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2.4 圆的方程
【知识点1】点与圆的位置关系 1
【知识点2】圆的标准方程 2
【知识点3】圆的一般方程 3
【知识点4】待定系数法求圆的方程 4
【知识点5】圆方程的应用 5
1.知道点与圆的位置关系(重点)。
2.掌握圆的标准方程与一般方程(重难点)。
3.掌握圆的综合应用(重点)。
【知识点1】点与圆的位置关系
1．点与⊙C的位置关系
(1) |AC|(2) |AC|＝r 点A在圆上 ．
(3) |AC|>r 点A在圆外 ．
2．点与圆位置关系的判断
(1)几何法：利用圆心到该点的距离d与圆的半径r比较．
(2)代数法：直接利用下面的不等式判定．
①(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2，点在圆外．
②(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2，点在圆上．
③(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2，点在圆内．
【例1】（2024秋 唐山期末）已知圆C：x2+y2＝4，则下列各点在圆C上的是（　　）
A．（1，2） B．（1，﹣3） C．（2，0） D．（3，1）
【例2】（多选）（2025春 长沙期中）已知圆M的标准方程为（x﹣4）2+（y+3）2＝25，则下列说法正确的是（　　）
A．圆M的圆心为（4，﹣3） B．点（1，0）在圆内
C．圆M的半径为5 D．点（﹣3，1）在圆内
【例3】（2024秋 淄博期末）若点P（2，2）是圆C：x2+y2﹣2y+3﹣m＝0外的一点，则m的取值范围是　　　　．
【例4】（2024秋 邢台期末）已知A（2，2），B（5，3），C（3，﹣1），点M（a，2）在△ABC的外接圆上试求a的值．
【知识点2】圆的标准方程
1．圆的标准方程
(1)圆的定义：在平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆．
(2)若圆的圆心为C(a,b),半径为r，则该圆的标准方程为：．
(3)方程表示圆心为C(a,b),半径为r的圆．
2．圆的标准方程
(1)要确定圆的标准方程需要两个条件(包含三个代数量)：圆的圆心坐标和圆的半径长；反之如果已知圆的标准方程也能直接得到圆的圆心坐标和半径．
(2)求解圆的标准方程时，一般先求出圆心和半径，再写方程
例1：
【例5】（2025 台州模拟）已知圆的方程为（x﹣1）2+（y+2）2＝4，则圆的圆心C、半径R分别为（　　）
A．（1，﹣2）、2 B．（1，2）、4 C．（﹣1，2）、2 D．（﹣1，﹣2）、4
【例6】（2025 金安区校级模拟）已知圆C经过两点A（0，2），B（4，6），且圆心C在直线l：2x﹣y﹣3＝0上，则圆C的方程为（　　）
A．x2+y2﹣6y﹣16＝0 B．x2+y2﹣2x+2y﹣8＝0
C．x2+y2﹣6x﹣6y+8＝0 D．x2+y2﹣2x+2y﹣56＝0
【例7】（2025 广安区校级开学）过A（0，0），B（0，8），C（6，0）三点的圆的标准方程为　　　　．
【例8】（2024秋 开封期末）圆C的圆心在x轴上，且经过A（0，1），B（2，1）两点，则圆C的标准方程为　　　　．
【知识点3】圆的一般方程
1．圆的一般方程
(1)任意一个圆的方程都可化为：.这个方程就叫做圆的一般方程．
(2)任意一个圆的方程都可化为：.这个方程就叫做圆的一般方程．
2．圆方程的求解
(1)由圆的一般方程的定义，若D2＋E2－4F>0，则表示圆，否则不表示圆．
(2)将方程配方，根据圆的标准方程的特征求解．应用这两种方法时，要注意所给方程是不是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0这种标准形式．若不是，则要化为这种形式再求解
例1：
【例9】（2025 眉山校级三模）方程x2+y2﹣2x+2y＝a表示圆，则实数a的取值范围是（　　）
A．[2，+∞） B．（2，+∞） C．[﹣2，+∞） D．（﹣2，+∞）
【例10】（多选）（2024秋 喀什市期末）已知x2+y2﹣4x+6y＝0表示圆，则下列结论正确的是（　　）
A．圆心坐标为C（﹣2，3） B．圆心坐标为C（2，﹣3）
C．半径r＝13 D．半径
【例11】（2025春 普陀区校级期末）已知m∈R，圆x2+y2﹣9x﹣m＝0的面积为π，则m＝　　　　．
【例12】（2024秋 颍州区校级期末）已知△ABC的三个顶点分别为A（0，0），B（1，1），C（4，2）．
（1）求边BC所在直线的方程；
（2）若AC的中点为D，求边AC的垂直平分线l的方程；
（3）求△ABC的外接圆的方程．
【知识点4】待定系数法求圆的方程
1．圆的方程
(1)若圆的圆心为C(a,b),半径为r，则该圆的标准方程为：．
(2)任意一个圆的方程都可化为：.这个方程就叫做圆的一般方程．
2．用“待定系数法”求圆方程的步骤
(1)根据题意，选择圆的标准方程或圆的一般方程．
(2)根据条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程组．
(3)解出a、b、r或D、E、F，代入标准方程或一般方程。
例1：
【例13】（2025春 五河县校级月考）△ABC的三个顶点分别是A（5，1），B（7，﹣3），C（2，﹣8），求△ABC的外接圆的标准方程．
【例14】（2024秋 湖南期末）已知△ABC的三个顶点分别为A（0，1），B（1，2），C（4，3）．
（1）求△ABC的面积；
（2）求△ABC的外接圆M的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径．
【例15】（2024秋 衡水期末）（1）求过三点A（1，0），B（0，1），C（2，3）的圆的一般方程；
（2）求过两点C（﹣1，2）和，且圆心在x轴上的圆的标准方程．
【例16】（2024秋 江西月考）已知点A（﹣1，3），B（5，﹣5），C（﹣2，2）．
（1）求线段AC的垂直平分线的方程；
（2）已知圆M过点A，B，C，求圆M的方程．
【知识点5】圆方程的应用
1．圆方程的应用
(1)圆的标准方程为：．
(2)圆的一般方程：（）．
(3)点到直线的距离．
2．圆的几何性质
(1)圆的弦的垂直平分线过圆心．
(2)两条弦的垂直平分线的交点为圆心．
(3)圆心与切点的连线垂直于切线．
(4)圆心到切点的距离等于圆的半径．
(5)圆的半径、半弦长、弦心距构成直角三角形．
(6)直径所对圆周角为直角
例1：
【例17】（2025 安阳校级模拟）曲线的长度为（　　）
A．2π B． C．π D．
【例18】（2024秋 乐山期末）某圆拱桥的水面跨度12米，拱高4米，现有一船宽8米，则这条船能从桥下通过的水面以上最大高度约为（　　）（参考数据，）
A．2.5米 B．2.7米 C．2.9米 D．3.1米
【例19】（2025 彭山区校级开学）如图是一个中国古典园林建筑中常见的圆形过径门，已知该门的最高点到地面的距离为4米，门在地面处的宽度为4米．现将其截面图放置在直角坐标系xOy中，以地面所在的直线为x轴，过圆心的竖直直线为y轴，则门的轮廓所在圆的方程为（　　）
A． B．
C． D．
【例20】（2025春 武平县校级月考）若圆（x+1）2+（y﹣1）2＝5上存在两点关于直线2ax﹣by+3＝0（a＞0，b＞0）对称，则的最小值是　　　　．2.4 圆的方程
【知识点1】点与圆的位置关系 1
【知识点2】圆的标准方程 3
【知识点3】圆的一般方程 6
【知识点4】待定系数法求圆的方程 8
【知识点5】圆方程的应用 11
1.知道点与圆的位置关系(重点)。
2.掌握圆的标准方程与一般方程(重难点)。
3.掌握圆的综合应用(重点)。
【知识点1】点与圆的位置关系
1．点与⊙C的位置关系
(1) |AC|(2) |AC|＝r 点A在圆上 ．
(3) |AC|>r 点A在圆外 ．
2．点与圆位置关系的判断
(1)几何法：利用圆心到该点的距离d与圆的半径r比较．
(2)代数法：直接利用下面的不等式判定．
①(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2，点在圆外．
②(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2，点在圆上．
③(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2，点在圆内．
【例1】（2024秋 唐山期末）已知圆C：x2+y2＝4，则下列各点在圆C上的是（　　）
A．（1，2） B．（1，﹣3） C．（2，0） D．（3，1）
【答案】C
【分析】将各点代入圆中方程验证，即可求解．
【解答】解：12+22≠4，故A错误；
12+（﹣3）2≠4，故B错误；
22+02＝4，故C正确；
32+12≠4，故D错误．
故选：C．
【例2】（多选）（2025春 长沙期中）已知圆M的标准方程为（x﹣4）2+（y+3）2＝25，则下列说法正确的是（　　）
A．圆M的圆心为（4，﹣3） B．点（1，0）在圆内
C．圆M的半径为5 D．点（﹣3，1）在圆内
【答案】ABC
【分析】根据题意，由圆的标准方程的性质依次分析选项是否正确，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，圆M的标准方程为（x﹣4）2+（y+3）2＝25，其圆心为（4，﹣3），A正确；
对于B，由于（1﹣4）2+（0+3）2＜25，点（1，0）在圆内，B正确；
对于C，圆M的标准方程为（x﹣4）2+（y+3）2＝25，其半径为5，C正确；
对于D，由于（﹣3﹣4）2+（1+3）2＞25，点（﹣3，1）在圆外，D错误．
故选：ABC．
【例3】（2024秋 淄博期末）若点P（2，2）是圆C：x2+y2﹣2y+3﹣m＝0外的一点，则m的取值范围是　　　　．
【答案】（2，7）．
【分析】根据点与圆的位置关系建立不等式组，解之即可求解．
【解答】解：圆C：x2+y2﹣2y+3﹣m＝0的标准方程为x2+（y﹣1）2＝m﹣2，
所以，解得2＜m＜7，
即m的取值范围是（2，7）．
故答案为：（2，7）．
【例4】（2024秋 邢台期末）已知A（2，2），B（5，3），C（3，﹣1），点M（a，2）在△ABC的外接圆上试求a的值．
【答案】a＝2或a＝6．
【分析】设圆的一般方程，由三角形三个顶点在圆上，将三角形三个顶点的坐标代入圆的一般方程得到方程组，求解方程组得到参数的值，从而得到圆的一般方程，再将点M坐标代入圆方程，求得a的值．
【解答】解：设△ABC外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，
A（2，2），B（5，3），C（3，﹣1）在圆上，
则解得，
即△ABC的外接圆方程为x2+y2﹣8x﹣2y+12＝0．
又因为点M（a，2）在所求的圆上，
故点M（a，2）的坐标满足圆的方程，
可得a2+22﹣8a﹣2×2+12＝0，
解得a＝2或a＝6．
【知识点2】圆的标准方程
1．圆的标准方程
(1)圆的定义：在平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆．
(2)若圆的圆心为C(a,b),半径为r，则该圆的标准方程为：．
(3)方程表示圆心为C(a,b),半径为r的圆．
2．圆的标准方程
(1)要确定圆的标准方程需要两个条件(包含三个代数量)：圆的圆心坐标和圆的半径长；反之如果已知圆的标准方程也能直接得到圆的圆心坐标和半径．
(2)求解圆的标准方程时，一般先求出圆心和半径，再写方程
例1：
【例5】（2025 台州模拟）已知圆的方程为（x﹣1）2+（y+2）2＝4，则圆的圆心C、半径R分别为（　　）
A．（1，﹣2）、2 B．（1，2）、4 C．（﹣1，2）、2 D．（﹣1，﹣2）、4
【答案】A
【分析】根据圆的标准方程的形式，结合题中数据加以比较即可得到本题答案．
【解答】解：∵圆的方程为（x﹣1）2+（y+2）2＝4，
∴圆心C的坐标为（1，﹣2），半径R＝2
故选：A．
【例6】（2025 金安区校级模拟）已知圆C经过两点A（0，2），B（4，6），且圆心C在直线l：2x﹣y﹣3＝0上，则圆C的方程为（　　）
A．x2+y2﹣6y﹣16＝0 B．x2+y2﹣2x+2y﹣8＝0
C．x2+y2﹣6x﹣6y+8＝0 D．x2+y2﹣2x+2y﹣56＝0
【答案】C
【分析】设出圆心，利用两点间距离公式求出a的值，从而得到圆心和半径，求出圆的标准方程，化为一般方程，即可得到答案．
【解答】解：因为圆心C在直线l：2x﹣y﹣3＝0上，
设圆心C（a，2a﹣3），
又圆C经过两点A（0，2），B（4，6），
所以|CA|＝|CB|，
故，解得a＝3，
所以圆心C（3，3），半径r＝|CA|，
则圆的方程为（x﹣3）2+（y﹣3）2＝10，
化为一般方程为x2+y2﹣6x﹣6y+8＝0．
故选：C．
【例7】（2025 广安区校级开学）过A（0，0），B（0，8），C（6，0）三点的圆的标准方程为　　　　．
【答案】（x﹣3）2+（y﹣4）2＝25．
【分析】设出圆的一般方程，代入三点坐标，即可求解联立方程求解．
【解答】解：设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0（D2+E2﹣4F＞0），
圆经过A（0，0），B（0，8），C（6，0），
则，解得，
故圆的方程为x2+y2﹣6x﹣8y＝0，
故圆的标准方程为（x﹣3）2+（y﹣4）2＝25．
故答案为：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝25．
【例8】（2024秋 开封期末）圆C的圆心在x轴上，且经过A（0，1），B（2，1）两点，则圆C的标准方程为　　　　．
【答案】（x﹣1）2+y2＝2．
【分析】设圆C的标准方程为（x﹣a）2+y2＝r2，根据A、B两点的坐标建立关于a、r的方程组，解之即可得到圆C的标准方程．
【解答】解：设圆C的圆心为（a，0），半径为r，
则圆C的标准标准方程为（x﹣a）2+y2＝r2，
代入A（0，1）、B（2，1），
可得，解得．
所以圆C的标准标准方程为（x﹣1）2+y2＝2．
故答案为：（x﹣1）2+y2＝2．
【知识点3】圆的一般方程
1．圆的一般方程
(1)任意一个圆的方程都可化为：.这个方程就叫做圆的一般方程．
(2)任意一个圆的方程都可化为：.这个方程就叫做圆的一般方程．
2．圆方程的求解
(1)由圆的一般方程的定义，若D2＋E2－4F>0，则表示圆，否则不表示圆．
(2)将方程配方，根据圆的标准方程的特征求解．应用这两种方法时，要注意所给方程是不是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0这种标准形式．若不是，则要化为这种形式再求解
例1：
【例9】（2025 眉山校级三模）方程x2+y2﹣2x+2y＝a表示圆，则实数a的取值范围是（　　）
A．[2，+∞） B．（2，+∞） C．[﹣2，+∞） D．（﹣2，+∞）
【答案】D
【分析】将方程按照x，y分别配方，利用圆的标准方程即可得到不等式，解之即得．
【解答】解：由x2+y2﹣2x+2y＝a配方得：（x﹣1）2+（y+1）2＝a+2，
方程x2+y2﹣2x+2y＝a表示圆，
则a+2＞0，解得a＞﹣2．
故选：D．
【例10】（多选）（2024秋 喀什市期末）已知x2+y2﹣4x+6y＝0表示圆，则下列结论正确的是（　　）
A．圆心坐标为C（﹣2，3） B．圆心坐标为C（2，﹣3）
C．半径r＝13 D．半径
【答案】BD
【分析】配方化为圆的标准方程即可得圆心、半径．
【解答】解：将x2+y2﹣4x+6y＝0整理可得：（x﹣2）2+（y+3）2＝13，
可得圆心为（2，﹣3），半径为，
所以BD正确，AC错误．
故选：BD．
【例11】（2025春 普陀区校级期末）已知m∈R，圆x2+y2﹣9x﹣m＝0的面积为π，则m＝　　　　．
【答案】﹣8．
【分析】将圆的一般方程化为标准方程，得到半径，再由圆的面积公式建立方程求解即可．
【解答】解：因为圆x2+y2﹣9x﹣m＝0的标准方程为：（x﹣3）2+y2＝m+9，
所以圆的半径为，所以面积S＝（m+9）π＝π，所以m＝﹣8．
故答案为：﹣8．
【例12】（2024秋 颍州区校级期末）已知△ABC的三个顶点分别为A（0，0），B（1，1），C（4，2）．
（1）求边BC所在直线的方程；
（2）若AC的中点为D，求边AC的垂直平分线l的方程；
（3）求△ABC的外接圆的方程．
【答案】（1）x﹣3y+2＝0；
（2）2x+y﹣5＝0；
（3）x2+y2﹣8x+6y＝0．
【分析】（1）利用两直线垂直的斜率关系可求BC边所在直线的方程；
（2）求得AC的中点坐标与直线l的斜率，可求AC边的垂直平分线l的方程；
（3）设△ABC的外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，代入点的坐标，解方程组可求△ABC的外接圆的方程．
【解答】解：△ABC的三个顶点分别为A（0，0），B（1，1），C（4，2）．
（1）由两点式可得BC边所在直线的方程为，
即BC边所在直线的方程x﹣3y+2＝0；
（2）AC的中点为D（2，1），
又，所以AC边的垂直平分线l的斜率为﹣2，
所以l的方程为y﹣1＝﹣2（x﹣2），即2x+y﹣5＝0．
（3）设△ABC的外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，
则，解得，
所以△ABC的外接圆的方程为x2+y2﹣8x+6y＝0．
【知识点4】待定系数法求圆的方程
1．圆的方程
(1)若圆的圆心为C(a,b),半径为r，则该圆的标准方程为：．
(2)任意一个圆的方程都可化为：.这个方程就叫做圆的一般方程．
2．用“待定系数法”求圆方程的步骤
(1)根据题意，选择圆的标准方程或圆的一般方程．
(2)根据条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程组．
(3)解出a、b、r或D、E、F，代入标准方程或一般方程。
例1：
【例13】（2025春 五河县校级月考）△ABC的三个顶点分别是A（5，1），B（7，﹣3），C（2，﹣8），求△ABC的外接圆的标准方程．
【答案】（x﹣2）2+（y+3）2＝25．
【分析】利用待定系数法设圆的标准方程，代入点的坐标，求解即可得到答案．
【解答】解：设△ABC的外接圆的标准方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2，
因为△ABC的三个顶点分别是A（5，1），B（7，﹣3），C（2，﹣8），
所以，解得，
所以△ABC的外接圆的标准方程是（x﹣2）2+（y+3）2＝25．
【例14】（2024秋 湖南期末）已知△ABC的三个顶点分别为A（0，1），B（1，2），C（4，3）．
（1）求△ABC的面积；
（2）求△ABC的外接圆M的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径．
【答案】（1）1；
（2）（x﹣4）2+（y+2）2＝25，圆心坐标是（4，﹣2），半径为5．
【分析】（1）运用两点间距离公式计算|AB|，求出边AB所在直线l的方程，再用点到直线距离公式计算高，最后算出面积即可；
（2）设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，运用待定系数法，代入点计算即可．
【解答】解：（1）由题意△ABC的三个顶点分别为A（0，1），B（1，2），C（4，3），
可得，
边AB所在直线l的方程为，即x﹣y+1＝0，
点C（4，3）到直线l：x﹣y+1＝0的距离为，
所以．
（2）设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，
由题意得∴D＝﹣8，E＝4，F＝﹣5，
∴所求圆的方程为x2+y2﹣8x+4y﹣5＝0，
即（x﹣4）2+（y+2）2＝25，
∴所求圆的圆心坐标是（4，﹣2），半径r＝5．
【例15】（2024秋 衡水期末）（1）求过三点A（1，0），B（0，1），C（2，3）的圆的一般方程；
（2）求过两点C（﹣1，2）和，且圆心在x轴上的圆的标准方程．
【答案】（1）x2+y2﹣3x﹣3y+2＝0；
（2）（x﹣2）2+y2＝13．
【分析】（1）设圆的方程，代入三个点坐标，解得圆方程；
（2）由圆的性质求出圆心坐标，从而得出圆的半径，写出圆的方程．
【解答】解：（1）由圆过三点A（1，0），B（0，1），C（2，3），
可设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，
由题将三点代入得，解得，
所以所求圆的一般方程为x2+y2﹣3x﹣3y+2＝0；
（2）由题意圆过两点C（﹣1，2）和D（1，2），且圆心在x轴上，
可设圆心为M（a，0），
∵|MC|＝|MD|，∴，
即a2+2a+1+4＝a2﹣2a+1+12，
∴，
∴圆的标准方程为（x﹣2）2+y2＝13．
【例16】（2024秋 江西月考）已知点A（﹣1，3），B（5，﹣5），C（﹣2，2）．
（1）求线段AC的垂直平分线的方程；
（2）已知圆M过点A，B，C，求圆M的方程．
【答案】（1）x+y﹣1＝0；
（2）（x﹣2）2+（y+1）2＝25．
【分析】（1）求得直线AC的斜率以及AC的中点，进而求解结论；
（2）设圆的一般方程，再把点的坐标代入求解即可．
【解答】解：（1）点A（﹣1，3），B（5，﹣5），C（﹣2，2）．
所以kAC1，且AC的中点为：（，），
故线段AC的垂直平分线的方程为：y（﹣1）×（x），
即x+y﹣1＝0；
（2）设圆的方程为：x2+y2+Dx+Ey+F＝0，则，
解得D＝﹣4，E＝2，F＝﹣20，
故圆M：x2+y2﹣4x+2y﹣20＝0，
即（x﹣2）2+（y+1）2＝25．
【知识点5】圆方程的应用
1．圆方程的应用
(1)圆的标准方程为：．
(2)圆的一般方程：（）．
(3)点到直线的距离．
2．圆的几何性质
(1)圆的弦的垂直平分线过圆心．
(2)两条弦的垂直平分线的交点为圆心．
(3)圆心与切点的连线垂直于切线．
(4)圆心到切点的距离等于圆的半径．
(5)圆的半径、半弦长、弦心距构成直角三角形．
(6)直径所对圆周角为直角
例1：
【例17】（2025 安阳校级模拟）曲线的长度为（　　）
A．2π B． C．π D．
【答案】D
【分析】对式子进行变形，明确其含义即可求解．
【解答】解：因为，所以，
所以曲线是以坐标原点O为圆心，2为半径的圆弧，
其中点A的横坐标为，则，所以，
所以曲线的长度为．
故选：D．
【例18】（2024秋 乐山期末）某圆拱桥的水面跨度12米，拱高4米，现有一船宽8米，则这条船能从桥下通过的水面以上最大高度约为（　　）（参考数据，）
A．2.5米 B．2.7米 C．2.9米 D．3.1米
【答案】C
【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，根据所给数据得到各点的坐标，结合圆的标准方程求得圆拱所在圆的方程，然后取x＝4求得纵坐标的大小，即可得出这条船能从桥下通过的水面以上最大高度．
【解答】解：以圆拱桥的跨度所在直线为x轴，过圆拱桥的最高点且垂直于x轴的直线为y轴，
建立平面直角坐标系，图中的矩形EFGH为船刚好能通过桥下的位置．
可得B（﹣6，0），E（﹣4，0），F（4，0），C（6，0），
设圆拱桥所在圆的方程为x2+（y﹣b）2＝r2，可得36+b2＝（4﹣b）2≡r2，解得b，r，
所以圆的方程为x2+（y）2，取x＝4，解得y2.9，
所以这条船能从桥下通过的水面以上最大高度为2.9米．
故选：C．
【例19】（2025 彭山区校级开学）如图是一个中国古典园林建筑中常见的圆形过径门，已知该门的最高点到地面的距离为4米，门在地面处的宽度为4米．现将其截面图放置在直角坐标系xOy中，以地面所在的直线为x轴，过圆心的竖直直线为y轴，则门的轮廓所在圆的方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用勾股定理可构造方程求得半径r，进而得到圆心坐标，由此可得圆的方程．
【解答】解：设该圆的半径为r，如图，
由该门的最高点到地面的距离为4米，门在地面处的宽度为4米知：|OD|＝4﹣r，|BD|＝r，|OB|＝2，
由勾股定理得：|BD|2＝|OD|2+|OB|2，即r2＝（4﹣r）2+4，解得：，
∴，即圆的圆心为，则圆的方程为．
故选：A．
【例20】（2025春 武平县校级月考）若圆（x+1）2+（y﹣1）2＝5上存在两点关于直线2ax﹣by+3＝0（a＞0，b＞0）对称，则的最小值是　　　　．
【答案】．
【分析】利用圆的对称性与基本不等式中“1”的妙用解题．
【解答】解：由题可知圆（x+1）2+（y﹣1）2＝5的圆心为（﹣1，1），
因为圆上存在两点关于2ax﹣by+3＝0对称，
则直线过圆心，即2a×（﹣1）﹣b×1+3＝0，即2a+b＝3，且a＞0，b＞0，
故．
当且仅当，即时取得等号．
即的最小值是．
故答案为：．

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