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7.1.1　任　意　角
1. 理解任意角的概念，学会在平面内建立适当的坐标系来讨论任意角，掌握正角、负角、零角的定义．
2. 能在0°到360°范围内，找到一个与已知角终边相同的角，并判定其为第几象限角．
3. 能写出与任一已知角终边相同的角的集合，能表示特殊位置(或给定区域内)的角的集合．
活动一 了解任意角的概念及象限角
我们已经学习过一些角，如锐角、直角、钝角、平角、周角．利用这些角，我们已能表示圆周上某些点．但要表示圆周上周而复始地运动着的点，仅有这些角是不够的．如摩天轮在空中旋转了两周半，跳水运动员转体两周半，体操运动员向前转体三周，向后转体两周等．如何用角来表示？
思考1
初中是如何定义角的？
思考2
旋转两周半是转了怎样的一个角？
思考3
为了表示不同旋转方向所形成的角，应如何规定呢？
角的概念推广到了任意角，确定角的关键是旋转方向和旋转量的大小．
类型 定义 图示
正角 按逆时针方向旋转所形成的角
负角 按顺时针方向旋转所形成的角
零角 射线从起始位置OA没有作任何旋转，终止位置OB与起始位置OA重合，称这样的角为零角
思考4
(1) 如何定义两角的和、互为相反角、两角的差？
(2) 如果把一个角的顶点放在直角坐标系的原点，角的始边为x轴的正半轴，那么角的终边的位置在坐标系中有几种情况？
在直角坐标系内，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合．
象限角：终边在第几象限就是第几象限角；
轴线角：终边落在坐标轴上的角．
思考5
－300°，－150°，－60°，60°，210°，300°，420°角分别是第几象限角？其中哪些角的终边相同？
思考6
具有相同终边的角彼此之间有什么关系？你能写出与60°角终边相同的角的集合吗？
思考7
如何判断两个角的终边是否相同？
1. 在平面直角坐标系内讨论角时，相等的角的终边一定相同，但终边相同的角不一定相等．终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍．
2. 任何一个与角α终边相同的角，都可以写成角α与整数个周角的和的形式．
活动二 终边相同的角的表示及象限角的判断
例1　在0°到360°的范围内，找出与下列各角终边相同的角，并分别判断它们是第几象限的角．
(1) 650°；　(2) －150°；　(3) －990°15′.
在0°到360°的范围内，请指出与下列角的终边相同的角，并说出它们是第几象限角．
(1) 430°；　　 (2) 909°；
(3) －60°； (4) －1 550°.
例2　写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中在－360°到720°间的角写出来．
(1) 35°；　(2) －21°；　(3) 363°14′.
已知角α＝2 010°.
(1) 把α改写成k·360°＋β(k∈Z，0°≤β<360°)的形式，并指出它是第几象限角；
(2) 求角θ，使角θ与α终边相同，且－360°≤θ<720°.
1. 将任意角化为α＋k·360°(k∈Z且0°≤α<360°)的形式，关键是确定k的值．可以用观察法(α的绝对值较小)也可用除法．
2. 要求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值．
活动三 象限角的表示及其应用　　
例3　(1) 终边落在x轴的正半轴上的角的集合怎样表示？终边落在x轴的负半轴上的角的集合怎样表示？终边落在x轴上的角的集合怎样表示？
(2) 终边落在y轴的正半轴上的角的集合怎样表示？终边落在y轴的负半轴上的角的集合怎样表示？终边落在y轴上的角的集合怎样表示？
(3) 终边落在坐标轴上的角的集合怎样表示？
如图所示：
(1) 写出终边落在射线OA，OB上的角的集合；
(2) 写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．
探究　若α是第三象限角，则2α，分别是第几象限角？
由角α所在的象限确定nα，(n∈N*)的终边所在的象限的解题步骤：
(1) 由α所在象限先写出α的范围；
(2) 由α的范围写出nα，的范围；
(3) 观察360°前面的系数，进行讨论，使之变形为360°的整数倍，再加后面的一个角；
(4) 从而判定nα与所在的象限．
1. (2024唐山期末)已知α＝944°，则α是(　　)
A. 第一象限角 B. 第二象限角
C. 第三象限角 D. 第四象限角
2. (2024浙江南太湖联盟月考)如图，终边在阴影部分(含边界)的角的集合是(　　)
A. {α|－60°≤α≤135°}
B. {α|135°≤α≤300°}
C. {α|－60°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}
D. {α|135°＋k·360°≤α≤300°＋k·360°，k∈Z}
3. (多选)下列说法中，正确的是(　　)
A. 锐角都是第一象限角
B. 第二象限角都比第三象限角小
C. 若角α与角β不等，则两角的终边不同
D. 若角α与角β终边相同，则β＝k·360°＋α，k∈Z
4. 把分针拨快 15 min，则分针转过的角度为________．
5. 已知角α＝30°.
(1) 求在－360°～0°范围内与角α终边相同的角；
(2) 若角β与角α的终边相同，判断角是第几象限角．
7.1.1　任　意　角
【活动方案】
思考1：有公共端点的两条射线组成的图形．
思考2：一个角可以看作平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．射线的端点称为角的顶点，射线旋转的开始位置和终止位置称为角的始边和终边．如图所示，射线OA绕端点O，按箭头所示方向旋转到OB便形成角α.因此，旋转两周半，就是旋转了900°的角．
思考3：按逆时针方向旋转所形成的角叫作正角；按顺时针方向旋转所形成的角叫作负角．如果射线没有进行旋转，那么也把它看成一个角，叫作零角．
思考4：(1) 对于两个任意角α，β，将角α的终边旋转角β(当β是正角时，按逆时针方向旋转；当β是负角时，按顺时针方向旋转；当β是零角时，不旋转)，这时终边所对应的角称为α与β的和，记作 α＋β.射线OA绕端点O分别按逆时针方向、顺时针方向旋转相同的量所成的两个角称为互为相反角．角α的相反角记为－α，于是有α－β＝α＋(－β).
(2) 在第一、二、三、四象限或与坐标轴重合．
思考5：－300°是第一象限角，－150°是第三象限角，－60° 是第四象限角，60°是第一象限角，210°是第三象限角，300°是第四象限角，420°是第一象限角．－300°，60°与420°的终边相同，－150°与210°的终边相同，－60°与300°的终边相同．
思考6：与角α终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}，与60°角终边相同的角的集合为{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}．
思考7：若β＝α＋k·360°，k∈Z，则角β与角α的终边相同；否则，终边不相同．
例1　(1) 因为650°＝360°＋290°，所以650°的角与290°的角终边相同，是第四象限角．
(2) 因为－150°＝－360°＋210°，所以－150°的角与210°的角终边相同，是第三象限角．
(3) 因为－990°15′＝－3×360°＋89°45′，所以－990°15′的角与89°45′的角终边相同，是第一象限角．
跟踪训练　(1) 因为430°＝360°＋70°，所以430°的角与70°的角终边相同，是第一象限角．
(2) 因为909°＝2×360°＋189°，所以909°的角与189°的角终边相同，是第三象限角．
(3) 因为－60°＝－360°＋300°，所以－60°的角与300°的角终边相同，是第四象限角．
(4) 因为－1 550°＝－5×360°＋250°，所以－1 550°的角与250°的角终边相同，是第三象限角．
例2　(1) S＝{α|α＝35°＋k·360°，k∈Z}，
所以S中符合－360°<α<720°的角是：
35°－1×360°＝－325°；35°＋0×360°＝35°；
35°＋1×360°＝395°.
(2) S＝{α|α＝－21°＋k·360°，k∈Z}，
所以S中符合－360°<α<720°的角是：
－21°＋0×360°＝－21°；－21°＋1×360°＝339°；
－21°＋2×360°＝699°.
(3) S＝{α|α＝363°14′＋k·360°，k∈Z}，
所以S中符合－360°<α<720°的角是：
363°14′－2×360°＝－356°46′；363°14′－1×360°＝3°14′；363°14′＋0×360°＝363°14′.
跟踪训练　(1) α＝5×360°＋210°，α为第三象限角．
(2) 与2 010°角终边相同的角为k·360°＋2 010°(k∈Z).
令－360°≤k·360°＋2 010°<720°(k∈Z)，
解得－6≤k<－3(k∈Z)，
所以k的值为－6，－5，－4.
将k的值代入k·360°＋2 010°中，得角θ的值为－150°，210°，570°.
例3　(1) 终边落在x轴正半轴上的角的集合为{α|α＝k·360°，k∈Z}，
终边落在x轴负半轴上的角的集合为{α|α＝180°＋k·360°，k∈Z}，
终边落在x轴上的角的集合为{α|α＝k·360°，k∈Z}∪{α|α＝k·360°＋180°，k∈Z}，
即{α|α＝2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝n·180°，n∈Z}．
(2) 终边落在y轴正半轴上的角的集合为{α|α＝90°＋k·360°，k∈Z}，
终边落在y轴负半轴上的角的集合为{α|α＝270°＋k·360°，k∈Z}，
终边落在y轴上的角的集合为{α|α＝90°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝270°＋k·360°，k∈Z}，
即{α|α＝90°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝90°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝90°＋n·180°，n∈Z}．
(3) 终边落在坐标轴上的角的集合为{α|α＝n·180°，n∈Z}∪{α|α＝90°＋n·180°，n∈Z}，
即{α|α＝2n·90°，n∈Z}∪{α|α＝(2n＋1)·90°，n∈Z}＝{α|α＝k·90°，k∈Z}．
跟踪训练　(1) 终边落在射线OA上的角的集合为{α|α＝k·360°＋210°，k∈Z}，终边落在射线OB上的角的集合为{α|α＝k·360°＋300°，k∈Z}．
(2) {α|k·360°＋210°≤α≤k·360°＋300°，k∈Z}．
例4　因为α＝240°＋k·360°，k∈Z，
所以＝120°＋k·180°，k∈Z，
①当k＝2n(n∈Z)时，＝120°＋n·360°(n∈Z)，即是第二象限角；
②当k＝2n＋1(n∈Z)时，＝300°＋n·360°(n∈Z)，即是第四象限角．
故是第二或第四象限角．
2α＝480°＋2k·360°＝120°＋(2k＋1)·360°，k∈Z，故2α为第二象限角．
探究　因为α是第三象限角，
所以180°＋k·360°<α<270°＋k·360°(k∈Z)，
所以360°＋k·720°<2α<540°＋k·720°(k∈Z)，
所以2α是第一或第二象限角，或角的终边在y轴的正半轴上．
因为α是第三象限角，
所以180°＋k·360°<α<270°＋k·360°(k∈Z)，
所以90°＋k·180°<<135°＋k·180°(k∈Z).
①当k＝2n(n∈Z)时，
90°＋n·360°<<135°＋n·360°(n∈Z)，
即是第二象限角；
②当k＝2n＋1(n∈Z)时，
270°＋n·360°<<315°＋n·360°(n∈Z)，
即是第四象限角．
故是第二或第四象限角．
【检测反馈】
1. C　因为α＝944°＝224°＋2×360°，224°是第三象限角，所以α是第三象限角．
2. C　在－180°～180°间阴影部分区域中两条边界所在的终边表示的角分别为－60°和135°，所以阴影部分的区域在－180°～180°间的范围是－60°≤α≤135°，所以终边在阴影部分区域(含边界)的角的集合为{α|－60°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}．
3. AD　锐角都是第一象限角，故A正确；第二象限角不是都比第三象限角小，故B错误；角α与角β不等，但两角的终边可以相同，故C错误；若角α与角β终边相同，则β＝k·360°＋α，k∈Z，故D正确．故选AD.
4. －90°　若分针拨快15 min，则分针转过的角度为×＝－90°.
5. (1) 与角α的终边相同的角的集合为{θ|θ＝30°＋k·360°，k∈Z}，
令－360°<360°·k＋30°<0°，则－又k∈Z，所以k＝－1，
所以在－360°～0°范围内与角α的终边相同的角是－330°.
(2) 易得β＝360°·k＋30°，k∈Z，则＝180°·k＋15°，k∈Z，
当k为偶数时，是第一象限角；
当k为奇数时，是第三象限角，
所以是第一或第三象限角．

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