得a（x+3）+b（y﹣2）+c＝0，整理后有3a﹣2b+c即可判断D．
【解答】解：对于选项A，由l：m（x﹣1）+y+2＝0，可得m（x﹣1）＝﹣y﹣2，令得，，所以直线恒过（1，﹣2），故A正确；
对于选项B，由AB＜0，BC＜0，则，而直线可化为，所以直线不经过第四象限，故B正确；
对于选项C，若直线过原点时，直线l为，即l：3x﹣2y＝0，故C错误；
对于选项D，令原直线为ax+by+c＝0，根据平移有a（x+3）+b（y﹣2）+c＝0，所以ax+by+3a﹣2b+c＝0与ax+by+c＝0为同一直线，所以3a﹣2b+c＝c，即，故D正确．
故选：ABD．
【例11】（2025春 杨浦区校级月考）过点A（3，1）和B（﹣2，3）的直线l的一般式方程为　　　　．
【答案】2x+5y﹣11＝0．
【分析】由两点的坐标求出直线的斜率，由点斜式方程，再化简为直线的一般式方程．
【解答】解：过点A（3，1）和B（﹣2，3）的直线的斜率k，
故直线的方程为：y﹣1（x﹣3），
整理可得直线的一般方程为：2x+5y﹣11＝0．
故答案为：2x+5y﹣11＝0．
【例12】（2024秋 辛集市期末）数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知△ABC的顶点分别为A（3，1），B（4，2），C（2，3），则△ABC的欧拉线方程为　　　　．
【答案】x+y﹣5＝0．
【分析】求出重心坐标，求出AB边上高和AC边上高所在直线方程，联立两直线可得垂心坐标，即可求出欧拉线方程．
【解答】解：由题可知，△ABC的重心为G（3，2），
可得直线AB的斜率为，则AB边上高所在的直线斜率为﹣1，
则方程为y﹣3＝﹣（x﹣2），即x+y﹣5＝0，
直线AC的斜率为，则AC边上高所在的直线斜率为，
则方程为，即x﹣2y＝0，
联立方程，解得，即△ABC的垂心为，
则直线GH斜率为，则可得直线GH方程为y﹣2＝﹣（x﹣3），
故△ABC的欧拉线方程为x+y﹣5＝0．
故答案为：x+y﹣5＝0．
【知识点4】动直线过定点
1．动直线过定点
(1)如果一条直线经过某一定点，那么这条直线就是过该定点的直线．这里面可以看出，过一个定点的直线是不唯一的，事实上是由无数条直线组成．
(2)假如有一定点A的坐标为（m，n），那么过该定点的直线的表达式为y＝k（x﹣m）+n或者是x＝m．
2．直线过定点问题的求解
(1)若已知方程是含有一个参数的直线系方程，则我们可以把系数中的分别提取出来，化为的形式．
(2)由解出的值，即得定点坐标。
例1：
【例13】（2025春 静安区校级期中）直线mx+（3m﹣1）y+1＝0必过定点（　　）
A．（3，1） B．（﹣3，1） C． D．（，0）
【答案】B
【分析】将直线方程整理，可得关于x，y的方程组，求出恒过的定点的坐标．
【解答】解：将直线mx+（3m﹣1）y+1＝0整理得m（x+3y）﹣y+1＝0，
令，解得x＝﹣3，y＝1，
即直线恒过定点（﹣3，1）．
故选：B．
【例14】（多选）（2025 东兴区校级开学）设直线l1：2x+ay＝2+2a，则（　　）
A．直线l1在y轴上的截距为1+a
B．直线l1与直线l2：ax+2y＝1一定垂直
C．直线l1过定点（1，2）
D．当点O（0，0）在直线l1的右下方时，a＜﹣1
【答案】CD
【分析】根据直线方程的特点，直线与直线垂直的条件，点与直线的位置关系，针对各个选项分别求解即可．
【解答】解：因为直线l1：2x+ay＝2+2a可化为：a（y﹣2）+（2x﹣2）＝0，
所以直线l1过定点（1，2），所以C选项正确；
对直线l1：2x+ay＝2+2a，当a＝0时，可化为：x＝1，此时直线l1与y轴无交点，所以A选项错误；
因为直线l1：2x+ay＝2+2a可化为：2x+ay﹣2a﹣2＝0，又直线l2：ax+2y＝1，
而2a+2a＝0，只有在a＝0时成立，
所以仅当a＝0时，直线l1与直线l2垂直，所以B选项错误；
因为直线l1：2x+ay＝2+2a可化为：2x+ay﹣2a﹣2＝0，
又当点O（0，0）在直线l1的右下方时，所以a（﹣2a﹣2）＜0，且，
解得a＜﹣1，所以D选项正确．
故选：CD．
【例15】（2024秋 自贡期末）已知b是a，c的等差中项，直线ax+by+c＝0恒过定点A，则定点A坐标　　　　．
【答案】（1，﹣2）．
【分析】法（i）由题意可得a，b，c之间的关系，整理为a﹣2b+c＝0，再由直线方程ax+by+c＝0，由对应项相等可得直线恒过的定点A的坐标；
法（ii）由题意可得b与a，c的关系，代入直线的方程，整理可得a（2x+y）+c（y+2）＝0，令，可得直线恒过的定点A的坐标．
【解答】解：法（i）因为b是a，c的等差中项，所以2b＝a+c，
即a﹣2b+c＝0，直线ax+by+c＝0，即ax+by+c＝0，
此直线经过定点A（1，﹣2）．
法（ii）因为b是a，c的等差中项，所以2b＝a+c，可得b，
可得直线ax+by+c＝0为axy+c＝0，
整理可得a（2x+y）+c（y+2）＝0，
令，解得x＝1，y＝﹣2，即直线恒过定点A（1，﹣2）．
故答案为：（1，﹣2）．
【例16】（2025春 宝山区期末）已知直线l：kx﹣y+3k+1＝0，（k∈R）．
（1）证明：对任意实数k，直线l都经过一个定点；
（2）若直线l在x轴、y轴上截距相等，求直线l的方程．
【答案】（1）证明见解析；
（2）x+3y＝0或x+y+2＝0．
【分析】（1）将直线l的方程化简为k（x+3）﹣（y﹣1）＝0，然后求出直线x+3＝0与y﹣1＝0的交点，即可证出所求结论；
（2）根据题意，按照直线l是否经过原点进行讨论，分别求出满足条件的k值，进而可得直线l的方程．
【解答】（1）证明：直线l的方程可化为k（x+3）﹣（y﹣1）＝0，
可知直线l经过直线x+3＝0与y﹣1＝0的交点（﹣3，1），
所以对任意实数k，直线l都经过定点（﹣3，1）；
（2）解：若直线l在x轴、y轴上截距相等，
则可能直线l经过原点，或直线l的斜率为﹣1，
①若直线l经过原点，则3k+1＝0，解得k，
此时直线l的方程为，即x+3y＝0；
②若直线l的斜率为﹣1，则k＝﹣1，
此时直线l的方程为﹣x﹣y﹣2＝0，即x+y+2＝0．
综上所述，直线l的方程为x+3y＝0或x+y+2＝0．
【知识点5】直线方程的应用
直线的平行与垂直
(1)．
(2)且或，记忆式（）．
(3)．
(4)
例1：
【例17】（2025 商丘开学）已知直线l1：ax﹣y+2＝0与l2：x﹣ay+a+1＝0平行，则a＝（　　）
A．0 B．﹣1 C．1 D．±1
【答案】B
【分析】由直线平行的充要条件直接计算即可求解．
【解答】解：因为直线l1：ax﹣y+2＝0与l2：x﹣ay+a+1＝0平行，
根据两直线平行与直线的系数关系可得：．
故选：B．
【例18】（多选）（2025 长沙校级一模）已知正方形ABCD在平面直角坐标系xOy中，且AC：2x﹣y+1＝0，则直线AB的方程可能为（　　）
A．x+3y+1＝0 B．x﹣3y+1＝0 C．3x+y+1＝0 D．3x﹣y+1＝0
【答案】BC
【分析】直接利用直线的夹角公式求出结果．
【解答】解：直线AC：2x﹣y+1＝0，整理得y＝2x+1，由于直线AC的斜率为k＝2，
设直线AB的斜率k1，
利用直线的夹角公式，，解得或﹣3；
故满足条件的直线方程只有BC，AD错误．
故选：BC．
【例19】（2025春 杨浦区校级月考）已知点A（0，1），B（4，3），线段AB的垂直平分线在x轴上的截距为　　　　．
【答案】3．
【分析】先写出线段AB的垂直平分线的方程，再令y＝0，即可得出答案．
【解答】解：因为A（0，1），B（4，3），
所以线段AB的中点为（2，2），直线AB的斜率为，
则线段AB的垂直平分线的斜率为﹣2，
则垂直平分线的直线方程为y﹣2＝﹣2（x﹣2），
当y＝0时，x＝3．
故答案为：3．
【例20】（2025春 湖北期中）已知直线l：kx﹣y+1+2k＝0（k∈R）．
（1）证明：直线l过定点；
（2）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；
（3）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）直线l的方程可化为y＝k（x+2）+1，直线l过定点（﹣2，1）．
（2）要使直线l不经过第四象限，则直线的斜率和直线在y轴上的截距都是非负数，解出k的取值范围．
（3）先求出直线在两个坐标轴上的截距，代入三角形的面积公式，再使用基本不等式可求得面积的最小值．
【解答】解：（1）直线l的方程可化为y＝k（x+2）+1，
故无论k取何值，直线l总过定点（﹣2，1）．
（2）直线l的方程可化为y＝kx+2k+1，则直线l在y轴上的截距为2k+1，
要使直线l不经过第四象限，则，
解得k的取值范围是k≥0．
（3）依题意，直线l在x轴上的截距为，在y轴上的截距为1+2k，
∴A（，0），B（0，1+2k），
又0且1+2k＞0，
∴k＞0，故S|OA||OB|（1+2k）
（4k4）（4+4）＝4，
当且仅当4k，即k时，取等号，
故S的最小值为4，此时直线l的方程为x﹣2y+4＝0．
【知识点6】对称问题
对称问题
(1)点关于点对称:若点M(x1，y1)及N(x，y)关于P(a，b)对称，则由中点坐标公式得，进而求解．
(2)直线关于点对称:①在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；②求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程．
(3)点关于直线对称:若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称，由方程组，可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中B≠0，x1≠x2)．
(4)利用垂直、平分关系列出等式求解
例1：
【例21】（2024秋 包头期末）直线3x+4y﹣3＝0关于x轴对称的直线方程为（　　）
A．﹣3x+4y﹣3＝0 B．3x﹣4y﹣3＝0
C．﹣3x﹣4y﹣3＝0 D．4x﹣3y﹣3＝0
【答案】B
【分析】设P（x，y）为对称直线上的任意一点，点P关于x轴对称的点为P1（x1，y1），根据轴对称的性质得到用x、y表示x1、y1的式子，结合点P1在直线3x+4y﹣3＝0上算出对称直线的方程．
【解答】解：设P（x，y）为直线3x+4y﹣3＝0关于x轴对称的直线任意一点，
点P关于x轴对称的点为P1（x1，y1），则，
因为点P1（x1，y1）在直线3x+4y﹣3＝0上，所以3x1+4y1﹣3＝0，
即3x+4（﹣y）﹣3＝0，化简得3x﹣4y﹣3＝0，即为所求对称直线的方程．
故选：B．
【例22】（2025春 湖北期中）已知点A（2，4）关于直线l对称的点为B（﹣1，2），则直线l的方程为（　　）
A．4x﹣6y+15＝0 B．6x+4y+15＝0
C．6x+4y﹣15＝0 D．4x﹣6y﹣15＝0
【答案】C
【分析】分析可知，直线l为线段AB的垂直平分线，求出线段AB的垂直平分线方程，即为所求．
【解答】解：根据题意可知，点A（2，4）关于直线l对称的点为B（﹣1，2），
直线l为线段AB的垂直平分线，且，
所以直线l的斜率为，
又因为线段AB的中点为，所以直线l的方程为，
整理可得6x+4y﹣15＝0．
故选：C．
【例23】（2024秋 庐江县期末）一条光线从点P（4，2）射出，经过直线y＝x反射后过点Q（1，﹣6），则反射光线所在直线的方程为　　　　．
【答案】10x﹣y﹣16＝0．
【分析】由题意，求出点P（4，2）关于直线y＝x的对称点P′的坐标，然后根据直线的点斜式方程求出答案．
【解答】解：点P（4，2）关于直线y＝x的对称点为P′（2，4），
根据光线反射的原理，可知反射光线的所在直线就是经过P′、Q的直线，
结合kP′Q10，可得直线P′Q的方程为y﹣4＝10（x﹣2），即10x﹣y﹣16＝0．
故答案为：10x﹣y﹣16＝0．
【例24】（2025 嘉峪关校级开学）已知直线l：x+2y﹣1＝0和点A（1，2）．
（1）求点A关于直线l的对称点的坐标；
（2）求直线l关于点A对称的直线方程．
【答案】（1）．
（2）x+2y﹣9＝0．
【分析】（1）根据点关于线对称列式求解即可；
（2）根据相关点法分析运算即可．
【解答】解：（1）设A′（m，n），
由题意得，解得，
所以点A′的坐标为．
（2）在直线l上任取一点P（x，y），
设P（x，y）关于点A的对称点为P′（x0，y0），
则，解得，
由于P′（2﹣x，4﹣y）在直线x+2y﹣1＝0上，
则（2﹣x）+2（4﹣y）﹣1＝0，即x+2y﹣9＝0，
故直线l关于点A的对称直线l′的方程为x+2y﹣9＝0．2.2 直线的方程
【知识点1】直线的点斜式方程 1
【知识点2】直线的两点式方程 2
【知识点3】直线的一般式方程 3
【知识点4】动直线过定点 4
【知识点5】直线方程的应用 5
【知识点6】对称问题 6
1.知道直线的点斜式、两点式、一般式方程(重点)。
2.掌握直线过定点问题、对称问题(重难点)。
3.理解直线方程的应用(重点)。
【知识点1】直线的点斜式方程
1．求直线点斜式方程的步骤
(1)确定点P（x0,y0）．
(2)若斜率不存在，方程为x=x0；若斜率存在，方程为y﹣y0＝k（x﹣x0）．
2．求直线的斜截式方程
(1)先求参数k和b，再写出斜截式方程．
(2)斜率可以是已知的，也可以利用倾斜角来求出，还可以利用平行、垂直关系来求出．
(3)b是直线在y轴上的截距。
【例1】（2024秋 怀柔区期末）已知直线l的倾斜角为60°，且经过点（0，1），则直线l的方程为（　　）
A． B． C． D．
【例2】（多选）（2024秋 东海县期中）设直线l过两点和，则（　　）
A．直线l的斜率为
B．直线l的倾斜角为150°
C．直线l在x轴上的截距为6
D．直线l在y轴上的截距为
【例3】（2025春 宝山区期末）经过点（1，2）且斜率为1的直线方程为　　　　．
【例4】（2024秋 嘉定区校级期末）已知两点A（3，4）、B（﹣5，6），则直线AB的斜截式方程是　　　　．
【知识点2】直线的两点式方程
直线的截距式方程
(1)若直线与轴的交点为，与y轴的交点为，其中，则过AB两点的直线方程为，这个方程称为直线的截距式方程．
(2)a叫做直线在x轴上的截距，b叫做直线在y轴上的截距．
(3)求直线在坐标轴上的截距的方法：令x=0得直线在y轴上的截距；令y=0得直线在x轴上的截距
例1：
【例5】（多选）（2024秋 上城区校级期末）下列说法正确的有（　　）
A．直线倾斜角越大，斜率越大
B．过点P（x1，y1），Q（x2，y2）的直线方程是
C．经过点（1，1）且在x轴和y轴上截距相等的直线有2条
D．直线在y轴上的截距是﹣3
【例6】（多选）（2024秋 鄂尔多斯期中）已知直线l过点（1，3），若l与x，y轴的正半轴围成的三角形的面积为S，则S的值可以是（　　）
A．3 B．5 C．7 D．9
【例7】（2024秋 龙岩期末）已知△ABC的三个顶点分别是A（1，2），B（5，4），C（2，7），则边AB上的中线所在直线方程为　　　　．
【例8】（2025春 浦东新区校级月考）已知直线l过点P（2，3），根据下列条件分别求直线l的方程：
（1）直线l的倾斜角为45°；
（2）直线l在x轴、y轴上的截距相等．
【知识点3】直线的一般式方程
直线方程的一般式
(1)关于x和y的一次方程表示一条直线．我们把方程写为，这个方程（其中A、B不全为零）叫做直线方程的一般式．
(2) A、B不全为零才能表示一条直线，若A、B全为零则不能表示一条直线．
(3)当时，方程可变形为，它表示过点，斜率为的直线．
(4)当，时，方程可变形为，即，它表示一条与轴垂直的直线
例1：
【例9】（2024秋 台州期末）已知直线l的一般式方程为x﹣2y+6＝0，则（　　）
A．直线l的截距式方程为
B．直线l的截距式方程为
C．直线l的斜截式方程为
D．直线l的斜截式方程为
【例10】（多选）（2024秋 宁城县期末）下列说法正确的是（　　）
A．直线l：mx+y+2﹣m＝0恒过定点（1，﹣2）
B．如果AB＜0，BC＜0，那么直线Ax+By+C＝0不经过第四象限
C．已知直线l过点P（2，3），且在x，y轴上截距相等，则直线l的方程为x+y﹣5＝0 D．若直线l沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则该直线l的斜率为
【例11】（2025春 杨浦区校级月考）过点A（3，1）和B（﹣2，3）的直线l的一般式方程为　　　　．
【例12】（2024秋 辛集市期末）数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知△ABC的顶点分别为A（3，1），B（4，2），C（2，3），则△ABC的欧拉线方程为　　　　．
【知识点4】动直线过定点
1．动直线过定点
(1)如果一条直线经过某一定点，那么这条直线就是过该定点的直线．这里面可以看出，过一个定点的直线是不唯一的，事实上是由无数条直线组成．
(2)假如有一定点A的坐标为（m，n），那么过该定点的直线的表达式为y＝k（x﹣m）+n或者是x＝m．
2．直线过定点问题的求解
(1)若已知方程是含有一个参数的直线系方程，则我们可以把系数中的分别提取出来，化为的形式．
(2)由解出的值，即得定点坐标。
例1：
【例13】（2025春 静安区校级期中）直线mx+（3m﹣1）y+1＝0必过定点（　　）
A．（3，1） B．（﹣3，1） C． D．（，0）
【例14】（多选）（2025 东兴区校级开学）设直线l1：2x+ay＝2+2a，则（　　）
A．直线l1在y轴上的截距为1+a
B．直线l1与直线l2：ax+2y＝1一定垂直
C．直线l1过定点（1，2）
D．当点O（0，0）在直线l1的右下方时，a＜﹣1
【例15】（2024秋 自贡期末）已知b是a，c的等差中项，直线ax+by+c＝0恒过定点A，则定点A坐标　　　　．
【例16】（2025春 宝山区期末）已知直线l：kx﹣y+3k+1＝0，（k∈R）．
（1）证明：对任意实数k，直线l都经过一个定点；
（2）若直线l在x轴、y轴上截距相等，求直线l的方程．
【知识点5】直线方程的应用
直线的平行与垂直
(1)．
(2)且或，记忆式（）．
(3)．
(4)
例1：
【例17】（2025 商丘开学）已知直线l1：ax﹣y+2＝0与l2：x﹣ay+a+1＝0平行，则a＝（　　）
A．0 B．﹣1 C．1 D．±1
【例18】（多选）（2025 长沙校级一模）已知正方形ABCD在平面直角坐标系xOy中，且AC：2x﹣y+1＝0，则直线AB的方程可能为（　　）
A．x+3y+1＝0 B．x﹣3y+1＝0 C．3x+y+1＝0 D．3x﹣y+1＝0
【例19】（2025春 杨浦区校级月考）已知点A（0，1），B（4，3），线段AB的垂直平分线在x轴上的截距为　　　　．
【例20】（2025春 湖北期中）已知直线l：kx﹣y+1+2k＝0（k∈R）．
（1）证明：直线l过定点；
（2）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；
（3）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．
【知识点6】对称问题
对称问题
(1)点关于点对称:若点M(x1，y1)及N(x，y)关于P(a，b)对称，则由中点坐标公式得，进而求解．
(2)直线关于点对称:①在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；②求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程．
(3)点关于直线对称:若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称，由方程组，可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中B≠0，x1≠x2)．
(4)利用垂直、平分关系列出等式求解
例1：
【例21】（2024秋 包头期末）直线3x+4y﹣3＝0关于x轴对称的直线方程为（　　）
A．﹣3x+4y﹣3＝0 B．3x﹣4y﹣3＝0
C．﹣3x﹣4y﹣3＝0 D．4x﹣3y﹣3＝0
【例22】（2025春 湖北期中）已知点A（2，4）关于直线l对称的点为B（﹣1，2），则直线l的方程为（　　）
A．4x﹣6y+15＝0 B．6x+4y+15＝0
C．6x+4y﹣15＝0 D．4x﹣6y﹣15＝0
【例23】（2024秋 庐江县期末）一条光线从点P（4，2）射出，经过直线y＝x反射后过点Q（1，﹣6），则反射光线所在直线的方程为　　　　．
【例24】（2025 嘉峪关校级开学）已知直线l：x+2y﹣1＝0和点A（1，2）．
（1）求点A关于直线l的对称点的坐标；
（2）求直线l关于点A对称的直线方程．

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