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6．1　幂　函　数
1. 了解幂函数的概念，会画出幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x的图象，根据上述幂函数的图象，了解幂函数的变化情况和性质．
2. 了解几个常见的幂函数的性质，会用它们的单调性比较两个底数不同而指数相同的指数式的大小．
3. 进一步体会数形结合的思想．
活动一 幂函数的概念
在ab＝N中，如果给定a，b，N三个数中的两个数，那么ab＝N就成为以另一个数为未知数的方程，如：23＝x，x3＝8，2x＝8.对此，我们分别学习了乘方运算、开方运算和对数运算．
进一步，在ab＝N中，如果只给定a，b，N三个数中的一个数，那么ab＝N就成为另两个数之间的“函数关系”．设想：如果b一定，N随a的变化而变化，是不是可以确定一个函数呢？本节我们就来探讨这个问题．
试考察下列问题：
(1) 若正方体的边长为x，体积为y，则y＝x3.
(2) 若某放射性物质每经过1年，其剩留量是原来的x倍，则质量为1的这种物质经过100年后，其剩留量应为C＝x100.
(3) 如果某人驾车在ts内行进了1 km，那么该车的平均速度为v＝t-1 km/s.
思考1
上述3个问题中函数的对应关系分别是什么？
思考2
上述3个函数的解析式具有什么共同特征？
一般地，我们把形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．
思考3
判断一个函数是不是幂函数的标准是什么？
例1　在函数y＝，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝1中，幂函数的个数为________．
只有在形式上完全符合幂函数的定义的式子，才是幂函数，否则就不是．
已知y＝(m2＋2m－2)xm2－1＋2n－3是定义域为R的幂函数，求m，n的值．
活动二　幂函数的图象和性质　
例2　写出下列函数的定义域，并分别指出它们的奇偶性：
(1) y＝x3；
(2) y＝x；
(3) y＝x-2.
思考4
在同一平面直角坐标系内作出下列函数：y＝x，y＝x， y＝x2，y＝x-1，y＝x3的图象．
思考5
仔细观察五个函数的图象，你能填写表格的内容吗？
y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x-1
定义域
值域
奇偶性
单调性
思考6
你能从这五个具体的函数图象中，发现什么规律？
例3　求证：幂函数f(x)＝在区间[0，＋∞)上是增函数．
证明函数的单调性，一般是利用单调性的定义进行证明，证明的关键是通过变形，能够得出各因式的正负，从而能判断出f(x1)－f(x2)的正负．
求证：函数f(x)＝－x3＋1在R上是减函数．
活动三 幂函数的性质的应用
例4　试比较下列各组数的大小：
(1) 1.13，0.893；
(2) 2.1，2，1.8；
(3) ，1，3.
比较两个幂值的大小要仔细观察它们的异同点，指数相同底数不同时，要利用幂函数的单调性比较；指数与底数都不同时，要通过增加一个数起桥梁作用进行比较．
比较下列各组数的大小：
(1) ，；
(2) 2-3，2.5-3；
(3) 1.1-0.1，1.2-0.1；
(4) 4.1，3.8－，－1.9.
1. (2024常州期末)已知幂函数f(x)的图象经过点，则f(x)(　　)
A. 为偶函数且在区间(0，＋∞)上单调递增
B. 为偶函数且在区间(0，＋∞)上单调递减
C. 为奇函数且在区间(0，＋∞)上单调递增
D. 为奇函数且在区间(0，＋∞)上单调递减
2. 在下列四个图形中，y＝x－的图象大致是(　　)
A B C D
3. (多选)(2025嘉兴期末)已知幂函数f(x)＝xα(α为常数)，则下列结论中正确的是(　　)
A. 函数f(x)的图象都经过点(1，1)
B. 若α＝3，则f(3)＝27
C. 若α＝－1，则函数f(x)为偶函数
D. 若函数f(x)的图象经过点(4，2)，则函数f(x)在其定义域上单调递减
4. (2024温州期中)0.3__________0.2. (填“＞”“＝”或“＜”)
5. (2025许昌期末)已知函数f(x)＝(3m2－8m－2)xm(m∈R)为幂函数，且f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增．
(1) 求f(x)的解析式；
(2) 若f(a＋4)＋f(－a2＋a－1)<0，求实数a的取值范围．
6．1　幂　函　数
【活动方案】
思考1：(1) y＝x3　(2) C＝x100　(3) v＝t-1
思考2：这些函数的解析式是一个指数幂的形式，底数是自变量，指数是常数．
思考3：满足函数解析式右边的系数为1，底数为自变量，指数为常数这三个条件，才是幂函数．如：y＝x，y＝x2，y＝x-1都是幂函数，但y＝3x2，y＝(2x)3，y＝都不是幂函数．
例1　1　因为y＝＝x-2，所以是幂函数；y＝2x2的系数是2，因此不是幂函数；y＝x2＋x是两项和的形式，不是幂函数；常函数y＝1的图象比幂函数y＝x0(x≠0)的图象多了一个点(0，1), 所以常函数y＝1不是幂函数．综上，幂函数的个数为1.
跟踪训练　由题意，得
解得或
当m＝1，n＝时，y＝x0的定义域不是R，不符合题意，舍去；
当m＝－3，n＝时，y＝x8符合题意，
所以m＝－3，n＝.
例2　(1) 函数y＝x3的定义域是R.
因为对任意的x∈R，－x∈R，且都有(－x)3＝－x3，所以由奇函数的定义知，函数y＝x3是奇函数．
(2) 函数y＝x＝，其定义域是[0，＋∞).
因为当x∈(0，＋∞)时，－x (0，＋∞)，所以由奇函数、偶函数的定义知，函数y＝x既不是奇函数，也不是偶函数．
(3) 由函数y＝x-2＝可知x≠0，所以此函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞).
因为对任意的x∈R，x≠0，都有－x∈R，－x≠0，且(－x)-2＝x-2，所以由偶函数的定义知，函数y＝x-2是偶函数．
思考4：
思考5：
y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x-1
定义域 R R R [0，＋∞) {x|x≠0}
值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y≠0}
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 既不是奇函数 也不是偶函数 奇函数
单调性 在R上单调递增 在区间(0，＋∞)上单调递增， 在区间(－∞，0)上单调递减 在R上单调递增 在区间[0，＋∞)上单调递增 在区间(0，＋∞)和(－∞，0)上单调递减
思考6：①所有的幂函数y＝xα在区间(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1，1)；
②当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸；
③当α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上单调递减；
④幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y＝x对称；
⑤在第一象限，作直线x＝a(a>1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下往上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列．
例3　任取x1，x2∈[0，＋∞)，且x1则f(x1)－f(x2)＝－＝＝.
因为x1－x2<0，＋>0，
所以f(x1)跟踪训练　设x1，x2∈R，且x1则f(x1)－f(x2)＝(－x＋1)－(－x＋1)＝x－x＝(x2－x1)(x＋x1x2＋x).
因为x10.
又x＋x1x2＋x＝＋x，
且≥0，x≥0，
上式中两等号不能同时取得，否则x1＝x2＝0与x10，
所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
所以函数f(x)＝－x3＋1在R上为减函数．
例4　(1) 因为函数y＝x3在区间[0，＋∞)上单调递增，又1.1＞0.89，所以1.13＞0.893.
(2) 因为函数y＝x在区间[0，＋∞)上单调递增，又2.1>2＞1.8，所以2.1>2＞1.8.
(3) 因为函数y＝x1.3在区间[0，＋∞)上单调递增，又1＝11.3，＜1，所以＜11.3＝1.
因为函数y＝x在区间[0，＋∞)上单调递增，
又1＝1，3＞1，所以3>1＝1，
所以＜1＜3.
跟踪训练　(1) 因为函数y＝x在区间[0，＋∞)上单调递增，又＞，所以＞.
(2) 因为函数y＝x-3在区间(0，＋∞)上单调递减，又2＜2.5，所以2-3＞2.5-3.
(3) 因为函数y＝x-0.1在区间(0，＋∞)上单调递减，又1.1＜1.2，所以1.1-0.1＞1.2-0.1.
(4) 因为函数y＝x在区间[0，＋∞)上单调递增，又4.1＞1，所以4.1＞1＝1.
因为函数y＝x－在区间(0，＋∞)上单调递减，又3.8＞1，所以0＜3.8－＜1－＝1.
因为－1.9＜0，所以4.1＞3.8－＞－1.9.
【检测反馈】
1. B　设幂函数为f(x)＝xα，因为幂函数f(x)的图象经过点，所以2α＝，解得α＝－2，故f(x)＝x-2，定义域为{x|x≠0}，定义域关于原点对称，f(－x)＝(－x)-2＝x-2＝f(x)，所以f(x)为偶函数．因为－2<0，所以f(x)在区间(0，＋∞)上单调递减．
2. D　函数y＝x－的定义域为(0，＋∞)，是减函数．
3. AB　对于A，f(1)＝1α＝1，故A正确；对于B，当α＝3 时，f(x)＝x3，则f(3)＝27，故B正确；对于C，当α＝－1 时，f(x)＝，为奇函数，故C错误；对于D，若函数f(x)的图象经过点(4，2)，则f(x)＝，所以函数f(x)在其定义域上单调递增，故D错误．故选AB.
4. ＞　因为函数y＝x在区间[0，＋∞)上单调递增，且0.3>0.2，所以0.3>0.2.
5. (1) 因为函数f(x)＝(3m2－8m－2)xm(m∈R)为幂函数，且f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，
所以解得m＝3.
故f(x)的解析式为f(x)＝x3.
(2) 因为函数f(x)＝x3为奇函数且在R上单调递增，
所以不等式f(a＋4)＋f(－a2＋a－1)<0可化为f(a＋4)所以a＋40，
解得a<－1或a>3.
故实数a的取值范围为(－∞，－1)∪(3，＋∞).

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