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5．4　函数的奇偶性
5．4.1　函数的奇偶性(1)
1. 结合具体函数，理解奇偶性的含义和几何意义.
2. 会判断函数的奇偶性，能证明一些简单函数的奇偶性．
活动一 探究偶函数和奇函数的概念
在我们的日常生活中，可以观察到许多对称现象：美丽的蝴蝶，盛开的花朵，六角形的雪花晶体，建筑物和它在水中的倒影……这种“对称美”在数学中也有很多．今天，让我们开启知识的大门，进入更加精彩纷呈的函数奇偶性的学习．
思考1
作出函数y＝x2，y＝x2＋1的图象，思考并讨论以下问题：
(1) 从对称性的角度你发现这两个函数图象有什么共同的特征？
(2) 如何用数量关系来表述上述特征？
思考2
作出函数f(x)＝x和f(x)＝的图象，思考并讨论以下问题：
(1) 从对称性的角度你发现这两个函数图象有什么共同的特征？
(2) 如何用数量关系来表述上述特征？
1. 偶函数和奇函数的定义：
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A.如果对于任意的x∈A，都有－x ∈A，并且f(－x)＝f(x)，那么称函数y＝f(x)是偶函数；如果对于任意的x∈A，都有－x ∈A，并且f(－x)＝－f(x)，那么称函数y＝f(x)是奇函数．
如果函数f(x)是奇函数或偶函数，那么我们称函数f(x)具有奇偶性．
2. 偶函数和奇函数图象的特点：
偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称．
活动二 探究偶函数和奇函数定义域的特征
思考3
对于定义在R上的函数f(x)，下列判断是否正确？
(1) 若f(x)是偶函数，则f(－2)＝f(2)；
(2) 若f(－2)＝f(2)，则函数f(x)是偶函数；
(3) 若f(－2)≠f(2)，则函数f(x)不是偶函数；
(4) 若f(－2)＝f(2)，则函数f(x) 不是奇函数．
奇函数与偶函数的定义域的特征：定义域关于原点对称．
活动三 探究判断函数的奇偶性的方法
例1　判断下列各函数的奇偶性：
(1) f(x)＝x4－1；
(2) f(x)＝2x；
(3) f(x)＝2|x|；
(4) f(x)＝(x－1)2.
例2　判断函数f(x)＝x3＋5x是否具有奇偶性．
判断下列函数的奇偶性：
(1) f(x)＝；
(2) f(x)＝|x＋1|＋|x－1|；
(3) f(x)＝；
(4) f(x)＝0.
1. 对于一个函数来说，它的奇偶性有四种可能：是奇函数但不是偶函数；是偶函数但不是奇函数；既是奇函数又是偶函数；既不是奇函数也不是偶函数．
2. 用定义判断函数奇偶性的步骤：①先求定义域，判断是否关于原点对称；②再判断f(x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是否恒成立．
活动四 探究函数奇偶性的简单应用
例3　(1) 若函数y＝(x＋1)(x－a)为偶函数，则a＝________；
(2) 已知函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b为偶函数，其定义域为[a－1，2a]，求函数f(x)的值域．
若函数f(x)＝为奇函数，则a＝________．
1. 函数f(x)＝＋(　　)
A. 是奇函数 B. 是偶函数
C. 既不是奇函数也不是偶函数 D. 既是奇函数又是偶函数
2. (2024吉林田家炳高级中学月考)若f(x)＝－x3＋(a－2)x2＋x是定义在R上的奇函数，则实数a的值为(　　)
A. 1 B. 2 C. 0 D. －2
3. (多选)下列函数中，图象关于y轴对称的有(　　)
A. f(x)＝x＋ B. f(x)＝ C. f(x)＝ D. f(x)＝x－
4. (2025汕尾期末)若函数f(x)＝(x－a)(x＋2)为偶函数，则实数a的值为__________．
5. 判断下列函数的奇偶性：
(1) f(x)＝3，x∈R；
(2) f(x)＝5x4－4x2＋7，x∈[－3，3]；
(3) f(x)＝|2x－1|－|2x＋1|.
5．4.2　函数的奇偶性(2)
1. 能用代数运算和函数图象揭示函数的主要性质．
2. 应用函数的性质解决简单的问题.
3. 体会数形结合、转化与化归等数学思想方法的应用.
活动一 巩固函数奇偶性的概念，判断复杂函数的奇偶性
例1　判断下列函数的奇偶性：
(1) f(x)＝；
(2) f(x)＝
判断下列函数的奇偶性：
(1) f(x)＝(x－2)；
(2) f(x)＝
活动二 利用函数奇偶性求函数解析式及单调区间
例2　已知奇函数f(x)＝
(1) 求实数m的值，并在平面直角坐标系中画出y＝f(x)的图象；
(2) 若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，试确定实数a的取值范围．
设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝x2＋1，求f(x)的解析式并求其单调区间．
求给定区间的解析式就设这个区间上的变量为x，然后把x转化为－x，此时－x成为已知区间上的变量，通过应用奇函数或偶函数的定义，适当推导，即可得所求区间上的解析式．
活动三 探究奇函数与偶函数的单调性
思考1
观察图中的两个图象，说明这两个图象对应的函数具有何种奇偶性？它们在y轴左右两侧的单调性相同吗？由此，我们可以得出的结论是什么？
　　
思考2
能否证明一下思考1中的结论(不妨以“已知f(x)在区间[a，b](a>0)上单调递增”为例).
思考3
如图，在两个偶函数的图象中，能否找出偶函数的图象在对称区间上的关系？
　　
例3　已知函数f(x)是奇函数，其定义域为(－1，1)，且在区间[0，1)上单调递增．若f(a－2)＋f(3－2a)<0，试求实数a的取值范围．
已知f(x)是R上的偶函数，在区间[0，＋∞)上单调递增，若有f(－2a＋3)>f(2a－1)成立，求实数a的取值范围．
1. 函数奇偶性和单调性的关系：
(1) 若f(x)是奇函数，且f(x)在区间[a，b]上是单调函数，则f(x)在区间[－b，－a]上也为单调函数，且具有相同的单调性．
(2) 若f(x)是偶函数，且f(x)在区间[a，b]上是单调函数，则f(x)在区间[－b，－a]上也为单调函数，且具有相反的单调性．
2. 利用单调性和奇偶性解不等式的方法：
(1) 充分利用已知的条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f(x1)＞f(x2)或f(x1)＜f(x2)的形式，再利用单调性去掉“f”求解．特别是f(x)为偶函数时，应把不等式f(x1)(2) 在对称区间上根据奇函数的单调性一致，偶函数的单调性相反，列出不等式或不等式组，求解即可，同时要注意函数自身定义域对参数的影响．
活动四 函数奇偶性与单调性的综合应用
例4　已知函数f(x)满足：当x，y∈R时，恒有f(x＋y)＝f(x)＋f(y).
(1) 求证：函数f(x)是奇函数；
(2) 若当x>0时，f(x)<0，且f(1)＝－，试求函数f(x)在区间[－2，6]上的最值．
已知f(x)是定义在R上的函数，对任意的x，y∈R，都有f(x＋y)＋f(x－y)＝2f(x)·f(y)，且f(0)≠0.
(1) 求证：f(0)＝1；
(2) 判断函数y＝f(x)的奇偶性．
判断抽象函数的奇偶性时，赋值后出现f(－x)和f(x)是关键，故赋值要恰当，认真体会赋值法在解题中的作用．
1. 已知f(x)是定义在R上的偶函数，若f(x)在区间[1，5]上单调递增，则下列各式中一定成立的是(　　)
A. f(－4)>f(5) B. f(－2)>f(3)
C. f(5)f(－1)
2. (2024德化二中期中)已知函数f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2－1，则f(－2)的值为(　　)
A. － B. － C. －3 D. 3
3. (多选)(2025眉山实验高级中学期末)下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递增的是(　　)
A. y＝－ B. y＝|x| C. y＝－x D. y＝x2－1
4. (2025北京石景山期末)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x<0时，f(x)＝3x2－2x，则当x>0时，f(x)＝________．
5. (2024宏图中学月考) 已知函数 f(x)＝.
(1) 判断函数f(x)的奇偶性，并证明；
(2) 求证：f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增；
(3) 求函数f(x)在区间[－6，－2]上的最大值和最小值．
5．4　函数的奇偶性
5．4.1　函数的奇偶性(1)
【活动方案】
思考1：(1) 这两个函数的图象都关于y轴对称．
(2) 对于函数定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x).
思考2：(1) 这两个函数的图象都关于原点对称．
(2) 对于函数定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x).
思考3：(1) 根据偶函数的定义知，对任意的x∈R，都有－x∈R，并且f(－x)＝f(x)，
所以f(－2)＝f(2)，故正确．
(2) 如f(x)＝x(x2－4)是奇函数，
满足f(－2)＝f(2)，故不正确．
(3) 因为f(－2)≠f(2)，所以“对任意的x∈R，f(－x)＝f(x)”不成立，即f(x)不是偶函数，故正确．
(4) 如f(x)＝x(x2－4)是奇函数，
满足f(－2)＝f(2)，故不正确．
例1　(1) 函数f(x)＝x4－1的定义域是R.因为对于任意的x∈R，都有－x∈R，且f(－x)＝(－x)4－1＝x4－1＝f(x)，所以函数f(x)是偶函数．
(2) 函数f(x)＝2x的定义域是R.因为对于任意的x∈R，都有－x∈R，且f(－x)＝2×(－x)＝－2x＝－f(x)，所以函数f(x)是奇函数．
(3) 函数f(x)＝2|x|的定义域是R.因为对于任意的x∈R，都有－x∈R，且f(－x)＝2×|－x|＝2|x|＝f(x)，所以函数f(x)是偶函数．
(4) 函数f(x)＝(x－1)2的定义域是R.
因为f(1)＝0，f(－1)＝4，
所以f(1)≠f(－1)，f(1)≠－f(－1)，
所以根据函数奇偶性的定义，可得函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数．
例2　函数f(x)的定义域是R.因为对于任意的 x∈R，都有－x∈R，且 f(－x)＝(－x)3＋5(－x)＝－(x3＋5x)＝－f(x)，所以函数y＝f(x)是奇函数．
跟踪训练　(1) 函数f(x)的定义域是R.因为对于任意的x∈R，都有－x∈R，且f(－x)＝＝－＝－f(x)，所以函数f(x)是奇函数．
(2) 函数f(x)的定义域是R.因为对于任意的 x∈R，都有－x∈R，且f(－x)＝|－x＋1|＋|－x－1|＝|x－1|＋|x＋1|＝f(x)，所以函数f(x)是偶函数．
(3) 函数f(x)的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，不关于原点对称，所以函数f(x) 既不是奇函数也不是偶函数．
(4) 函数f(x)的定义域为R.因为对于任意的 x∈R，都有－x∈R，且f(－x)＝0＝f(x)，且 f(－x)＝0＝－f(x)，所以f(x)既是奇函数又是偶函数．
例3　(1) 1　因为函数y＝(x＋1)(x－a)＝x2－(a－1)x－a为偶函数，所以x2－(a－1)x－a＝x2＋(a－1)x－a，所以a－1＝－(a－1)，所以 a＝1.
(2) 由题意，得a－1＋2a＝0，所以a＝，
则f(x)＝x2＋bx＋1＋b.
因为f(x)为偶函数，
所以f(x)＝f(－x)，所以b＝0，
所以f(x)＝x2＋1，
所以函数f(x)在区间上的值域为.
跟踪训练　　因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以＝－，所以(2a－1)x＝0，所以a＝.
【检测反馈】
1. D　由得x2＝1，即x＝±1，所以函数f(x)的定义域为{－1，1}．因为对任意x∈{－1，1}，都有－x∈{－1，1}，且f(1)＝f(－1)＝－f(－1)＝0，所以f(x)既是奇函数又是偶函数．
2. B　因为f(x)＝－x3＋(a－2)x2＋x是定义在R上的奇函数，所以f(－1)＝－f(1)，即－(－1)3＋(a－2)×(－1)2＋(－1)＝－[－13＋(a－2)＋1]，解得a＝2，所以f(x)＝－x3＋x，则f(－x)＝－(－x)3＋(－x)＝x3－x＝－(－x3＋x)＝－f(x)，满足f(x)＝－x3＋(a－2)x2＋x是定义在R上的奇函数．故a的值为2.
3. BC　对于A，函数f(x)＝x＋的定义域为{x|x≠0}，因为f(－x)＝－x－＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，图象关于原点对称，故A错误；对于B，函数f(x)＝的定义域为R，因为 f(－x)＝＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，图象关于y轴对称，故B正确；对于C，函数 f(x)＝的定义域为R，因为f(－x)＝＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，图象关于y轴对称，故C正确；对于D，函数f(x)＝x－的定义域为{x|x≠0}，因为f(－x)＝－x＋＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，图象关于原点对称，故D错误．故选BC.
4. 2　由题意可知f(－x)＝f(x)，即(x－a)(x＋2)＝(－x－a)(－x＋2)，整理，得x2＋(2－a)x－2a＝x2＋(a－2)x－2a，即2(a－2)x＝0对x∈R恒成立，所以a－2＝0，解得a＝2.
5. (1) f(x)的定义域为R.因为对于任意的x∈R，都有－x∈R，且f(－x)＝3＝f(x)，所以f(x)是偶函数．
(2) f(x)的定义域为[－3，3].因为对于任意的x∈[－3，3]，都有－x∈[－3，3]，且f(－x)＝5(－x)4－4(－x)2＋7＝5x4－4x2＋7＝f(x)，所以f(x)是偶函数．
(3) f(x)的定义域为R.因为对于任意的x∈R，都有－x∈R，且f(－x)＝|－2x－1|－|－2x＋1|＝－(|2x－1|－|2x＋1|)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．
5．4.2　函数的奇偶性(2)
【活动方案】
例1　(1) 由题意，得
所以
所以－1≤x<0或0所以f(x)＝.
因为对于任意的x∈[－1，0)∪(0，1]，都有－x∈[－1，0)∪(0，1]，且f(－x)＝－f(x)，
所以f(x)是奇函数．
(2) 当x>0时，－x<0，所以f(－x)＝－(－x)2－2(－x)－3＝－x2＋2x－3＝－f(x)；当x<0时，－x>0，所以f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋3＝x2＋2x＋3＝－f(x).
又f(0)＝0，所以函数f(x)为奇函数．
跟踪训练　(1) 由≥0，得定义域为[－2，2)，不关于原点对称，故函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数．
(2) 当x<－1时，－x>1，
所以f(－x)＝－(－x)＋2＝x＋2＝f(x)；
当x>1时，－x<－1，
所以f(－x)＝－x＋2＝f(x)；
当－1≤x≤1时，－1≤－x≤1，
所以f(－x)＝0＝f(x)，
所以对定义域内的每个x都有f(－x)＝f(x)，
所以函数f(x)是偶函数．
例2　(1) 当x<0时，－x>0，所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.
又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)＝－x2－2x，
所以f(x)＝x2＋2x，所以m＝2.
y＝f(x)的图象如图所示：
(2) 由(1)知，f(x)＝
由图象可知，f(x)在区间[－1，1]上单调递增，
要使f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，
只需解得1＜a≤3，
故实数a的取值范围为(1，3].
跟踪训练　当x<0时，－x>0，
所以 f(－x)＝(－x)2＋1＝x2＋1.
因为 f(x)是R上的奇函数，
所以 f(x)＝－f(－x)＝－x2－1，f(0)＝0，
所以 f(x)＝且f(x)的增区间为R.
思考1：两个图象均为奇函数的图象，在y轴左右两侧的对称区间上，函数的单调性相同，可得出结论：奇函数在对称区间上的单调性相同．
思考2：已知f(x)是奇函数，在区间[a，b](a>0)上单调递增．证明：f(x)在区间[－b，－a]上也单调递增．
证明：任取x1，x2∈[－b，－a]，且x1则f(x1)－f(x2)＝－f(－x1)－[－f(－x2)]＝f(－x2)－f(－x1).
因为－b≤x1又f(x)在区间[a，b]上单调递增，
所以f(－x2)所以f(－x2)－f(－x1)<0，即f(x1)所以f(x)在区间[－b，－a]上单调递增．
思考3：偶函数的图象在对称区间上单调性相反．
例3　因为f(a－2)＋f(3－2a)<0，
所以f(a－2)<－f(3－2a).
又f(x)为奇函数，所以f(a－2)因为f(x)在区间[0，1)上单调递增，
所以f(x)在区间(－1，1)上单调递增，
所以所以
所以1故实数a的取值范围为(1，2).
跟踪训练　因为f(x)是偶函数，在区间[0，＋∞)上单调递增，
所以其图象关于y轴对称，且f(x)在区间(－∞，0]上单调递减．
由于f(－2a＋3)>f(2a－1)成立，
根据其图象性质可知|－2a＋3|>|2a－1|，
两边平方，得(－2a＋3)2>(2a－1)2，
整理，得8>8a，解得a<1，
所以实数a的取值范围为(－∞，1).
例4　(1) 函数f(x)的定义域为R，关于原点对称．
因为f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，令y＝－x，
则f(0)＝f(x)＋f(－x).
令x＝y＝0，则f(0)＝f(0)＋f(0)，得f(0)＝0，
所以f(x)＋f(－x)＝0，即f(－x)＝－f(x)，
所以函数f(x)为奇函数．
(2) 任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1因为x2－x1>0，所以f(x2－x1)<0，
所以f(x2)－f(x1)<0，
所以f(x)在区间(0，＋∞)上单调递减．
又f(x)是奇函数，则f(x)在R上是减函数，
所以f(－2)为最大值，f(6)为最小值．
因为f(1)＝－，所以f(－2)＝－f(2)＝－2f(1)＝1，f(6)＝2f(3)＝2[f(1)＋f(2)]＝－3，
所以f(x)在区间[－2，6]上的最大值为1，最小值为－3.
跟踪训练　(1) 令x＝0，y＝0，得2f(0)＝2×[f(0)]2，
所以f(0)＝0或f(0)＝1.
又f(0)≠0，所以f(0)＝1.
(2) 令x＝0，则f(y)＋f(－y)＝2f(0)·f(y).
又f(0)＝1，即f(－y)＝f(y)，
即对于任意的x∈R，都有－x∈R，且f (－x)＝f(x)，
所以函数f(x)为偶函数．
【检测反馈】
1. D　由题意，得f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x)在区间[1，5]上单调递增．对于A，f(－4)＝f(4)f(3)，故C错误；对于D，因为f(－2)＝f(2)，f(－1)＝f(1)，且 f(2)>f(1)，所以f(－2)>f(－1)，故D正确．
2. C　因为函数f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以f(－2)＝－f(2)＝－(22－1)＝－3.
3. BD　对于A，y＝－为奇函数，不符合题意，故A错误；对于B，y＝|x|为偶函数，且在区间(0，＋∞)上单调递增，故B正确；对于C，y＝－x为奇函数，不符合题意，故C错误；对于D，y＝x2－1为偶函数，且在区间(0，＋∞)上单调递增，故D正确．故选BD.
4. －3x2－2x　令x>0，则－x<0.因为f(x)是定义在R的奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝－[3(－x)2－2(－x)]＝－3x2－2x.
5. (1) f(x)为奇函数，证明如下：
由题意，得函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0，且x∈R}，
则 x∈D，都有－x∈D，
且f(－x)＝＝－＝－f(x)，
所以函数f(x)为奇函数．
(2) 任取x1，x2∈(0，＋∞)，且0则f(x1)－f(x2)＝－＝＝.
因为00，x1－x2<0，x1x2＋1>0，
所以f(x1)－f(x2)<0，
所以f(x1)所以f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增．
(3) 因为f(x)为奇函数，且在区间(0，＋∞)上单调递增，
所以函数f(x)在区间[－6，－2]上单调递增，
所以当x＝－6时，f(x)取得最小值，即f(x)min＝f(－6)＝－；
当x＝－2时，f(x)取得最大值，即f(x)max＝f(－2)＝－.

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