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7.2.1　任意角的三角函数(1)
1. 掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义．
2. 掌握正弦、余弦、正切函数的定义域和这三种函数的值在各象限的符号．
活动一 理解任意角α的正弦、余弦、正切
用(r，α)与用坐标(x，y)均可表示圆周上的点P，那么，这两种表示有什么内在联系？
为了建立(x，y)与(r，α)之间的关系，我们可以从简单的情形出发，先考察α为锐角时的情形．
思考1
初中所学的“锐角的正弦、余弦、正切”是放在什么三角形中定义的？它与x，y，r，α之间的关系有什么联系？
思考2
对于确定的锐角α，上述三个比值是否会随点P 在角α的终边上的位置改变而改变？
思考3
对任意角α，在平面直角坐标系中，设α的终边上异于原点的任意一点P的坐标为(x，y)，它与原点的距离r怎样用x，y来表示？比值，，是否会随点P在角α终边上的位置改变而改变？
思考4
如何定义任意角α的正弦、余弦、正切？
1. 任意角的正弦、余弦、正切是在坐标系中定义的，角的范围是使比值有意义的实数集．
2. 任意角的正弦、余弦、正切值是比值，是一个实数，这个实数的大小只与α有关，而与α终边上的点P的位置无关．
3. 正弦、余弦、正切符号是一个整体，离开α的sin ，cos ，tan 是没有意义的，如sin α表示的是一个比值，而不是sin 与α的积．
例1　已知角α的终边经过点P(2，－3)，求α的正弦、余弦、正切值．
已知角α的终边过点P(x，3)，且sin α＝，求x的值．
由于sin α，cos α，tan α的值与α的终边上的点的位置无关，为了方便，可以选择α终边上的特殊点来计算sin α，cos α，tan α的值，例如选择α的终边与单位圆的交点．
例2　(1) 当α＝时，求sin α，cos α，tan α的值；
(2) 当α＝时，求sin α，cos α，tan α的值．
例3　对于表中的角α，计算sin α的值，填写下表：
α 0 π
sin α
α 2π
sin α
把α的值看作横坐标，对应的sin α的值看作纵坐标，在平面直角坐标系中描出点(α，sin α).
活动二　掌握任意角的三角函数值的符号　
思考5
从例3的表与所画的图中，你能得到什么结论？
思考6
由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，你能得到各三角函数在各象限内的符号吗？(将符号标在各个象限内)
　　
例4　确定下列正弦、余弦、正切值的符号：
(1) sin ；
(2) cos (－465°)；
(3) tan .
确定下列三角函数值的符号．
(1) cos 250°；
(2) sin ；
(3) tan (－672°)；
(4) tan .
三角函数值在各象限内的符号规律：
根据三角函数的定义知：
(1) 正弦值的符号取决于纵坐标y的符号；
(2) 余弦值的符号取决于横坐标x的符号；
(3) 正切值当x，y同号时为正，异号时为负．
由此，三角函数值在各象限内的符号规律可用口诀表示为“一全正，二正弦，三正切，四余弦”，即第一象限内各三角函数值均为正，第二象限内只有正弦值为正，第三象限内只有正切值为正，第四象限内只有余弦值为正．
1. 已知角α的终边过点(sin 30°，－sin 30°)，则sin α的值为(　　)
A. － B. C. － D.
2. (2025阳江期末)“α是第四象限角”是“<0”的(　　)
A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
3. (多选)(2025承德期末)已知角θ的终边经过点(－1，)，则下列说法中正确的是(　　)
A. sin θ＝ B. cos θ＝ C. tan θ＝－ D. θ为第四象限角
4. (2025成都期末)若第二象限角α的终边与单位圆交点的横坐标为－，则tan α＝________．
5. 已知α为第二象限角，其终边上的一点为P(x，)，且cos α＝x，求实数x的值.
7．2.1　任意角的三角函数(2)
1. 了解有向线段的概念，理解三角函数线的概念．
2. 会利用单位圆中的三角函数线表示任意角的正弦、余弦、正切．
3. 会利用三角函数线比较两个同名三角函数值的大小及表示角的范围．
活动一 理解三角函数线的概念
在任意角三角函数的定义中，sin α＝，cos α＝与点P(x，y)在角α终边上的位置无关．
(1) 当r＝1时，对任意角α，点P的轨迹是什么？
(2) 此时sin α，cos α的值分别是怎样的？
(3) 什么叫有向线段及其数量？
思考1
能否用几何方法(有向线段的数量)表示角α的正弦、余弦值？
探究1　用适当的有向线段来表示第一象限角α的正切．
思考2
当角α的终边在不同象限时，其三角函数线是怎样的？
思考3
当角α的终边在坐标轴上时，其三角函数线发生什么变化？
正弦线、余弦线和正切线分别是正弦函数、余弦函数和正切函数的一个几何表示，它是与单位圆有关，且平行于坐标轴的某些特定的有向线段，用它们的长度和方向来表示三角函数值．三角函数线的长度等于三角函数值的绝对值，方向表示三角函数的正负．具体来说，正弦线由垂足指向α的终边与单位圆的交点，与y轴同向的为正值，反向的为负值；余弦线由原点指向垂足，与x轴同向的为正值，反向的为负值；正切线由切点指向与角α的终边的交点，与y轴同向的为正值，反向的为负值．
例1　作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线．
(1) ；　　　　　　(2) ；
(3) －；　　 (4) －.
思考4
作三角函数线的一般步骤是怎样的？
活动二 利用三角函数线探究三角函数的简单性质　　
思考5
由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应的关系，因此，三角函数可以看成是以实数为自变量的函数．那么，在弧度制下，你能得到正弦函数、余弦函数、正切函数的定义域吗？
探究2　探究正弦函数、余弦函数、正切函数的值域．
探究3　探究正弦函数、余弦函数在区间[0，2π]上的单调性．
探究4　探究正切函数在区间上的单调性．
活动三 掌握三角函数线的简单应用
例2　比较下列各组数的大小．
(1) cos 和cos ；
(2) sin 和tan .
作出角，－的正弦线、余弦线、正切线，并比较相应三角函数值的大小．
例3　在单位圆中，画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此得出角α的取值范围．
(1) sin α≥；
(2) cos α＜－；
(3) tan α≥.
求函数y＝的定义域．
1. 如图，已知A是单位圆与x轴的交点，角α的终边与单位圆的交点为P，PM⊥x轴于点M，过点A 作单位圆的切线交角α的终边于点T，则角α的正弦线、余弦线、正切线分别是(　　)
A. 有向线段OM，AT，MP
B. 有向线段OM，MP，AT
C. 有向线段MP，AT，OM
D. 有向线段MP，OM，AT
2. 若a＝sin 2，b＝cos 2，则a，b的大小关系为(　　)
A. a3. (多选)给出下列四个命题，其中正确的是(　　)
A. 当α一定时，单位圆中的正弦线一定
B. 单位圆中，有相同正弦线的角相等
C. α和α＋π有相同的正切线
D. 具有相同正切线的两个角的终边在同一条直线上
4. 若θ∈，则sin θ的取值范围是________．
5. 求下列函数的定义域．
(1) y＝lg (－sin x)；
(2) y＝.
7.2.1　任意角的三角函数(1)
【活动方案】
思考1：是放在直角三角形中定义的．sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0).
思考2：根据相似三角形的知识可知，比值，，与角α的终边上的点P的位置无关．
思考3：r＝，此时P是角α的终边与半径为r的圆的交点(如图所示).根据相似三角形的知识可知，比值，，与角α终边上的点P的位置无关．
　　
思考4：我们规定：
①比值叫作α的正弦，记作sin α，即sin α＝；
②比值叫作α的余弦，记作cos α，即cos α＝；
③比值(x≠0)叫作α的正切，记作tan α，即tan α＝(x≠0).
例1　因为x＝2，y＝－3，
所以r＝＝，
所以sin α＝＝＝－，cos α＝＝＝，tan α＝＝－.
跟踪训练　因为r＝，sin α＝＝，所以x2＋9＝13，解得x＝±2.
例2　(1) 当α＝时，设α的终边与单位圆的交点P的坐标为(x，y)(x＞0，y＞0).
根据直角三角形中锐角的对边是斜边的一半，可知y＝.
又由勾股定理，得x2＋＝1，解得x＝，
所以点P的坐标为，
所以sin ＝＝，cos ＝＝，
tan ＝＝.
(2) 当α＝时，设α的终边与单位圆的交点为P′，根据点P′与(1)中点P关于y轴对称可知，点P′的坐标为，
所以sin ＝＝，cos ＝＝－，
tan ＝＝－.
例3　通过计算，可得　
α 0 π 2π
sin α 0 1 0 － － －1 － － 0
把α的值看作横坐标，对应的sin α的值看作纵坐标，在平面直角坐标系中描出点(α，sin α)，如图所示．
思考5：由例3可知，对于每一个实数α，都有唯一实数sin α与α对应，故sin α是α的函数．同理cos α也是α的函数．当α＝＋kπ(k∈Z)时，角α的终边在y轴上，故有x＝0，这时tan α无意义．除此之外，对于每一个实数α(α≠＋kπ(k∈Z))，都有唯一实数tan α与α对应，因此tan α也是α的函数．sin α，cos α，tan α分别叫作角α的正弦函数、余弦函数、正切函数．以上三种函数都称为α的三角函数．
思考6：
　　
例4　(1) 因为是第二象限角，所以sin ＞0.
(2) 因为－465°＝－2×360°＋255°，即－465°是第三象限角，所以cos (－465°)＜0.
(3) 因为＝2π＋，即是第四象限角，
所以tan ＜0.
跟踪训练　(1) 因为250°是第三象限角，
所以cos 250°＜0.
(2) 因为－是第四象限角，所以sin ＜0.
(3) 因为－672°＝－2×360°＋48°，即－672°是第一象限角，所以tan (－672°)＞0.
(4) 因为是第四象限角，所以tan ＜0.
【检测反馈】
1. C　由题意，得点的坐标为，则sin α＝＝－.
2. A　当α是第四象限角时，cos α>0，tan α<0，则<0一定成立，故充分性成立；当<0时，cos α与tan α异号，此时α为第三或第四象限角，故必要性不成立，所以“α是第四象限角”是“<0”的充分且不必要条件．
3. AC　由题意，得sin θ＝＝，cos θ＝＝－，tan θ＝－，故A，C正确，B错误；易得θ为第二象限角，故D错误．故选AC.
4. －　由题意，得第二象限角α的终边与单位圆的交点坐标为，所以tan α＝＝－.
5. 由题意，得x<0，r＝，
所以cos α＝＝x，解得x＝－.
7．2.1　任意角的三角函数(2)
【活动方案】
背景引入：(1) 点P的轨迹是以原点为圆心，半径为1的圆．
(2) sin α＝y，cos α＝x.
(3) 规定了方向(即规定了起点和终点)的线段称为有向线段．类似地，可以把规定了正方向的直线称为有向直线．若有向线段AB在有向直线l上或与有向直线l平行，根据有向线段AB与有向直线l的方向相同或相反，分别把它的长度添上正号或负号，这样所得的数，叫作有向线段的数量，记为AB.
思考1：如果x＞0，有向线段OM与x轴同向，其数量为x；如果x＜0，有向线段OM与x轴反向，其数量也为x.同理可知MP＝y，所以sin α＝MP，cos α＝OM.这表明，有向线段MP，OM分别叫作角α的正弦线、余弦线．
探究1　当角α的终边在第一象限时(如图所示)，在角α的终边上取点T(1，y′)，则tan α＝＝y′＝AT(A为单位圆与x轴正半轴的交点).
思考2：
　　
　　
思考3：当角α的终边在x轴上时，正弦线、正切线分别变成一个点；当角α的终边在y轴上时，余弦线变成一个点，正切线不存在．
例1　如下列各图所示，有向线段MP为正弦线，有向线段OM为余弦线，有向线段AT为正切线．
(1) 　(2) (3) 　(4)
思考4：①作出单位圆和角α的终边；
②过终边与单位圆的交点P作x轴的垂线，垂足为M；
③过点A(1，0)作x轴的垂线与角α的终边所在的直线相交于点T，则有向线段MP，OM，AT分别为角α的正弦线、余弦线、正切线．
思考5：
三角函数 定义域
sin α R
cos α R
tan α
探究2　正弦函数的值域为[－1，1]，余弦函数的值域为[－1，1]，正切函数的值域为R.
探究3　正弦函数在区间和上单调递增，在区间上单调递减．
余弦函数在区间[0，π]上单调递减，在区间[π，2π]上单调递增．
探究4　单调递增．
例2　(1) 如图，在单位圆中分别作出和的余弦线OM1和OM2.因为OM1>OM2，所以cos >cos .
(2) 如图，分别作出的正弦线MP和正切线AT.因为AT>MP，所以tan >sin .
跟踪训练　如图1，图中有向线段MP，OM，AT分别表示角的正弦线、余弦线、正切线．
如图2，图中有向线段M′P′，OM′，A′T′分别表示角－的正弦线、余弦线、正切线．
由图可知MP＞0＞M′P′，OM<0所以sin ＞sin ，cos ＜cos ，tan ＞tan .
图1 图2
　　
例3　(1) 作直线y＝交单位圆于A，B两点，连接OA，OB，则OA与OB围成的区域(如图1阴影部分)即为角α的终边的范围，
故满足条件的角α的集合为{α|2kπ＋≤α≤2kπ＋，k∈Z}．
(2) 作直线x＝－交单位圆于C，D两点，连接OC与OD，则OC与OD围成的区域(如图2阴影部分，不包括边界)即为角α的终边的范围，
故满足条件的角α的集合为{α|2kπ＋＜α＜2kπ＋，k∈Z}．
(3) 作直线y＝交单位圆在点A处的切线于点T，连接OT，则直线OT与y轴围成的区域(如图3阴影部分，不包括y轴)即为角α的终边的范围．
故满足条件的角α的集合为{α|＋kπ≤α＜＋kπ，k∈Z}．
图1　 图2 图3
跟踪训练　由题意，得2cos x－1≥0，则cos x≥.
如图，在x轴上取点M1使OM1＝，过点M1作x轴的垂线交单位圆于点P1，P2，连接OP1，OP2，
则OP1与OP2围成的区域(如图中阴影部分)即为角x的终边的范围，
所以满足cos x≥的角的集合即y＝的定义域为{x|2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z}．
【检测反馈】
1. D　由题图知，圆O为单位圆，则OA＝OP＝1，且tan α＝＝AT，sin α＝＝MP，cos α＝＝OM，故角α的正弦线、余弦线、正切线分别是有向线段MP，OM，AT.
2. B　因为<2<π，作出2的正弦线MP，余弦线OM，则a＝sin 2>0，b＝cos 2<0，所以b3. AD　由正弦线的定义可知当α一定时，单位圆中的正弦线一定，故A正确；与有相同的正弦线，但≠，故B错误；由正切线的定义可知当α＝时，α和α＋π的正切线均不存在，故C错误；具有相同正切线的两个角终边在同一条直线上，故D正确．故选AD.
4. 　由图可知sin ＝，sin ＝－1，所以－15. (1) 由题意，得－sin x＞0，则sin x＜，
所以角x的终边所在区域如图所示，
所以2kπ－＜x＜2kπ＋，k∈Z，
所以原函数的定义域是{x|2kπ－＜x＜2kπ＋，k∈Z}．　
(2) 由题意，得tan x－1≥0，则tan x≥1，
所以角x的终边所在区域如图所示，
所以＋kπ≤x＜＋kπ，k∈Z，
所以原函数的定义域为{x|＋kπ≤x＜＋kπ，k∈Z}．