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4.1.1　根　　式
1. 理解n次方根的概念及其性质.
2. 理解根式的概念及其性质.
活动一 n次方根
我们在初中学方根、立方根，那么有没有四次方根、五次方根，…，n次方根呢？答案是肯定的，这就是本节我们要研究的问题：指数与指数幂的运算．
思考1
某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，4个分裂成8个，…，如果分裂一次需要 10 min，那么1个细胞1 h后分裂成多少个细胞？
思考2
正整数指数幂的意义是什么？
思考3
什么是平方根？什么是立方根？一个数的平方根有几个？立方根呢？
思考4
类比a的平方根及立方根的定义，如何定义a的 n次方根？
思考5
类比平方根、立方根，猜想：当n为奇数时，一个数的n次方根有多少个？当n为偶数时呢？
活动二　根式　
思考6
什么是根式？
思考7
根式中的被开方数的范围是怎样的？
例1　求下列各式的值：
(1) ()2；
(2) ()3；
(3) ；
(4) .
思考8
观察下列各式：
＝2，＝2＝|－2|；
＝2，＝2＝|－2|；
＝2，＝2＝|－2|；
＝3，＝－3；
＝3，＝－3；
……
你能发现什么？
求下列各式的值：
(1) ；
(2) ；
(3) (a≤3).
活动三 利用根式的性质化简或求值
例2　化简：()2＋＋＝________．
在根式运算中，经常会遇到开方与乘方并存的情况，应注意两者运算顺序是否可换，如对当且仅当a≥0时，恒有＝()n，若a<0，则不一定．
已知x＝，y＝，求－的值．
活动四 有限制条件的根式的化简
例3　设－3此类问题的解答首先应去根号，这就要求将被开方部分化为完全平方的形式，结合根式性质求解．
当有意义时，化简－.　
1. (n∈N，n≥2)等于(　　)
A. 3－π B. π－3
C. |3－π| D. 当n为奇数时，3－π；当n为偶数时，π－3
2. 若x≠0，则|x|－＋的值为(　　)
A. －1 B. 0 C. 1 D. 2
3. (多选)下列运算结果等于2的是(　　)
A. B. C. － D.
4. (2024宿迁月考)若n5. 写出使下列各式成立的实数x的取值范围．
(1) ＝；
(2) ＝(5－x).
4.1.1　根　　式
【活动方案】
思考1：因为1 h＝60 min，所以26＝64，即1个细胞1 h后分裂成64个细胞．
思考2：an(n∈N*)的意义为
an＝
思考3：如果x2＝a，那么x称为a的平方根．如果x3＝a，那么x称为a的立方根．根据平方根、立方根的定义，可知正实数的平方根有两个，它们互为相反数，如4的平方根为±2，负数没有平方根；一个数的立方根只有一个，如－8的立方根为－2，0的平方根、立方根均为0.
思考4：一般地，如果一个实数x满足xn＝a(其中n>1，且n∈N*)，那么称x为a的n次方根．
思考5：当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，此时a的n次方根只有一个，记为x＝；
当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数，这时，正数a的正的n次方根用符号表示，负的n次方根用符号－表示，它们可以合并写成±(a>0)的形式；
0的n次方根等于0(无论n为奇数，还是为偶数).
思考6：式子叫作根式，其中n叫作根指数，a叫作被开方数．
思考7：在根式中，当n为奇数时，a∈R；
当n为偶数时，a≥0.
例1　(1) ()2＝5.
(2) ()3＝－2.
(3) ＝＝2.
(4) ＝＝π－3.
思考8：对于n∈N*，n＞1，
当n为奇数时，＝a；
当n为偶数时，＝|a|＝
跟踪训练　(1) ＝|－10|＝10.
(2) ＝|－2|＝2－.
(3) ＝a－3.
例2　a－1　由题意知a－1≥0，即a≥1，原式＝a－1＋|1－a|＋1－a＝a－1＋a－1＋1－a＝a－1.
跟踪训练　－＝－＝.
将x＝，y＝代入上式，得原式＝＝＝－8.　
例3　原式＝－＝|x－1|－|x＋3|.
因为－3原式＝－(x－1)－(x＋3)＝－2x－2；
当1≤x<3时，
原式＝(x－1)－(x＋3)＝－4，
所以原式＝
跟踪训练　因为有意义，所以2－x≥0，即x≤2，所以－＝－＝2－x－(3－x)＝2－x－3＋x＝－1.　
【检测反馈】
1. D　当n为奇数时，＝3－π；当n为偶数时，＝|3－π|＝π－3.
2. C　因为x≠0，所以|x|－＋＝|x|－|x|＋＝1.
3. BCD　对于A，＝|π－4|＝4－π，故A错误；对于B，＝2，故B正确；对于C，－＝－(－2)＝2，故C正确；对于D，＝|－2|＝2，故D正确．故选BCD.
4. －2m　因为－＝－＝|m＋n|－|m－n|，又n0，所以－＝－(m＋n)－(m－n)＝－2m.
5. (1) 由题意，得x－3≠0，即x≠3，
故实数x的取值范围是(－∞，3)∪(3，＋∞).
(2) 因为＝＝(5－x)·，
所以解得－5≤x≤5，
所以实数x的取值范围是[－5，5].

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