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7.4 二项分布与超几何分布
7.4.1 二项分布
第2课时 二项分布的综合问题
探究点一 二项分布均值与方差公式的直接应用
探究点二 实际问题中二项分布的均值与方差
【学习目标】
1.掌握二项分布的均值与方差公式.
2.能运用二项分布解决一些简单的实际问题.
知识点 二项分布的均值与方差
（1）均值：若，则 ____.
（2）方差：若，则 __________.
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）两点分布是 时的二项分布.( )
√
（2）设随机变量，且，，则 ，
.( )
×
[解析] ，， ，
.
（3）将一枚质地均匀的硬币连续抛掷5次，则正面向上的次数的方
差等于 .( )
×
[解析] 正面向上的次数，则 .
探究点一 二项分布均值与方差公式的直接应用
例1（1） 已知随机变量，则__， __.
[解析] 随机变量， ，
.
（2）袋中有大小、形状相同的白、黄乒乓球各一个，每次随机摸取
一个乒乓球记下颜色后放回，现连续取球4次，记取出黄球的次数为
，则的方差 ___.
1
[解析] 每次取球时，黄球被取出的概率为 ，4次取球相当于4重伯努
利试验，取出黄球的次数，则 .
变式（1） 已知随机变量，且， ，则
( )
A.3 B.6 C.9 D.12
[解析] 由随机变量，且， ，可得
，，解得， .故选D.
√
（2）已知随机变量,则 ___.
[解析] 根据题意, ,则
.
探究点二 实际问题中二项分布的均值与方差
例2 某商家有一台电话交换机，其中5个分机专供与顾客通话.设每
个分机在内平均占线 ,并且各个分机是否占线是相互独立的，
求任一时刻占线的分机数目 的均值与方差.
解：每个分机在每一时刻占线的概率为 ,因为各个分机是否
占线是相互独立的，所以 ，
所以任一时刻占线的分机数目的均值，
任一时刻占线的分机数目 的方差 .
例3 某大学有， 两个餐厅为学生提供午餐与晚餐服务，甲、乙两
位同学每天午餐和晚餐都在学校就餐，近一个月（30天）选择餐厅
就餐情况统计如下：
选择餐厅情况（午餐，晚餐）
甲同学 9天 6天 12天 3天
乙同学 6天 6天 6天 12天
假设甲、乙选择餐厅相互独立，用频率估计概率.
（1）分别估计一天中甲同学午餐和晚餐都选择 餐厅就餐的概率，
乙同学午餐选择 餐厅就餐的概率；
解：设事件“一天中甲同学午餐和晚餐都选择 餐厅就餐”，事件
“一天中乙同学午餐选择 餐厅就餐”，
因为30天中，甲同学午餐和晚餐都选择 餐厅就餐的有3天，乙同学
午餐选择餐厅就餐的有 （天），
用频率估计概率，所以， .
（2）记为乙同学在未来4天中午餐选择餐厅就餐的天数，求 的
分布列和数学期望 .
解：由题意可知， ，X的可能取值为0,1,2,3,4，
则 ，
，
， ，
，
所以 的分布列为
0 1 2 3 4
所以 .
变式（1） （多选题）某中学在秋季运动会中，安排了足球射门比
赛，规定每名同学有5次射门机会，射门一次，踢进得10分，未踢进
得 分.小明参加比赛且没有放弃任何一次射门机会，每次踢进的概
率为，每次射门相互独立.记为小明的得分总和， 为小明踢进球
的个数，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
√
√
√
[解析] 由题可知, ,
,,故A正确；
,故B正确；
,故C正确；
,故D错误.故选 .
（2）为舒缓高考压力，某中学高三年级开展了“葵花心语”活动，每
个同学选择一颗葵花种子亲自播种在花盆中，四个人为一个互助组，
每组四个人的种子播种在同一花盆中，若盆中至少长出三株花苗，
则可评为“阳光小组”.已知每颗种子发芽的概率为 ，全年级恰好共
种了500盆，则大概有多少个小组能被评为“阳光小组”？（结果按四
舍五入法保留整数）
解：由题意知，每一盆至少长出三株花苗包括“恰好长出三株花苗”
和“长出四株花苗”两种情况，其概率为
，
即一个小组能被评为“阳光小组”的概率为 ，且被评为“阳光小
组”的个数服从二项分布 ，
所以500个小组中能被评为“阳光小组”的有
（个）.
［素养小结］
（1）求二项分布的均值和方差的步骤：
①一是先判断随机变量是否服从二项分布；
②二是代入二项分布的均值和方差公式计算均值和方差.
（2）若服从两点分布，则；若 服从二项分布，
即，则 .
拓展 近年来创业逐渐成为在校大学生和毕业大学生的一种职业选择
方式.但创业过程中可能会遇到风险，有些风险是可以控制的，有些
风险是不可控制的.某地政府为鼓励大学生创业，制定了一系列优惠
政策.已知创业项目甲成功的概率为 ，项目成功后可获得政府奖金20
万元；创业项目乙成功的概率为 ，项目成功后可获得
政府奖金30万元.项目没有成功则没有奖励，每个项目有且只有一次
实施机会，两个项目的实施是否成功互不影响，项目成功后当地政
府兑现奖励.
（1）大学毕业生张某选择创业项目甲，毕业生李某选择创业项目乙，
记他们累计获得的奖金为（单位：万元），若的概率为 ，
求 的大小；
解：由已知得，张某创业成功的概率为，李某创业成功的概率为 ，
且两人创业成功与否互不影响.
记“这2人累计获得的奖金”为事件，则事件 的对立事件为“
”.
因为，所以 ，
解得 .
（2）若两位大学毕业生都选择创业项目甲或创业项目乙进行创业，
则他们选择何种创业项目，累计获得奖金的数学期望更大？
解：设两位大学毕业生都选择创业项目甲且创业成功的次数为 ，
都选择创业项目乙且创业成功的次数为 ，
则这两人选择项目甲累计获得的奖金的数学期望为 ，
选择项目乙累计获得的奖金的数学期望为 .
由已知可得，, ，
所以, ，
从而, .
若，则，可得 ；
若，则，可得 ；
若，则，解得 .
综上所述，当 时，他们都选择创业项目甲进行创业，累计
获得奖金的数学期望更大；
当 时，他们都选择创业项目乙进行创业，累计获得奖金的
数学期望更大；
当 时，他们都选择创业项目甲或创业项目乙进行创业，累计获
得奖金的数学期望相等.
1.二项分布与两点分布的关系
（1）两点分布的试验次数只有一次，试验结果只有两种：事件 发
生或不发生；二项分布的前提是在 重伯努利试验中，
试验次数为（每次试验的结果也只有两种：事件 发生或不发生），
试验结果有种：事件恰好发生0次，1次，2次， ， 次.
（2）二项分布是两点分布的一般形式，两点分布是一种特殊的二项
分布，即 时的二项分布.
2.二项分布均值公式的直观解释:在一次试验中,试验成功的概率是 ,
则在重伯努利试验中,试验成功的平均次数为 .
3.服从二项分布的随机变量取何值时概率最大问题一般地,若随机变
量服从二项分布,即,其中 ,则有
,令
，得 ,故有:
①若,则取时 最大;
②若是不超过的正整数,则当取和 时
最大;
③若是不超过的非整数,由于 ,因而
表示不超过的最大整数),则取 时
最大.
1.利用二项分布来解决实际问题的关键是在实际问题中建立二项分布
的模型，也就是看它是否是重伯努利试验，随机变量是否为在这
重伯努利试验中某事件发生的次数，满足这两点的随机变量才服从
二项分布，否则就不服从二项分布.
例1 现有10 000人参加某保险公司的人身意外保险，该公司规定：
每人付给公司120元，若意外死亡，则公司赔偿10 000元.如果每人意
外死亡的概率为 ，那么该公司会赔本吗？
解：设这10 000人中意外死亡的人数为 ，则，则 的分布列为 .
死亡人数为时，公司要赔偿万元，此时公司的利润为 万元.
由得 .
因为 ，所以该公司几乎不会赔本.
2.二项分布中的概率最值
在二项分布中随机变量的可能取值为0,1,2， ，，那么 取何值
时对应的概率最大呢？一般求解思路为：设 时，对应概率最大，
则应满足 然后通过求解该不等式组，结
合的取值范围即可确定 的具体取值.
例2 某中学招聘教师分笔试和面试两个环节，面试过程中，主考官
要求应聘者从面试备选题中随机抽取10道题，并独立完成所抽取的
10道题，每道题答对得10分，答错扣1分.甲答对面试每道题的概率均
为 ，且每道题答对与否互不影响，则甲得____分的概率最大.
67
[解析] 设应聘者甲答对道面试备选题的概率为 ，
则 ，此时甲的得分为
.
由 可得，
又，所以当时， 最大，此时得分为
，所以甲得67分的概率最大.
练习册
一、选择题
1.已知，且，则 ( )
A.1.8 B.6 C.2.1 D.4.2
[解析] 因为，所以，得 ，故
.故选D.
√
2.已知某运动员投篮命中率 ，并且每次投篮都是独立的，他
重复5次投篮，投中次数服从二项分布，则的均值 与方差
分别为( )
A.， B.3， C.3， D.，
[解析] 由题意知，，则的均值 ，方
差 .故选B.
√
3.某一供电网络有个用电单位，每个单位在一天中用电的概率是 ，
且每个单位在一天中是否用电相互独立，则该供电网络中一天平均
用电的单位个数是( )
A. B. C. D.
[解析] 设供电网络中一天用电的单位个数为，则 ，故
.故选B.
√
4.某次招聘考试共有50个人参加，假设每个人通过的概率都为 ，
且各人通过与否相互独立．设这50人中通过的人数为 ，则
( )
A.12 B.20 C.108 D.2058
[解析] 根据题意可知，则 ，
故 ，故选C.
√
5.某同学参加学校篮球选修课的期末考试，老师规定每个同学罚篮20
次，每罚进一球得5分，不进得0分，已知该同学罚球命中率为 ，
则该同学得分的期望和方差分别为( )
A.60，24 B.80，120 C.80，24 D.60，120
[解析] 设该同学20次罚篮，命中次数为，则 ，所以
， .
设该同学的得分为，则，
， .故选D.
√
6.[2024·广州高二期中]下列说法正确的是( )
A.已知随机变量，若,，则
B.若随机变量满足，则
C.已知随机变量，若，则
D.已知随机变量，则
√
[解析] 对于A，随机变量，因为, ，
所以可得 ，所以A错误；
对于B，由随机变量满足，可得
，所以B错误；
对于C，由随机变量，可得 ，则
，解得 ，所以C错误；
对于D，由随机变量，可得 ，所
以D正确.故选D.
7.把27粒种子分别种在9个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为 .
若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种；若一个坑内
的种子都没发芽，则这个坑需要补种.假定每个坑至多补种1次，每补
种一个坑需12元，若补种费用为元，则 的数学期望为( )
A.3 B.4 C.12 D.24
[解析] 每个坑需要补种的概率为 ，故9个坑需要补种的
个数，所以，
又 ，故 .故选B.
√
8.（多选题）[2024·长沙高二期中] 已知随机变量 ,
，则( )
A. B.
C. D.
√
√
[解析] 对于A，由题意可得服从二项分布，故 ，解
得，故A正确；
对于B，因为 ，所以
，故B错误；
对于C， ，故C错误；
对于D，，故D正确.故选 .
9.（多选题）如图是一块改造的高尔顿板的示意图，在一块木板上钉
着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适
当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球
从通道口落下，第一次与第2层中间的小木块碰撞，以 的概率向左
或向右滚下，依次经过7次与小木块碰撞，最后掉入编号为1，2，
， 6的球槽内（当小球与第8层最左侧或最右侧的小木块碰撞后，
一定会掉入1号或6号球槽内）．用 表示小球经过第7层的空隙编号
（从左向右的空隙编号依次为0，1，2， ，6），用 表示小球最
后落入球槽的编号，则下列结论正确的是( )
A.
B.
C.
D.若放入80个小球，则落入1号球槽的小球个数
的均值为5
√
√
√
[解析] 对于选项A，小球从通道口落下通过第7层
空隙要经过6次碰撞，每次向左、向右落下的概率
均为 ，并且相互独立，相当于做了6重伯努利试
验，小球经过第7层的空隙编号为，
说明小球经过的6次碰撞中，次向右， 次向左，即 ，故A正确；
对于选项B，小球从通道口落入3号球槽要经过
7次碰撞，其中3次向右，4次向左，
所以，
由选项A可得 ，
故 ，故B错误；
对于选项C，小球从通道口落入2号球槽要经过
7次碰撞，其中2次向右，5次向左，所以
，同
理可得 ，
故C正确；
对于选项D， ，
又因为80个小球中每个小球落入1号球槽的概率都相同，且互不影响，所以，故落入1号球槽的小球个数 的均值为
，故D正确．故选 .
二、填空题
10.牧场有10头牛，因误食含有病毒的饲料而被感染，已知该病的发
病率为，设发病的牛的头数为，则 ______.
0.196
[解析] 因为 ，所以
.
11.某人参加一种考试，共考4个科目，假设他通过各科考试的事件是
相互独立的，并且概率都是，且，若此人通过的科目数 的方
差是，则 __.
[解析] 因为他通过各科考试的事件是相互独立的，并且概率都是 ，
所以此人通过的科目数，
又此人通过的科目数 的方差是，所以，
解得或 （舍去），所以 .
12.甲从装有除颜色外完全相同的3个白球和 个黑球的布袋中随机摸
取一球，有放回地摸取4次，记摸得白球的个数为，若 ，
则___， ___.
4
[解析] 由题意可得，
由 ,解得,故 .
三、解答题
13.某学生在上学路上要经过4个路口,假设在各个路口是否遇到红灯
是相互独立的,遇到红灯的概率都是 ,遇到红灯时停留的时间都是
.
（1）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率;
解：设事件 “这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯”.
因为事件 等价于事件“这名学生在第一个和第二个路口没有遇到红
灯,在第三个路口遇到红灯”,所以 .
（2）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是
的概率.
解：设事件 “这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多
是”,事件“这名学生在上学路上遇到 次红
灯”,则 .
由题意得, ,
,所以
.
14.[2024·浙江五校联盟高二期中] 两名足球门将甲和乙正在进行扑
点球训练.已知甲、乙每次扑中的概率分别是和 ，每次扑点球相互
独立，互不影响.
（1）甲扑点球2次，乙扑点球1次，记两人扑中次数的和为 ，试求
随机变量 的分布列及数学期望（用最简分数表示）；
解：由题意, 的所有可能取值为0，1，2，3，
，
，
，
.
故 的分布列为
0 1 2 3
.
（2）乙扑点球6次，其扑中次数为，试求的概率和随机变量
的方差（用最简分数表示）.
解：由题意， 的概率为
.
由题意知，故 .
15.某校在校庆期间举办羽毛球比赛，某班派出甲、乙两名单打主力，
为了提高两位主力的能力，体育老师安排了为期一周的对抗训练，
比赛规则如下：甲、乙两人每轮分别与体育老师打2局，当两人获胜
总局数不少于3时，则认为这轮训练过关；否则不过关.若甲、乙两人
每局获胜的概率分别为， ，且满足
，每局之间相互独立.记甲、乙在 轮训练中训练过关的轮
数为，若 ，则从期望的角度来看，甲、乙两人训练的轮
数至少为( )
A.26 B.30 C.32 D.36
√
[解析] 根据题意，设甲、乙在某一轮训练中训练过关的概率为 ，则
.
又，则 ，
又，，得 ，
则有.
设， ，则，
当且仅当 时等号成立，即的最大值为.
记甲、乙在 轮训练中训练过关的轮数为，则，
若，则有，
当 最大时，甲、乙两人训练的轮数最少，则 ，
即甲、乙两人训练的轮数至少为32.故选C.
16.[2024·连云港高二期中] 某小组为调查高二学生在寒假名著阅读
的情况，随机抽取了20名男生和20名女生，得到如下阅读时长
（单位：小时）的数据：
男生：38，26，37，23，28，38，12，25，44，39，33，27，10，
35，41，27，38，11，46，29；
女生：42，31，28，37，33，29，51，38，39，36，22，39，33，
46，31，17，34，45，30，49.
（1）在抽取的40名高二学生中，阅读时长超过45小时的为“阅读能
手”，阅读时长低于15小时的为“阅读后进者”.为了培养“阅读后进者”
的阅读兴趣，现从“阅读能手”中挑选几人，对“阅读后进者”进行一对
一指导，求阅读时长最短的同学被阅读时长最长的同学指导的概率.
解：由题目数据知“阅读能手”有4人，“阅读后进者”有3人，把阅读
时长为51，49，46，46小时的同学分别记为，，， ，把阅读时
长为10，11，12小时的同学分别记为甲、乙、丙.
那么原问题即为：从4名“阅读能手”中随机选3人一对一指导甲、乙、
丙，求甲被 指导的概率.
从4名“阅读能手”中随机选3人一对一指导甲、乙、丙，则共有
（种）情况.
记“甲被指导”为事件，若甲被指导，则只需从，， 中随机
选2人指导乙、丙，则共有 （种）情况.
故 ，所以阅读时长最短的同学被阅读时长最长的同学
指导的概率为 .
（2）阅读时长超过30小时的为“阅读爱好者”，分别用男生、女生中
的频率估计概率，现从高二学生中随机抽取2名男生、2名女生交流
心得，其中“阅读爱好者”有人，求 的分布列和数学期望.
解：由题意可知，随机抽取一名男生为“阅读爱好者”的概率为 ，
随机抽取一名女生为“阅读爱好者”的概率为 .
记随机抽取的2名男生和2名女生中“阅读爱好者”分别有, 人，
则，， .
，
，
的所有可能取值为0，1，2，3，4，
， ，
，
，
，
.
的分布列为
0 1 2 3 4
.第2课时　二项分布的综合问题
【课前预习】
知识点
(1)np　(2)np(1-p)
诊断分析
(1)√　(2)×　(3)×　[解析] (2)∵E(X)=np=3,p=,∴n=21,∴D(X)=np(1-p)=21××=.
(3)正面向上的次数X~B,则D(X)=5××=.
【课中探究】
例1　(1)　　(2)1　[解析] (1)∵随机变量X~B,∴E(X)=np=4×=,D(X)=4××=.
(2)每次取球时,黄球被取出的概率为,4次取球相当于4重伯努利试验,取出黄球的次数X~B,则D(X)=4××=1.
变式　(1)D　(2)　[解析] (1)由随机变量X~B(n,p),且E(X)=9,D(X)=,可得np=9,np(1-p)=,解得p=,n=12.故选D.
(2)根据题意,X~B,则E(2X+1)=2E(X)+1=2×5×+1=.
例2　解:每个分机在每一时刻占线的概率为p==,因为各个分机是否占线是相互独立的,所以X~B,所以任一时刻占线的分机数目X的均值E(X)=np=5×=,任一时刻占线的分机数目X的方差D(X)=np(1-p)=5××=.
例3　解:(1)设事件C=“一天中甲同学午餐和晚餐都选择B餐厅就餐”,事件D=“一天中乙同学午餐选择A餐厅就餐”,
因为30天中,甲同学午餐和晚餐都选择B餐厅就餐的有3天,乙同学午餐选择A餐厅就餐的有6+6=12(天),
用频率估计概率,所以P(C)==,P(D)==.
(2)由题意可知,X~B,
X的可能取值为0,1,2,3,4,则P(X=0)==,P(X=1)=××=,
P(X=2)=××=,P(X=3)=××=,P(X=4)==,
所以X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
所以E(X)=4×=.
变式　(1)ABC　[解析] 由题可知Y~B,X=10Y-5(5-Y)=15Y-25,∴E(Y)=5×=,D(Y)=5××=,故A正确;
P(X≤5)=P(Y≤2)=P(Y=0)+P(Y=1)+P(Y=2)=×+××+××=,故B正确;E(X)=15E(Y)-25=15×-25=25,故C正确;D(X)=152D(Y)=152×=250,故D错误.故选ABC.
(2)解:由题意知,每一盆至少长出三株花苗包括“恰好长出三株花苗”和“长出四株花苗”两种情况,其概率为×0.84+×(1-0.8)×0.83=0.819 2,
即一个小组能被评为“阳光小组”的概率为0.819 2,且被评为“阳光小组”的个数X服从二项分布B(500,0.819 2),
所以500个小组中能被评为“阳光小组”的有500×0.819 2=409.6≈410(个).
拓展　解:(1)由已知得,张某创业成功的概率为,李某创业成功的概率为P0,且两人创业成功与否互不影响.
记“这2人累计获得的奖金X≤30”为事件A,则事件A的对立事件为“X=50”.
因为P(X=50)=P0,所以P(A)=1-P(X=50)=1-P0=,解得P0=.
(2)设两位大学毕业生都选择创业项目甲且创业成功的次数为X1,都选择创业项目乙且创业成功的次数为X2,则这两人选择项目甲累计获得的奖金的数学期望为E(20X1),选择项目乙累计获得的奖金的数学期望为E(30X2).
由已知可得,X1~B,X2~B(2,P0),
所以E(X1)=,E(X2)=2P0,
从而E(20X1)=20E(X1)=20×=,E(30X2)=30E(X2)=60P0.
若E(20X1)>E(30X2),则>60P0,可得0若E(20X1)若E(20X1)=E(30X2),则=60P0,解得P0=.
综上所述,当0当当P0=时,他们都选择创业项目甲或创业项目乙进行创业,累计获得奖金的数学期望相等.第2课时　二项分布的综合问题
1.D　[解析] 因为X~B(20,p),所以E(X)=20p=6,得p=0.3,故D(X)=np(1-p)=20×0.3×0.7=4.2.故选D.
2.B　[解析] 由题意知,X~B(5,0.6),则X的均值E(X)=5×0.6=3,方差D(X)=5×0.6×0.4=1.2.故选B.
3.B　[解析] 设供电网络中一天用电的单位个数为X,则X~B(n,p),故E(X)=np.故选B.
4.C　[解析] 根据题意可知X~B(50,0.4),则D(X)=50×0.4×0.6=12,故D(3X+2024)=9D(X)=108,故选C.
5.D　[解析] 设该同学20次罚篮,命中次数为X,则X~B,所以E(X)=20×=12,D(X)=20××=.设该同学的得分为Y,则Y=5X,E(Y)=E(5X)=5E(X)=5×12=60,D(Y)=D(5X)=52D(X)=52×=120.故选D.
6.D　[解析] 对于A,随机变量X~B(n,p),因为E(X)=30,D(X)=10,所以可得p=,所以A错误;对于B,由随机变量X满足D(X)=2,可得D(3-X)=(-1)2D(X)=2,所以B错误;对于C,由随机变量X~B,可得E(X)=,则E(2X+1)=2E(X)+1=2×+1=9,解得n=8,所以C错误;对于D,由随机变量X~B,可得P(X=3)=×=,所以D正确.故选D.
7.B　[解析] 每个坑需要补种的概率为=,故9个坑需要补种的个数Y~B,所以E(Y)=9×=,又X=12Y,故E(X)=12×=4.故选B.
8.AD　[解析] 对于A,由题意可得X服从二项分布,故E(X)=4p=2,解得p=,故A正确;对于B,因为X~B,所以P=P(X=2)+P(X=3)=×+×=,故B错误;对于C,D(X)=4××=1,故C错误;对于D,E(4X+3)=4E(X)+3=11,故D正确.故选AD.
9.ACD　[解析] 对于选项A,小球从通道口落下通过第7层空隙要经过6次碰撞,每次向左、向右落下的概率均为,并且相互独立,相当于做了6重伯努利试验,小球经过第7层的空隙编号为X(X=0,1,2,3,4,5,6),说明小球经过的6次碰撞中,X次向右,(6-X)次向左,即X~B,故A正确;对于选项B,小球从通道口落入3号球槽要经过7次碰撞,其中3次向右,4次向左,所以P(Y=3)=××=35×,由选项A可得X~B,故 P(X=2)+P(X=3)=××+××=35×,故B错误;对于选项C,小球从通道口落入2号球槽要经过7次碰撞,其中2次向右,5次向左,所以P(Y=2)=××=21×,同理可得P(Y=5)=××=21×,故C正确;对于选项D,P(Y=1)=P(X=0)+P(X=1)·=××+×××=8×=,又因为80个小球中每个小球落入1号球槽的概率都相同,且互不影响,所以Z~B,故落入1号球槽的小球个数Z的均值为E(Z)=np=80×=5,故D正确.故选ACD.
10.0.196　[解析] 因为X~B(10,0.02),所以D(X)=10×0.02×(1-0.02)=0.196.
11.　[解析] 因为他通过各科考试的事件是相互独立的,并且概率都是p,所以此人通过的科目数X~B(4,p),又此人通过的科目数X的方差是,所以4p(1-p)=,解得p=或p=(舍去),所以E(X)=4×=.
12.4　　[解析] 由题意可得X~B,由E(X)=4×=,解得m=4,故D(X)=4××=.
13.解:(1)设事件A=“这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯”.
因为事件A等价于事件“这名学生在第一个和第二个路口没有遇到红灯,在第三个路口遇到红灯”,所以P(A)=××=.
(2)设事件B=“这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是4 min”,事件Bk=“这名学生在上学路上遇到k(k=0,1,2,3,4)次红灯”,则B=B0+B1+B2.
由题意得P(B0)==,P(B1)=××=,P(B2)=××==,所以P(B)=P(B0)+P(B1)+P(B2)=.
14.解:(1)由题意,X的所有可能取值为0,1,2,3,
P(X=0)=××==,
P(X=1)=××+××+××=,
P(X=2)=××+××+××==,
P(X=3)=××=.
故X的分布列为
X 0 1 2 3
P
E(X)=0×+1×+2×+3×=.
(2)由题意,Y=4的概率为P(Y=4)=××==.
由题意知Y~B,故D(Y)=6××=.
15.C　[解析] 根据题意,设甲、乙在某一轮训练中训练过关的概率为p,则p=+p1(1-p1)+p2(1-p2)=2p1p2(p1+p2)-3=3p1p2-3.又p1+p2=,则p1p2=p1,又0≤p1≤1,0≤p2≤1,得≤p1≤1,则有≤p1p2=p1≤.设t=p1p2,≤t≤,则p=3t-3t2=3t(1-t)≤3=,当且仅当t=p1p2=时等号成立,即p的最大值为.记甲、乙在n轮训练中训练过关的轮数为X,则X~(n,p),若E(X)=24,则有np=24,当p最大时,甲、乙两人训练的轮数最少,则n≥=32,即甲、乙两人训练的轮数至少为32.故选C.
16.解:(1)由题目数据知“阅读能手”有4人,“阅读后进者”有3人,把阅读时长为51,49,46,46小时的同学分别记为A,B,C,D,把阅读时长为10,11,12小时的同学分别记为甲、乙、丙.
那么原问题即为:从4名“阅读能手”中随机选3人一对一指导甲、乙、丙,求甲被A指导的概率.
从4名“阅读能手”中随机选3人一对一指导甲、乙、丙,则共有=24(种)情况.
记“甲被A指导”为事件E,若甲被A指导,则只需从B,C,D中随机选2人指导乙、丙,则共有=6(种)情况.
故P(E)==,所以阅读时长最短的同学被阅读时长最长的同学指导的概率为.
(2)由题意可知,随机抽取一名男生为“阅读爱好者”的概率为=,随机抽取一名女生为“阅读爱好者”的概率为=.
记随机抽取的2名男生和2名女生中“阅读爱好者”分别有X1,X2人,
则X1~B,X2~B,X=X1+X2.
P(X1=i)=(i=0,1,2),
P(X2=j)=(j=0,1,2),
X的所有可能取值为0,1,2,3,4,P(X=0)=P(X1=0,
X2=0)=×××=,
P(X=1)=P(X1=1,X2=0)+P(X1=0,X2=1)=××××+××××=,
P(X=2)=P(X1=2,X2=0)+P(X1=0,X2=2)+P(X1=1,X2=1)=×××+××+×××××=,
P(X=3)=P(X1=2,X2=1)+P(X1=1,X2=2)=××××+××××=,P(X=4)=P(X1=2,X2=2)=×××=.
∴X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
∴E(X)=E(X1+X2)=E(X1)+E(X2)=2×+2×=.第2课时　二项分布的综合问题
【学习目标】
　　1.掌握二项分布的均值与方差公式.
　　2.能运用二项分布解决一些简单的实际问题.
◆ 知识点　二项分布的均值与方差
(1)均值:若X~B(n,p),则E(X)=　　　　.
(2)方差:若X~B(n,p),则D(X)=　　　　.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)两点分布是n=1时的二项分布. (　 )
(2)设随机变量X~B(n,p),且E(X)=3,p=,则n=21,D(X)=. (　 )
(3)将一枚质地均匀的硬币连续抛掷5次,则正面向上的次数的方差等于. (　 )
◆ 探究点一　二项分布均值与方差公式的直接
应用
例1 (1)已知随机变量X~B,则E(X)=　　　,D(X)=　　　　.
(2)袋中有大小、形状相同的白、黄乒乓球各一个,每次随机摸取一个乒乓球记下颜色后放回,现连续取球4次,记取出黄球的次数为X,则X的方差D(X)=　　　　.
变式 (1)已知随机变量X~B(n,p),且E(X)=9,D(X)=,则n= (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.3 B.6
C.9 D.12
(2)已知随机变量X~B,则E(2X+1)=　　　　.
◆ 探究点二　实际问题中二项分布的均值与方差
例2 某商家有一台电话交换机,其中5个分机专供与顾客通话.设每个分机在1 h内平均占线20 min,并且各个分机是否占线是相互独立的,求任一时刻占线的分机数目X的均值与方差.
例3 某大学有A,B两个餐厅为学生提供午餐与晚餐服务,甲、乙两位同学每天午餐和晚餐都在学校就餐,近一个月(30天)选择餐厅就餐情况统计如下:
选择餐厅情况 (午餐,晚餐) (A,A) (A,B) (B,A) (B,B)
甲同学 9天 6天 12天 3天
乙同学 6天 6天 6天 12天
假设甲、乙选择餐厅相互独立,用频率估计概率.
(1)分别估计一天中甲同学午餐和晚餐都选择B餐厅就餐的概率,乙同学午餐选择A餐厅就餐的概率;
(2)记X为乙同学在未来4天中午餐选择A餐厅就餐的天数,求X的分布列和数学期望E(X).
变式 (1)(多选题)某中学在秋季运动会中,安排了足球射门比赛,规定每名同学有5次射门机会,射门一次,踢进得10分,未踢进得-5分.小明参加比赛且没有放弃任何一次射门机会,每次踢进的概率为,每次射门相互独立.记X为小明的得分总和,Y为小明踢进球的个数,则下列结论正确的是 (　 )
A.E(Y)= B.P(X≤5)=
C.E(X)=25 D.D(X)=
(2)为舒缓高考压力,某中学高三年级开展了“葵花心语”活动,每个同学选择一颗葵花种子亲自播种在花盆中,四个人为一个互助组,每组四个人的种子播种在同一花盆中,若盆中至少长出三株花苗,则可评为“阳光小组”.已知每颗种子发芽的概率为0.8,全年级恰好共种了500盆,则大概有多少个小组能被评为“阳光小组” (结果按四舍五入法保留整数)
[素养小结]
(1)求二项分布的均值和方差的步骤:
①一是先判断随机变量是否服从二项分布;
②二是代入二项分布的均值和方差公式计算均值和方差.
(2)若X服从两点分布,则D(X)=p(1-p);若X服从二项分布,即X~B(n,p),则D(X)=np(1-p).
拓展 近年来创业逐渐成为在校大学生和毕业大学生的一种职业选择方式.但创业过程中可能会遇到风险,有些风险是可以控制的,有些风险是不可控制的.某地政府为鼓励大学生创业,制定了一系列优惠政策.已知创业项目甲成功的概率为,项目成功后可获得政府奖金20万元;创业项目乙成功的概率为P0(0(1)大学毕业生张某选择创业项目甲,毕业生李某选择创业项目乙,记他们累计获得的奖金为X(单位:万元),若X≤30的概率为,求P0的大小;
(2)若两位大学毕业生都选择创业项目甲或创业项目乙进行创业,则他们选择何种创业项目,累计获得奖金的数学期望更大 第2课时　二项分布的综合问题
一、选择题
1.已知X~B(20,p),且E(X)=6,则D(X)= (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.1.8 B.6
C.2.1 D.4.2
2.已知某运动员投篮命中率p=0.6,并且每次投篮都是独立的,他重复5次投篮,投中次数X服从二项分布,则X的均值E(X)与方差D(X)分别为 (　 )
A.0.6,0.24 B.3,1.2
C.3,0.24 D.0.6,1.2
3.某一供电网络有n个用电单位,每个单位在一天中用电的概率是p,且每个单位在一天中是否用电相互独立,则该供电网络中一天平均用电的单位个数是 (　 )
A.np(1-p) B.np
C.n D.p(1-p)
4.某次招聘考试共有50个人参加,假设每个人通过的概率都为0.4,且各人通过与否相互独立.设这50人中通过的人数为X,则D(3X+2024)= (　 )
A.12 B.20
C.108 D.2058
5.某同学参加学校篮球选修课的期末考试,老师规定每个同学罚篮20次,每罚进一球得5分,不进得0分,已知该同学罚球命中率为60%,则该同学得分的期望和方差分别为 (　 )
A.60,24 B.80,120
C.80,24 D.60,120
6.[2024·广州高二期中] 下列说法正确的是 (　 )
A.已知随机变量X~B(n,p),若E(X)=30,D(X)=10,则p=
B.若随机变量X满足D(X)=2,则D(3-X)=1
C.已知随机变量X~B,若E(2X+1)=9,则n=4
D.已知随机变量X~B,则P(X=3)=
7.把27粒种子分别种在9个坑内,每坑3粒,每粒种子发芽的概率为.若一个坑内至少有1粒种子发芽,则这个坑不需要补种;若一个坑内的种子都没发芽,则这个坑需要补种.假定每个坑至多补种1次,每补种一个坑需12元,若补种费用为X元,则X的数学期望为 (　 )
A.3 B.4
C.12 D.24
8.(多选题)[2024·长沙高二期中] 已知随机变量X~B(4,p),E(X)=2,则 (　 )
A.p=
B.P=
C.D(X)=2
D.E(4X+3)=11
9.(多选题)如图是一块改造的高尔顿板的示意图,在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块,小木块之间留有适当的空隙作为通道,前面挡有一块玻璃,将小球从顶端放入,小球从通道口落下,第一次与第2层中间的小木块碰撞,以的概率向左或向右滚下,依次经过7次与小木块碰撞,最后掉入编号为1,2,…,6的球槽内(当小球与第8层最左侧或最右侧的小木块碰撞后,一定会掉入1号或6号球槽内).用X表示小球经过第7层的空隙编号(从左向右的空隙编号依次为0,1,2,…,6),用Y表示小球最后落入球槽的编号,则下列结论正确的是 (　 )
A.X~B
B.P(Y=3)=P(X=2)+P(X=3)
C.P(Y=2)=P(Y=5)
D.若放入80个小球,则落入1号球槽的小球个数Z的均值为5
二、填空题
10.牧场有10头牛,因误食含有病毒的饲料而被感染,已知该病的发病率为0.02,设发病的牛的头数为X,则D(X)=　　　　.
11.某人参加一种考试,共考4个科目,假设他通过各科考试的事件是相互独立的,并且概率都是p,且p>,若此人通过的科目数X的方差是,则E(X)=　　　　.
12.甲从装有除颜色外完全相同的3个白球和m个黑球的布袋中随机摸取一球,有放回地摸取4次,记摸得白球的个数为X,若E(X)=,则m=　　　　,D(X)=　　　　.
三、解答题
13.某学生在上学路上要经过4个路口,假设在各个路口是否遇到红灯是相互独立的,遇到红灯的概率都是,遇到红灯时停留的时间都是2 min.
(1)求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率;
(2)求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是4 min的概率.
14.[2024·浙江五校联盟高二期中] 两名足球门将甲和乙正在进行扑点球训练.已知甲、乙每次扑中的概率分别是和,每次扑点球相互独立,互不影响.
(1)甲扑点球2次,乙扑点球1次,记两人扑中次数的和为X,试求随机变量X的分布列及数学期望(用最简分数表示);
(2)乙扑点球6次,其扑中次数为Y,试求Y=4的概率和随机变量Y的方差(用最简分数表示).
15.某校在校庆期间举办羽毛球比赛,某班派出甲、乙两名单打主力,为了提高两位主力的能力,体育老师安排了为期一周的对抗训练,比赛规则如下:甲、乙两人每轮分别与体育老师打2局,当两人获胜总局数不少于3时,则认为这轮训练过关;否则不过关.若甲、乙两人每局获胜的概率分别为 p1,p2(0≤p1≤1,0≤p2≤1),且满足p1+p2=,每局之间相互独立.记甲、乙在n轮训练中训练过关的轮数为X,若E(X)=24,则从期望的角度来看,甲、乙两人训练的轮数至少为 (　 )
A.26 B.30 C.32 D.36
16.[2024·连云港高二期中] 某小组为调查高二学生在寒假名著阅读的情况,随机抽取了20名男生和20名女生,得到如下阅读时长(单位:小时)的数据:
男生:38,26,37,23,28,38,12,25,44,39,33,27,10,35,41,27,38,11,46,29;
女生:42,31,28,37,33,29,51,38,39,36,22,39,33,46,31,17,34,45,30,49.
(1)在抽取的40名高二学生中,阅读时长超过45小时的为“阅读能手”,阅读时长低于15小时的为“阅读后进者”.为了培养“阅读后进者”的阅读兴趣,现从“阅读能手”中挑选几人,对“阅读后进者”进行一对一指导,求阅读时长最短的同学被阅读时长最长的同学指导的概率.
(2)阅读时长超过30小时的为“阅读爱好者”,分别用男生、女生中的频率估计概率,现从高二学生中随机抽取2名男生、2名女生交流心得,其中“阅读爱好者”有X人,求X的分布列和数学期望.

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