资源简介

3.1 椭圆
【知识点1】椭圆的定义 1
【知识点2】椭圆的标准方程 2
【知识点3】椭圆的几何性质 3
【知识点4】椭圆的离心率 5
【知识点5】直线与椭圆 6
1.理解椭圆的定义(重点)。
2.掌握椭圆的标准方程与几何性质(重难点)。
3.会求椭圆的离心率(重点)。
【知识点1】椭圆的定义
1．椭圆的概念
(1)在平面内到两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．
(2)|MF1|＋|MF2|＝2a(2a>2c)．
2．椭圆定义的应用
(1)椭圆定义的应用：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等．
(2)通常定义和余弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题。
【例1】（2025春 亳州校级期末）已知椭圆的两焦点分别为F1，F2，点P为椭圆上任意一点，则|PF1|+|PF2|的值为（　　）
A．2 B． C．4 D．
【例2】（2024秋 朝阳校级期末）已知椭圆C：，的右焦点为F，P为椭圆C上任意一点，点A的坐标为，则|PA|+|PF|的最大值为（　　）
A． B．5 C． D．
【例3】（2025春 南宁期末）椭圆的两个焦点为F1，F2，P为椭圆C上与两焦点不共线的一点，则△PF1F2的周长为　　　　．
【例4】（2024秋 武强县校级期末）设椭圆的左，右焦点是F1，F2，离心率为，上顶点坐标为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设P为椭圆上一点，且∠F1PF2＝60°，求焦点三角形F1PF2的周长和面积．
【知识点2】椭圆的标准方程
1．椭圆的标准方程
(1)焦点在轴，．
(2)焦点在轴，．
2．待定系数法求椭圆的标准方程
(1)作判断：根据条件判断焦点的位置．
(2)设方程：焦点不确定时，要注意分类讨论，或设方程为 ．
(3)找关系：根据已知条件，建立关于的方程组．
(4)求解，得方程
例1：
【例5】（2025春 徐汇区校级期中）“1＜m＜3”是“方程表示椭圆”的（　　）条件．
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
【例6】（2025 仁寿县校级三模）已知焦点在y轴上的椭圆的离心率为，焦距为，则该椭圆的方程为（　　）
A． B．
C． D．
【例7】（2025 赤峰模拟）经过点P（﹣4，0），Q（0，﹣2）的椭圆的标准方程为　　　　．
【例8】（2024秋 科左中旗校级期末）求满足下列条件的椭圆的标准方程．
（1）b＝1，，焦点在y轴上．
（2）a＝10，c＝6．
（3）经过点，Q（0，2）两点．
【知识点3】椭圆的几何性质
椭圆的几何性质
焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0)
顶点 A1(－a,0), A2(a,0), B1(0,－b), B2(0,b) A1(0,－a), A2(0,a), B1(－b,0), B2(b,0)
轴长 长轴长2a, 短轴长2b
焦点 (±，0) (0，±)
焦距 |F1F2|＝2
对称性 对称轴：x轴、y轴　对称中心：原点
离心率 e＝∈(0,1),
a,b,c关系 a2＝b2+c2
例1：
【例9】（2025 石景山区校级模拟）已知椭圆的焦点在x轴上，点P（1，1），则（　　）
A．P在C外 B．C的长轴长为
C．P在C内 D．C的焦距为2b
【例10】（2024秋 台州期末）已知椭圆的标准方程为，下列说法正确的是（　　）
A．椭圆的长轴长为2
B．椭圆的焦点坐标为，
C．椭圆关于直线y＝x对称
D．当点（x0，y0）在椭圆上时，
【例11】（多选）（2024秋 东坡区期末）若椭圆的焦距为2，则t＝（　　）
A．1 B．2 C．3 D．5
【例12】（2025 渭南三模）已知椭圆的一个焦点的坐标是（2，0），则实数m的值为　　　　．
【知识点4】椭圆的离心率
椭圆的离心率
(1)e＝∈(0,1)，a2＝b2+c2．
(2)根据题目给出的椭圆的几何特征，建立关于参数c、a、b的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围．
(3)较多时候利用解题。
例1：
【例13】（2025春 江西月考）已知椭圆C的方程为，则椭圆C的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【例14】（多选）（2025 蕲春县校级模拟）若圆锥曲线C：mx2+ny2＝1的离心率为，则实数m与n的关系为（　　）
A．4m＝3n B．m＝4n C．4n＝3m D．n＝4m
【例15】（多选）（2025春 福建月考）已知椭圆的两个焦点分别为F1，F2，P是C上任意一点，则（　　）
A．椭圆C的离心率为
B．△PF1F2的周长为12
C．|PF1|的最小值为3
D．椭圆C的离心率越大形状越扁平
【例16】（2025 湖南模拟）已知椭圆的上顶点与椭圆左、右顶点连线的斜率之积为．
（1）求椭圆C的离心率；
（2）若直线y＝x+1与椭圆C相交于A、B两点，且△AOB的面积为（O为坐标原点），求椭圆C的标准方程．
【知识点5】直线与椭圆
直线与椭圆
(1)弦长公式：设直线与椭圆有两个公共点则弦长公式为或．
(2)弦中点问题，适用“点差法”
例1：
【例17】（2025 辽宁三模）过椭圆的左焦点F作倾斜角为45°的直线l与椭圆C交于A、B两点，则（　　）
A． B． C． D．
【例18】（2025春 叶县校级期末）已知椭圆C：（a＞b＞0）的长轴长为10，离心率为．
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）若C的左焦点为F，直线l：4x﹣5y﹣12＝0与C交于A，B两点，求△ABF的面积．
【例19】（2025 青铜峡市校级开学）已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，且过点．
（1）求C的标准方程；
（2）过C的左焦点且斜率为k（k≠0）的直线l与C交于A，B两点，O为坐标原点，当△OAB的面积为时，求k的值．
【例20】（2024秋 西安校级期末）已知椭圆C：的焦距为，且过点．
（1）求椭圆的方程；
（2）在椭圆C上找一点P，使它到直线l：x+y+4＝0的距离最短，并求出最短距离．3.1 椭圆
【知识点1】椭圆的定义 1
【知识点2】椭圆的标准方程 4
【知识点3】椭圆的几何性质 6
【知识点4】椭圆的离心率 9
【知识点5】直线与椭圆 12
1.理解椭圆的定义(重点)。
2.掌握椭圆的标准方程与几何性质(重难点)。
3.会求椭圆的离心率(重点)。
【知识点1】椭圆的定义
1．椭圆的概念
(1)在平面内到两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．
(2)|MF1|＋|MF2|＝2a(2a>2c)．
2．椭圆定义的应用
(1)椭圆定义的应用：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等．
(2)通常定义和余弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题。
【例1】（2025春 亳州校级期末）已知椭圆的两焦点分别为F1，F2，点P为椭圆上任意一点，则|PF1|+|PF2|的值为（　　）
A．2 B． C．4 D．
【答案】D
【分析】根据已知条件求得a，利用椭圆的定义求得正确答案．
【解答】解：由已知得，，由椭圆的定义得．
故选：D．
【例2】（2024秋 朝阳校级期末）已知椭圆C：，的右焦点为F，P为椭圆C上任意一点，点A的坐标为，则|PA|+|PF|的最大值为（　　）
A． B．5 C． D．
【答案】B
【分析】根据椭圆的定义，将|PA|+|PF|转化为4+|PA|﹣|PF1|，当P，A，F1三点共线时，|PA|﹣|PF1|取最大值即|AF1|，再利用两点距离公式就可求解．
【解答】解：如图，
设椭圆C的左焦点为F1（﹣1，0），由椭圆定义得|PF|＝4﹣|PF1|，
所以|PA|+|PF|＝4+|PA|﹣|PF1|≤4+|AF1|
．
故选：B．
【例3】（2025春 南宁期末）椭圆的两个焦点为F1，F2，P为椭圆C上与两焦点不共线的一点，则△PF1F2的周长为　　　　．
【答案】12．
【分析】利用，求出c，利用椭圆的定义即可求出焦点三角形的周长．
【解答】解：因为椭圆中a＝4，，所以，
故△PF1F2的周长为2a+2c＝12．
故答案为：12．
【例4】（2024秋 武强县校级期末）设椭圆的左，右焦点是F1，F2，离心率为，上顶点坐标为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设P为椭圆上一点，且∠F1PF2＝60°，求焦点三角形F1PF2的周长和面积．
【答案】（1）；
（2），．
【分析】（1）由椭圆的上顶点坐标求得b，由离心率及椭圆中a，b，c的关系可求得b，从而得椭圆的方程；
（2）根据椭圆的定义得|PF1|+|PF2|＝2a及焦距长|F1F2|可得，由|PF1|+|PF2|＝2a平方及余弦定理解焦点三角形，得|PF1| |PF2|，再结合三角形面积公式求得．
【解答】解：（1）由题意：离心率为，上顶点坐标为．
知，解得a＝3，
∴椭圆的方程为．
（2）由（1）知，∴，
又∵P为椭圆上一点，∴|PF1|+|PF2|＝2a＝6，
∴焦点三角形F1PF2的周长．
在△F1PF2中，由余弦定理，得，
即 ①，
由|PF1|+|PF2|＝6平方，得 ②，
②﹣①，整理得|PF1| |PF2|＝8，
所以三角形F1PF2的面积．
【知识点2】椭圆的标准方程
1．椭圆的标准方程
(1)焦点在轴，．
(2)焦点在轴，．
2．待定系数法求椭圆的标准方程
(1)作判断：根据条件判断焦点的位置．
(2)设方程：焦点不确定时，要注意分类讨论，或设方程为 ．
(3)找关系：根据已知条件，建立关于的方程组．
(4)求解，得方程
例1：
【例5】（2025春 徐汇区校级期中）“1＜m＜3”是“方程表示椭圆”的（　　）条件．
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
【答案】B
【分析】利用椭圆的标准方程，求解m的范围，然后判断充要条件即可．
【解答】解：方程表示椭圆，得，
解得m∈（1，2）∪（2，3），
所以“1＜m＜3”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件．
故选：B．
【例6】（2025 仁寿县校级三模）已知焦点在y轴上的椭圆的离心率为，焦距为，则该椭圆的方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由焦距求c，利用离心率求a，根据a，b，c的关系求b2，即可得到椭圆的方程．
【解答】解：已知焦点在y轴上的椭圆的离心率为，焦距为，
设椭圆的标准方程为，焦距为2c，
由得，
由得a＝3，故b2＝a2﹣c2＝7，
所以该椭圆的方程为．
故选：D．
【例7】（2025 赤峰模拟）经过点P（﹣4，0），Q（0，﹣2）的椭圆的标准方程为　　　　．
【答案】1．
【分析】由题意可知，椭圆的焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为1（a＞b＞0），根据点P，Q坐标可得到a，b的值，进而求出椭圆的标准方程．
【解答】解：因为椭圆经过点P（﹣4，0），Q（0，﹣2），
所以椭圆的焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为1（a＞b＞0），
则a＝4，b＝2，
所以椭圆的标准方程为1．
故答案为：1．
【例8】（2024秋 科左中旗校级期末）求满足下列条件的椭圆的标准方程．
（1）b＝1，，焦点在y轴上．
（2）a＝10，c＝6．
（3）经过点，Q（0，2）两点．
【答案】（1）；
（2）或；
（3）．
【分析】（1）根据b，c求出a，结合焦点位置即可求解椭圆标准方程；
（2）根据a，c求出b，按照焦点位置分类求解即可；
（3）由题意确定焦点位置及a，b，即可得解．
【解答】解：（1）由b＝1，，得a2＝b2+c216，
因为椭圆焦点在y轴上，
所以椭圆的标准方程为：；
（2）由a＝10，c＝6，得b2＝a2﹣c2＝100﹣36＝64，
因为椭圆焦点位置不确定，
所以椭圆的标准方程为：或；
（3）由题意得P、Q分别是椭圆长轴和短轴上的端点，且椭圆的焦点在x轴上，所以，b＝2，
所以椭圆的标准方程为．
【知识点3】椭圆的几何性质
椭圆的几何性质
焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0)
顶点 A1(－a,0), A2(a,0), B1(0,－b), B2(0,b) A1(0,－a), A2(0,a), B1(－b,0), B2(b,0)
轴长 长轴长2a, 短轴长2b
焦点 (±，0) (0，±)
焦距 |F1F2|＝2
对称性 对称轴：x轴、y轴　对称中心：原点
离心率 e＝∈(0,1),
a,b,c关系 a2＝b2+c2
例1：
【例9】（2025 石景山区校级模拟）已知椭圆的焦点在x轴上，点P（1，1），则（　　）
A．P在C外 B．C的长轴长为
C．P在C内 D．C的焦距为2b
【答案】A
【分析】利用椭圆的焦点在x轴上，判断b的范围，判断AC的正误；求解长轴长判断B；求解焦距判断C．
【解答】解：椭圆的焦点在x轴上，可知0＜b，长轴长为2，所以B不正确；
椭圆的焦距为2，所以D不正确；
当x＝1时，可得，解得y＝±∈（﹣1，1），所以P在椭圆外．
所以A正确；C错误．
故选：A．
【例10】（2024秋 台州期末）已知椭圆的标准方程为，下列说法正确的是（　　）
A．椭圆的长轴长为2
B．椭圆的焦点坐标为，
C．椭圆关于直线y＝x对称
D．当点（x0，y0）在椭圆上时，
【答案】D
【分析】根据椭圆的几何性质对选项逐个判断即可．
【解答】解：由，得
对于A、椭圆的长轴长为2a＝4，故A错误；
对于B、椭圆的焦点坐标为（1，0），（﹣1，0），故B错误；
对于C、椭圆不关于直线y＝x对称，故C错误；
对于D、当点（x0，y0）在椭圆上时，，则，故D正确．
故选：D．
【例11】（多选）（2024秋 东坡区期末）若椭圆的焦距为2，则t＝（　　）
A．1 B．2 C．3 D．5
【答案】CD
【分析】讨论椭圆焦点所在位置，结合a，b，c之间的关系分析求解．
【解答】解：由题意可知：c＝1，
若焦点在x轴上，则4﹣t＝1，解得t＝3；
若焦点在y轴上，则t﹣4＝1，解得t＝5；
综上所述：t＝3或t＝5．
故选：CD．
【例12】（2025 渭南三模）已知椭圆的一个焦点的坐标是（2，0），则实数m的值为　　　　．
【答案】4．
【分析】根据椭圆的标准方程及椭圆的性质，建立关于m的方程，解之可得实数m的值．
【解答】解：若椭圆的一个焦点的坐标是（2，0），
则m＞0且c＝2，所以2，解得m＝4．
故答案为：4．
【知识点4】椭圆的离心率
椭圆的离心率
(1)e＝∈(0,1)，a2＝b2+c2．
(2)根据题目给出的椭圆的几何特征，建立关于参数c、a、b的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围．
(3)较多时候利用解题。
例1：
【例13】（2025春 江西月考）已知椭圆C的方程为，则椭圆C的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】直接根据椭圆的简单几何性质计算可得．
【解答】解：由已知得，a2＝2，b2＝1，则c2＝a2﹣b2＝1，
所以C的离心率为．
故选：B．
【例14】（多选）（2025 蕲春县校级模拟）若圆锥曲线C：mx2+ny2＝1的离心率为，则实数m与n的关系为（　　）
A．4m＝3n B．m＝4n C．4n＝3m D．n＝4m
【答案】AC
【分析】先根据离心率判断曲线类型为椭圆，再将方程化为标准式，因椭圆焦点位置有两种情况，所以分情况讨论：焦点在x轴时，确定a2，b2，由c2＝a2﹣b2，求出c2，结合离心率公式，列方程求解m与n的关系，焦点在x轴时，同样确定a2，b2，c2，再根据离心率公式列方程求解m与n关系．
【解答】解：因为圆锥曲线的离心率，所以该圆锥曲线为椭圆，
方程mx2+ny2＝1可化为．
当焦点在x轴上时，此时，即n＞m＞0，，，
根据c2＝a2﹣b2，可得．
已知离心率，则，即，
化简，则4m＝3n；
当焦点在y轴上时，此时，即m＞n＞0，，，
根据c2＝a2﹣b2，可得．
已知离心率，则，
即，化简，得4n＝3m，
综上，实数m与n的关系为4m＝3n或4n＝3m．
故选：AC．
【例15】（多选）（2025春 福建月考）已知椭圆的两个焦点分别为F1，F2，P是C上任意一点，则（　　）
A．椭圆C的离心率为
B．△PF1F2的周长为12
C．|PF1|的最小值为3
D．椭圆C的离心率越大形状越扁平
【答案】ABD
【分析】利用椭圆方程，求解长半轴的长，焦距，离心率，判断选项的正误即可．
【解答】解：椭圆的两个焦点分别为F1，F2，得a＝4，b＝2，c＝2，椭圆的离心率为：e，所以A正确；
△PF1F2的周长为2a+2c＝12，所以B正确；
|PF1|的最小值为a﹣c＝4﹣2＝2；所以C不正确；
如果a为定值，e变大，则b变小，所以椭圆C的离心率越大形状越扁平，所以D正确．
故选：ABD．
【例16】（2025 湖南模拟）已知椭圆的上顶点与椭圆左、右顶点连线的斜率之积为．
（1）求椭圆C的离心率；
（2）若直线y＝x+1与椭圆C相交于A、B两点，且△AOB的面积为（O为坐标原点），求椭圆C的标准方程．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）由题意可得出a、b的等量关系，由此求得椭圆C的离心率的值；
（2）设A（x1，y1）、B（x2，y2），将直线AB的方程与椭圆C的方程联立，列出韦达定理，计算出|AB|以及原点到直线AB的距离，利用三角形的面积公式可得出关于b的等式，解出b的值，即可得出椭圆C的方程．
【解答】解：（1）因为椭圆上顶点的坐标为（0，b），左、右顶点的坐标分别为（﹣a，0）、（﹣a，0），所以，即a2＝3b2，
又a2＝b2+c2，所以，
则椭圆C的离心率；
（2）不妨设A（x1，y1）、B（x2，y2），
联立，消去y并整理得4x2+6x+3﹣3b2＝0，
此时Δ＝48b2﹣12＞0，解得，
由韦达定理得，，
所以|AB|，
又原点O到直线AB的距离，
所以△AOB的面积S，解得b＝1，
故椭圆C的方程为．
【知识点5】直线与椭圆
直线与椭圆
(1)弦长公式：设直线与椭圆有两个公共点则弦长公式为或．
(2)弦中点问题，适用“点差法”
例1：
【例17】（2025 辽宁三模）过椭圆的左焦点F作倾斜角为45°的直线l与椭圆C交于A、B两点，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由直线与椭圆的位置关系，结合椭圆的焦半径公式求解即可．
【解答】解：由题意可得：，b＝2，c＝1，F（﹣1，0），
则直线AB的方程为y＝x+1，
联立，消y可得：9x2+10x﹣15＝0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，
又，，
则
．
故选：C．
【例18】（2025春 叶县校级期末）已知椭圆C：（a＞b＞0）的长轴长为10，离心率为．
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）若C的左焦点为F，直线l：4x﹣5y﹣12＝0与C交于A，B两点，求△ABF的面积．
【答案】（Ⅰ）；
（Ⅱ）．
【分析】（Ⅰ）由题意，根据题目所给信息以及a，b，c之间的关系，列出等式求出a和b的值，进而可得C的方程；
（Ⅱ）设出A，B两点的坐标，将C的方程与直线l的方程联立，利用韦达定理、弦长公式、点到直线距离公式以及三角形面积公式再进行求解即可．
【解答】解：（Ⅰ）不妨设椭圆C的半焦距为c（c＞0），
因为椭圆C的长轴长为10，所以2a＝10，①
因为椭圆C的离心率为，所以，②
联立①②，解得a＝5，c＝3，则b2＝a2﹣c2＝16，
故C的方程为；
（Ⅱ）不妨设A（x1，y1），B（x2，y2），
联立，消去y并整理得x2﹣3x﹣8＝0，
由韦达定理得x1+x2＝3，x1x2＝﹣8，
所以|AB|
，
因为F（﹣3，0），所以点F到直线l的距离，
则△ABF的面积S．
【例19】（2025 青铜峡市校级开学）已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，且过点．
（1）求C的标准方程；
（2）过C的左焦点且斜率为k（k≠0）的直线l与C交于A，B两点，O为坐标原点，当△OAB的面积为时，求k的值．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据题意建立关于a，b，c的方程组，解出即可；
（2）联立直线l与椭圆的方程，由韦达定理得到两根之和与两根之积，再由△OAB的面积为，求得k的值．
【解答】解：（1）设椭圆的半焦距为c，
由题意得，，解得，
∴C的标准方程为．
（2）由（1）得，椭圆C的左焦点为，
∴直线l的方程为，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
联立，整理得，
∴，，
∴，
∴，
解得k＝±1．
【例20】（2024秋 西安校级期末）已知椭圆C：的焦距为，且过点．
（1）求椭圆的方程；
（2）在椭圆C上找一点P，使它到直线l：x+y+4＝0的距离最短，并求出最短距离．
【答案】（1）；
（2），．
【分析】（1）由题意列出关于a，b，c的方程，求解即可；
（2）设与直线l：x+y+4＝0平行的直线x+y+m＝0与椭圆相切，联立直线与椭圆方程，利用判别式Δ＝0求解．
【解答】解：（1）因为椭圆C的焦距为，且过点，
所以，解得a2＝3，b2＝1，
则椭圆C的方程为；
（2）设与直线l：x+y+4＝0平行的直线x+y+m＝0与椭圆相切，
联立，消去y并整理得4x2+6mx+3m2﹣3＝0，
此时Δ＝（6m）2﹣16（3m2﹣3）＝0，解得m＝±2．
当m＝2时，直线l与直线x+y+2＝0的距离；
当m＝﹣2时，直线l与直线x+y﹣2＝0的距离．
因为，所以m＝2符合题意，
将m＝2代入4x2+6mx+3m2﹣3＝0中，解得，
将代入x+y+2＝0中，解得．
则点P的坐标为，此时距离的最小值为．

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