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第8章　函数应用 本 章 复 习
1. 掌握运用函数性质求方程近似解的基本方法(二分法).
2. 会利用已知的函数模型解决问题，能根据实际问题建立恰当的函数模型，并利用所得的函数模型解释有关现象，或对发展趋势进行预测．
3. 体会数形结合思想、函数方程思想的应用．
活动一 构建知识网络
活动二 函数的零点及应用
由于函数的零点、方程的根、函数的图象与x轴的交点之间有着内在的本质的联系，所以函数问题可转化为方程的问题，方程的问题可转化为函数问题解决．根据函数的性质和方程根的存在条件我们常借助不等式来求解相关的问题，其间，要善于结合函数图象，从中体会数形结合的作用．
例1　已知函数f(x)＝x3－x2＋＋.求证：存在x0∈，使f(x0)＝x0.
函数f(x)＝|x－2|－ln x的零点的个数为________．
例2　已知函数f(x)＝x-1＋x2－2，试判断f(x)有几个零点？并确定各零点所在的范围(各区间长度不超过1).
函数f(x)＝x3＋2x－4的零点所在的大致区间是(　　)
A. (0，1) B. (1，2) C. (2，3) D. (3，4)
活动三 函数模型及其应用
1. 几类函数模型
函数模型 函数解析式
一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
反比例函数模型 f(x)＝＋b(k，b为常数，k≠0)
二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
指数函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a＞0且a≠1)
对数函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a＞0且a≠1)
幂函数模型 f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)
2. 三种函数模型的性质
函数 y＝ax(a＞1) y＝logax(a＞1) y＝xn(n＞0)
在区间(0，＋∞)上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增
增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳
图象的变化 随x的增大逐渐表现为与y轴平行 随x的增大逐渐表现为与x轴平行 随n值变化而各有不同
值的比较 存在一个x0，当x＞x0时，有logax＜xn＜ax
3. 解函数应用问题的4步骤：
(1) 审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择函数模型；
(2) 建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的函数模型；
(3) 解模：求解函数模型，得出数学结论；
(4) 还原：将数学结论还原为实际意义的问题．
例3　在固定压力差(压力差为常数)下，当气体通过圆形管道时，其流量速率R与管道半径r的函数关系为R＝kr4(k>0，k是常数).
(1) 假设气体在半径为3 cm的管道中，流量速率为400 cm3/s，求该气体通过半径为r cm的管道时，其流量速率R的函数解析式；
(2) 已知(1)中的气体通过的管道半径为5 cm，求该气体的流量速率(结果精确到个位).
为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物在释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(单位：mg)与时间t(单位：h)成正比，药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y＝(a为常数)，如图，根据图中所提供的信息，回答下列问题：
(1) 从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y(单位：mg)与时间t(单位：h)之间的函数关系式为________；
(2) 据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25 mg以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过________h后，学生才能回到教室．
1. 函数是高中数学极为重要的内容，函数思想和函数方法贯穿整个高中数学的过程，纵观历年高考试题，对本章的考查是以基本函数形式出现的综合题和应用题，一直是常考不衰的热点问题．
2. 从考查角度看，对指数函数、对数函数概念的考查以基本概念与基本计算为主；对图象的考查重在考查平移变换、对称变换以及利用数形结合的思想方法解决数学问题的能力；对幂函数的考查将会从概念、图象、性质等方面来考查．
3. 函数建模的基本过程如图．
1. (2025密云期末)已知函数f(x)＝－，则在下列区间中，包含f(x)零点的是(　　)
A. (0，1) B. (1，2) C. (2，3) D. (3，＋∞)
2. (2024新乡月考)在一次数学实验中，小胡同学运用图形计算器采集到如下一组数据：
x 3 5 7 9 11 13
y 21.01 21.11 21.99 30.03 101.96 749.36
在以下四个函数模型中，a，b为常数，最能反映x，y间函数关系的可能是(　　)
A. y＝ax＋b B. y＝ax＋b C. y＝ax2＋b D. y＝logax＋b
3. (多选)下列关于函数y＝f(x)，x∈[a，b]的说法中，正确的有(　　)
A. 若x0∈[a，b]，且满足f(x0)＝0，则x0是函数f(x)的一个零点
B. 若x0是函数f(x)在区间[a，b]上的零点，则可用二分法求x0的近似值
C. 函数f(x)的零点是方程f(x)＝0的根，方程f(x)＝0的根也是函数f(x)的零点
D. 用二分法求方程的根时，得到的都是近似值
4. 已知函数f(x)＝则函数y＝f(x)零点的个数为________．
5. (2024福州格致中学月考)某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P(单位：mg/L)与时间t(单位：h)间的关系为P＝P0，其中P0，k是正的常数．如果在前5 h消除了10%的污染物，求：
(1) 10 h后还剩百分之几的污染物；
(2) 污染物减少50%需要花多少时间(精确到1 h，参考数据：ln 0.5≈－0.693，ln 0.9≈－0.105).
本 章 复 习
【活动方案】
例1　令g(x)＝f(x)－x.
因为g(0)＝>0，g＝－<0，
所以g(0)·g＜0.
又函数g(x)在区间上的图象是一条不间断的曲线，所以存在x0∈，使g(x0)＝0，
即f(x0)＝x0.
跟踪训练　2　由题意知，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，函数f(x)在区间(0，＋∞)内的零点就是方程|x－2|－ln x＝0的根．令y1＝|x－2|，y2＝ln x(x>0)，如图，在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象，由图知，两个函数图象有2个交点，所以方程|x－2|－ln x＝0有2个根，即函数f(x)有2个零点．
例2　由f(x)＝0，得x-1＝－x2＋2.
令y1＝x-1，y2＝－x2＋2，在同一直角坐标系中画出它们的图象，如图所示．
由图象，得两个函数有3个交点，
所以函数f(x)＝x-1＋x2－2有3个零点．
由题意，得f(x)的图象在区间(－∞，0)，(0，＋∞)上分别是连续曲线．
因为f(－3)＝(－3)-1＋×(－3)2－2＝>0，
f(－2)＝(－2)-1＋×(－2)2－2＝－<0，
f＝＋×－2＝>0，
f(1)＝1-1＋×12－2＝－<0，
f(2)＝2-1＋×22－2＝>0，
即f(－3)·f(－2)<0，f·f(1)<0，f(1)·f(2)<0，
所以函数f(x)＝x-1＋x2－2的3个零点分别在区间(－3，－2)，，(1，2)内．
跟踪训练　B　因为f(1)＝－1＜0，f(2)＝8＞0，则f(1)·f(2)＝－8＜0.又函数f(x)＝x3＋2x－4的图象是连续曲线，并单调递增，所以f(x)在区间(1，2)内有零点．
例3　(1) 由r＝3 cm，R＝400 cm3/s，
得k·34＝400，解得k＝，
所以流量速率R的函数解析式为R＝r4.
(2) 因为R＝r4，
所以当r＝5 cm时，R＝×54≈3 086(cm3/s)，
故当气体通过半径为 5 cm 的管道时，该气体的流量速率约为3 086 cm3/s.
跟踪训练　(1) y＝　由题意，得当0≤t≤0.1时，可设y＝kt.因为点(0.1，1)在直线上，所以k＝10.同理，当t>0.1时，可得1＝，即0.1－a＝0，所以a＝，所以y＝
(2) 0.6　由题意可得<0.25，则t>0.6.故至少需要经过0.6 h后，学生才能回到教室．
【检测反馈】
1. C　由题意，得f(x)＝－是减函数．因为f(2)＝－>0，f(3)＝1－<0，所以f(2)f(3)<0.由函数零点存在定理，得包含f(x)零点的区间为(2，3).
2. B　由题意，得当自变量变化量相同时，函数值增长越来越快，呈“爆炸式”增长，所以符合指数增长，故B正确．
3. AC　对于A，若x0∈[a，b]，且满足f(x0)＝0，则x0是f(x)的一个零点，故A正确；对于B，如二次函数y＝x2在区间[－1，1]上存在零点，但不可用二分法求x0的近似值，故B错误；对于C，函数f(x)的零点是方程f(x)＝0的根，方程f(x)＝0的根也是函数f(x)的零点，故C正确；对于D，用二分法求方程的根时，得到的根也可能是精确值，故D错误．故选AC.
4. 2　当x≤1时，由f(x)＝x2－4＝0，得x＝2(舍去)或x＝－2；当x>1时，由f(x)＝log2(x－1)＝0，得x＝2.综上，函数y＝f(x)零点的个数为2.
5. (1) 当t＝0时，P＝P0＝P0，
当t＝5时，＝90%，即＝0.9，解得k＝－log20.9，
当t＝10时，＝＝＝0.92＝0.81，
故10 h后还剩81%的污染物．
(2) 设污染物减少50%需要花t h，
则＝＝50%，
所以－kt＝log20.5，
可得t＝－＝－＝5log0.90.5＝≈＝33(h)，
即污染物减少50%大约需要花33 h.

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