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3．1　不等式的基本性质
1. 理解不等式的概念，掌握不等式的基本性质．
2. 能运用不等式的基本性质比较两个数的大小．
3. 体会“作差比较法”在比较大小和证明不等式中的作用．
活动一 等式与不等式
我们知道，实数可分为正数、零和负数，任给一个实数，它只可能为正数、零和负数中的一种．那么，对于任意两个实数a，b，它们的差a－b也只可能为正数、零和负数中的一种．
当a－b为正数时，称a＞b；当a－b为零时，称a＝b；当a－b为负数时，称a＜b.
思考1
实数比较大小的依据与方法是什么？
实数比较大小的方法：
(1) 比较两个实数a与b的大小，需归结为判断它们的差a－b的符号(注意：指的是差的符号，至于差的值究竟是什么，无关紧要).
(2) 比较两个实数大小的步骤：作差→化简整理(配方、分解因式、分类讨论)→判断差的符号→得出结论．
注意：(1) 在比较两个代数式的大小时，一定要注意字母的取值范围；(2) 比较实数的大小经常用到分类讨论的方法，此处分类讨论的标准是：对于任意两个实数 a和b，在a＝b，a>b，a思考2
在小学和初中，我们知道等式有哪些基本性质？
思考3
不等式有哪些基本性质？
思考4
如何证明上述不等式的基本性质？
活动二 求解不等式
例1　求解不等式90－t≥80，并用不等式的性质说明理由．
解不等式20－x≤30，并用不等式的性质说明理由．
活动三 不等式的性质及应用
例2　已知a＞b，c＜d，求证：a－c＞b－d.
已知a＞b＞0，c＜0，求证：＞.
活动四　比较两个数(式)的大小　
例3　设a>b>0，比较与的大小．
已知实数a，b，c满足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则a，b，c的大小关系是(　　)
A. c≥b>a B. a>c≥b
C. c>b>a D. a>c>b
1. 利用作差法比较实数大小
方法链接：作差比较法比较两个实数大小，步骤可按如下四步进行，作差→变形→判断差的符号→得出结论．比较法的关键在于变形，变形过程中，常用的方法为因式分解法和配方法．
2. 利用作商法比较实数大小
方法链接：作商比较法比较两个实数的大小，依据如下：(1) 若a，b都是正数，则a>b >1；ab <1；a1；a＝b ＝1.
作商比较法的基本步骤为：①作商；②变形；③与 1比较大小；④得出结论．
活动五 实际应用
例4　已知b g糖水中有a g糖(b＞a＞0)，若再添加m g糖(m＞0)溶解在其中，则糖水变得更甜(即糖水中含糖浓度变大).试根据这个事实写出a，b，m所满足的不等关系，并给予证明．
某粮食收购站分两个等级收购小麦，一级小麦每千克a元，二级小麦每千克b元(b1. (2024上海洋泾中学期末)已知a，b，c∈R，则“a>b”是“ac2>bc2”的(　　)
A. 充要条件 B. 充分且不必要条件
C. 必要且不充分条件 D. 既不充分又不必要条件
2. (2024邵阳期中)若实数a，b，c满足a>b>0，c<0，则下列结论中正确的是(　　)
A. ac>bc B. > C. a＋c
3. (多选)(2024徐州期末)下列说法中，正确的是(　　)
A. 若<，则ab，c>d，则a＋c>b＋d
C. 若a>b，c>d，则ac>bd D. 若a>b>0，m>0，则>
4. (2024湘潭期中)已知25. 已知a>0, b>0, 比较＋与的大小．
3．1　不等式的基本性质
【活动方案】
思考1：a－b>0 a>b；a－b＝0 a＝b；a－b<0 a思考2：等式的基本性质：
(1) 若a＝b，则b＝a；
(2) 若a＝b且b＝c，则a＝c；
(3) 若a＝b，则a±c＝b±c；
(4) 若a＝b，则ac＝bc，＝(c≠0).
思考3：性质1　若a＞b，则b＜a.
性质2　若a＞b，b＞c，则a＞c.
性质3　若a＞b，则a＋c＞b＋c.
性质4　若a＞b，c＞0，则ac＞bc；
若a＞b，c＜0，则ac＜bc.
性质5　若a＞b，c＞d，则a＋c＞b＋d.
性质6　若a＞b＞0，c＞d＞0，则ac＞bd.
思考4：性质1　若a＞b，则b＜a.
证明：因为a＞b，所以a－b＞0.又因为正数的相反数是负数，所以－(a－b)＜0，即b－a＜0，所以b＜a.
性质2　若a＞b，b＞c，则a＞c.
证明：因为a＞b，b＞c，所以a－b＞0，b－c＞0.由两个正数的和是正数，得(a－b)＋(b－c)＞0，即a－c＞0，所以a＞c.
性质3　若a＞b，则a＋c＞b＋c.
证明：因为a＞b，所以a－b＞0.又因为(a＋c)－(b＋c)＝a－b，所以(a＋c)－(b＋c)＞0，故a＋c＞b＋c.
性质4　若a＞b，c＞0，则ac＞bc；若a＞b，c＜0，则ac＜bc.
证明：ac－bc＝(a－b)c.因为a＞b，所以a－b＞0，所以当c＞0时，(a－b)c＞0，从而 ac＞bc；当c＜0时，(a－b)c＜0，从而 ac＜bc.
性质5　若a＞b，c＞d，则a＋c＞b＋d.
证明：由a＞b和性质3，得a＋c＞b＋c.又由c＞d和性质3，得b＋c＞b＋d，于是，由性质2，得a＋c＞b＋d.
性质6　若a＞b＞0，c＞d＞0，则ac＞bd.
证明：因为a＞b＞0，c＞0，由性质4，得ac＞bc.因为c＞d＞0，b＞0，由性质4，得bc＞bd.由性质2，得ac＞bd.
例1　不等式90－t≥80两边同乘以3，得270－10t≥240.(不等式性质4)
两边同加上－270，得－10t≥240－270，(不等式性质3)
即－10t≥－30.
两边同乘以－，得t≤3.(不等式性质4)
跟踪训练　不等式20－x≤30两边同乘以2，得40－5x≤60.(不等式性质4)
两边同时加上－40，得－5x≤20.(不等式性质3)
两边同乘以－，得x≥－4.(不等式性质4)
例2　方法一：由a＞b，得a－b＞0；
由c＜d，得d－c＞0.
因为(a－c)－(b－d)＝(a－b)＋(d－c)＞0，
所以a－c＞b－d.
方法二：因为c＜d，所以－c＞－d.
又因为a＞b，所以a＋(－c)＞b＋(－d)，
即a－c＞b－d.
跟踪训练　因为a＞b＞0，两边同乘以正数，得＞，即＜.又因为c＜0，所以＞.
例3　因为a>b>0，所以>0，>0.又＝＝＝1＋>1，所以>.
跟踪训练　A　因为c－b＝4－4a＋a2＝(a－2)2≥0，所以c≥b.又b＋c＝6－4a＋3a2，所以2b＝2＋2a2，所以b＝a2＋1，所以b－a＝a2－a＋1＝＋>0，所以b>a，所以c≥b>a.
例4　＜ (b＞a＞0，且m＞0)，证明如下：
因为－＝
＝＝＝.
由于b＞a＞0，且m＞0，所以a－b＜0，b＋m＞0，
所以<0，所以＜.
跟踪训练　分级收购时，粮站支出(ma＋nb)元，
按平均价格收购时，粮站支出元．
因为(ma＋nb)－＝(a－b)(m－n)，且b所以当m>n时，粮食收购站占便宜；当m＝n时，一样；当m【检测反馈】
1. C　因为a，b，c∈R，当c＝0时，ac2＝bc2，即a>b不能推出ac2>bc2；若ac2>bc2，则c2>0，由不等式的基本性质可得a>b，即ac2>bc2能推出a>b，所以“a>b”是“ac2>bc2”的必要且不充分条件．
2. D　对于A, 因为a>b>0，c<0，所以acb>0，c<0，所以<，故B错误；对于C，因为a>b>0，所以a＋c>b＋c，故C错误；对于D，因为a>b>0，所以0<<，又c<0，所以>，故D正确．
3. ABD　对于A，由<，得c≠0，所以·c2<·c2，即ab，c>d，得a＋c>b＋d，故B正确；对于C，若a＝0，b＝－1，c＝0，d＝－2，显然a>b，c>d成立，但是ac>bd不成立，故C错误；对于D，因为a>b>0，m>0，所以－＝＝>0，即>，故 D正确．故选ABD.
4. (5，8)　由25. 方法一(作差法)：
－＝＝，
因为a>0，b>0，所以>0，
所以＋>.
方法二(作商法)：
因为a>0，b>0，所以＋与同为正数，
所以＝，
所以－1＝>0，即>1，
所以＋>.
方法三(综合法)：
因为a>0，b>0，所以a＋b>0，
所以(a＋b)＝＋＝2＋＋>1，
所以＋>.