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5．1　函数的概念和图象
5.1.1　函数的概念和图象(1)
1. 在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念，体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用.
2. 了解构成函数的要素有定义域、对应关系、值域，会求简单函数的定义域.
活动一 探究函数的概念
初中是用运动变化的观点对函数进行定义，虽然这种定义较为直观，但并未完全揭示出函数概念的本质. 对于y＝1(x∈R)是不是函数，如果用运动变化的观点去看它，就不好解释，显得牵强，但如果用集合与对应的观点来解释，就十分自然. 因此，用集合与对应的思想来理解函数，对函数概念的再认识，就很有必要．
1. 人口数量变化趋势是我们制定一系列相关政策的依据. 从中国统计年鉴中可以查得我国1979～2014年人口数据资料(年末)如下表所示，你能根据该表说出我国人口的变化情况吗？
1979～2014年我国人口数据表
年份 1979 1984 1989 1994 1999 2004 2009 2014
人口数/百万 975 1 044 1 127 1 199 1 258 1 300 1 335 1 368
2. 一物体从静止开始下落，下落的距离 y(单位：m)与下落时间x(单位：s)之间近似地满足关系式y＝4.9x2.若一物体下落2 s，你能求出它下落的距离吗？
3. 下图为某市一天24小时内的气温变化图．
(1) 上午6时的气温约是多少？全天的最高、最低气温分别是多少？
(2) 在什么时刻，气温为0℃？
(3) 在什么时段内，气温在0℃以上？
思考1
这三个问题有什么共同点？
思考2
如何用集合语言来阐述上述三个问题的共同点？
思考3
如何用集合语言和对应关系刻画函数？
思考4
函数f：A→B的值域为C，那么集合B＝C吗？
1. 函数是非空数集到非空数集上的一种对应．
2. 符号“f：A→B”表示从A到B的一个函数，它有三个要素：定义域、值域、对应关系，三者缺一不可．
3. 集合A中数的任意性，集合B中数的唯一性．
4. f表示对应关系，在不同的函数中，f的具体含义不一样．
5. f(x)是一个符号，绝对不能理解为f与x的乘积．
6. 在研究函数时，除用符号f(x)表示函数外，还常用g(x)，F(x)，G(x)等符号来表示．
活动二　探究函数的定义，掌握函数的判定　
例1　判断下列对应是否为函数：
(1) x→，x≠0，x∈R；
(2) x→y，其中y2＝x，x∈N，y∈R；
(3) 当x为有理数时，x→1；当x为无理数时，x→0.
判断下列对应是否为集合A到B的函数，若不是，请说明原因．
(1) A＝{1，2，3，4，5}，B＝{2，4，6，8，10}，f：x→2x；
(2) A＝{1，2，3，4，5}，B＝{0，2，4，6，8}，f：x→2x；
(3) A＝{1，2，3，4，5}，B＝N，f：x→2x.
判断一个对应是不是函数，关键看与自变量x对应的y值是不是唯一，函数可以允许多个不同的x的值对应一个y值，但不允许一个x的值对应两个或两个以上的y值．
活动三 同一函数的判断　　
思考5
定义域和值域都相同的函数是同一个函数吗？
例2　试判断以下各组函数是否表示同一函数：
(1) f(x)＝|x|，g(t)＝；
(2) f(x)＝，g(x)＝x＋2；
(3) f(x)＝x，g(x)＝；
(4) f(x)＝x，x∈[0，1]，g(x)＝x2，x∈[0，1].
试判断以下各组函数是否表示同一函数：
(1) f(x)＝，g(x)＝；
(2) f(x)＝()2，g(x)＝；
(3) y＝x0与y＝1(x≠0)；
(4) y＝2x＋1，x∈Z与y＝2x－1，x∈Z.
1. 判断两个函数是同一函数的准则是两个函数的定义域和对应关系分别相同．
2. 如果要判断的函数较为复杂，在定义域相同的条件下，可先化简再比较．
活动四 探究函数的定义域　　
例3　求下列函数的定义域：
(1) f(x)＝；
(2) g(x)＝.
求下列函数的定义域：
(1) y＝2x＋3；
(2) f(x)＝；
(3) y＝＋；
(4) y＝.
函数的定义域通常由问题的实际背景确定．如果只给出解析式y＝f(x)，而没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数x的集合．函数的定义域可用两种方法表示：集合和区间．
活动五　求函数值　
例4　若f(x)＝，求f(0)，f(1)，f(f(2))，f(a＋1).
已知函数y＝f(x)，f(a)表示当x＝a时f(x)的函数值，是一个常量，而f(x)是自变量x的函数，在一般情况下，它是一个变量，f(a)是f(x)的一个特殊值．
设函数f(x)＝，若f(a)＝2，则实数a＝________．
1. 下列图象中，能表示定义域和值域均为[0，2]的函数图象的个数是(　　)
　　　
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
2. (2024漳州二中月考)函数f(x)＝的定义域为(　　)
A. (－∞，2] B. (－∞，2)
C. ∪ D. ∪
3. (多选)下列从集合A到集合B的对应关系中，是函数的是(　　)
A B C D
4. f(x)＝()4与 g(x)＝x2表示同一函数的充分条件为________．
5. 已知函数f(x)＝＋.
(1) 求函数f(x)的定义域；
(2) 求f(2)及f(6)的值．
5．1.2　函数的概念和图象(2)
1. 理解构成函数的要素，巩固常见函数定义域的求解方法.
2. 会求常见函数的值域，掌握简单函数值域的求法．
活动一 巩固函数的概念，求函数的定义域
1. 回顾函数的定义，思考函数的构成要素有哪些？
2．如何求函数的定义域？
例1　求下列函数的定义域：
(1) y＝3－x；
(2) y＝；
(3) y＝－＋.
已知函数f(x)＝的定义域为(－∞，1]，求实数a的值．
求函数定义域的基本方法：
求函数的定义域实质上是求使函数表达式有意义的自变量的取值范围．已知函数y＝f(x)：
(1) 若f(x)为整式，则定义域为R.
(2) 若f(x)为分式，则定义域是使分母不为零的实数的集合．
(3) 若f(x)是偶次根式，则函数的定义域是根号内的式子不小于零的实数的集合．
(4) 若f(x)是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合(即使每个部分有意义的实数的集合的交集).
(5) 若f(x)是由实际问题列出的，则函数的定义域是使解析式本身有意义且符合实际意义的实数的集合．
活动二 探究抽象函数的定义域　　
思考1
在y＝f(x)中，f(x)的定义域指的是什么？x是什么？
思考2
在函数y＝f(x＋1)中，自变量是什么？而它的定义域指的是什么？
思考3
如何将函数y＝f(x)与y＝f(x＋1)中的自变量联系起来？
例2　(1) 已知函数f(x)的定义域为(0，1)，求f(x2)的定义域；
(2) 已知函数f(2x＋1)的定义域为(0，1)，求f(x)的定义域．
(1) 已知函数y＝f(x)的定义域为[1，4]，则f(x＋2)的定义域为________；
(2) 已知函数y＝f(x＋2)的定义域为[1，4]，则f(x)的定义域为________；
(3) 已知函数y＝f(x＋3)的定义域为[1，4]，则f(2x)的定义域为________．
抽象函数的定义域
1. 已知f(x)的定义域，求f(g(x))的定义域：若f(x)的定义域为[a，b]，则在f(g(x))中，a≤g(x)≤b，从中解得x的取值范围，即为f(g(x))的定义域．
2. 已知f(g(x))的定义域，求f(x)的定义域：若f(g(x))的定义域为[a，b]，即a≤x≤b，求得g(x)的取值范围，g(x)的取值范围即为 f(x) 的定义域．
3. 用较为口语化的语言可以将上述两类题型的解法合并成两句话：
(1) 定义域指自变量的取值范围．(告诉我们已知什么，求什么)
(2) 括号内范围相同．(告诉我们如何将条件与结论联系起来)
活动三　探究函数的值域　
例3　求下列函数的值域：
(1) f(x)＝(x－1)2＋1，x∈{－1，0，1，2，3}；
(2) f(x)＝(x－1)2＋1，x∈R.
求下列函数的值域：
(1) f(x)＝|x|－1，x∈{－1，0，1，2}；
(2) f(x)＝1－2x，x∈[－1，2).
函数的值域是由函数的定义域和对应关系共同确定的，所以求函数的值域一定要注意定义域是什么，对于同一个函数关系式，当定义域变化时，值域也可能发生变化．
1. 若函数f(x)＝＋，则函数f(x－1)的定义域为(　　)
A. (－1，1) B. [－2，0] C. [－1，1] D. [0，2]
2. (2024扬州一中期中)已知函数f(x)＝x2－1的定义域为{－1，0，1}，则函数f(x)的值域为(　　)
A. {0，1} B. [－1，＋∞) C. [－1，0] D. {－1，0}
3. (多选)(2024临川一中期中)已知函数f(x)的图象由如图所示的两条曲线组成，则下列说法中正确的是(　　)
A. f(f(－3))＝1
B. 若f(x)＝3，则x＝0
C. 函数的定义域是(－∞，0]∪[2，3]
D. 函数的值域是[1，5]
4. 已知函数y＝f(x－1)的定义域为[－3，2]，则f(x＋1)的定义域为________．
5. 已知f(x)＝(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2－1(x∈R).
(1) 求f(2)，g(3)的值；
(2) 求f(g(3))的值及f(g(x)).
5．1.3　函数的概念和图象(3)
1. 了解函数的图象.
2. 会画出简单函数的图象，并能运用函数的图象解决简单的问题.
3. 体会数形结合思想在数学中的应用.
活动一 探究函数图象的概念
在初中，我们已学过函数的图象，并能作出函数y＝2x－1，y＝(x≠0)以及y＝x2的图象，社会生活中还有许多函数图象的例子，如心电图、示波图等．
思考1
在初中我们采用什么方法来画函数的图象？
思考2
描点法作图的步骤有哪些？
问题　什么是函数的图象？
活动二 探究简单函数的图象的作法　　
例1　试画出下列函数的图象：
(1) f(x)＝x＋1；
(2) f(x)＝(x－1)2＋1，x∈[1，3).
思考3
如何判定图形是否为函数的图象？
思考4
设函数y＝f(x)的定义域为A，集合P＝{(x，y)|y＝f(x)，x∈A}与Q＝{y|y＝f(x)，x∈A}相等吗？请说明理由．
例2　画出下列函数的图象：
(1) f(x)＝；
(2) f(x)＝.
作下列函数的图象，并指出其值域．
(1) y＝x2＋x(－1≤x≤1)；
(2) y＝(－2≤x<1，且x≠0).
画函数的图象一定要注意函数定义域的范围，在函数定义域内的图象要画成实线，定义域外的要画成虚线或者不画．若给出的函数的定义域是开区间，函数图象的端点要画成空心点；若给出的函数的定义域是闭区间，函数图象的端点要画成实心点．
活动三 运用函数图象解决简单的问题　　
例3　试画出函数f(x)＝x2＋1的图象，并根据图象回答下列问题：
(1) 比较f(－2)，f(1)，f(3)的大小；
(2) 若0思考5
(1) 在例3的条件下，如果把“0＜x1＜x2”改成“x1＜x2＜0”，那么f(x1)与f(x2)哪个大？
(2) 在例3的条件下，如果把“0＜x1＜x2”改成“|x1|＜|x2|”，那么f(x1)与f(x2)哪个大？
请结合函数图象回答上述两个问题，再用不等式的基本知识来解决上述问题．
画出函数f(x)＝－x2＋2x＋3的图象，并根据图象回答下列问题：
(1) 比较f(0)，f(1)，f(3)的大小；
(2) 若x1(3) 求函数f(x)的值域；
(4) 若关于x的方程f(x)＝k在区间[－1，2]上仅有一个实根，求实数k的取值范围．
函数y＝f(x)的图象在x轴上的投影构成的集合即为函数的定义域，在y轴上的投影构成的集合即为函数的值域．通过函数的图象，可以从“形”的角度进一步加深对函数概念的理解．
常借助函数图象求解以下几类问题：(1) 比较函数值的大小；(2) 求函数的值域；(3) 分析两函数图象交点的个数；(4) 求解不等式或参数范围．
1. 已知函数y＝ax2＋b的图象如图所示，则a和b的值分别为(　　)
A. 0，－1
B. 1，－1
C. 1，0
D. －1，1
2. (2024湖南期中)已知函数f(x)＝，则其图象大致是(　　)
A B C D
3. (多选)已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则下列结论中正确的是(　　)
A. f(0)＝4
B. f(f(2))＝4
C. 若－1＜x1f(x2)
D. 若f(x)＝0，则x＝－3
4. (2024扬州精诚高级中学月考)函数y＝－x2＋2x＋3(0≤x≤3)的值域为________．
5. 作出下列函数的图象并求出其值域．
(1) y＝－x，x∈{0，1，－2，3}；
(2) y＝，x∈[2，＋∞)；
(3) y＝x2＋2x，x∈[－2，2).
5．1.4　函数的概念和图象(4)
1. 掌握求函数值域的常见方法.
2. 体会分离参数法、换元法、数形结合、分类讨论等思想方法的应用.
活动一 掌握求函数值域的常见方法
在初中学过的一次函数f(x)＝ax＋b(a≠0)：定义域为R，值域为R；反比例函数f(x)＝(k≠0)：定义域为{x|x≠0}，值域为{y|y≠0}；二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)：定义域为R，值域：当a>0时，{y|y≥}；当a<0时，{y|y≤}．
例1　求下列函数的值域：
(1) y＝x＋1，x∈{1，2，3，4，5}；
(2) y＝x2－2x＋3，x∈[0，3)；
(3) y＝；
(4) y＝2x－.
求下列函数的值域：
(1) y＝x＋2＋3；
(2) y＝；
(3) y＝；
(4) y＝.
求函数值域的方法：
(1) 观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到．
(2) 配方法：此方法是求“二次函数类”值域的基本方法，即将函数通过配方转化为能直接看出其值域的方法．
(3) 分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式．
活动二　探究函数定义域及值域的逆向问题　
例2　若函数y＝的定义域是实数集，求实数a的取值范围．
例3　已知函数y＝x2－2ax＋3在区间[－2，2]上的值域为[2，11]，求实数a的值．
若函数f(x)＝的定义域为R，求实数m的取值范围．
1. (2024进贤二中期中)已知函数f(x)＝2x＋4，则函数f(x)的值域为(　　)
A. (－∞，－8) B. (－∞，8] C. [4，＋∞) D. [6，＋∞)
2. (2024正定中学期中)函数y＝的值域是(　　)
A. (－∞，0)∪(0，＋∞) B. (－∞，2)∪(2，＋∞)
C. ∪ D. ∪
3. (多选)与函数f(x)＝x＋(x>0)值域相同的函数有(　　)
A. y＝x2－x＋ B. y＝＋2
C. y＝x＋(x>1) D. y＝x＋2(x>0)
4. 已知函数f(x)＝的定义域是R，则实数m的取值范围是________．
5. 已知函数f(x)＝(x－1)2＋1的定义域与值域都是[1，b]，其中b>1，求实数b的值．
5．1　函数的概念和图象
5．1.1　函数的概念和图象(1)
【活动方案】
1. 我国1979～2014年人口逐渐增多，其中1984～1989年我国人口的增长量最大，1989年以后我国人口增长量逐渐减少．
2. 当x＝2时，y＝19.6，即若一物体下落2 s，它下落的距离为19.6 m.
3. (1) 上午6时的气温约是零下1 ℃，全天的最高气温是9 ℃，最低气温是零下2 ℃.
(2) 7时和23时，气温为0 ℃.
(3) 在7时到23时，气温在0 ℃以上．
思考1：每个实例中都存在着两个变量，当一个变量的取值确定时，另一个变量的值随之唯一确定．根据初中学过的知识可知，每一个问题都涉及一个确定的函数．
思考2：第一，每个问题均涉及两个非空数集A，B.例如，在第一个问题中，一个集合A由年份数组成，即A＝{1979，1984，1989，1994，1999，2004，2009，2014}；另一个集合B由人口数(百万)组成，即B＝{975，1 044，1 127，1 199，1 258，1 300，1 335，1 368}．
第二，每个问题均存在某种对应关系，对于集合A中任意元素x，集合B中总有一个元素y与之对应．例如，在第一个问题中，若x(年份)取1979，则y(百万)取975.这时，我们说“1979对应到975”，或者说“输入1979，输出975”，简记为1979→975.
如图所示的“箭头图”可以清楚地表示这种对应关系，这种对应具有“一个输入值对应到唯一的输出值”的特征．
思考3：
函数的定义 一般地，给定两个非空实数集合A和B，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的每一个实数x，在集合B中都有唯一的实数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
函数的记法 从集合A到集合B的一个函数通常记为y＝f(x)，x∈A
函数的定义域 在函数y＝f(x)，x∈A中，所有的x (输入值)组成的集合A叫作函数y＝f(x)的定义域
函数的值域 若A是函数y＝f(x)的定义域，则对于A中的每一个x(输入值)，都有一个y(输出值)与之对应，则将所有输出值y组成的集合{y|y＝f(x)，x∈A}称为函数的值域
思考4：C B
例1　(1) 对于任意一个非零实数x，由x唯一确定，
所以当x≠0时，x→是函数，这个函数也可以表示为f(x)＝(x≠0).
(2) 考虑输入值为4，即当x＝4时，输出值y由y2＝4给出，得y＝2和y＝－2.这里一个输入值与两个输出值对应(不是单值对应)，所以x→y(y2＝x，x∈N，y∈R)不是函数．
(3) 由题意，得对于任意的有理数x，总有唯一的元素1与之对应；对于任意的无理数x，总有唯一的元素0与之对应．因此，根据函数的定义，可知这个对应是函数，可以表示为y＝
跟踪训练　(1) 对于任意x∈A，在集合B中总有唯一的元素2x与之对应，根据函数的定义，可知这个对应是函数，可以表示为y＝2x，x∈{1，2，3，4，5}，且值域为B.
(2) 不是，因为A中的元素5在B中没有值与之对应．
(3) 对于任意x∈A，在集合B中总有唯一的元素2x与之对应，根据函数的定义，可知这个对应是函数，可以表示为y＝2x，x∈{1，2，3，4，5}，且值域是B的子集．
思考5：不一定是．若对应关系也相同，则是同一个函数．若对应关系不同，则不是同一个函数，如y＝x与y＝2x，定义域和值域都是R，但它们是两个函数．故定义域和值域都相同的函数不一定是同一个函数．
例2　(1) 是，因为g(t)＝＝|t|与f(x)＝|x|的定义域，对应关系，值域均相同，只是自变量的字母不同而已．
(2) 不是，因为f(x)的定义域为{x|x∈R，且x≠2}，而g(x)的定义域为R.
(3) 是， 因为f(x)＝x与g(x)＝＝x的定义域，对应关系，值域均相同．
(4) 不是， 因为它们的对应关系不同．
跟踪训练　(1) 不是，因为f(x)＝＝|x|，g(x)＝＝x，所以它们的对应关系不相同，所以它们不表示同一函数．
(2) 不是，因为函数f(x)＝()2的定义域为{x|x≥0}，且g(x)＝的定义域为{x|x∈R}，所以它们的定义域不同，所以它们不表示同一函数．
(3) 是，因为y＝x0要求x≠0，且x≠0时，y＝x0＝1，所以y＝x0与y＝1(x≠0)的定义域，对应关系，值域都相同，所以它们表示同一函数．
(4) 不是，y＝2x＋1，x∈Z与y＝2x－1，x∈Z两个函数的定义域相同，但对应关系不相同，故不表示同一函数．
例3　(1) 因为当x－1≥0，即x≥1时，在实数范围内有意义；当x－1<0，即x<1时，在实数范围内没有意义，所以这个函数的定义域是{x|x≥1}．
(2) 因为当x＋1≠0，即x≠－1时，有意义；当x＋1＝0，即x＝－1时，没有意义，所以这个函数的定义域是{x|x≠－1，且x∈R}．
跟踪训练　(1) 函数y＝2x＋3的定义域为R.
(2) 要使函数式有意义，即分式有意义，则2x－1≠0，即x≠，故函数的定义域为.
(3) 要使函数式有意义，则即所以x＝1，所以函数的定义域为{1}．
(4) 因为当x2－1≠0，即x≠±1时，有意义，所以函数的定义域是{x|x≠±1}．
例4　因为f(x)＝，所以f(0)＝＝1；
f(1)＝＝0；f(f(2))＝f＝2；
f(a＋1)＝＝－.
跟踪训练　－1　因为f(x)＝，所以f(a)＝＝2，解得a＝－1.
【检测反馈】
1. B　由函数定义可知，任意自变量有且仅有一个函数值与之对应，排除第三个图；第一个图中定义域不为[0，2]，第二个图中值域不为[0，2]，所以只有最后一个图满足题意．
2. D　由题意，得解得x<2且x≠，即函数f(x)的定义域为∪.
3. AB　对于A，B，结合函数定义可知，集合A中的任意一个元素在集合B中都有唯一确定的元素与之对应，故A，B正确；对于C，集合A中的7在集合B中没有元素与之对应，故C错误；对于D，集合A中的3在集合B中有两个元素与之对应，4没有元素与之对应，故D错误．故选AB.
4. g(x)＝x2的定义域是{x|x≥0}　因为 g(x)＝x2的定义域为R，f(x)＝()4＝x2(x≥0)，所以两函数的对应关系相同，定义域不同，所以需要g(x)＝x2的定义域变为{x|x≥0}，所以两函数表示同一函数的充分条件为g(x)＝x2的定义域是{x|x≥0}．
5. (1) 由题意，得解得x≥0，且x≠1，
所以函数的定义域为[0，1)∪(1，＋∞).
(2) 因为f(x)＝＋，
所以f(2)＝＋＝1＋；
f(6)＝＋＝＋.
5．1.2　函数的概念和图象(2)
【活动方案】
1. 函数的三要素包括：定义域、对应关系和值域．因为值域由定义域和对应关系完全确定，所以如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数是同一函数．
2. 对于用关系式表示的函数，如果没有给出定义域，那么就认为函数的定义域是指使函数表达式有意义的自变量取值的集合，这也是求函数定义域的依据．
例1　(1) 函数y＝3－x的定义域为R.
(2) 由于00无意义，故x＋1≠0，即x≠－1.
又x＋2>0，即x>－2，所以x>－2，且x≠－1，
所以函数y＝的定义域为{x|x>－2，且 x≠－1}．
(3) 要使函数有意义，则
解得－≤x＜2，且x≠0，
所以函数y＝－＋的定义域为.
跟踪训练　因为函数f(x)＝的定义域为(－∞，1]，所以x＋1≥0的解为x≤1，所以 a＜0，且×1＋1＝0，所以a＝－1.
思考1：f(x)的定义域指的是x的取值范围，f(x)中x是函数的自变量．
思考2：函数y＝f(x＋1)的自变量为x，f(x＋1)的定义域指的是x的取值范围．
思考3：因为x，x＋1均为f的作用对象，所以二者均应在f(x)的定义域之中，即y＝f(x)中x的取值范围与y＝f(x＋1)中x＋1的取值范围一致．
例2　(1) 因为f(x)的定义域为(0，1)，
所以要使f(x2)有意义，则0即－1所以函数f(x2)的定义域为{x|－1(2) 因为f(2x＋1)的定义域为(0，1)，
所以其中的函数自变量x的取值范围是(0，1).
令t＝2x＋1，则1所以f(t)的定义域为{t|1所以函数f(x)的定义域为{x|1跟踪训练　(1) [－1，2]　由题意，得f(x)的定义域为[1，4]，故x＋2∈[1，4]，所以x∈[－1，2]，即f(x＋2)的定义域为[－1，2].
(2) [3，6]　由题意，得x∈[1，4]，所以x＋2∈[3，6]，即f(x)的定义域为[3，6].
(3) 　由题意，得x∈[1，4]，所以x＋3∈[4，7]，所以对于f(2x)有2x∈[4，7]，解得x∈，即f(2x)的定义域为.
例3　(1) 因为函数的定义域为{－1，0，1，2，3}，
所以f(－1)＝[(－1)－1]2＋1＝5，
同理f(0)＝2，f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝5，
所以这个函数的值域为{1，2，5}．
(2) 因为函数的定义域为R，且(x－1)2＋1≥1，
所以这个函数的值域为{y|y≥1}．
跟踪训练　(1) 因为函数的定义域为{－1，0，1，2}，
所以f(－1)＝0，f(0)＝－1，f(1)＝0, f(2)＝1，
所以这个函数的值域为{－1，0，1}．
(2) 因为函数的定义域为[－1，2)，
所以－1≤x＜2，所以－3＜1－2x≤3，
所以这个函数的值域为(－3，3].
【检测反馈】
1. D　要使函数f(x)有意义，则解得－1≤x≤1，所以－1≤x－1≤1，解得0≤x≤2，所以函数f(x－1)的定义域为[0，2].
2. D　因为f(－1)＝f(1)＝0，f(0)＝－1，所以函数f(x)的值域为{－1，0}．
3. AD　对于A，由图象可知f(－3)＝2，f(2)＝1，所以f(f(－3))＝f(2)＝1，故A正确；对于B，易知直线y＝3与f(x)的图象有两个交点，由图象可知，当f(x)＝3时，x不为0，故B错误；对于C，D，由图象可知，函数f(x)的定义域为[－3，0]∪[2，3]，值域为[1，5]，故C错误，D正确．故选AD.
4. [－5，0]　因为f(x－1)的定义域为[－3，2]，所以x－1∈[－4，1]，所以在f(x＋1)中，x＋1∈[－4，1]，解得x∈[－5，0]，即f(x＋1)的定义域为[－5，0].
5. (1) 因为f(x)＝(x∈R，且x≠－1)，
所以f(2)＝＝－.
因为g(x)＝x2－1(x∈R)，
所以g(3)＝32－1＝8.
(2) 由(1)知f(g(3))＝f(8)＝＝－，
f(g(x))＝＝(x≠0).
5．1.3　函数的概念和图象(3)
【活动方案】
思考1：描点法．
思考2：列表、描点、连线．
问题：函数图象的定义：将自变量的一个值x0作为横坐标，相应的函数值f(x0)作为纵坐标，就得到坐标平面上的一个点(x0，f(x0)).当自变量取遍函数定义域A中的每一个值时，就得到一系列这样的点，所有这些点组成的集合(点集)为{(x，f(x))|x∈A}，即{(x，y)|y＝f(x)，x∈A}，所有这些点组成的图形就是函数y＝f(x)的图象．
例1　(1) (2)
函数f(x)＝(x－1)2＋1，x∈[1，3)的图象为函数g(x)＝(x－1)2＋1，x∈R的图象上x∈[1，3)的一段．其中，点(1，1)在图象上，用实心点表示；而点(3，5)不在图象上，用空心点表示．
思考3：①任取一条垂直于x轴的直线l；
②在定义域内移动直线l；
③若直线l与图形有一个交点，则是函数的图象；若有两个或两个以上的交点，则不是函数的图象．
　　
思考4：P≠Q.因为集合P是点集，其中所有元素组成的图形是函数y＝f(x)，x∈A的图象，而集合Q是数集，它是函数y＝f(x)，x∈A的值域．
例2　(1) 将函数y＝的图象向右平移1个单位长度，即可得到函数y＝的图象，如图所示．
(2) f(x)＝＝＝2－，x≠1，故函数图象可由y＝－的图象向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，如图所示．
跟踪训练　(1) 如图1所示．其值域为.
(2) 如图2所示．其值域为(－∞，－1]∪(2，＋∞).
图1 图2
例3　函数的图象如下：
(1) 根据图象，容易发现f(－2)＝f(2)，f(1)＜f(2)＜f(3)，所以f(1)＜f(－2)＜f(3).
(2) 根据图象，容易发现当0＜x1思考5：(1) 根据图象，容易发现当x1有f(x1)＞f(x2).
下面用不等式的基本知识来解决：
因为x1所以f(x1)－f(x2)＝(x＋1)－(x＋1)＝x－x＝(x1－x2)(x1＋x2)＞0，所以f(x1)＞f(x2).
(2) 根据图象，容易发现当|x1|＜|x2|时，有 f(x1)＜f(x2).
下面用不等式的基本知识来解决：
因为|x1|＜|x2|，所以x2≠0.
①当x1≥0，x2＞0时，则0≤x1②当x1≥0，x2＜0时，则x1<－x2，所以x1－x2＞0，x1＋x2＜0，所以f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)(x1＋x2)<0，所以f(x1)＜f(x2)；
③当x1<0，x2＞0时，则0<－x1④当x1<0，x2＜0时，则0<－x1<－x2，所以x1－x2＞0，x1＋x2＜0，所以f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)·(x1＋x2)<0，所以f(x1)＜f(x2).
综上所述，当|x1|＜|x2|时，有f(x1)＜f(x2).
跟踪训练　函数的图象如图所示．
(1) 根据图象，容易发现f(0)＝3，f(1)＝4，f(3)＝0，所以f(3)(2) 根据图象，容易发现当x1(3) 根据图象，可以看出函数的图象是以(1，4)为顶点，开口向下的抛物线，故函数的值域为(－∞，4].
(4) 原方程可变形为－x2＋2x＋3＝k，进而转化为函数y＝－x2＋2x＋3和y＝k图象的交点个数问题，根据f(x)＝－x2＋2x＋3在区间[－1，2]上的图象，移动y＝k，易知当0≤k<3或k＝4时，只有一个交点，所以实数k的取值范围为{k|0≤k<3或k＝4}．
【检测反馈】
1. B　由图象可知，当x＝1时，y＝0；当x＝0时，y＝－1，即解得
2. B　易得函数的定义域为{x|x≠±1}，故排除C；当01时，f(x)＝>0，故排除D.故选B.
3. ACD　由图象可得f(f(2))＝2，故B错误；结合图象可得A，C，D正确．故选ACD.
4. [0，4]　由题意，得y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4.因为二次项系数为－1>0，所以函数图象的开口向下，对称轴为直线x＝1.又x∈[0，3]，所以当x＝1时，y取得最大值4；当x＝3时，y取得最小值0，所以函数的值域为[0，4].
5. (1) 列表：
x 0 1 －2 3
y 0 －1 2 －3
函数图象是四个点(0，0)，(1，－1)，(－2，2)，(3，－3)，其值域为{0，－1，2，－3}．
(2) 列表：
x 2 3 4 5 …
y 1 …
当x∈[2，＋∞)时，图象是反比例函数y＝的一部分，观察图象可知其值域为(0，1].
(3) 列表：
x －2 －1 0 1 2
y 0 －1 0 3 8
当x∈[－2，2)时，图象是二次函数y＝x2＋2x的一部分，观察图象可知其值域为[－1，8).
5．1.4　函数的概念和图象(4)
【活动方案】
例1　(1) 值域为{2，3，4，5，6}．
(2) y＝(x－1)2＋2.
因为x∈[0，3)，所以(x－1)2∈[0，4)，
所以(x－1)2＋2∈[2，6)，
所以这个函数的值域为[2，6).
(3) y＝＝2＋.
因为≠0，所以2＋≠2，
所以这个函数的值域为{y|y≠2}．
(4) 由题意，得函数的定义域为[1，＋∞)，
y＝2x－＝2(x－1)－＋2.
设t＝，t≥0，
则y＝2t2－t＋2＝2(t－)2＋.
因为t≥0，所以≥0，
所以2＋≥，
所以这个函数的值域为.
跟踪训练　(1) 由题意，得函数的定义域为[0，＋∞).
设t＝，则t≥0，则y＝t2＋2t＋3＝(t＋1)2＋2.
因为t≥0，所以(t＋1)2≥1，所以(t＋1)2＋2≥3，
所以函数的值域为[3，＋∞).
(2) 因为－x2＋6x＋7＝－(x－3)2＋16≤16，
所以≤4.
又因为－x2＋6x＋7≥0，所以≥0，
所以函数的值域为[0，4].
(3) 因为x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2，
所以0＜≤，
所以－1≤＜0，
所以函数的值域为[－1，0).
(4) y＝＝1－，
因为x2＋1≥1，所以0＜≤1，
所以－2≤－＜0，所以－1≤1－＜1，
所以函数的值域为[－1，1).
例2　由题意，得ax2－ax＋≥0对任意x∈R成立，易知a≠0，所以所以 0故实数a的取值范围为(0，2].
例3　y＝x2－2ax＋3＝(x－a)2＋3－a2.
①如图1，当a≥2时，则无解；
②当a≤－2时，则无解；
③当－2如图2，当a＝1时，y＝x2－2x＋3，当x＝－2时，y＝4＋4＋3＝11.
如图3，当a＝－1时，y＝x2＋2x＋3，当x＝2时，y＝4＋4＋3＝11.
综上，实数a的值为±1.
图1 图2 图3
跟踪训练　要使原函数有意义，则mx2＋mx＋3≠0.
因为函数的定义域为R，
所以mx2＋mx＋3≠0对一切实数x恒成立．
①当m＝0时，3≠0成立，所以m＝0满足题意；
②当m≠0时，由Δ＝m2－12m＜0，
解得0＜m＜12.
综上所述，实数m的取值范围为[0，12).
【检测反馈】
1. B　令t＝，则t∈[0，＋∞)，x＝3－t2，所以2x＋4＝2(3－t2)＋4t＝－2t2＋4t＋6，令g(t)＝－2t2＋4t＋6＝－2(t－1)2＋8，t∈[0，＋∞)，则g(t)∈(－∞，8]，所以函数f(x)的值域为(－∞，8].
2. C　由题意，得函数y＝的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)，且y＝＝＝－－.因为∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，所以y＝－－∈∪.
3. AC　当x>0时，函数f(x)＝x＋≥2＝2，当且仅当x＝1时，等号成立，所以f(x)的值域为[2，＋∞). 对于A，函数y＝x2－x＋＝＋2，当x＝时，有最小值2，所以其值域为[2，＋∞)，故A正确；对于B，因为y＝>0，则y＝＋2>2，所以y＝＋2的值域为(2，＋∞)，故B错误；对于C，因为x>1，所以y＝x＋＝x－1＋＋1≥2＋1＝2，当且仅当x＝时，等号成立，所以y＝x＋(x>1)的值域为[2，＋∞)，故C正确；对于D，当x>0时，函数y＝x＋2>2，其值域为(2，＋∞)，故D错误．故选AC.
4. [0，1)　由题意，得mx2＋2mx＋1>0恒成立．显然当 m＝0时，符合题意；当m>0时，由Δ＝4m2－4m<0，解得 05. 作出f(x)＝(x－1)2＋1的图象如图所示．
因为当x∈[1，b]时，函数f(x)的图象是上升的，且值域为[1，b]，
所以解得b＝1或b＝3.
因为b>1，所以b＝3.

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