资源简介

第5章　函数概念与性质 本 章 复 习
1. 理解函数的概念，能用代数运算和函数图象揭示函数的单调性、最大值、最小值、奇偶性等．
2. 会判断函数的单调性和奇偶性，并能综合运用其解决相关问题.
活动一 构建知识网络
活动二 探究求定义域的方法
例1　(1) 求y＝＋的定义域；
(2) 已知函数y＝f(x＋1)的定义域为(－1，1)，求函数y＝f(x)的定义域．
已知函数f(x)的定义域为[－2，1]，函数g(x)＝，则g(x)的定义域为　(　　)
A. B. (－1，＋∞) C. ∪(0，2) D.
1. 函数定义域是函数自变量的取值的集合，一般要求用集合或区间来表示．
2. 求函数定义域的方法，主要有如下三种：
(1) 已知函数解析式求函数定义域，只需使函数解析式有意义即可．
(2) 没有具体解析式时，根据已知函数定义域求解，即视为整体来求解．
(3) 应用题当中，需满足问题所包含的实际意义．
注意：求定义域时要使每个式子都有意义，所以通常取交集.
活动三 探究求值域的常用方法
例2　(1) 求函数y＝－2x2＋4x＋6的值域；
(2) 求函数y＝2x＋4的值域；
(3) 求函数y＝的值域．
(多选)对于定义域为D的函数y＝f(x)，如果同时满足下列条件：①f(x)在D内单调递增或单调递减；②存在区间[a，b] D，使f(x)在区间[a，b]上的值域为[a，b]，那么把y＝f(x)(x∈D)称为闭函数，则下列结论中正确的是(　　)
A. 函数y＝x2＋1是闭函数　 B. 函数y＝－x3是闭函数
C. 函数f(x)＝是闭函数 D. 当k＝－2时，函数y＝k＋是闭函数
1. 函数的值域即为函数值的集合，一般由定义域和对应关系确定，常用集合或区间来表示．
2. 值域的求法，就我们现在所学的知识而言，暂时介绍如下三种方法：
(1) 二次函数型利用“配方法”．
(2) 换元法(注意换元后新元的取值范围).
(3) 形如y＝(a，c≠0)的函数用分离常数法．
特别提示：关于“配方法”，若有定义域加以限制的，可画出图象，利用图象法解决．对于值域来说，定义域和对应关系相同，值域就一定相同，即为同一函数，所以判断两个函数是否为同一函数，只需看定义域和对应关系是否相同．
活动四 探究函数解析式求解的常用方法
例3　(1) 已知f(x)为二次函数，且f(x＋1)＋f(x－1)＝2x2－4x，求函数f(x)的解析式；
(2) 已知2f(x)＋f＝3x，x≠0，求函数f(x)的解析式；
(3) 设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝(x≠±1)，求f(x)，g(x)的解析式；
(4) 若f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝x(1－x)，求函数f(x)的解析式．
(1) 设函数f＝x，则f(x)＝________；
(2) 已知f(x)满足f(x)＋3f(－x)＝x2－3x，则f(x)＝________；
(3) 设f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f(x)＝x3＋1，则当x<0时，f(x)＝________．
1. 换元法：将自变量如“＋1”换作另一个元素(字母)t，然后从中解出x与t的关系，代入原式中便可求出关于t的函数关系，此即为函数解析式，但在利用这种方法时应注意自变量取值范围的变化，否则就得不到正确的解析式，此法是求函数解析式时常用的方法．
2. 待定系数法： 若已知函数是某个基本函数，可设表达式的一般式，再利用已知条件求出系数．
3. 方程消元法： 方程消元法是指利用方程组通过消参、消元的方法达到求函数解析式的目的．
4. 化归法：利用奇偶性的定义求某个区间上的解析式，可利用化归的思想，转化到对应的已知解析式的区间上求解．
活动五 探究分段函数
例4　(1) 求函数f(x)＝的值域；
(2) 已知f(x)＝求f(5)的值；
(3) 已知函数f(x)＝作出此函数的图象；
(4) 某移动公司采用分段计费的方法来计算话费，月通话时间x(单位：min)与相应话费y(单位：元)之间的函数图象如图所示．
①当月通话时间为50 min时，话费为多少元？
②求y与x之间的函数关系式.
已知函数f(x)＝3－2|x|，g(x)＝x2－2x，F(x)＝则下列说法中正确的是　(　　)
A. F(x)的最大值为3，最小值为1　　 B. F(x)的最大值为2－，无最小值
C. F(x)的最大值为7－2，无最小值 D. F(x)的最大值为3，最小值为－1
1. 求分段函数的定义域、值域：分段函数的定义域是各段函数解析式中自变量取值集合的并集；分段函数的值域是各段函数值集合的并集．
2. 求分段函数的函数值：求分段函数的函数值时，关键是判断所给出的自变量所处的区间，再代入相应的解析式；另一方面，如果题目中含有多个分层的形式，那么需要由里到外层层处理．
3. 画出分段函数的图象：分段函数有几段，其图象就由几条曲线组成，作图的关键是根据定义域的不同分别由表达式作出其图象，作图时一要注意每段函数图象自变量的取值范围，二要注意判断函数图象每段端点的虚实．
4. 求分段函数的解析式：以收费为题材的数学问题多以分段函数的形式出现，解决此类问题的关键是正确地理解题目(或图象)给出的信息，确定合适的数学模型及准确的自变量的分界点．
活动六 探究函数图象的三种变换
例5　(1) 设f(x)＝x2，则f(x＋1)的解析式是什么？在同一平面直角坐标系中，作出两函数的图象，这两个图象形状一样吗？位置呢？
(2) 在同一平面直角坐标系中作出f(x)＝x2，f(x－2)的图象，观察两者的形状和位置有什么异同？
(3) 若f(x)＝x2，写出y＝f(x)＋1和y＝f(x)－2的解析式，并在同一平面直角坐标系中作出三者的图象，观察其形状和位置的异同？
(4) 若已知y＝f(x)的图象，如何得到y＝f(x＋a)(a>0)和y＝f(x)＋b(b>0)的图象？
(1) 设f(x)＝x＋1，在同一平面直角坐标系中画出y＝f(x)和y＝f(－x)的图象，并观察两个函数图象的关系；
(2) 设f(x)＝x＋1，在不同的平面直角坐标系中画出y＝f(x)和y＝|f(x)|的图象，并观察两个函数图象的关系；
(3) 设f(x)＝x＋1，在不同的平面直角坐标系中画出y＝f(x)和y＝f(|x|)的图象，并观察两个函数图象的关系．
1. 平移变换：
(1) 左右平移：当a＞0时，y＝f(x)的图象向左平移a个单位长度得到y＝f(x＋a)的图象；当a＞0时，y＝f(x)的图象向右平移a个单位长度得到y＝f(x－a)的图象．
(2) 上下平移：当b＞0时，y＝f(x)的图象向上平移b个单位长度得到y＝f(x)＋b的图象；当b＞0时，y＝f(x)的图象向下平移b个单位长度得到y＝f(x)－b的图象．
2. 对称变换：函数y＝f(x)的图象与函数y＝f(－x)的图象关于y轴对称；函数y＝f(x)的图象与函数y＝－f(x)的图象关于x轴对称；函数y＝f(x)的图象与函数y＝－f(－x)的图象关于原点对称.
3. 翻折变换：通过观察两个函数图象可知，要得到函数y＝|f(x)|的图象，只需将函数y＝f(x)的图象中x轴下方的图象翻折到x轴上方，其余部分不变；要得到函数y＝f(|x|)的图象，先将函数y＝f(x)的图象在y轴左侧的部分去掉，然后将y轴右侧的图象翻折到左侧，其余不变．
活动七 探究函数单调性的证明
例6　(1) 已知函数f(x)＝x＋，求证：函数f(x)在区间(0，1]上单调递减；
(2) 已知函数f(x)＝，求证：函数f(x)在区间[1，＋∞)上单调递增．
由定义证明函数f(x)在区间D上的单调性，其步骤为：取值→作差→变形→定号．其中变形是最关键的一步，合理的变形是准确判断f(x1)－f(x2)符号的关键所在．
(1) 因式分解是变形的常用策略，但必须注意，分解时一定要彻底，这样才利于判断f(x1)－f(x2)的符号．
(2) 对于分式形式进行通分．
(3) 对于根式函数常采用分子或分母有理化变形手段以达到判断f(x1)－f(x2)符号的目的.
活动八 探究函数单调性、奇偶性的综合问题
例7　(1) 已知函数f(x)是偶函数，且在区间[0，1]上单调递减，则f(－0.5)，f(－1)，f(0)的大小关系是__________________；
(2) 若偶函数f(x)在区间[3，6]上单调递增且f(6)＝9，则它在区间[－6，－3]上的最大值为________；
(3) 若函数f(x)是奇函数，且在区间(－∞，0)上单调递增，又f(－2)＝0，则x·f(x)＜0的解集是__________；
(4) 设定义在区间(－1，1)上的奇函数f(x)在区间[0，1)上单调递增，且有f(1－m)＋f＜0，求实数m的取值范围．
1. 比较大小：比较两个函数值的大小时，若两个自变量的值不在同一单调区间上，则需要利用奇偶性来进行转化．
2. 求函数最值：应用单调性和奇偶性的联系求最值时，一定要确定是最大值还是最小值．
3. 解不等式是单调性和奇偶性的综合应用，并且有较强的抽象性. 只要抓住其对称性，分析图象的特点，画出符合条件的图象，就不难解决问题．
4. 求参数的取值范围：通过函数奇偶性和单调性的定义及其相关特征解决问题．
活动九 探究二次函数的有关问题
例8　已知二次函数f(x)＝ax2＋bx满足f(2)＝0，且方程f(x)＝x有两个相等的实数根．
(1) 求函数f(x)的解析式；
(2) 是否存在实数m，n(m＜n)，使得f(x)的定义域为[m，n]，值域为[2m，2n]？若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由．
例9　已知二次函数f(x)＝ax2＋4ax＋a2－1在区间[－4，1]上的最大值为5，求实数a的值．
应用分类讨论思想的实质是：将整体问题转化为部分来解决，化成部分后，从而增加题设条件．在解决含有字母参数的问题时，常用到分类讨论思想，分类讨论时要弄清对哪个字母进行分类讨论，分类的标准是什么，分类时要做到不重不漏．
1. (2024莆田期中)函数f(x)＝的图象大致为(　　)
A B C D
2. 已知a>2，则函数y＝x2－2x－1，x∈[0，a]的值域是(　　)
A. [－2，－1] B. [－1，a2－2a－1]
C. [－2，a2－2a－1] D. [－2，2]
3. (多选)(2024新余四中月考)下列命题中，正确的是(　　)
A. f(x)＝与g(t)＝|t|表示同一函数
B. 若A＝{x|x<0}，B＝{y|y≥0}，则f：x→y＝|x|是集合A到B的一个函数
C. 若函数y＝f(x)的定义域是[0，2]，则函数g(x)＝的定义域为[－1，1)
D. 若函数y＝f(x)的值域是[1，3]，则函数g(x)＝1－f(x＋3)的值域是[－5，－3]
4. (2024源清中学期中)已知函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝－x3＋x2，则当x>0时，f(x)＝________.
5. (2024茂名期末)已知函数f(x)＝x2＋2ax－1.
(1) 若f(1)＝2，求实数a的值，并求此时函数f(x)的最小值；
(2) 若f(x)为偶函数，求实数a的值；
(3) 若f(x)在区间(－∞，4]上单调递减，求实数a的取值范围．
本 章 复 习
【活动方案】
例1　(1) 由题意知解得x≥－2且x≠4，故所求定义域为[－2，4)∪(4，＋∞).
(2) 令t＝x＋1.因为－1＜x＜1，所以0＜t＜2，
所以f(t)的定义域为(0，2)，
即所求定义域为(0，2).
跟踪训练　A　由题意，得解得－例2　(1) 由y＝－2(x－1)2＋8，得函数的值域为(－∞，8].
(2) 令t＝(t≥0)，则y＝－2t2＋4t＋2＝－2(t－1)2＋4，故所求值域为(－∞，4].
(3) y＝＝＝2＋.
因为≠0，所以y≠2，
所以值域为{y|y∈R且y≠2}．
跟踪训练　BD　因为y＝x2＋1在定义域R上不是单调函数，所以函数y＝x2＋1不是闭函数，故A错误；y＝－x3在定义域上是减函数，由题意设[a，b] D，则解得所以存在区间[－1，1]，使y＝－x3在区间[－1，1]上的值域为[－1，1]，故B正确；f(x)＝＝1－在区间(－∞，－1)上单调递增，在区间(－1，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)在定义域上不单调递增或单调递减，从而该函数不是闭函数，故C错误；y＝－2＋的定义域为[－2，＋∞)，且是定义域上的增函数．若y＝－2＋是闭函数，则存在区间[a，b]，使y＝－2＋的值域为[a，b]，即所以a，b为方程x＝－2＋的两个不相等的实数根，方程整理，得x2＋3x＋2＝0，解得x＝－2或x＝－1，所以存在区间[－2，－1] [－2，＋∞)，使y＝－2＋在区间[－2，－1]上的值域为[－2，－1]，所以函数y＝－2＋是闭函数，故D正确．故选BD.
例3　(1) 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
则f(x＋1)＋f(x－1)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c＋a(x－1)2＋b(x－1)＋c＝2ax2＋2bx＋2a＋2c＝2x2－4x，
所以解得
所以f(x)＝x2－2x－1.
(2) 2f(x)＋f＝3x，①
用去换①中的x，得2f＋f(x)＝.②
由①②，得f(x)＝2x－，x≠0.
(3) 因为f(x)＋g(x)＝，①
所以f(－x)＋g(－x)＝.②
因为f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，
所以f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，
所以②式可变为f(x)－g(x)＝.③
联立①③，解方程组，得f(x)＝，
g(x)＝，
所以f(x)＝(x≠±1)，g(x)＝(x≠±1).
(4) 因为f(x)是定义在R上的奇函数，
所以f(0)＝0.
又当x>0时，－x<0，所以f(－x)＝－x(1＋x).
又f(－x)＝－f(x)，所以f(x)＝x(1＋x)，
所以函数f(x)的解析式为
f(x)＝
跟踪训练　(1) (x≠－1)　设t＝(t≠－1)，则x＝，所以f(t)＝(t≠－1)，所以f(x)＝(x≠－1).
(2) ＋x　用－x替换原式中的x，得f(－x)＋3f(x)＝x2＋3x，与f(x)＋3f(－x)＝x2－3x联立，消去f(－x)，得f(x)＝＋x.
(3) －x3＋1　当x<0时，－x>0，所以f(－x)＝(－x)3＋1＝－x3＋1.由题意，得f(x)是偶函数，则f(－x)＝f(x)，所以f(x)＝－x3＋1.
例4　(1) 当x≤－2时，y＝x2＋4x＝(x＋2)2－4，
所以y≥－4；
当x＞－2时，y＝，所以y＞＝－1，
所以函数f(x)的值域是{y|y≥－4}．
(2) f(5)＝f(f(5＋6))＝f(f(11))＝f(9)＝f(f(15))＝f(13)＝11.
(3) 函数f(x)的大致图象如图所示．
(4) ①当0≤x≤100时，
设函数解析式为y＝kx(k≠0).
因为y＝kx的图象过点(100，40)，所以解析式为y＝x，
所以当月通话时间为50 min时，
话费为y＝×50＝20(元).
②当x＞100时，
设函数解析式为y＝ax＋b(a≠0).
由图知当x＝100时，y＝40；当x＝200时，y＝60，
所以解得
所以y＝x＋20.
由①知，当0≤x≤100时，y＝x.
故y与x之间的函数关系式为y＝
跟踪训练　C　由F(x)＝得当3－2|x|≥x2－2x，即2－≤x≤时，F(x)＝x2－2x；当x2－2x>3－2|x|，即x<2－或 x>时，F(x)＝3－2|x|，因此F(x)＝作出其图象如图所示，观察图象可以发现，F(x)max＝F(2－)＝7－2，无最小值．
例5　(1) 由f(x)＝x2，得f(x＋1)＝(x＋1)2.作图略．两个图象形状一样，将y＝f(x)的图象向左平移1个单位长度得到f(x＋1)的图象．
(2) 作图略，将f(x)＝x2的图象向右平移2个单位长度得到f(x－2)的图象．
(3) f(x)＋1＝x2＋1，f(x)－2＝x2－2，作图略．将f(x)＝x2的图象向上平移1个单位长度得到y＝f(x)＋1的图象；将f(x)的图象向下平移2个单位长度得到y＝f(x)－2的图象．
(4) 将y＝f(x)的图象向左平移a个单位长度得到y＝f(x＋a)的图象；将y＝f(x)的图象向上平移b个单位长度得到y＝f(x)＋b的图象．
跟踪训练　(1) y＝f(x)的图象与y＝f(－x)的图象关于y轴对称，如图．
(2) 只需将y＝f(x)的图象中x轴下方的图象翻折到x轴上方，其余部分不变，即可得到y＝|f(x)|的图象，如图．
　
(3) 先将y＝f(x)的图象在y轴左侧的部分去掉，再将y轴右侧的图象翻折到左侧，右侧图象不变，即可得到y＝f(|x|)的图象，如图．
　
例6　(1) 设x1，x2是区间(0，1]上的任意两个实数，且x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝x1＋－x2－＝(x1－x2)·.
因为x1＜x2，且x1，x2∈(0，1]，
所以x1－x2＜0，0＜x1x2＜1，
所以f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，
故函数f(x)在区间(0，1]上单调递减．
(2) 设x1，x2是区间[1，＋∞)上的任意两个实数，且x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝－＝.　
因为x1＜x2，且x1，x2∈[1，＋∞)，
所以x1－x2＜0，＋＞0，
所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，
故函数f(x)在区间[1，＋∞)上单调递增．
例7　(1) f(－1)＜f(－0.5)＜f(0)　因为函数f(x)是偶函数，所以f(－0.5)＝f(0.5)，f(－1)＝f(1).因为f(x)在区间[0，1]上单调递减，所以f(－1)＜f(－0.5)＜f(0).
(2) 9　因为f(x)是偶函数且在区间[3，6]上单调递增，所以f(x)在区间[－6，－3]上单调递减，所以f(x)在区间[－6，－3]上的最大值为f(－6)＝f(6)＝9.
(3) (－2，0)∪(0，2)　根据题意，画出草图(图略).因为x·f(x)＜0，所以或结合图象，可知原不等式的解集为(－2，0)∪(0，2).
(4) 因为f(x)是奇函数，
所以由f(1－m)＋f<0，
得f(1－m)<－f，
即f(1－m)因为奇函数f(x)在区间[0，1)上单调递增，
所以f(x)在区间(－1，1)上单调递增，
所以解得所以实数m的取值范围是.
例8　 (1) 因为 f(2)＝0，所以4a＋2b＝0，即 b＝－2a.
因为方程ax2＋bx＝x有两个相等的实数根，
即ax2＋(b－1)x＝0有两个相等的实数根，
所以Δ＝(b－1)2＝0，所以b＝1，a＝－，
所以f(x)＝－x2＋x.
(2) 由(1)知f(x)max＝＝，
所以2n≤，即n≤，所以m因为f(x)在区间上单调递增，
所以f(m)＝2m，f(n)＝2n，
所以m，n为方程f(x)＝2x的两根，
所以－x2＋x＝2x，即－x2－x＝0，
所以x＝0或x＝－2，所以m＝－2，n＝0.
例9　函数f(x)图象的对称轴为直线x＝－2.
当a>0时，f(x)max＝f(1)＝5a＋a2－1＝5，
即a2＋5a－6＝0，
解得 a＝1或a＝－6(舍去)，所以a＝1；
当a<0时，f(x)max＝f(－2)＝4a－8a＋a2－1＝5，
即 a2－4a－6＝0，
解得a＝2－或a＝2＋(舍去)，
所以a＝2－.
综上所述，实数a的值为1或2－.
【检测反馈】
1. C　由题意，得f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．又f(x)＝＝x－， 所以f(－x)＝－x－＝－x＋＝－＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，故排除A，D；因为y＝x在区间(0，＋∞)上单调递增，y＝－在区间(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)＝x－在区间(0，＋∞)上单调递增，故排除B，故选C.
2. C　由题意，得y＝x2－2x－1图象的对称轴为直线x＝1.又a>2，所以当x＝1时，ymin＝－2；当 x＝a时，ymax＝a2－2a－1，即函数y＝x2－2x－1，x∈[0，a]的值域是[－2，a2－2a－1].
3. ABC　对于A，f(x)＝g(t)＝|t|＝因为f(x)与g(t)的定义域、对应关系一致，所以f(x)与g(t)表示同一函数，故A正确；对于B，因为A＝{x|x<0}，B＝{y|y≥0}，所以f：x→y＝|x|是集合A到B的一个函数，故B正确；对于C，因为g(x)的分母不能为0，所以x≠1.又0≤x＋1≤2，所以－1≤x≤1，所以g(x)的定义域为[－1，1)，故C正确；对于D，因为函数y＝f(x)的值域是[1，3]，所以f(x＋3)的值域是[1，3]，所以g(x)的值域是[－2，0]，故D错误．故选ABC.
4. －x3－x2　若x>0，则－x<0，可得f(－x)＝－(－x)3＋(－x)2＝x3＋x2.又函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝－x3－x2.
5. (1) 由题意，得f(1)＝1＋2a－1＝2，解得 a＝1，
此时函数f(x)＝x2＋2x－1＝(x＋1)2－2≥－2，
故当x＝－1时，函数f(x)取得最小值－2.
(2) 若f(x)为偶函数，则对任意x∈R，
都有f(－x)＝(－x)2＋2a(－x)－1＝f(x)＝x2＋2ax－1，
即4ax＝0，故a＝0.
(3) 函数f(x)＝x2＋2ax－1的单调减区间是(－∞，－a]，
因为f(x)在区间(－∞，4]上单调递减，
所以4≤－a，即a≤－4，
故实数a的取值范围为(－∞，－4].

展开更多......

收起↑