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第3章　不等式 本 章 复 习
1. 通过类比，理解等式和不等式的共性与差异，掌握基本不等式，能用基本不等式解决简单的最值问题．
2. 用一元二次函数认识一元二次方程和一元二次不等式，理解函数、方程和不等式之间的联系，体会数学的整体性．
3. 学会将实际问题转化为数学问题来处理，利用不等式的有关方法来解决问题．
活动一 知识梳理
1. 知识结构框图：
2. 不等式的基本性质：
性质1　若a＞b，则b＜a.
性质2　若a＞b，b＞c，则a＞c.
性质3　若a＞b，则a＋c＞b＋c.
性质4　若a＞b，c＞0，则ac＞bc；
若a＞b，c＜0，则ac＜bc.
性质5　若a＞b，c＞d，则a＋c＞b＋d.
性质6　若a＞b＞0，c＞d＞0，则ac＞bd.
3. 基本不等式：≤(a，b≥0)
4. 若a，b∈R，则ab≤≤，当且仅当a＝b时，等号成立．
若a>0，b>0，则≤ ≤，当且仅当a＝b时，等号成立．
5. 三个“二次”之间的关系：
6. 一元二次方程、二次函数与一元二次不等式三者之间的关系(a>0)：
判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
方程ax2＋bx＋c＝0的根 有两个相异的实数根 x1，x2(x1二次函数y＝ax2＋bx＋c 的图象
二次函数y＝ax2＋bx＋c 的零点 有两个零点 x1，2＝ 有一个零点x＝－ 无零点
ax2＋bx＋c＞0的解集 (－∞，x1)∪(x2，＋∞) ∪ R
ax2＋bx＋c＜0的解集 (x1，x2)
活动二 不等式的基本性质
例1　(2024济宁期中)若a，b，c∈R，则下列结论中正确的是(　　)
A. 若ab≠0，则＋≥2 B. 若ab≠0且ac2>bc2，则<
C. 若a2>b2，则a3>b3 D. 若a>b>c>0，则>
(多选)若a＜b＜0，则下列不等式中一定成立的是(　　)
A. ＜ B. ＞ C. |a|＞－b D. ＞
活动三 基本不等式及其应用
例2　已知正数x，y满足＋＝1，求＋的最小值．
已知x，y为正实数，则＋的最大值为________．
研究双变元分式函数的最值问题通常可以从两个角度加以解决，一是转化为分式的分子、分母的乘积为定值的情形来利用基本不等式求最值；二是通过变形，将两个变元合并为一个变元，转化为单变元的函数来研究．
活动四 掌握三个“二次”的应用　　
例3　(2024扬州精诚高级中学月考)若不等式(1－a)x2－4x＋6>0的解集是{x|－3(1) 求a的值，并求不等式2x2＋(2－a)x－a>0的解集；
(2) 若一元二次不等式kx2－ax＋k≤0的解集为R，求k的取值范围．
已知不等式ax2－3x＋6＞4的解集为{x|x＜1或x＞b}．
(1) 求a，b的值；
(2) 解不等式ax2－(ac＋b)x＋bc＜0.
例4　已知二次函数y＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的最小值为0，若不等式y设不等式ax2－2x－a＋1＜0对于满足|a|≤2的一切a的值都成立，求x的取值范围．
活动五 不等式的实际应用
例5　在交通拥挤地段，为了确保交通安全，规定机动车相互之间的距离d(单位：m)与车速v(单位：km/h)需遵循的关系是d≥av2(其中a是车身长，a为常量)，同时规定d≥.
(1) 当d＝时，求机动车速度的变化范围；
(2) 设机动车每小时流量Q＝，应规定怎样的车速，可以使每小时的机动车流量Q最大？
1. (2024上海杨浦高级中学期末)如果a>b>0，那么下列式子中一定成立的是(　　)
A. > B. a2ab
2. 某工厂拟建一座平面图为矩形，且面积为400 m2的三级污水处理池，如图所示，池外圈造价为每米200元，中间两条隔墙造价为每米250元，池底造价为每平方米80元(池壁的厚度忽略不计，且池无盖).如果使水池的总造价最低，那么污水池的长和宽分别为(　　)
A. 40 m，10 m B. 20 m，20 m C. 30 m， m D. 50 m，8 m
3. (多选)(2024 广州六中期中)已知函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是(　　)
A. 2a＋b>0
B. abc<0
C. 关于x的不等式cx2＋bx＋a>0的解集为
D. ＋＋2<0
4. (2024滨州期末)若一元二次不等式16kx2＋8kx－3<0对于一切实数x都成立，则实数k的取值范围为________．
5. 已知函数y＝m2x2＋(m－1)x＋1.
(1) 若该函数恰有一个零点，求实数m的值；
(2) 若不等式m2x2＋(m－1)x＋1>x2－3，对任意x∈R恒成立，求实数m的取值范围．
本 章 复 习
【活动方案】
例1　D　对于A，当a，b异号时，不等式不成立，故A错误；对于B，由ac2>bc2，得a>b，当a＝2，b＝－3时，＝，＝－，不满足题意，故B错误；对于C，当a＝－3，b＝－2时，a3b>c>0，所以a－b>0，b－c>0，所以>0，即>，故D正确．
跟踪训练　BC　因为a＜b＜0，所以－＝＞0，所以＞，故A错误；因为－a＞－b＞0，所以＞，故B正确；|a|＞|b|＝－b，故C正确；当a＝－2，b＝－1时，＝－1，＝－1，＝，故D错误．故选BC.
例2　因为＝1－，
所以＋＝＋＝＋9x
＝4＋＋9(x－1)＋9
＝13＋＋9(x－1).
又因为＝1－>0，所以x>1，同理y>1，
所以13＋＋9(x－1)≥13＋2＝25，当且仅当x＝时，取得等号，所以＋的最小值为25.
跟踪训练　　方法一：令a＝4x＋y，b＝x＋y(a，b>0)，则x＝，y＝，故＋＝＋＝－≤－2＝，当且仅当a＝2b，即y＝2x时，等号成立．
方法二：令t＝>0，则＋＝＋＝＋＝1－＋＝1＋＝1＋≤1＋＝，当且仅当4t＝，即t＝，y＝2x时，等号成立．
例3　(1) 由题意，得方程(1－a)x2－4x＋6＝0的两根为－3，1，且1－a<0，即a>1，
则解得a＝3，
所以不等式2x2＋(2－a)x－a>0，即2x2－x－3>0，解得x>或x<－1.
故a的值为3，不等式2x2＋(2－a)x－a>0的解集为.
(2) 由(1)可得a＝3，易得一元二次不等式kx2－3x＋k≤0的解集为R，
若k＝0，则－3x≤0不恒成立，不符合题意；
若k≠0，则解得k≤－.
综上，k的取值范围是.
跟踪训练　(1) 因为不等式ax2－3x＋6＞4的解集为{x|x＜1或x＞b}，
所以x1＝1，x2＝b是方程ax2－3x＋2＝0的两个实数根，且a>0，b＞1.
由根与系数的关系得解得
(2) 不等式ax2－(ac＋b)x＋bc＜0，
即x2－(2＋c)x＋2c＜0，即(x－2)(x－c)＜0.
当c＞2时，不等式(x－2)(x－c)＜0的解集为{x|2＜x＜c}；
当c＜2时，不等式(x－2)(x－c)＜0的解集为{x|c＜x＜2}；
当c＝2时，不等式(x－2)(x－c)＜0的解集为 .
综上，当c＞2时，不等式ax2－(ac＋b)x＋bc＜0的解集为{x|2＜x＜c}；当c＜2时，不等式ax2－(ac＋b)x＋bc＜0的解集为{x|c＜x＜2}；当c＝2时，不等式ax2－(ac＋b)x＋bc＜0的解集为 .
例4　因为二次函数y＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的最小值为0，所以Δ＝a2－4b＝0.
因为y故实数c的值为9.
跟踪训练　原不等式可化为(x2－1)a－(2x－1)＜0.
令y＝(x2－1)a－(2x－1)，其中a∈[－2，2], 则原命题等价于关于a的一次函数(x2－1≠0)或常数函数(x2－1＝0)在a∈[－2，2]上的函数值恒小于零．
①当x2－1＝0时，由y＝－(2x－1)＜0，得x＝1；
②当x2－1＞0时，y在a∈[－2，2]上随a的增大而增大，要使y＜0在a∈[－2，2]上恒成立，
只需
解得1＜x＜；
③当x2－1＜0时，y在a∈[－2，2]上随a的增大而减小，要使y＜0在a∈[－2，2]上恒成立，
只需
解得＜x＜1.　
综合①②③，得＜x＜.
例5　(1) 由题意，知≥av2，
所以－25≤v≤25，
又v＞0，所以当d＝时，0＜v≤25.
(2) 当0＜v≤25时，Q＝，Q是v的正比例函数，所以当v＝25时，Qmax＝；
当v＞25时，Q≤＝≤，当且仅当＝，即v＝50时，等号成立，Qmax＝.
＞，
故当v＝50时，每小时的机动车流量Q最大，Qmax＝.
【检测反馈】
1. D　因为a>b>0，所以>0，所以a×>b×>0，所以>>0，故A错误；因为a>b>0，所以a2>b2>0，故B错误；因为a>b>0，所以 a×>b×>0，所以>1>0，故C错误；因为 a>b>0，所以a×a>b×a>0，即a2>ab>0，故D正确．
2. C　设总造价为y元，污水池的长为x m，则宽为 m，总造价y＝×200＋2×250×＋80×400＝400＋32 000≥400×2＋32 000＝56 000，当且仅当x＝，即x＝30时，等号成立，此时污水池的宽为 m.
3. BCD　由题意，得a<0，c>0，a＋b＋c>0，对称轴为直线x＝－∈(0，1)，则0<－<1，所以0>－b>2a，所以2a＋b<0，b>0，故A错误；因为a<0，c>0，b>0，所以abc<0，故B正确；因为cx2＋bx＋a>0，当x＝0时，a>0显然不成立；当x≠0时，cx2＋bx＋a>0，即a＋b＋c>0，由题意可知ax2＋bx＋c>0的解集为m0的解集为m<，所以cx2＋bx＋a>0的解集为{x|x<或x>}，故C正确；由根与系数的关系，得m＋n＝－>0，mn＝<0, 所以＋＋2＝＝<0，故D正确．故选BCD.
4. (－3，0)　因为16kx2＋8kx－3<0是一元二次不等式，所以k≠0.又16kx2＋8kx－3<0对一切实数x成立，所以解得－35. (1) 当m＝0时，y＝－x＋1，此时函数有一个零点x＝1，满足题意；
当m≠0时，函数为二次函数，则Δ＝(m－1)2－4m2＝0，
解得m＝－1或m＝.
综上，m＝0或m＝－1或m＝.
(2) 由不等式m2x2＋(m－1)x＋1>x2－3，对任意x∈R恒成立，
得(m2－1)x2＋(m－1)x＋4>0，对任意x∈R恒成立，
当m＝1时，4>0，满足题意；
当m＝－1时，不等式为－2x＋4>0，x<2，不满足题意；
当m2－1≠0时，
解得m<－或m>1.
综上，实数m的取值范围是∪[1，＋∞).

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