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3.2.1　基本不等式的证明
1. 探索并了解基本不等式及其证明过程．
2. 体会证明不等式的基本思想方法．
活动一 探究基本不等式
问题　天平称物体：把一个物体放在天平的一个盘子上，在另一个盘子上放砝码使天平平衡，称得物体的质量为a.如果天平制造得不精确，天平的两臂长略有不同(其他因素不计)，那么a并非物体的实际质量．不过，我们可做第二次测量：把物体调换到天平的另一个盘子上，此时称得物体的质量为b，那么如何合理地表示物体的质量呢？有人说取平均数，即表示物体质量．这样做合理吗？
思考1
两个正数a，b的算术平均数和几何平均数之间具有怎样的大小关系？
思考2
当a＞0，b＞0时，你能作出长度为和的两条线段吗？如果能，比较这两条线段的长．
思考3
你能得出不等式≤的几何解释吗？
思考4
你能证明两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数，当且仅当两个正数相等时，两者相等吗？
如果a，b是正数，那么≤(当且仅当a＝b时，等号成立).
我们把不等式≤(a，b≥0) 称为基本不等式．
思考5
当a，b∈R时，由(a－b)2≥0可得哪些常用不等式？
活动二　掌握基本不等式的简单应用　
例1　当a，b∈R时，下列不等关系成立的是(　　)
A. a＋b≥2
B. a－b≥2
C. a2＋b2≥2ab
D. a2－b2≥2ab
不等式a2＋1≥2a中等号成立的条件是(　　)
A. a＝±1 B. a＝1
C. a＝－1 D. a＝0
应用基本不等式时的注意点：
一正：两项必须都是正数；二定：求两项和的最小值，它们的积应为定值，求两项积的最大值，它们的和应为定值；三相等：等号成立的条件必须存在．
活动三　利用基本不等式证明不等式　
例2　设a，b为正数，证明下列不等式成立：
(1) ＋≥2；
(2) a＋b＋＋≥4.
证明下列不等式成立：
(1) ＋≤－2(a，b异号);
(2) a＋＋1≥3(a＞0).
活动四 利用基本不等式求最值
例3　设y＝x＋(x>0)，求y的最小值．
设y＝4x＋(x>0)，求y的最小值．
活动五 利用基本不等式比较大小
例4　已知a，b为正数，比较，，，的大小．
如果0＜a＜b＜1，P＝，Q＝，M＝，那么P，Q，M的大小关系是(　　)
A. P＞Q＞M B. M＞P＞Q C. Q＞M＞P D. M＞Q＞P
1. (2024长春实验中学期中)已知a>b>0，p：x<，q：x<，则p是q的(　　)
A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件
C. 既不充分又不必要条件 D. 充要条件
2. 下列不等式中，正确的是(　　)
A. a＋≥4 B. a2＋b2≥4ab C. ≤ D. x2＋≥2
3. (多选)若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中恒成立的是(　　)
A. a2＋b2≥2ab B. a＋b≥2 C. ＋> D. ＋≥2
4. (2024怀化期中)若x>1，则x＋的最小值是________．
5. (2024南昌豫章中学月考)已知a，b，c，d∈R.求证：(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2.
3.2.1　基本不等式的证明
【活动方案】
问题：设天平的两臂长分别为l1，l2，物体实际质量为M，根据力学原理有l1M＝l2a，l2M＝l1b.将上述两个等式的两边分别相乘再除以l1l2，可以得到M＝.由此可知，物体的实际质量是.对于正数a，b，我们把称为a，b的算术平均数，称为a，b的几何平均数．
思考1：≤ (a＞0，b＞0)
思考2：如图，AB是⊙O的直径，AC＝a，CB＝b，过点C作CD⊥AB交⊙O的半圆于点D，连接AD，BD，易知△ACD∽△DCB，故＝，得CD＝.而OD＝，且CD≤OD，所以≤，当且仅当点C与点O重合，即a＝b时，等号成立．
思考3：半弦不大于半径．
思考4：方法一：对于正数a，b，有
－＝(a＋b－2)＝[()2＋()2－2]＝(－)2.
因为(－)2≥0，所以－≥0，
即≤，
当且仅当＝，即a＝b时，等号成立．
方法二：对于正数a，b，要证≤，
只要证2≤a＋b，只要证0≤a－2＋b，
只要证0≤(－)2.
因为最后一个不等式成立，所以≤成立，当且仅当a＝b时，等号成立．
方法三：对于正数a，b，有(－)2≥0，
所以a＋b－2≥0，所以a＋b≥2，
所以≥，
当且仅当a＝b时，等号成立．
思考5：当a，b∈R时，
ab≤(当且仅当a＝b时，等号成立)；
ab≤(当且仅当a＝b时，等号成立).
例1　C　根据≥ab，≥成立的条件判断，知A，B，D错误，只有C正确．
跟踪训练　B　当a2＋1＝2a，即(a－1)2＝0，即a＝1时，等号成立．
例2　(1) 因为a，b为正数，所以，也为正数．由基本不等式，得＋≥2＝2，当且仅当＝，即a＝b时，取得等号，所以原不等式成立．
(2) 因为a，b为正数，所以，也为正数．由基本不等式，得a＋≥2＝2，b＋≥2＝2，所以a＋b＋＋≥4，当且仅当a＝，b＝，即a＝b＝1时，取得等号，所以原不等式成立．
跟踪训练　(1) 因为a，b异号，所以－，－为正数．由基本不等式，得＋≥2＝2，当且仅当＝，即a＝－b时，取得等号，所以＋≥2，所以＋≤－2.
(2) 因为a为正数，所以也为正数．由基本不等式，得a＋≥2＝2，所以a＋＋1≥3，当且仅当a＝，即a＝1时，取得等号，所以原不等式成立．
例3　因为x>0，所以y＝x＋≥2＝2，当且仅当x＝，即x＝1时，取得等号，故当x＝1时，y的最小值为2.
跟踪训练　因为x>0，所以y＝4x＋≥2＝12，当且仅当4x＝，即x＝时，取得等号，故当x＝时，y的最小值为12.
例4　因为a，b为正数，所以≥.
因为a2＋b2≥2ab，所以＝≥＝，所以≥.
因为＝，()2－＝ab－＝≥0，
所以≥，即≤，
所以≤≤≤ ，当且仅当a＝b时，等号成立．
跟踪训练　B　因为0>，即M>P>Q.
【检测反馈】
1. B　由a>b>0，得<，则q能推出p；令a＝8，b＝2，x＝，则＝5，＝4，显然x<成立，而x>，所以p成立，q不一定成立，所以p是q的必要且不充分条件．
2. D　对于A，当a<0时，a＋≥4不成立，故A错误；对于B，令a＝b＝1，则a2＋b2<4ab，故B错误；对于C，当a＝4，b＝16时，<，故C错误；对于D，＋x2≥2，当且仅当＝x2，即x＝±4时，等号成立，故D正确．
3. AD　对于A，对任意a，b∈R，不等式a2＋b2≥2ab恒成立，故A正确；对于B，当a<0，b<0时，a＋b<0，而2>0，不等式不成立，故B错误；对于C，当a<0，b<0时，＋<0，而>0，不等式不成立，故C错误；对于D，由a，b∈R，且ab>0，得>0，>0，则＋≥2＝2，当且仅当a＝b时，取等号，故D正确．故选AD.
4. 5　因为x>1，所以x＋＝x－1＋＋1≥2＋1＝5，当且仅当x－1＝，即x＝3时，取等号．故x＋的最小值为5.
5. 因为(a2＋b2)(c2＋d2)－(ac＋bd)2＝a2d2＋b2c2－2acbd≥2acbd－2acbd＝0，当且仅当ad＝bc时，取等号，所以(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2.

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