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4.2.1　对数的概念
1. 理解指数式和对数式之间的关系.
2. 理解对数的概念，熟练掌握指数式和对数式的互化.
3. 了解自然对数和常用对数的概念以及对数恒等式.
4. 在对数概念的形成过程中，感受化归与转化的思想，感受数学抽象的魅力．
活动一 对数、常用对数与自然对数的概念
对数，延长了天文学家的生命. “给我空间、时间和对数，我可以创造一个宇宙”，这是 16世纪意大利著名学者伽利略的一段话. 从这段话可以看出，伽利略把对数与最宝贵的空间和时间相提并论．那么，“对数”到底是什么呢？本节就来探讨这个问题．
思考1???
某种细胞分裂时，1个分裂成2个，2个分裂成4个，…，依次类推，那么1个这样的细胞分裂x次得到的细胞个数y是多少？分裂多少次细胞个数为8，16呢？
思考2???
若知道了分裂后相应的细胞数y，能求出分裂的次数x吗？
思考3???
庄子：一尺之棰，日取其半，万世不竭．
如果取4次还有多长？取多少次，还有0.125尺？
思考4???
像思考2和思考3中，已知底数和幂的值求指数，就是我们要学习的对数．那么你能给对数下一个定义吗？
活动二　指数式与对数式的互化　
思考5???
在指数式和对数式中都含有a，b，N这三个量，那么这三个量在两个式中各有什么异同点？
例1　将下列指数式改写成对数式：
(1) 24＝16；　　　　(2) 3-3＝；
(3) 5a＝20; (4) ＝0.45.
例2　将下列对数式改写成指数式：
(1) log5125＝3; (2) false3＝－2；
(3) log10a＝－1.699.

1. 掌握指数式与对数式的关系，即ab＝N?b＝logaN.
2. 对数的定义是对数式和指数式互化的依据，在互化过程中应注意各自的位置及表示方式．
将下列指数式与对数式互化：
(1) 2-2＝； (2) 102＝100；
(3) ea＝16; (4) 64－false＝；
(5) log381＝4; (6) logxy＝z.
活动三　利用对数定义求值　
例3　求下列各式的值：
(1) log264；
(2) log927.
求下列各式的值：
(1) log101 000；
(2) log99；
(3) log4128；
(4) log41.
活动四　常用对数与自然对数　
思考6???
在科学计算器上，有两个特殊符号“log”“ln ”，你知道它们表示的含义吗？
例4　求下列各式中的x的值：
(1) log64x＝－；
(2) logx8＝6；
(3) lg 100＝x；
(4) －ln e2＝x.
求下列各式中的x的值：
(1) lg 0.01＝x；
(2) ln ＝x；
(3) 3＝lg x；
(4) ln (lg x)＝1.

要求对数的值，设对数为某一未知数，将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求解.
活动五　对数的基本性质　
思考7???
在对数式x＝logaN中，底数a和真数N的取值范围是什么，为什么？
思考8???
是不是所有的实数都有对数？为什么？
思考9???
根据对数的定义以及对数与指数的关系，你能求出loga1与logaa的值吗？
思考10???
已知a>0，a≠1，N＞0，b∈R.
(1) logaa2＝________，logaa5＝________，
logaa-3＝________，logaa＝________，
一般地，logaab＝________，你能证明这个结论吗？
(2) 你能推出对数恒等式alogaN＝N吗？
例5　求下列各式中x的值：
(1) false(log5x)＝0；
(2) log3(lg x)＝1；
(3) 81－log85＝x.
求下列各式中x的值：
(1) log2(log5x)＝0；
(2) 32＋log35＝x.
1. log3等于(　　)
A. 4 B. －4
C. D. －
2. (2024厦门期末)已知logx8＝2，则x等于(　　)
A. 2 B. 2 C. 3 D. 4
3. (多选)下列说法中，正确的是 (　　)
A. 零和负数没有对数
B. 若ab＝N(a>0且a≠1，N>0)，则alogaN＝N一定成立
C. 因为(－2)4＝16，所以log(－2)16＝4
D. lg (ln e)＝0
4. (2024上海大团高级中学期中)若对数式log3a(－2a＋1)有意义，则实数a的取值范围是________．
5. 将下列指数式与对数式互化：
(1) 53＝125；
(2) 4-2＝；
(3) false8＝－3；
(4) log3＝－3.
4.2.1　对数的概念
【活动方案】
思考1：y＝2x, 3次，4次．
思考2：能，该问题就是在y＝2x中，已知y，求x.
思考3：＝(尺)；设取x次，则＝0.125，解得x＝3，即取3次，还有0.125尺．
思考4：如果ab＝N(a>0，a≠1)，那么就称b是以a为底N的对数，记作logaN＝b.其中，a叫作对数的底数，N叫作真数．
思考5：ab＝N与b＝logaN两个等式所表示的是a，b，N这三个量之间的同一个关系．
例如：32＝9?log39＝2，log42＝?4false＝2.
例1　(1) log216＝4.
(2) log3＝－3.
(3) log520＝a.
(4) false0.45＝b.
例2　(1) 53＝125.
(2) ＝3.
(3) 10-1.699＝a.
跟踪训练　(1) log2＝－2.
(2) log10100＝2.
(3) loge16＝a.
(4) log64＝－.
(5) 34＝81.
(6) xz＝y.
例3　(1) 由26＝64，得log264＝6.
(2) 设 x＝log927，则根据对数的定义知9x＝27，
即32x＝33，得2x＝3，x＝，
所以log927＝.
跟踪训练　(1) 由103＝1 000，得log101 000＝3.
(2) 由91＝9，得log99＝1.
(3) 设 x＝log4128，则4x＝128，即22x＝27，
得2x＝7，x＝，所以log4128＝.
(4) 由40＝1，得log41＝0.
思考6：通常将以10为底的对数称为常用对数，如log102，log1012等．为了方便起见，对数log10N简记为lg N，如lg 2，lg 12等．
在科学技术中，常常使用以e为底的对数，这种对数称为自然对数．e＝2.718 28…是一个无理数．正数N的自然对数logeN一般简记为ln N，如loge2，loge15分别记为ln 2，ln 15等．
故在科学计算器上，符号“log”表示进行常用对数运算， “ln ” 表示进行自然对数运算．
例4　(1) x＝(64)－false＝(43)－false＝4-2＝.
(2) 因为x6＝8，所以x＝(x6)＝8＝(23)＝2＝.
(3) 因为10x＝100＝102，所以x＝2.
(4) 由－ln e2＝x，得－x＝ln e2，即e－x＝e2，所以x＝－2.　
跟踪训练　(1) 因为lg 0.01＝x，所以10x＝0.01＝10-2，所以x＝－2.
(2) 因为ln ＝x，所以ex＝＝e，所以x＝.
(3) x＝103＝1 000.
(4) 因为ln (lg x)＝1，所以lg x＝e，所以x＝10e.
思考7：由于对数式中的底数a就是指数式中的底数a，所以a>0，且a≠1；由于在指数式中ax＝N，又ax>0，所以N>0.
思考8：负数与零没有对数，因为在指数式中N>0，所以只有正数才有对数．
思考9：因为对任意a>0且a≠1，都有a0＝1，所以化成对数式为loga1＝0.
因为a1＝a，所以化成对数式为logaa＝1.
思考10：(1) 2　5　－3　
b，证明如下：
设logaab＝t，则根据对数的定义知at＝ab，得t＝b，所以logaab＝b.
(2) 令t＝logaN，t∈R，则at＝N，所以alogaN＝at＝N.
例5　(1) 因为false(log5x)＝0，所以log5x＝1，所以x＝5.
(2) 因为log3(lg x)＝1，所以lg x＝3，所以x＝103＝1 000.
(3) 81－log85＝＝，所以x＝.
跟踪训练　(1) 因为log2(log5x)＝0，所以log5x＝1，所以x＝5.
(2) x＝32＋log35＝32×3log35＝9×5＝45.
【检测反馈】
1. B　log3＝log33-4＝－4.
2. B　由logx8＝2，得x2＝8.又x∈(0，1)∪(1，＋∞)，解得x＝2.
3. ABD　根据对数的性质知A，B正确；C中对数的底数限制条件为大于0且不等于1的实数，故C错误；因为ln e＝1，所以lg (ln e)＝lg 1＝0，故D正确．故选ABD.
4. ∪　由题意，得解得05. (1) 因为53＝125，所以log5125＝3.
(2) 因为4-2＝，所以log4＝－2.
(3) 因为false8＝－3，所以＝8.
(4) 因为log3＝－3，所以3-3＝.

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