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7．3.2　三角函数的图象与性质(1)
能借助正弦线画出正弦函数的图象，并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象．
活动一 掌握正弦函数的图象
为了更加直观的研究三角函数的性质，我们可以先作出它们的图象，那么如何作出三角函数的图象？
思考1
(1) 作函数图象的常用方法是什么？
(2) 求三角函数值时，运算繁琐，数字复杂，作图不够精确，能否利用三角函数线来描点？
(3) y＝sin x的定义域为R，而正弦函数的周期是2π，用描点法作图时如何取点来简化作图？
问题1　(1) 在同一个单位圆中作出大小分别为0，，，，的正弦线．借助正弦线作出y＝sin x，x∈[0，2π]的图象；
(2) 作出y＝sin x(x∈R)的图象．
思考2
正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象上起到关键性作用的点有哪些？这些关键点分别是图象上的什么点？
活动二　掌握余弦函数的图象　
问题2　(1) 根据所学的诱导公式，由函数y＝sin x的图象如何得到函数y＝cos x的图象？
(2) 作出余弦函数y＝cos x的图象．
思考3
余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象上起到关键性作用的点有哪些？
正弦函数、余弦函数图象上的关键点的异同：作余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象时，其中起关键作用的是函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象的最高点、最低点及其与x轴的交点．与正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象相比：二者的图象的最低点都只有一个；余弦函数的图象与x轴的交点有两个，而正弦函数的图象与x轴的交点有三个；余弦函数图象的最高点有两个，而正弦函数图象的最高点只有一个．
活动三　掌握用“五点法”作三角函数的图象．　
例　用“五点法”画出下列函数的简图．
(1) y＝2cos x，x∈R；
(2) y＝sin 2x，x∈R.
在画y＝A sin (ωx＋φ)的图象时常常是将ωx＋φ分别取0，，π，，2π得到五个点，然后用光滑的曲线将它们连接起来，就得到函数y＝A sin (ωx＋φ)的简图．
作出下列函数的简图．
(1) y＝－1－cos x，x∈[0，2π]；
(2) y＝1＋sin 2x，x∈[0，π].
1. 用“五点法”作y＝cos 2x的图象时，首先描出的五个点的横坐标是(　　)
A. 0，，π，，2π B. 0，，，，π
C. 0，π，2π，3π，4π D. 0，，，，
2. 符合如图所示的图象的函数是(　　)
A. y＝1＋sin x，x∈[0，2π]
B. y＝1＋2sin x，x∈[0，2π]
C. y＝1－sin x，x∈[0，2π]
D. y＝1－2sin x，x∈[0，2π]
3. (多选)(2024山东实验中学月考)下列x的取值范围能使cos x>sin x成立的是(　　)
A. B. C. D. ∪
4. (2025湘潭期末)已知x是三角形的一个内角，则不等式cos x>－的解集为________．
5. 用“五点法”作出下列函数的简图．
(1) y＝1＋2sin x，x∈[0，2π]；
(2) y＝2＋cos x，x∈[0，2π].
7．3.2　三角函数的图象与性质(2)
1. 借助图象理解正、余弦函数的定义域、值域、周期性、单调性、对称性等性质．
2. 通过观察、猜想、归纳，掌握利用数形结合思想分析问题、解决问题的能力．
活动一 探究正弦函数、余弦函数的性质
根据正弦曲线、余弦曲线探究正弦函数、余弦函数的性质，完成下列表格．
函数 正弦函数y＝sin x，x∈R 余弦函数y＝cos x，x∈R
图象
定义域
值域
最值
周期性
奇偶性
单调性
对称轴
对称中心
活动二　掌握正弦函数、余弦函数的值域与最值　
例1　求下列函数的最大值及取得最大值时自变量x的集合．
(1) y＝cos ；
(2) y＝2－sin 2x.
求下列函数的值域．
(1) y＝3－2cos x；
(2) y＝sin2x＋cosx－1.
1. 求形如y＝A sin x＋B或y＝A cos x＋B型的三角函数的最值问题，一般运用三角函数的有界性求最值．求最值时要注意三角函数的定义域，尤其要注意题目中是否给定了区间．
2. 求解形如y＝a sin2x＋b sinx＋c(或y＝a cos2x＋b cosx＋c)，x∈D的函数的值域或最值时，通过换元，令t＝sin x(或t＝cos x)，将原函数转化为关于t的二次函数，利用配方法求值域或最值即可．求解过程中要注意t＝sin x(或t＝cos x)的有界性．
活动三 利用正弦函数、余弦函数的单调性比较大小
例2　不求值，分别比较下列各组中两个三角函数值的大小．
(1) sin 与sin ；
(2) cos 与cos .
比较下列各组数的大小．
(1) cos 与cos ；
(2) sin 194°与cos 160°.
比较三角函数值的大小时，若函数名不同，一般应先化为同名三角函数，再运用诱导公式把它们化到同一单调区间上，以便运用三角函数的单调性进行比较．
活动四 掌握正弦函数、余弦函数的性质的应用
例3　已知函数y＝3sin x.
(1) 求函数的定义域、值域；
(2) 求函数的最小正周期；
(3) 求函数的单调增区间．
定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，且在区间[－4，－3]上单调递增，α，β是锐角三角形的两个内角，试判断f(sin α)与f(cos β)的大小关系．
1. 若函数y＝cos x在区间[－π，a]上单调递增，则实数a的取值范围是(　　)
A. B. (－π，0] C. D. (－π，π)
2. (2024汕头期末)函数 y＝－sin2x＋4cosx－6的最小值是(　　)
A. －11 B. －10 C. －7 D. －2
3. (多选)下列关系式中，正确的是(　　)
A. sin 11°>cos 10° B. sin 168°>sin 11°
C. sin 168°>cos 10° D. cos 10°>sin 11°
4. 函数y＝lg (－2cos x)的定义域为______________．
5. 求下列函数的最小值及取得最小值时自变量x的取值集合．
(1) y＝cos －1; (2) y＝sin 2x＋2.
7．3.2　三角函数的图象与性质(3)
1. 用几何直观和代数运算的方法研究三角函数的周期性、奇偶性(对称性)、单调性和最大(小)值等性质．进一步掌握正弦函数、余弦函数的图象及性质．
2. 能应用正弦函数、余弦函数的图象与性质解决有关数学问题．
活动一 掌握正弦函数、余弦函数的图象及性质
思考
如何作正弦曲线和余弦曲线？
活动二　掌握三角函数的定义域和值域的求法　
例1　求下列函数的值域：
(1) y＝3－2cos x，x∈；
(2) y＝2－sin 2x，x∈.
1. 对于求形如y＝a sin x＋b或y＝a cos x＋b的函数值域问题，一般情况下只要注意到正弦、余弦函数的性质“有界性”即可解决．注意当x有具体范围限制时，需考虑sin x或cos x的范围．
2. 求解此类问题时，要先求三角函数值的范围，然后再根据其系数的正负性质求解．
例2　求下列函数的值域：
(1) y＝1－2sin2x＋2cosx；
(2) y＝.
求函数y＝cos2x＋2sinx－2，x∈[－，]的值域．
例3　求下列函数的定义域：
(1) y＝；
(2) y＝.
求下列函数的定义域：
(1) y＝log3(sin x－)；
(2) y＝；
(3) y＝＋lg (2sin x－1).
1. 求三角函数的定义域时，一般要解三角不等式，其主要方法是借助于三角函数的图象，关键有两点：(1) 选取合适的一个周期；(2) 确定边界值．
2. 当函数由几部分构成时，应取使每一部分有意义的x取值范围的公共范围，即取它们的交集．
活动三　掌握三角函数的单调性　
例4　(1) 求函数y＝sin 2x的增区间；
(2) 求函数y＝cos 的增区间．
(1) 求函数y＝cos 的单调区间；
(2) 求函数y＝2sin 的增区间．
求函数y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω≠0)的单调区间的一般步骤：
(1) 当ω>0时，把“ωx＋φ”看成一个整体，由－＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ(k∈Z)，解出x的范围，即为函数的增区间；由＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ(k∈Z)，解出x的范围，即为函数的减区间；
(2) 当ω<0时，可先用诱导公式转化为y＝－A sin (－ωx－φ)，则y＝A sin (－ωx－φ)的增区间即为原函数的减区间，减区间为原函数的增区间．
余弦函数y＝A cos (ωx＋φ)(A>0，ω≠0)的单调性讨论同上．
1. 函数y＝sin 2x的单调减区间是(　　)
A. (k∈Z) B. (k∈Z)
C. [π＋2kπ，3π＋2kπ](k∈Z) D. (k∈Z)
2. (2025莆田一中期末)已知函数f(x)＝sin (ω>0)在区间(0，π)上有最大值，没有最小值，则ω的取值范围是(　　)
A. B. C. D.
3. (多选)(2024宿迁期末)已知函数f(x)＝2cos x，则下列说法中正确的是(　　)
A. f(x)是偶函数
B. 若f(x)≥m恒成立，则m的最大值为1
C. f(x)＝1在区间[－10，10]上共有6个解
D. f(x)在区间[－π，0]上单调递增
4. (2025山西期末)若函数f(x)＝3sin x－4cos x的定义域为，则f(x)的值域为________．
5. (2025济宁期末)已知函数f(x)＝sin (π－2x)＋cos .
(1) 求函数f(x)的单调减区间；
(2) 记函数g(x)＝f，当x∈时，求函数g(x)的最大值和最小值，并求出取最值时x的值．
7．3.2　三角函数的图象与性质(4)
1. 能画出函数y＝tan x的图象，并能借助图象理解函数y＝tan x在区间上的性质．
2. 会利用正切函数的单调性比较函数值的大小．
3. 理解正切函数图象的对称性．
活动一 掌握正切函数的图象
为了更加直观的研究正切函数的性质，我们可以先作出它们的图象，那么如何作出正切函数的图象呢？
思考1
正切函数y＝tan x的定义域是什么？
探究1　正切函数的图象：
(1) 仿照几何法画正弦曲线的过程，借助正切线画出y＝tan x，x∈的图象；
(2) 画出y＝tan x，x∈R且x≠＋kπ，k∈Z的图象．
思考2
正切曲线有哪些主要特征？
活动二 探究正切函数的性质　　
思考3
诱导公式tan (π＋x)＝tan x说明了正切函数的什么性质？
思考4
诱导公式tan (－x)＝－tan x说明了正切函数的什么性质？
思考5
从正切线上看，在区间上正切函数值是增大的吗？
探究2　观察正切函数的图象完成下表：
函数性质 正切函数y＝tan x
定义域
值域
周期性
奇偶性
单调性
活动三　掌握正切函数的定义域、值域　
例1　求函数y＝tan 的定义域．
思考6
函数y＝A tan (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的定义域是怎样的？
例2　(1) 求函数y＝tan x(≤x≤且x≠)的值域；
(2) 求函数y＝tan2x－2tanx＋3，x∈的值域．
(1) 函数y＝的定义域是________________；
(2) 求函数y＝tan2＋tan(3x＋)＋1的定义域和值域．
1. 求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y＝tan x有意义，即x≠kπ＋(k∈Z)，而对于构建的三角函数不等式，常利用三角函数的图象求解．
2. 求解与正切函数有关的函数的值域时，要注意函数的定义域，在定义域内求值域；对于求由正切函数复合而成的函数的值域时，常利用换元法，但要注意新“元”的范围．
活动四 掌握正切函数的单调性及其应用
例3　(1) 求函数y＝－tan 的单调区间；
(2) 比较tan 与tan 的大小．
(1) 比较大小：tan 1与tan 4；
(2) 求函数y＝tan 的单调区间．
1. 求y＝A tan (ωx＋φ)的单调区间，可先用诱导公式把ω化为正值，由kπ－＜ωx＋φ＜kπ＋，k∈Z，求得x的范围即可．比较两个同名函数的大小，应保证自变量在同一单调区间内．
2. 运用正切函数的单调性比较大小时，先把各角转化到同一个单调区间内，再运用单调性比较大小．
活动五　掌握正切函数的性质的应用　
例4　画出函数y＝|tan x|的图象，并根据图象判断其单调区间、奇偶性、周期性．
思考7
函数y＝tan x的图象的对称中心是什么？函数y＝|tan x|的图象的对称轴是什么？　
1. (2025宁波九校期末联考)函数f(x)＝tan 2x的定义域为(　　)
A. B.
C. D.
2. (2024陕西期末)若函数y＝tan (x＋φ)(φ≥0)的图象与直线x＝2π没有交点，则φ的最小值为(　　)
A. π B. C. D. 0
3. (多选)关于函数f(x)＝|tan x|的性质，下列说法中正确的是(　　)
A. f(x)的最小正周期为
B. f(x)是偶函数
C. f(x)的图象关于直线x＝(k∈Z)对称
D. f(x)在区间(k∈Z)上单调递增
4. 比较大小：tan ________tan .(填“>”“＝”或“<”)
5. 求函数y＝tan2x－2tanx，x∈的值域．
7．3.2　三角函数的图象与性质(1)
【活动方案】
背景引入：先画正弦函数的图象．由于y＝sin x是以2π为周期的周期函数，故只要画出在区间[0，2π]上的图象，然后由周期性就可以得到整个图象．将 y＝sin x的图象向左平移个单位长度得到余弦函数的图象．由于正切函数y＝tan x是以π为周期的周期函数，故只需先画出一个周期内的图象，然后由周期性就可得出整个图象．
思考1：(1) 描点法．
(2) 能．我们可以作坐标为(x0，sin x0)的点S(不妨设x0＞0).如图所示，在x轴上任取一点O′，以O′为圆心，单位长为半径作圆．在圆O′中，设弧AP的长为x0(即∠AO′P＝x0)，则MP＝sin x0，所以点S(x0，sin x0)是以弧AP的长为横坐标，正弦线MP的数量为纵坐标的点．
(3) 在区间[0，2π]上取点．
问题1：(1) 知道如何作出函数y＝sin x图象上的一个点，就可作出一系列点．例如，在圆O′中，作出对应于，，，…，的角及相应的正弦线．相应地，把x轴上从0到2π这一段分成12等份．把角x的正弦线向右平移，使它的起点与x轴上表示数x的点重合，再用光滑曲线把这些正弦线的终点连接起来，就得到正弦函数y＝sin x在[0, 2π]上的图象，如图所示．
(2) 我们只要将函数y＝sin x，x∈[0，2x]的图象向左、右平移(每次2π个单位长度)，就可以得到正弦函数y＝sin x，x∈R的图象．正弦函数的图象叫作正弦曲线．
思考2：(0，0)，，(π，0)，，(2π，0)，它们是图象上的最高点、最低点及与x轴的交点．
问题2：(1) 将y＝sin x的图象向左平移个单位长度，即可得到y＝cos x的图象．
(2) 如图．
思考3：(0，1)，，(π，－1)，，(2π，1).
例　(1) 先用“五点法”画一个周期的图象，列表：
x 0 π 2π
cos x 1 0 －1 0 1
2cos x 2 0 －2 0 2
描点作图，然后由周期性得整个图象，如图所示：
(2) 先用“五点法”画一个周期的图象，列表：
x 0 π
2x 0 π 2π
sin 2x 0 1 0 －1 0
描点作图，然后由周期性得整个图象，如图所示：
跟踪训练　(1) 列表：
x 0 π 2π
cos x 1 0 －1 0 1
－1－cos x －2 －1 0 －1 －2
描点作图，如图所示：
(2) 列表：
x 0 π
2x 0 π 2π
sin 2x 0 1 0 －1 0
1＋sin 2x 1 2 1 0 1
描点作图，如图所示：
【检测反馈】
1. B　根据“五点法”，可令2x＝0，，π，，2π，解得x＝0，，，，π.
2. C　将点代入选项检验，即可排除A，B，D.经检验，C符合题意，故C正确．
3. AC　在同一平面直角坐标系中画出正弦、余弦函数在区间[0，2π]上的图象，如图所示，在区间[0，2π]内，当cos x＝sin x时，x＝或x＝，结合图象可知满足cos x>sin x的x的取值范围是和.故选AC.
4. 　由题意，得x∈(0，π)，在同一平面直角坐标系中画出函数y＝cos x(x∈(0，π))和 y＝－的图象，如图，则当0－，所以不等式cos x>－的解集为.
5. (1) 列表：
x 0 π 2π
sin x 0 1 0 －1 0
1＋2sin x 1 3 1 －1 1
描点作图，如图所示：
(2) 列表：
x 0 π 2π
cos x 1 0 －1 0 1
2＋cos x 3 2 1 2 3
描点作图，如图所示：
7．3.2　三角函数的图象与性质(2)
【活动方案】
函数 正弦函数y＝sin x，x∈R 余弦函数y＝cos x，x∈R
图象
定义域 R R
值域 [－1，1] [－1，1]
函数 正弦函数y＝sin x，x∈R 余弦函数y＝cos x，x∈R
最值 当x＝＋2kπ(k∈Z)时，ymax＝1； 当x＝－＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1 当x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1； 当x＝2kπ＋π(k∈Z)时，ymin＝－1
周期性 周期函数，T＝2π 周期函数，T＝2π
奇偶性 奇函数 偶函数
单调性 增区间：，k∈Z 减区间：，k∈Z 增区间：[－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z 减区间：[2kπ，π＋2kπ]，k∈Z
对称轴 x＝＋kπ，k∈Z x＝kπ，k∈Z
对称中心 (kπ，0)，k∈Z ，k∈Z
例1　(1) 由题意，得ymax＝1，令＝2kπ，k∈Z，得x＝6kπ，k∈Z，
故使函数y＝cos 取得最大值的x的集合为{x|x＝6kπ，k∈Z}．
(2) 由题意，得ymax＝3，令2x＝－＋2kπ，k∈Z，得x＝－＋kπ，k∈Z，
故使函数y＝2－sin 2x取得最大值的x的集合为.
跟踪训练　(1) 因为－1≤cos x≤1，
所以－1≤－cos x≤1，所以－2≤－2cos x≤2，
所以1≤3－2cos x≤5，即1≤y≤5，
故函数y＝3－2cos x的值域为[1，5].
(2) 令t＝cos x(x∈R)，
则由－1≤cos x≤1，得－1≤t≤1，
所以y＝sin2x＋cosx－1＝－cos2x＋cosx＝－t2＋t＝－(t－)2＋(－1≤t≤1).
因为－1≤t≤1，所以－≤t－≤，
所以0≤≤，即－2≤y≤.
故函数y＝sin2x＋cosx－1的值域为.
例2　(1) 因为y＝sin x在区间上单调递增，且－＞－，所以sin >sin .
(2) 因为y＝cos x在区间上单调递减，
且＜，所以cos ＞cos .
跟踪训练　(1) cos ＝cos ，
cos ＝cos ＝cos .
因为y＝cos x在区间上单调递减，
且0<<<，所以cos >cos ，
即cos >cos .
(2) sin 194°＝sin (180°＋14°)＝－sin 14°，
cos 160°＝cos (90°＋70°)＝－sin 70°.
因为sin 14°cos 160°.
例3　(1) 由函数的解析式，得函数对任意x∈R均有意义，故函数的定义域为R.
由－1≤sin x≤1，得－3≤3sin x≤3，
故函数的值域为[－3，3].
(2) 函数的最小正周期T＝2π.
(3) ，k∈Z.
跟踪训练　由f(x＋1)＝－f(x)，
得f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，
所以函数f(x)是周期函数，且2是它的一个周期．
因为函数f(x)是偶函数，且在区间[－4，－3]上单调递增，
所以函数f(x)在区间[0，1]上单调递增．
又α，β是锐角三角形的两个内角，
所以α＋β＞，即＞α＞－β＞0.
因为y＝sin x在区间上单调递增，
所以sin α＞sin ＝cos β，
且sin α∈[0，1]，cos β∈[0，1]，
所以f(sin α)＞f(cos β).
【检测反馈】
1. B　因为y＝cos x在区间[－π，0]上单调递增，在区间[0，π]上单调递减，所以a∈(－π，0].
2. B　因为y＝－sin2x＋4cosx－6＝cos2x＋4cosx－7＝(cos x＋2)2－11，所以当cos x＝－1时，ymin＝－10.
3. BD　由题意，得sin 168°＝sin (180°－12°)＝sin 12°，cos 10°＝sin (90°－10°)＝sin 80°.因为函数y＝sin x在0°≤x≤90°上单调递增，所以sin 80°>sin 12°>sin 11°，即cos 10°>sin 11°，sin 168°>sin 11°.故选BD.
4. {x|＋2kπ0，即cos x<，所以＋2kπ5. (1) 由题意，得ymin＝－2，令＝(2k＋1)π，k∈Z，
得x＝(12k＋6)π，k∈Z，
故使函数y＝cos －1取得最小值的x的集合为{x|x＝(12k＋6)π，k∈Z}．
(2) 由题意，得ymin＝1，令2x＝－＋2kπ，k∈Z，
得x＝－＋kπ，k∈Z，
故使函数y＝sin 2x＋2取得最小值的x的集合为.
7．3.2　三角函数的图象与性质(3)
【活动方案】
思考：利用“五点法”作出正弦、余弦函数在区间[0，2π]内的图象后，再通过平移即可得到正弦、余弦曲线．
例1　(1) 因为－≤x≤，所以≤cos x≤1，
所以－1≤－cos x≤－，
所以－2≤－2cos x≤－，
所以1≤3－2cos x≤3－，
故函数y＝3－2cos x，x∈的值域为[1，3－].　
(2) 因为－≤x≤，所以－≤2x≤，
所以－≤sin 2x≤1，
所以－1≤－sin 2x≤，
所以1≤2－sin 2x≤2＋，
故函数y＝2－sin 2x，x∈的值域为.
例2　(1) 由题意，得y＝2cos2x＋2cosx－1＝2(cos x＋)2－，值域为.
(2) 由题意，得y＝·＝(－)＝－×，
值域为∪[1，＋∞).
跟踪训练　y＝cos2x＋2sinx－2＝－sin2x＋2sinx－1＝－(sin x－1)2.
因为－≤x≤，所以－≤sin x≤，
所以－－1≤sin x－1≤－1，
所以－≤(sin x－1)2≤＋，
所以－－≤y≤－＋，
故所求函数的值域为.
例3　(1) 由2sin x＋1≥0，得sin x≥－，
所以定义域为(k∈Z).
(2) 由题意，得
解得－1所以定义域为∪(π＋2kπ，＋2kπ](k∈Z).
跟踪训练　(1) 由题意，得sin x>，
所以函数的定义域为(k∈Z).
(2) 由题意，得2cos x－≥0，所以cos x≥，
所以函数的定义域为(k∈Z).
(3) 由题意，得即
cos x≤的解集为{x|＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z}，
sin x>的解集为{x|＋2kπ所以函数的定义域为{x|＋2kπ≤x<＋2kπ，k∈Z}．
例4　(1) 令－＋2kπ≤2x≤＋2kπ(k∈Z)，
则－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
故函数的增区间是(k∈Z).
(2) 令π＋2kπ≤≤2π＋2kπ，k∈Z，
则2π＋4kπ≤x≤4π＋4kπ，k∈Z，
故函数的增区间是[2π＋4kπ，4π＋4kπ](k∈Z).
跟踪训练　(1) 令2kπ＋π≤＋≤2kπ＋2π，k∈Z，则4kπ＋≤x≤4kπ＋，k∈Z，故函数的增区间是，k∈Z.
令2kπ≤＋≤2kπ＋π，k∈Z，则4kπ－≤x≤4kπ＋，k∈Z，故函数的减区间是[4kπ－，4kπ＋]，k∈Z.
(2) 因为函数y＝2sin ＝－2sin ，所以要求函数y＝2sin 的增区间只需求函数y＝2sin (2x－)的减区间即可．
令＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，则＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，即原函数的增区间为[＋kπ，＋kπ]，k∈Z.
【检测反馈】
1. B　令＋2kπ≤2x≤＋2kπ，k∈Z，得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，所以y＝sin 2x的单调减区间是[＋kπ，＋kπ](k∈Z).
2. A　当ω>0，x∈(0，π)时，ωx－∈.因为f(x)＝sin (ω>0)在区间(0，π)上有最大值，没有最小值，所以ωπ－∈，解得<ω≤，所以ω的取值范围是.
3. ACD　对于A，由题意，得f(x)的定义域为R.又因为f(－x)＝2cos (－x)＝2cos x＝f(x)，所以f(x)是偶函数，故A正确；对于B，当x∈R时，－1≤cos x≤1，可得≤2cos x≤2，若 f(x)≥m恒成立，则m的最大值为，故B错误；对于C，若f(x)＝1，则cos x＝0，可得x＝＋kπ，k∈Z，当x∈[－10，10]时，可得－10≤＋kπ≤10，即－－≤k≤－.由k∈Z，得k＝－3或k＝－2或k＝－1或k＝0或k＝1或k＝2，所以f(x)＝1在区间[－10，10]上共有6个解，故C正确；对于D，因为函数 y＝cos x，y＝2x在x∈[－π，0]上单调递增，所以 f(x)＝2cos x在x∈[－π，0]上单调递增，故D正确．故选ACD.
4. [－4，3]　因为函数y＝cos x在区间上单调递减，所以y＝－4cos x在区间上单调递增．又函数y＝sin x在区间上单调递增，所以函数f(x)＝3sin x－4cos x在区间上单调递增，所以f(x)min＝f(0)＝－4，f(x)max＝f＝3，所以f(x)的值域为[－4，3].
5. (1) 因为f(x)＝sin (π－2x)＋cos ＝sin 2x＋sin 2x＝2sin 2x，
所以＋2kπ≤2x≤＋2kπ，k∈Z，
解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
所以函数f(x)的单调减区间为，k∈Z.
(2) 由(1)可知f(x)＝2sin 2x，
所以g(x)＝f＝2sin ＝2sin (2x＋)，
当0≤x≤时，≤2x＋≤，
当2x＋＝，即x＝时，
函数g(x)取得最大值，最大值为2sin ＝2；
当2x＋＝，即x＝时，函数g(x)取得最小值，最小值为2sin ＝1.
7．3.2　三角函数的图象与性质(4)
【活动方案】
背景引入：由于y＝tan x是以π为周期的周期函数，故只要画出在区间上的图象，然后利用函数周期性就可以得到整个图象．
思考1：
探究1　(1)
(2) 如图．
思考2：正切曲线是被相互平行的直线x＝＋kπ，k∈Z所隔开的无穷多支曲线组成的．正切曲线可以向上、下无限延伸．
思考3：周期性
思考4：奇偶性
思考5：是增大的
探究2　
函数性质 正切函数y＝tan x
定义域
值域 R
周期性 以π为周期的周期函数
奇偶性 奇函数
单调性 增区间(k∈Z)
例1　由2x－≠kπ＋(k∈Z)，得x≠＋(k∈Z)，所以函数的定义域为.
思考6：由ωx＋φ≠kπ＋(k∈Z)，得x≠－＋ (k∈Z)，所以函数的定义域为{x|x≠－＋，k∈Z}．
例2　(1) (－∞，－]∪[1，＋∞).
(2) 由题意，得y＝(tan x－1)2＋2.
因为x∈，所以tan x∈[1，]，
所以原函数的值域为[2，6－2].
跟踪训练　(1) (k∈Z)　由题意，得tan ＞0，即tan ＜0，所以 kπ－＜x－＜kπ(k∈Z)，所以kπ－＜x＜kπ＋，k∈Z.故定义域为(k∈Z).
(2) 由3x＋≠kπ＋(k∈Z)，
得x≠＋(k∈Z)，
所以函数的定义域为{x|x≠＋，k∈Z}．
设t＝tan ，则t∈R，
y＝t2＋t＋1＝＋≥，
所以原函数的值域是.
例3　(1) 因为y＝－tan 的减区间满足kπ－＜－＜kπ＋(k∈Z)，
所以4kπ－＜x＜4kπ＋(k∈Z)，
所以y＝－tan 的减区间是(4kπ－，4kπ＋)(k∈Z)，没有增区间．
(2) tan ＝tan ＝tan ，
tan ＝tan ＝tan .
因为y＝tan x在区间内单调递增，
且<<<π，所以tan ＞tan ，
即tan ＞tan .
跟踪训练　(1) 因为tan 4＝tan [π＋(4－π)]＝tan (4－π)，－＜4－π＜1＜，且y＝tan x在区间上单调递增，
所以tan (4－π)＜tan 1，即tan 1＞tan 4.
(2) 由kπ－＜x＋＜kπ＋(k∈Z)，
得2k－＜x＜2k＋(k∈Z)，
所以函数y＝tan 的增区间是(2k－，2k＋)(k∈Z)，没有减区间．
例4　y＝|tan x|的图象如图．
由图象可知，函数y＝|tan x|是偶函数，
增区间为(k∈Z)，减区间为(－＋kπ，kπ](k∈Z)，周期为π.
思考7：函数y＝tan x图象的对称中心是(k∈Z)，函数y＝|tan x|图象的对称轴是直线x＝(k∈Z).
【检测反馈】
1. A　因为2x≠kπ＋，k∈Z，所以x≠＋，k∈Z，所以函数f(x)＝tan 2x的定义域为{x|x≠＋，k∈Z}．
2. B　易知函数y＝tan x的图象与直线x＝＋kπ(k∈Z)没有交点．若函数y＝tan (x＋φ)(φ≥0)的图象与直线x＝2π没有交点，则2π＋φ＝＋kπ(k∈Z)，解得φ＝－＋kπ(k∈Z).因为φ≥0，所以φ的最小值为.
3. BCD　易得函数f(x)的定义域为{x|x≠kπ＋，k∈Z}，作出函数f(x)的图象，由函数f(x)＝|tan x|的图象，得最小正周期为π，故A错误；因为f(－x)＝|tan (－x)|＝|tan x|＝f(x)，所以f(x)是定义域上的偶函数，故B正确；易得f(x)的图象关于直线x＝(k∈Z)对称，故C正确；由f(x)的图象，得f(x)在区间(k∈Z)上单调递增，故D正确．故选BCD.
4. >　因为tan ＝－tan ＝tan ，tan ＝－tan ＝tan ，又0<<<，函数y＝tan x在区间上单调递增，所以tan tan .
5. 由题意，得y＝tan2x－2tanx＝(tan x－1)2－1.
因为x∈，所以tan x∈[－，].
当tan x＝1，即x＝时，y取得最小值－1；
当tan x＝－，即x＝－时，y取得最大值3＋2，
所以函数的值域为[－1，3＋2].

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