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3.2 双曲线
【知识点1】双曲线的定义 1
【知识点2】双曲线的标准方程 4
【知识点3】双曲线的几何性质 6
【知识点4】双曲线的离心率 9
【知识点5】直线与双曲线 12
【知识点6】双曲线的实际应用 16
1.理解双曲线的定义(重点)。
2.掌握双曲线的标准方程与几何性质(重难点)。
3.掌握双曲线离心率的求解(重点)。
【知识点1】双曲线的定义
双曲线的定义
(1)判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程．
(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系。
【例1】（2024秋 通州区期中）方程的化简结果为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据双曲线的定义可解．
【解答】解：根据题意可得，方程的几何意义为：
平面上一点到两定点（，0），（，0）的距离之差的绝对值为4，
则a＝2，c，则a2＝4，b2＝2，
则根据双曲线的定义可得标准方程为．
故选：A．
【例2】（2025春 五华区校级期中）已知F1，F2是平面内两个不同的定点，则“||MF1|﹣|MF2||为定值”是“动点M的轨迹是双曲线”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】直接利用双曲线的定义，直接判断，可得答案．
【解答】解：当||PF1|﹣|PF2||＜|F1F2|时，
动点M的轨迹才是双曲线，故充分性不成立；
“点P的轨迹是双曲线”，则必有F1，F2是平面内两个不同的定点，
且满足||PF1|﹣|PF2||为定值|，故必要性成立，
综上所述，“||MF1|﹣|MF2||为定值”是“动点M的轨迹是双曲线”的必要不充分条件．
故选：B．
【例3】（2025春 河南月考）双曲线上的点A到右焦点的距离为19，则它到左焦点的距离为（　　）
A．9 B．7 C．9或29 D．7或19
【答案】C
【分析】根据双曲线的定义来求解点A到左焦点的距离．
【解答】解：对于双曲线，可得a＝5．
设双曲线的左右焦点分别为F1，F2，
因为|AF2|＝19．
根据双曲线的定义||AF1|﹣|AF2||＝2a＝10，则有||AF1|﹣19|＝10．
可得|AF1|﹣19＝10或|AF1|﹣19＝﹣10．
当|AF1|﹣19＝10时，|AF1|＝10+19＝29；
当|AF1|﹣19＝﹣10时，AF1＝﹣10+19＝9．
所以点A到左焦点的距离为9或29．
故选：C．
【例4】（2024秋 驻马店期中）已知双曲线的左焦点为F，点P在双曲线C的右支上，M为线段FP的中点，若M到坐标原点的距离为6，则|PF|＝（　　）
A．6或18 B．18 C．8或20 D．22
【答案】B
【分析】根据中位线性质可得|PF′|＝2|OM|，利用双曲线的定义可得|PF|．
【解答】解：双曲线的左焦点为F，设双曲线的右焦点为F′，连接PF′．
由题意得a＝3，
∵M为线段FP的中点，O为线段FF′的中点，∴|PF′|＝2|OM|＝12，
由双曲线定义得|PF|﹣|PF′|＝2a＝6，故|PF|＝18．
故选：B．
【知识点2】双曲线的标准方程
1．双曲线的标准方程
标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0)
图形
2．双曲线标准方程的求解
(1)定位置：根据条件判定双曲线的焦点在x轴上还是在y轴上，不能确定时应分类讨论．
(2)设方程：根据焦点位置，设方程为－＝1或－＝1(a>0，b>0)，焦点不定时，亦可设为mx2＋ny2＝1(m·n<0)．
(3)寻关系：根据已知条件列出关于a、b(或m、n)的方程组．
(4)得方程：解方程组，将a、b、c(或m、n)的值代入所设方程即为所求
例1：
【例5】（2025 河北模拟）已知焦距为的双曲线的一条渐近线与直线x﹣3y+2＝0垂直，则该双曲线的方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据渐近线的斜率，以及双曲线方程的性质，即可求解．
【解答】解：因为焦距为的双曲线的一条渐近线与直线x﹣3y+2＝0垂直，
所以，且，a2+b2＝c2，解得a2＝4，b2＝36，
所以双曲线方程．
故选：C．
【例6】（2025春 昌江区校级期末）若双曲线C1与双曲线C2：有相同渐近线，且C1过点（2，3），则双曲线C1的标准方程为（　　）
A．
B．
C．或
D．或
【答案】B
【分析】根据共渐近线的双曲线方程为.代入点的坐标即可求解．
【解答】解：根据题意可知，C1和C2有相同的渐近线，
所以设双曲线C1的方程为，
将（2，3）代入得，
所以双曲线C1的方程为．
故选：B．
【例7】（2025春 云南月考）已知双曲线C的左、右焦点分别为F1（﹣5，0），F2（5，0），点P是双曲线C上的点，且|PF1|＝12，|PF2|＝10，则双曲线C的方程为　　　　．
【答案】．
【分析】根据双曲线的定义和性质，通过已知条件建立方程组求出双曲线方程中的参数a、b的值，进而得到双曲线方程．
【解答】解：由题意设双曲线C的方程为，
则，得a＝1，∴b2＝c2﹣a2＝24，
得双曲线C的方程为．
故答案为：．
【例8】（2024秋 柳州期末）求适合下列条件的双曲线的标准方程．
（1）焦点在x轴上，实轴长为2，其离心率e＝2；
（2）渐近线方程为，经过点P（2，2）．
【答案】（1）x21．
（2）1．
【分析】（1）设双曲线的标准方程为1（a＞0，b＞0），由已知2a＝2，e＝2，由此能求出双曲线的标准方程．
（2）由渐近线方程可设双曲线的方程为y2x2＝m（m≠0），代入点（2，2），解方程可得m，进而得到双曲线的标准方程．
【解答】解：（1）设双曲线的标准方程为1（a＞0，b＞0），
由已知2a＝2，e＝2，可得a＝1，c＝2，b2＝3，
所以双曲线的标准方程为x21．
（2）由渐近线方程是，
可设双曲线的方程为y2x2＝m（m≠0），
将（2，2）代入上式，可得44＝m，即m＝3，
则双曲线的标准方程为1．
【知识点3】双曲线的几何性质
双曲线的几何性质
标准方程 －＝1(a>0,b>0) －＝1(a>0,b>0)
图形
性质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a
对称性 对称轴：坐标轴　对称中心：原点
顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0,－a)，A2(0,a)
渐近线 y＝±x y＝±x
离心率 e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝
实虚轴 线段A1A2叫作双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a； 线段B1B2叫作双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b； a为双曲线的实半轴长，b为双曲线的虚半轴长．
a、b、c的关系 c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)
例1：
【例9】（2025春 保山期末）双曲线的焦点到其渐近线的距离为（　　）
A． B．1 C．3 D．9
【答案】C
【分析】求出双曲线的渐近线方程，利用点到直线距离公式进行求解．
【解答】解：双曲线的渐近线方程为x±3y＝0，焦点，
焦点到渐近线的距．
故选：C．
【例10】（多选）（2024秋 山西期末）已知双曲线，则（　　）
A．双曲线E的实轴长为8
B．双曲线E的虚轴长为3
C．双曲线E的离心率为
D．双曲线E的渐近线的斜率为
【答案】AD
【分析】由曲线方程得到a，b，c，从而知道曲线的实轴、虚轴长和离心率及渐近线的斜率．
【解答】解：由，双曲线的实轴在x轴，可得a＝4，b＝3，∴，∴实轴2a＝8，虚轴2b＝6，故A选项正确，B选项错误；
离心率，故C选项错误；
渐近线方程，则斜率为，故D选项正确．
故选：AD．
【例11】（2025春 黄浦区校级期末）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为2x+y＝0，且C的实轴长为4，则C的方程为　　　　．
【答案】1．
【分析】根据双曲线的渐近线方程以及实轴长可得a，b，从而可得双曲线的方程．
【解答】解：由已知得，2，2a＝4，所以a＝2，b＝4，
所以双曲线的方程为1．
故答案为：1．
【例12】（2025春 桃城区月考）双曲线的实轴长与焦距之积为　　　　．
【答案】．
【分析】根据双曲线的方程求出a2，b2，从而由求出c，进而可求出实轴长2a与焦距2c之积．
【解答】解：由知双曲线的焦点在y轴上，且a2＝8，b2＝2，
所以双曲线的焦距为2c，
所以双曲线实轴长与焦距之积为．
故答案为：．
【知识点4】双曲线的离心率
双曲线的离心率
(1)离心率e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝．
(2)等轴双曲线 离心率e＝ 两条渐近线y＝±x相互垂直．
(3)求双曲线离心率的取值范围，关键是根据题目条件得到不等关系，并想办法转化为关于a，b，c的不等关 系，结合c2＝a2＋b2和＝e得到关于e的不等式，然后求解．在建立不等式求e时，经常用到的结论：双曲线上一点到相应焦点距离的最小值为c－a.双曲线的离心率常以双曲线的渐近线为载体进行命题，注意二者参数之间的转化．
(4)渐近线的斜率也是一个比值，可类比离心率的求法解答．注意应用。
例1：
【例13】（2025春 广东期末）已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝3|PF2|，则双曲线的离心率e的最大值为（　　）
A．3 B．2 C． D．
【答案】B
【分析】利用双曲线的定义和性质即可求解．
【解答】解：根据题意可知，点P在双曲线的右支上，
由双曲线的定义可得，|PF1|﹣|PF2|＝2a，|PF2|≥c﹣a，
又|PF1|＝3|PF2|，故|PF2|＝a，
则a≥c﹣a，即双曲线的离心率．
故选：B．
【例14】（2025春 石家庄月考）已知双曲线的一条渐近线与圆相交于A，B两点，且|AB|＝8，则双曲线C的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据直线和圆的位置关系求出点到直线距离，结合点到渐近线的距离求出，最后求出离心率即可．
【解答】解：易知圆E的半径r＝5，
又|AB|＝8，所以圆心E到C的渐近线的距离为，
设双曲线的一条渐近线方程为，此时，所以，
则双曲线C的离心率e．
故选：D．
【例15】（多选）（2025春 安康期末）已知双曲线的一条渐近线为ax+y＝0．将C1的实轴，虚轴长度均变为原先的，记得到的双曲线为C2，则（　　）
A．
B．C1的离心率为
C．C2的一条渐近线为y＝x
D．C2的焦点到渐近线的距离为C1的
【答案】BCD
【分析】根据双曲线C1渐近线可求出a的值，再根据题中描述的变化，可求出双曲线C2．
【解答】解：对于A，且根据双曲线性质可得：的渐近线为，因为双曲线的一条渐近线为ax+y＝0，所以其一条渐近线ax+y＝0等价于y＝﹣ax，因为a＞0，故，得到a2＝1，解得a＝1，故A错误；
对于B，将a＝1代入C1方程，得到，所以C1的离心率为，故B正确；
对于C，将C1的实轴，虚轴长度均变为原先的，则1，其渐近线为，所以C2的一条渐近线为y＝x，故C正确；
对于D，对于双曲线（m，n＞0），焦点（c，0）到渐近线nx﹣my＝0的距离为，其中n即为半虚轴长，由于C2的虚轴长为C1的，故C2的焦点到渐近线的距离为C1的，故D正确．
故选：BCD．
【例16】（2025春 3月份月考）已知双曲线的左顶点为A，右焦点为F，动点B在双曲线C上．当BF⊥AF时，|AF|＝|BF|．
（1）求C的离心率；
（2）已知a＝1，M，N两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、四象限．若，求△MON的面积．
【答案】（1）2；
（2）．
【分析】（1）由题意，得到2a＝c，代入离心率公式中即可求解；
（2）结合（1）中信息得到双曲线C的方程，设出M，N两点的坐标，根据向量的坐标运算求出点B的坐标，代入双曲线方程中求出mn，利用三角形面积公式再求解即可．
【解答】解：（1）当BF⊥AF时，|AF|＝|BF|时，，
整理得a＝c﹣a，即2a＝c，
所以双曲线C的离心率；
（2）因为a＝1，由（1）知c＝2，，
所以双曲线C的方程为，渐近线方程分别为，
设，（m＞0，n＞0），
因为，解得，
因为点B在双曲线C上，所以，解得，
因为∠MON＝120°，|MO|＝2m，|NO|＝2n．
所以．
【知识点5】直线与双曲线
直线与双曲线
(1)研究直线与双曲线位置关系问题的通法：将直线方程代入双曲线方程，消元，得关于x或y的一元二次方程．当二次项系数等于0时，直线与双曲线相交于某支上一点，这时直线平行于一条渐近线；当二次项系数不等于0时，用判别式Δ来判定．
(2)用“点差法”可以解决弦中点和弦斜率的关系问题，但需要检验．
(3)弦长公式：设直线与双曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，直线的斜率为k，则|AB|＝|x1－x2|
例1：
【例17】（2024秋 宿迁校级期末）已知双曲线与有相同的渐近线，且经过点．
（1）求双曲线C的方程；
（2）已知直线x﹣y+m＝0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段A，B的中点在圆x2+y2＝20上，求实数m的值．
【答案】(1)x21．
(2)m＝±2．
【分析】(1)根据共渐近线设双曲线的方程，然后代入点(,)计算，即可得出答案．
(2)联立直线与双曲线的方程，得关于x的一元二次方程，写出韦达定理，然后表示出AB的中点坐标，代入圆的方程，计算即可得出答案．
【解答】解：（1）设双曲线C的方程为λ,
代入M(,),得λ,解得λ,
所以双曲线的方程为x21．
(2)由,得x2﹣2mx﹣m2﹣2＝0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则AB中点坐标为(,),
由韦达定理得x1+x2＝2m,所以y1+y2＝(x1+x2)+2m＝4m,
所以AB中点坐标为(m,2m),
因为点(m,2m)在圆x2+y2＝20上，所以m2+(2m)2＝20,
解得m＝±2．
【例18】（2025 平果市校级开学）已知双曲线C的方程为，实轴长和离心率均为2．
（1）求双曲线C的标准方程及其渐近线方程；
（2）过E（0，2）且倾斜角为45°的直线l与双曲线C交于M，N两点，求的值（O为坐标原点）．
【答案】（1），；
（2）1．
【分析】（1）根据离心率以及实轴长即可求解a，b，c，即可求解方程，
（2）联立直线与双曲线方程得韦达定理，即可根据数量积的坐标运算求解．
【解答】解：（1）因为双曲线C的实轴长和离心率均为2，
所以，解得a2＝1，b2＝3，
则双曲线的标准方程为；渐近线方程为，
（2）因为直线l的倾斜角为45°，且过点E（0，2），
所以设直线l的方程为y＝x+2，M（x1，y1），N（x2，y2），
联立，消去y并整理得2x2﹣4x﹣7＝0，
由韦达定理得．
所以．
【例19】（2024秋 湖北期末）抛掷一枚质地均匀的骰子两次，将两次得到的点数分别记为a，b．
（1）求a+b是奇数的概率；
（2）求直线ax﹣by＝0与双曲线x2﹣y2＝1有公共点的概率．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）由题意，记“a+b是奇数”为事件A，列举法求出样本空间总的基本事件数和A事件，即可求解；
（2）设“直线ax﹣by＝0与双曲线x2﹣y2＝1有公共点”为事件B，要使直线ax﹣by＝0与双曲线x2﹣y2＝1有公共点，则a＜b，列举法求出B事件的基本事件数，利用古典概型概率公式即可求得．
【解答】解：（1）易知总的事件的个数为6×6＝36，
记“a+b是奇数”为事件A，
此时事件A包含的基本事件有（1，2），（1，4），（1，6），（2，1），（2，3），
（2，5），（3，2），（3，4），（3，6），（4，1），（4，3），（4，5），
（5，2），（5，4），（5，6），（6，1），（6，3），（6，5），共18个，
所以；
（2）设“直线ax﹣by＝0与双曲线x2﹣y2＝1有公共点”为事件B，
因为双曲线x2﹣y2＝1的渐近线为y＝±x，
要使直线ax﹣by＝0与双曲线x2﹣y2＝1有公共点，
此时，即a＜b，
则事件B包含的基本事件有（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），
（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），
（3，6），（4，5），（4，6），（5，6）共15个．
故．
【例20】（2025春 红河州期末）已知双曲线C：的左焦点为F，C的一条渐近线方程为2x+y＝0，其顶点到渐近线的距离为2．
（1）求C的方程；
（2）过F的直线l与C交于A，B两点，O为坐标原点．若△OAB的面积为，求直线l的方程．
【答案】（1）；（2）x+y+5＝0或x﹣y+5＝0．
【分析】（1）根据焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程以及顶点坐标和点到直线的距离公式列出方程组，解方程组后代入双曲线标准方程即可；
（2）设出直线，联立直线和双曲线的方程，根据弦长公式得到三角形的底，再根据点到直线的距离公式得到三角形的高，列出关于面积的方程，求解后代入直线即可．
【解答】解：（1）因为双曲线C：的一条渐近线方程为2x+y＝0，其顶点到渐近线的距离为2．
所以，解得，
所以双曲线C的方程为．
（2）由题知F（﹣5，0），且直线l的斜率不为0，
设直线l的方程为x＝my﹣5，A（x1，y1），B（x2，y2），
联立方程，消x得（4m2﹣1）y2﹣40my+80＝0（4m2﹣1≠0），
Δ＝1600m2﹣4×80×（4m2﹣1）＝320（m2+1）＞0，
所以，，
设O到l的距离为d，则，
，
所以，解得m＝±1，
所以直线l的方程为x+y+5＝0或x﹣y+5＝0．
【知识点6】双曲线的实际应用
双曲线的实际应用
(1)解答实际应用问题时，要注意先将实际问题数学化，条件中有两定点，某点与这两定点的距离存在某种联系．
(2)解题时先画出图形，分析其关系，看是否与椭圆、双曲线的定义有关，再确定解题思路、步骤
例1：
【例21】（2025 河南模拟）如图，这是古代的一个青花竹石芭蕉纹玉壶春瓶，忽略花瓶的厚度，该花瓶的轴截面的上半部分对应的曲线是双曲线（焦距为12.3cm）的一部分，且该花瓶的颈部最窄处的直径为4.1cm，则该双曲线的离心率为（　　）
A．4 B． C．3 D．2
【答案】C
【分析】由题意可得双曲线的焦距与实轴长，进一步求出半焦距与实半轴长，则答案可求．
【解答】解：设双曲线的焦距为2c（cm），实轴长为2a（cm）．
由题意得：2c＝12.3，2a＝4.1，即c＝6.15，a＝2.05，
则e．
故选：C．
【例22】（2025 山东模拟）某建筑设计师设计了一个焦点在y轴上的双曲线型拱门，该双曲线的渐近线方程为y，将该拱门在平面xOy（O为坐标原点）内旋转θ（θ为锐角），则旋转后该拱门对应双曲线的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用双曲线的渐近线方程，推出a、b关系，然后求解离心率即可．
【解答】解：焦点在y轴上的双曲线型拱门，
该双曲线的渐近线方程为y，得，
旋转前的双曲线的离心率为：e．
旋转前后，双曲线的离心率不变，所以对应双曲线的离心率为．
故选：C．
【例23】（2025 渭南三模）如图，在圆锥SO中，AB为底面圆O的直径，过SB的中点M与SO平行作平面截圆锥，得到截面与圆锥侧面的交线是双曲线的一部分．若，则该双曲线的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设OB＝2m（m＞0），该曲线与圆锥的底面圆交于点H、P，取OB的中点Q，过S作SN∥AB，交直线MQ于点N，过点N作y轴∥HP，建立平面直角坐标系，设双曲线方程为，得到a及P点坐标，即可求出b，从而求出离心率．
【解答】解：如图，
设OB＝2m（m＞0），该曲线与圆锥的底面圆交于点H、P，
因为，所以SB＝SA＝AB＝4m，即△SAB为等边三角形，
又M为SB的中点，取OB的中点Q，过S作SN∥AB，交直线MQ于点N，过点N作y轴∥HP，
以直线QN为x轴，N为坐标原点，建立平面直角坐标系，
设双曲线方程为，
所以，又HP⊥OB，所以，
则点，所以，解得b＝m（负值舍去），
所以双曲线的离心率．
故选：C．
【例24】（2025 辽宁三模）在几何学中，单叶双曲面是双曲线通过绕其虚轴所在直线旋转而产生的曲面．它也可以由一条直线绕另一条直线（这两条直线互为异面直线，且不互相垂直）旋转而成，所以它也是一种双重直纹曲面．单叶双曲面拥有良好的稳定性和漂亮的外观，常常应用于一些大型的建筑结构，如发电厂的冷却塔、电视塔等．若异面直线l与m之间的距离为1，且l与m所成的角为30°，则直线m绕直线l旋转形成的单叶双曲面所对应的双曲线的离心率为　　　　．
【答案】2．
【分析】由题意可得a及双曲线的渐近线的倾斜角，进一步求解得答案．
【解答】解：由题意可知，双曲线的实半轴长a＝1，
因为l与m所成的角为30°，
所以双曲线的渐近线的倾斜角为60°，即，
又a2+b2＝c2，所以1+3＝c2，即c＝2．
可得双曲线的离心率为e．
故答案为：2．3.2 双曲线
【知识点1】双曲线的定义 1
【知识点2】双曲线的标准方程 2
【知识点3】双曲线的几何性质 4
【知识点4】双曲线的离心率 5
【知识点5】直线与双曲线 6
【知识点6】双曲线的实际应用 8
1.理解双曲线的定义(重点)。
2.掌握双曲线的标准方程与几何性质(重难点)。
3.掌握双曲线离心率的求解(重点)。
【知识点1】双曲线的定义
双曲线的定义
(1)判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程．
(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系。
【例1】（2024秋 通州区期中）方程的化简结果为（　　）
A． B．
C． D．
【例2】（2025春 五华区校级期中）已知F1，F2是平面内两个不同的定点，则“||MF1|﹣|MF2||为定值”是“动点M的轨迹是双曲线”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【例3】（2025春 河南月考）双曲线上的点A到右焦点的距离为19，则它到左焦点的距离为（　　）
A．9 B．7 C．9或29 D．7或19
【例4】（2024秋 驻马店期中）已知双曲线的左焦点为F，点P在双曲线C的右支上，M为线段FP的中点，若M到坐标原点的距离为6，则|PF|＝（　　）
A．6或18 B．18 C．8或20 D．22
【知识点2】双曲线的标准方程
1．双曲线的标准方程
标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0)
图形
2．双曲线标准方程的求解
(1)定位置：根据条件判定双曲线的焦点在x轴上还是在y轴上，不能确定时应分类讨论．
(2)设方程：根据焦点位置，设方程为－＝1或－＝1(a>0，b>0)，焦点不定时，亦可设为mx2＋ny2＝1(m·n<0)．
(3)寻关系：根据已知条件列出关于a、b(或m、n)的方程组．
(4)得方程：解方程组，将a、b、c(或m、n)的值代入所设方程即为所求
例1：
【例5】（2025 河北模拟）已知焦距为的双曲线的一条渐近线与直线x﹣3y+2＝0垂直，则该双曲线的方程为（　　）
A． B．
C． D．
【例6】（2025春 昌江区校级期末）若双曲线C1与双曲线C2：有相同渐近线，且C1过点（2，3），则双曲线C1的标准方程为（　　）
A．
B．
C．或
D．或
【例7】（2025春 云南月考）已知双曲线C的左、右焦点分别为F1（﹣5，0），F2（5，0），点P是双曲线C上的点，且|PF1|＝12，|PF2|＝10，则双曲线C的方程为　　　　．
【例8】（2024秋 柳州期末）求适合下列条件的双曲线的标准方程．
（1）焦点在x轴上，实轴长为2，其离心率e＝2；
（2）渐近线方程为，经过点P（2，2）．
【知识点3】双曲线的几何性质
双曲线的几何性质
标准方程 －＝1(a>0,b>0) －＝1(a>0,b>0)
图形
性质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a
对称性 对称轴：坐标轴　对称中心：原点
顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0,－a)，A2(0,a)
渐近线 y＝±x y＝±x
离心率 e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝
实虚轴 线段A1A2叫作双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a； 线段B1B2叫作双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b； a为双曲线的实半轴长，b为双曲线的虚半轴长．
a、b、c的关系 c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)
例1：
【例9】（2025春 保山期末）双曲线的焦点到其渐近线的距离为（　　）
A． B．1 C．3 D．9
【例10】（多选）（2024秋 山西期末）已知双曲线，则（　　）
A．双曲线E的实轴长为8
B．双曲线E的虚轴长为3
C．双曲线E的离心率为
D．双曲线E的渐近线的斜率为
【例11】（2025春 黄浦区校级期末）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为2x+y＝0，且C的实轴长为4，则C的方程为　　　　．
【例12】（2025春 桃城区月考）双曲线的实轴长与焦距之积为　　　　．
【知识点4】双曲线的离心率
双曲线的离心率
(1)离心率e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝．
(2)等轴双曲线 离心率e＝ 两条渐近线y＝±x相互垂直．
(3)求双曲线离心率的取值范围，关键是根据题目条件得到不等关系，并想办法转化为关于a，b，c的不等关 系，结合c2＝a2＋b2和＝e得到关于e的不等式，然后求解．在建立不等式求e时，经常用到的结论：双曲线上一点到相应焦点距离的最小值为c－a.双曲线的离心率常以双曲线的渐近线为载体进行命题，注意二者参数之间的转化．
(4)渐近线的斜率也是一个比值，可类比离心率的求法解答．注意应用。
例1：
【例13】（2025春 广东期末）已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝3|PF2|，则双曲线的离心率e的最大值为（　　）
A．3 B．2 C． D．
【例14】（2025春 石家庄月考）已知双曲线的一条渐近线与圆相交于A，B两点，且|AB|＝8，则双曲线C的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【例15】（多选）（2025春 安康期末）已知双曲线的一条渐近线为ax+y＝0．将C1的实轴，虚轴长度均变为原先的，记得到的双曲线为C2，则（　　）
A．
B．C1的离心率为
C．C2的一条渐近线为y＝x
D．C2的焦点到渐近线的距离为C1的
【例16】（2025春 3月份月考）已知双曲线的左顶点为A，右焦点为F，动点B在双曲线C上．当BF⊥AF时，|AF|＝|BF|．
（1）求C的离心率；
（2）已知a＝1，M，N两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、四象限．若，求△MON的面积．
【知识点5】直线与双曲线
直线与双曲线
(1)研究直线与双曲线位置关系问题的通法：将直线方程代入双曲线方程，消元，得关于x或y的一元二次方程．当二次项系数等于0时，直线与双曲线相交于某支上一点，这时直线平行于一条渐近线；当二次项系数不等于0时，用判别式Δ来判定．
(2)用“点差法”可以解决弦中点和弦斜率的关系问题，但需要检验．
(3)弦长公式：设直线与双曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，直线的斜率为k，则|AB|＝|x1－x2|
例1：
【例17】（2024秋 宿迁校级期末）已知双曲线与有相同的渐近线，且经过点．
（1）求双曲线C的方程；
（2）已知直线x﹣y+m＝0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段A，B的中点在圆x2+y2＝20上，求实数m的值．
【例18】（2025 平果市校级开学）已知双曲线C的方程为，实轴长和离心率均为2．
（1）求双曲线C的标准方程及其渐近线方程；
（2）过E（0，2）且倾斜角为45°的直线l与双曲线C交于M，N两点，求的值（O为坐标原点）．
【例19】（2024秋 湖北期末）抛掷一枚质地均匀的骰子两次，将两次得到的点数分别记为a，b．
（1）求a+b是奇数的概率；
（2）求直线ax﹣by＝0与双曲线x2﹣y2＝1有公共点的概率．
【例20】（2025春 红河州期末）已知双曲线C：的左焦点为F，C的一条渐近线方程为2x+y＝0，其顶点到渐近线的距离为2．
（1）求C的方程；
（2）过F的直线l与C交于A，B两点，O为坐标原点．若△OAB的面积为，求直线l的方程．
【知识点6】双曲线的实际应用
双曲线的实际应用
(1)解答实际应用问题时，要注意先将实际问题数学化，条件中有两定点，某点与这两定点的距离存在某种联系．
(2)解题时先画出图形，分析其关系，看是否与椭圆、双曲线的定义有关，再确定解题思路、步骤
例1：
【例21】（2025 河南模拟）如图，这是古代的一个青花竹石芭蕉纹玉壶春瓶，忽略花瓶的厚度，该花瓶的轴截面的上半部分对应的曲线是双曲线（焦距为12.3cm）的一部分，且该花瓶的颈部最窄处的直径为4.1cm，则该双曲线的离心率为（　　）
A．4 B． C．3 D．2
【例22】（2025 山东模拟）某建筑设计师设计了一个焦点在y轴上的双曲线型拱门，该双曲线的渐近线方程为y，将该拱门在平面xOy（O为坐标原点）内旋转θ（θ为锐角），则旋转后该拱门对应双曲线的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【例23】（2025 渭南三模）如图，在圆锥SO中，AB为底面圆O的直径，过SB的中点M与SO平行作平面截圆锥，得到截面与圆锥侧面的交线是双曲线的一部分．若，则该双曲线的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【例24】（2025 辽宁三模）在几何学中，单叶双曲面是双曲线通过绕其虚轴所在直线旋转而产生的曲面．它也可以由一条直线绕另一条直线（这两条直线互为异面直线，且不互相垂直）旋转而成，所以它也是一种双重直纹曲面．单叶双曲面拥有良好的稳定性和漂亮的外观，常常应用于一些大型的建筑结构，如发电厂的冷却塔、电视塔等．若异面直线l与m之间的距离为1，且l与m所成的角为30°，则直线m绕直线l旋转形成的单叶双曲面所对应的双曲线的离心率为　　　　．

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