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7．2.2　同角三角函数关系(1)
1. 掌握同角三角函数之间的基本关系式．
2. 能正确运用同角三角函数关系进行三角函数式的求值运算，初步掌握同角三角函数之间的基本关系式的应用．
活动一 探究同角三角函数的基本关系式
sin α，cos α，tan α的值都由α确定，那么sin α，cos α，tan α之间有何关系？
思考1
设角α的终边与单位圆相交于点P，则点P 的坐标是什么？
思考2
在思考1的条件下，你能得到什么结论？
思考3
由正切函数的定义，你能用sin α，cos α来表示tan α吗？
同角三角函数的基本关系式：
sin2α＋cos2α＝1，tanα＝.
注意点：
(1) 同角三角函数关系式强调的是“同角”，与角的表达形式无关，如sin22α＋cos22α＝1等．
(2)在tan α＝中，α≠kπ＋(k∈Z).
(3) sin2α是(sinα)2的简写，读作“sin α的平方”．
思考4
你能用三角函数的定义证明sin2α＋cos2α＝1，tanα＝吗？
活动二　已知一个角的三角函数值，求另外两个三角函数值　
例1　已知sin α＝，且α是第二象限角，求cos α，tan α的值．
若将例1中的条件“α是第二象限角”去掉，结论如何？
例2　已知tan α＝，求sin α，cos α的值．
已知tan α＝－，且α是第二象限角，求sin α，cos α的值．
思考5
已知角α的一个三角函数值，如何求出其余两个三角函数值？有什么注意点？
1. 若已知sin α(或cos α)的值，可以先应用关系式sin2α＋cos2α＝1，求得cosα(或sin α)的值，再由关系式tan α＝，求得tan α的值．
2. 若已知tan α＝m，可以先应用关系式tan α＝＝m，得sin α＝m cos α，再结合sin2α＋cos2α＝1，求得cosα＝±，sin α＝±.
活动三　根据条件求值　
例3　已知tan α＝－.求下列各式的值：
(1) ；
(2) ；
(3) sin2α－cos2α＋sinαcos α.
已知tan θ＝2，求下列各式的值：
(1) ；
(2) sin2θ＋sinθcos θ－2cos2θ；
(3).
1．已知tan α的值，求关于sin α，cos α的分式值的问题，有以下两种情况：
(1) 若分子、分母中sin α，cos α的次数相同(称为齐次式)，由cos α≠0，令分子、分母同除以cosnα(n∈N*)，将待求式化为关于tanα的表达式，再整体代入tan α的值求解．
(2) 若待求式形如a sin2α＋b sinαcos α＋cos2α，注意可将分母1化为sin2α＋cos2α，通过进一步转化，变为关于tanα的表达式，然后再求值．
2. 若已知sin α与cos α的关系式，可以先求出tan α的值再求解，也可以直接代入求解．
1. (2024盐城期末)已知x∈(0，π)，则“cos x＝”是“sin x＝”的(　　)
A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
2. (2024厦门科技中学月考)已知角α的终边落在直线y＝3x上，则的值为(　　)
A. B. － C. D. －
3. (多选)(2024淮安涟水一中月考)下列说法中，正确的有(　　)
A. 若sin α＝，则cos α＝±
B. 已知角α∈，若tan α＝3，则sin α＝－
C. 已知角α∈(0，π)，若cos α＝，则tan α＝
D. 对于任意角α都有tan α＝
4. (2025唐山期末)已知tan θ＝－2，且θ为第二象限角，则sin θ＝________．
5. 已知cos α＝－，求sin α，tan α的值．
7．2.2　同角三角函数关系(2)
1. 能运用同角三角函数之间的基本关系式进行简单的三角函数式的化简、求值，并从中了解一些三角运算的基本技巧．
2. 运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数恒等式的证明．
活动一 熟练掌握同角三角函数间的关系式的应用(求值)
同角三角函数的基本关系有哪些变形形式？
例1　已知sin α＋cos α＝，α∈(0，π)，求下列各式的值：
(1) sin αcos α；
(2) sin α－cos α；
(3) sin3α－cos3α.
已知sinα＋cos α＝－，α∈(0，π)，求tan α.
1. sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α三个式子中，已知其中一个，可求其他两个，即“知一求二”，它们之间的关系是(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α.
2. 求sin α＋cos α 或sin α－cos α的值时，要注意它们的符号．
活动二　进一步掌握同角三角函数间的关系式的应用(化简)　
例2　化简：
(1) ；
(2)tan α(α是第二象限角)；
(3)，α∈；
(4) ＋(α为第三象限角).
同角三角函数式化简过程中常用的方法：
(1) 对于含有根号的，常把被开方数(式)化为完全平方数(式)，然后去根号达到化简的目的．
(2) 化切为弦，从而减少函数名称，达到化简的目的．
(3) 对于含高次的三角函数式，往往借助因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低次数，达到化简的目的．
若0<θ<，化简·.　
活动三 三角恒等式的证明
例3　求证：＝.(用尽可能多的方法)
求证：
(1) sin4α＋cos4α＝1－2sin2αcos2α；
(2)＝.
利用同角三角函数关系证明三角恒等式的方法：
(1) 从左向右推导或从右向左推导，一般由繁到简．
(2) 左右归一，即证明左、右两边都等于同一个式子．
(3) 化异为同法，即针对题设与结论间的差异进行变形，以消除差异．
(4) 变更为命题法，如要证明＝，可证ad＝bc或证＝等．
(5) 比较法，即设法证明“左边－右边＝0”或“＝1”．
1. 若sin θ＋sin2θ＝1，则cos2θ＋cos4θ的值为(　　)
A．－1 B. 1 C. －2 D. 2
2. (2024保定期末)若α为第二象限角，则等于(　　)
A．1 B. －1 C. sin α D. cos α
3. (多选)(2024如东一中、宿迁一中、徐州中学联考)已知α∈(0，π)，且sin α＋cos α＝，则下列说法中正确的是(　　)
A. <α<π B. sin αcos α＝
C. tan α＝－ D. cos α－sin α＝
4. 已知α是第三象限角，化简： －＝________．
5. 求证：＝.
7．2.2　同角三角函数关系(1)
【活动方案】
思考1：如图所示，点P的坐标是(cos α，sin α).
思考2：由OP＝1，得sin2α＋cos2α＝1.
思考3：tanα＝.
思考4：设P(x，y)为角α终边上异于原点的任意一点，OP＝r.
①因为x2＋y2＝r2，且sin α＝，cos α＝，
所以sin2α＋cos2α＝1.
②当α≠kπ＋(k∈Z)时，＝＝＝tan α.
例1　因为sin2α＋cos2α＝1，
所以cos2α＝1－sin2α＝.
因为α是第二象限角，所以cosα＜0，
所以cos α＝－，tan α＝＝－.
跟踪训练　因为sin α＝>0，
所以α是第一或第二象限角．
①当α是第一象限角时，
cos α＝，tan α＝＝；
②当α是第二象限角时，
cos α＝－，tan α＝＝－.
例2　由＝tan α＝，得sin α＝cos α.
又sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＋cos2α＝1，
解得cos2α＝.
又由tanα＞0，知α是第一或第三象限角．
若α是第一象限角，则cos α＝，sin α＝；
若α是第三象限角，则cos α＝－，sin α＝－.
跟踪训练　由题意，得
因为α是第二象限角，
所以sin α>0，cos α<0，所以
思考5：根据同角三角函数之间的基本关系式可求出其余两个三角函数值，注意函数值的正负．
例3　(1) 原式＝－.
(2) 原式＝＝＝－.
(3) 原式＝
＝＝－.
跟踪训练　(1)原式＝＝＝.
(2) 原式＝＝＝＝.
(3)原式＝＝＝＝.
【检测反馈】
1．A　若cos x＝，x∈(0，π)，则sin x＝＝，故充分性成立；若sinx＝，x∈(0，π)，则cos x＝±＝±，故必要性不成立，所以“cosx＝”是“sin x＝”的充分且不必要条件．
2. D　取角α的终边的点P(m，3m)，则tan α＝3，所以＝＝－.
3. ABC　对于A，若sin α＝，则cos α＝±＝±＝±，故A正确；对于B，因为α∈，tanα＝3，所以解得sin α＝－，故B正确；对于C，因为α∈(0，π)，若cos α＝，则sin α>0，且sin α＝＝＝，所以tanα＝＝×＝，故C正确；对于D，当α＝kπ＋(k∈Z)时，cos α＝0，此时tan α不存在，故D错误．故选ABC.
4. 　由题意，得tan θ＝－2＝，则sin θ＝－2cos θ，所以sin2θ＋cos2θ＝1＝5cos2θ，解得cos2θ＝，则sin2θ＝.又θ为第二象限角，所以sinθ>0，所以sin θ＝.
5. 因为cos α＝－<0，
所以α是第二或第三象限角．
若α是第二象限角，
则sin α＝＝＝，
所以tanα＝＝＝－；
若α是第三象限角，
则sin α＝－＝－＝－，
所以tanα＝＝＝.
7．2.2　同角三角函数关系(2)
【活动方案】
背景引入：常见的变形形式：
①sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α；
②sinα＝±，cosα＝±；
③sinα＝cos αtan α；
④(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α.
例1　(1) 因为sin α＋cos α＝，
所以(sin α＋cos α)2＝sin2α＋cos2α＋2sinαcos α＝，
所以sin αcos α＝×＝－.
(2) 因为α∈(0，π)，sin αcos α<0，
所以α∈，所以sin α>0，cos α<0，
所以sin α－cos α>0，
所以sin α－cos α＝＝＝.
(3) sin3α－cos3α＝(sinα－cos α)(sin2α＋sinαcos α＋cos2α)＝×＝.
跟踪训练　因为sinα＋cos α＝－，①
所以(sin α＋cos α)2＝，
所以2sin αcos α＝－＜0.
因为α∈(0，π)，所以sin α＞0，cos α＜0，
所以sin α－cos α＞0，
所以sin α－cos α＝＝＝.②
由①②可得sin α＝，cos α＝－，
所以tan α＝＝－.
例2　(1) 原式＝cos 44°.
(2) 因为α是第二象限角，所以sin α>0，cos α<0，
所以原式＝tan α·＝tanα·＝·＝－1.
(3) 原式＝＝|sin α－cos α|＝
(4) 因为α为第三象限角，所以sin α<0，
所以原式＝－＋＝－.
跟踪训练　原式＝·＝·＝·.
又0<θ<，所以sinθ>0，
故原式＝·＝＝1.
例3　方法一：因为－＝＝＝0，
所以＝.
方法二：因为sin2α＋cos2α＝1，
所以sin2α＝1－cos2α＝(1＋cosα)(1－cos α).
因为1＋cos α≠0，sin α≠0，
所以＝.
跟踪训练　(1) sin4α＋cos4α＝(sin2α＋cos2α)2－2sin2αcos2α＝1－2sin2αcos2α，即证．
(2)＝
＝＝
＝，即证.
【检测反馈】
1. B　由sin θ＋sin2θ＝1，得sinθ＝1－sin2θ，即cos2θ＝sinθ，所以cos2θ＋cos4θ＝sinθ＋sin2θ＝1.
2．B　因为α为第二象限角，所以sin α>0，cos α<0，＝＝＝＝－1.
3. AC　由sin α＋cos α＝，得1＋2sin αcos α＝，解得sin αcos α＝－<0，故B错误；由α∈(0，π)，得sin α>0，cos α<0，则<α<π，故A正确；cos α－sin α＝－＝－＝－，故D错误；易得sin α＝，cos α＝－，则tan α＝－，故C正确．故选AC.
4. －2tan α　原式＝－＝－＝－.因为α是第三象限角，所以cos α＜0，所以原式＝－＝－2tan α.
5. 左边＝＝＝＝＝＝右边．

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