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§2 函数
2.1 函数概念
◆ 课前预习
◆ 课中探究
◆ 备课素材
◆ 备用习题
【学习目标】
1.理解用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中
的作用.
2.了解构成函数的要素.
3.会求一些简单函数的定义域和值域.
4.能够正确使用“区间”的符号表示某些函数的定义域.
知识点 函数的概念
1.定义
给定实数集中的两个非空数集和，如果存在一个对应关系，使对于集合
中的每一个数，在集合中都有______确定的数 和它对应，那么就把对应关
系称为定义在集合上的一个函数，记作， .
其中集合称为函数的定义域，称为________，与值对应的 值称为________，
集合 称为函数的值域.
唯一
自变量
函数值
2.函数的构成要素：________、__________和______.
定义域
对应关系
值域
3.同一个函数：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就
称这两个函数是同一个函数.
【诊断分析】
1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）函数的定义域和值域一定是无限集合.( )
×
（2）根据函数的定义，定义域中的一个可以对应着不同的 .( )
×
（3）表示当时函数 的值，是一个常量.( )
√
2.如何理解函数符号“”表示“是 的函数”？
解：表示与对应的函数值，而不是乘 .
②这里 是自变量.
是对应关系，它可以是一个或几个解析式，可以是图象、表格，也可以是文
字描述.
④在研究函数问题时，我们除了常用表示函数外，还经常会用到 ，
， 等符号来表示.
探究点一 函数定义的应用
例1（1） （多选题）以下从到 的对应关系表示函数的是( )
BD
A.，，
B.，，
C.，，
D.,,,,
[解析] 对于A选项，,但0没有倒数，即在 中找不到与0对应的数，该对应
关系不表示函数，故A项错误；
对于B选项，任意实数的绝对值都是非负数，即集合中的每一个元素在集合
中都有唯一确定的元素与之对应，该对应关系表示函数，故B项正确；
对于C选项，每个正数的平方根都有两个，即集合 中的每个元素在集合 中都
有两个元素与之对应，该对应关系不表示函数，故C项错误；
对于D选项，,当, 时，可得
,,且集合中的每个在集合中都有唯一的 值与之对应，该对应关
系表示函数，故D项正确.故选 .
（2）[2024·安徽淮南高一期中]设， ，给出
下列四个图形，其中能表示从集合到集合 的函数关系的是( )
B
A. B. C. D.
[解析] 对于A，对于集合中的元素，当时，集合 中没有与之对应
的元素，不符合函数的定义，故错误；
对于B，集合中的每一个元素 ，在集合中都有唯一确定的元素 与之对应，
符合函数的定义，故正确；
对于C，对于集合中的元素，当时，每一个在集合 中都有两个元素
与之对应，不符合函数的定义，故错误；
对于D，集合中的元素2，在集合 中没有与之对应的元素，不符合函数的定义，
故错误.故选B.
（3）下列各组函数表示同一个函数的是( )
D
A.，
B.，
C.，
D.，
[解析] 对于A选项，的定义域为，的定义域为 ，两个函数
的定义域不同，故不是同一个函数.
对于B选项，的定义域为 ，的定义域为,或 ，
两个函数的定义域不同，故不是同一个函数.
对于C选项，，，两个函数的定义域都为 ，但对
应关系不同，故不是同一个函数.
对于D选项，两个函数的定义域都为 ，对应关系相同，故是同一个函数.故选D.
［素养小结］
判断两个函数是否为同一个函数，一定要看定义域和对应关系是否全部相同.定
义域和值域分别相同的两个函数不一定是同一个函数，如果对应关系不同，那
么这两个函数一定不是同一个函数.
探究点二 求函数的定义域
例2 求函数 的定义域.
解：要使函数有意义，需满足解得且且 ，
所以函数的定义域为 .
变式 函数 的定义域为_______________．
[解析] 由题得解得或 ，
所以函数的定义域为 .
［素养小结］
求函数定义域的方法及注意问题：
（1）使函数有意义的条件一般有：①分式的分母不为0；②偶次根式的被开方
数非负；③对于，要求 .
（2）不对解析式化简变形，以免定义域变化.
（3）当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定
义域是使得各个式子都有意义的公共部分的集合.
拓展（1） 已知函数的定义域是，则 的定
义域是( )
C
A. B. C. D.
[解析] 令，解得， 的定义域是
.故选C.
（2）已知函数的定义域为，则函数 的定义域为 ( )
B
A. B. C. D.
[解析] 因为函数的定义域为，即 ，
所以，所以函数的定义域为.
由 ，得，
所以函数的定义域为 .故选B.
探究点三 函数的求值问题
例3 已知函数 .
（1）求，， ；
解：， ，
.
（2）若，求 的值.
解：由题意得，即，解得或 .
变式（1） 已知则 等于( )
B
A.1 B. C.2 D.
[解析] 由题意知, ，所以
.故选B.
（2）已知函数满足则 ___．
1
[解析] 因为函数所以 ，
所以 .
［素养小结］
函数求值问题的解题思路.
（1）已知函数的解析式求函数值，只需将自变量的值代入解析式即可求出相应
的函数值，当自变量的值为含有字母的代数式时，要将代数式作为一个整体代
入解析式求解.
（2）已知函数解析式，求对应函数值的自变量的值，只需将函数值代入解析式，
建立关于自变量的方程即可求解，注意函数定义域对自变量取值的限制.
探究点四 求函数的值域
例4 求下列函数的值域.
（1） ；
解：要使函数有意义，需满足，解得 ，
该函数的定义域为 .
易知当时，函数取得最大值4，当时，函数 取得最小值0，
故函数的值域为 ．
（2）， ；
解： ，
， ，
，
即函数，的值域为 .
（3） ；
解： ，
， ，
即函数的值域为 .
（4） .
解： ，
，， ，
则，的值域为 .
变式 求下列函数的值域.
（1） ；
解:因为，所以，故函数的值域为 .
（2） ；
解:因为，且，所以 ，
所以，故函数的值域为 .
（3） ；
解:令，则，且，所以 ，
由，可得，故函数的值域为 .
（4） ；
解: ，
其中，当时， .
又因为，所以.故函数的值域为 .
（5） .
解:因为，所以 ，
所以 ，当
且仅当 ，即时，取等号，
此时取得最小值8.故函数的值域为 .
［素养小结］
求函数值域的方法有观察法、图象法、分离常数法、换元法、判别式法等，对
于一些常用的方法应熟练掌握.
1.理解函数的概念应关注五点
（1）“，是非空的数集”，一方面强调了，只能是数集，即， 中的元素
只能是实数；另一方面指出了定义域、值域都不能是空集，也就是说定义域为
空集的函数是不存在的.
（2）理解函数的概念要注意函数的定义域是非空数集 ，但函数的值域不一定
是非空数集，而是集合 的子集.
（3）函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空数集 中
的任意一个（任意性）元素，在非空数集 中都有（存在性）唯一（唯一性）
的元素 与之对应.这“三性”只要有一个不满足，便不能构成函数.
（4）仅仅是函数符号，不是表示“等于与的乘积”， 也不一定
就是解析式.
（5）除外，有时还用,,, 等符号来表示函数.
2.同一函数
两个函数当且仅当它们的三要素完全相同时才表示同一函数，根据它们之间的
关系，判断两个函数是否为同一函数，主要看它们的定义域和对应关系是否相
同.因为只要定义域相同，对应关系相同，值域就相同.
1.求一些抽象函数的定义域常采用整体法
例1 [2024·江西信丰中学高一月考] 若函数的定义域是 ，则函数
的定义域是______.
[解析] 由，解得.由，解得 或
.由①②得,所以函数的定义域为 .
2.已知函数解析式求函数值（或值域）常采用代入法代入法是通过将自变量的
值代入解析式中，得到相应的函数值的方法.
例2 求函数，，2，3， 的值域.
解：当时，；当时，；当
时，；当时，，所以函数 ，
，2，3，的值域为，5，7， .
3.解决生活中的实际问题常采用函数建模法
在日常生活、生产中，函数的应用是非常广泛的.解决有关问题时，应弄清题意，
将实际问题中内在的、本质的联系抽象地转化为数学问题，进而建立函数模型，
最后通过对数学问题的求解来解决实际问题.
例3 [2024·广东深圳光明区高一期末]生物学家认为睡眠中的恒温动物的脉搏率
（单位：次/分）与体重（单位：千克）的次方成反比.已知， 为两个睡
眠中的恒温动物，的体重为2千克、脉搏率为210次/分， 的脉搏率是70次/分，
则 的体重为( )
D
A.6千克 B.8千克 C.18千克 D.54千克
[解析] 根据题意设，因为当时， ,所以，
则当时，可得，所以 .故选D.§2　函数
2.1　函数概念
【课前预习】
知识点
1.唯一　自变量　函数值
2.定义域　对应关系　值域
诊断分析
1.(1)×　(2)×　(3)√
2.解:①f(x)表示与x对应的函数值,而不是f乘x.
②这里x是自变量.
③f是对应关系,它可以是一个或几个解析式,可以是图象、表格,也可以是文字描述.
④在研究函数问题时,我们除了常用f(x)表示函数外,还经常会用到g(x),F(x),G(x)等符号来表示.
【课中探究】
探究点一
例1　(1)BD　(2)B　(3)D　[解析] (1)对于A选项,0∈M,但0没有倒数,即在N中找不到与0对应的数,该对应关系不表示函数,故A项错误;对于B选项,任意实数的绝对值都是非负数,即集合M中的每一个元素在集合N中都有唯一确定的元素与之对应,该对应关系表示函数,故B项正确;对于C选项,每个正数的平方根都有两个,即集合M中的每个元素在集合N中都有两个元素与之对应,该对应关系不表示函数,故C项错误;对于D选项,y=x2-2x+2=(x-1)2+1,当x≥2,x∈N*时,可得y≥2,y∈N*,且集合M中的每个x在集合N中都有唯一的y值与之对应,该对应关系表示函数,故D项正确.故选BD.
(2)对于A,对于集合M中的元素x,当1(3)对于A选项,f(x)的定义域为{x|x≠-1},g(x)的定义域为R,两个函数的定义域不同,故不是同一个函数.对于B选项,f(x)的定义域为{x|x≥2},g(x)的定义域为{x|x≥2,或 x≤-2},两个函数的定义域不同,故不是同一个函数.对于C选项,f(x)==|x|,g(x)=x,两个函数的定义域都为R,但对应关系不同,故不是同一个函数.对于D选项,两个函数的定义域都为R,对应关系相同,故是同一个函数.故选D.
探究点二
例2　解:要使函数有意义,需满足解得x≤1且x≠0且x≠-1,所以函数的定义域为(-∞,-1)∪(-1,0)∪(0,1].
变式　(-∞,1)∪(1,3]　[解析] 由题得解得x<1或1拓展　(1)C　(2)B　[解析] (1)令-2≤2x-1≤3,解得-≤x≤2,∴y=f(2x-1)的定义域是.故选C.
(2)因为函数f(2x-1)的定义域为(-1,9),即-1探究点三
例3　解:(1)f(2)=22+2-1=5,f[f(2)]=f(5)=52+5-1=29,f(a+1)=(a+1)2+(a+1)-1=a2+3a+1.
(2)由题意得x2+x-1=5,即x2+x-6=0,解得x=2或x=-3.
变式　(1)B　(2)1　[解析] (1)由题意知f=2×=,f=-+1=,所以f+f=.故选B.
(2)因为函数f(x)=所以f(5)=f(3)=f(1)=12=1,所以f[f(5)]=f(1)=12=1.
探究点四
例4　解:(1)要使函数y=有意义,需满足16-x2≥0,解得-4≤x≤4,∴该函数的定义域为[-4,4].
易知当x=0时,函数y取得最大值4,当x=±4时,函数y取得最小值0,故函数y的值域为[0,4].
(2)f(x)=-x2+2x+1=-(x-1)2+2,
∵x∈[0,3],∴x-1∈[-1,2],
∴-(x-1)2+2∈[-2,2],
即函数f(x)=-x2+2x+1,x∈[0,3]的值域为[-2,2].
(3)f(x)=x-=- ,
∵≥0,∴-≥-,
即函数f(x)=x-的值域为.
(4)y===1-,
∵x2+1≥1,∴∈(0,4],∴-∈[-4,0),
则1-∈[-3,1),∴y=的值域为[-3,1).
变式　解:(1)因为≥0,所以-2≥-2,故函数y=-2的值域为[-2,+∞).
(2)因为y=1-,且x2-x+1=+≥,所以0<≤,所以-≤y<1,故函数的值域为.
(3)令=t,则t≥0,且x=,所以y=-t=-(t+1)2+1,由t≥0,可得y≤,故函数的值域为.
(4)y====
=-,其中x≠1,当x=1时,==-.又因为≠0,所以y≠.故函数的值域为∪∪.
(5)因为x>1,所以x-1>0,
所以y===x-1++2≥2+2=8,当且仅当x-1=,
即x=4时,取等号,此时y取得最小值8.故函数的值域为[8,+∞).§2　函数
2.1　函数概念
1.C　[解析] 把x=-1,1,2分别代入函数解析式得,对应的函数值为3,1,0,所以函数的值域为{0,1,3}.
2.A　[解析] 要使函数有意义,需满足4-x>0,解得x<4,所以此函数的定义域为(-∞,4).故选A.
3.B　[解析] 对于A,当x=0时,有两个y值与之对应,不符合题意;对于B,根据函数的定义可知本选项符合题意;对于C,定义域中的一些元素对应值域中的两个元素,不符合题意;对于D,值域中有的元素在定义域中没有与之对应的元素,不符合题意.故选B.
4.C　[解析] 因为f(x)=,且f(a)=2,所以=2,即a2=9,所以a=3或-3.
5.B　[解析] 对于A,函数f(x)=2x+1的定义域及值域都为R;对于B,函数f(x)=x2+5的定义域为R,值域为[5,+∞),二者不相同;对于C,函数f(x)=的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),值域为(-∞,0)∪(0,+∞),二者相同;对于D,函数f(x)=-x的定义域为R,值域为R,二者相同.故选B.
6.B　[解析] ∵f(x)=∴f(-1)=-(-1)+1=2,∴f[f(-1)]=f(2)=22+2=6.故选B.
7.A　[解析] 对于f(2x-1),可知-1≤x≤1,则-3≤2x-1≤1,所以函数f(x)的定义域为[-3,1].所以函数y=的定义域中的元素x应满足解得-18.AD　[解析] 对于A,f(x)=x2与g(x)==x2表示同一个函数,故A正确;对于B,f(x)=x与g(x)==|x|对应关系不同,不表示同一个函数,故B错误;对于C,f(x)==|x|与g(x)=x对应关系不同,不表示同一个函数,故C错误;对于D,f(x)=x2-2x-1与g(t)=t2-2t-1表示同一个函数,故D正确.故选AD.
9.BCD　[解析] 对于A,f(x)==与g(x)=的定义域不同,不表示同一个函数,故错误;对于B,根据函数的定义可知函数y=f(x)的图象与直线x=1的交点最多有1个,故正确;对于C,当函数f(x)=x2的定义域A={2},{-2},{-2,2}时,值域B={4},正确;对于D,函数f(x)=的定义域为{x|x≠-1},值域为{y|y≠-2},正确.故选BCD.
10.5　[解析] f(-1)=(-1)2+1=2,所以f[f(-1)]=f(2)=22+1=5.
11.[3,5)∪(5,+∞)　[解析] 要使函数f(x)=有意义,需满足可得x≥3且x≠5,所以函数的定义域为[3,5)∪(5,+∞).
12.　[解析] 由x2≥0,得x2+2≥2,所以0<≤,即函数f(x)的值域为.
13.解:(1)要使函数有意义,需满足-x2+3x-2≥0,解得1≤x≤2,所以该函数的定义域为[1,2].
(2)要使函数有意义,需满足解得-2≤x<1或1(3)要使函数有意义,需满足解得2≤x<3或314.解:(1)∵函数f(x)=,∴f==-6,f==9,f==-,f==.
(2)猜想:当a≠时,f(a)+f(1-a)=3.
证明:当a≠时,f(a)+f(1-a)=+=+==3,∴猜想成立.
15.AD　[解析] 由题意知,函数f(x)的定义域为D,因为 x∈D, y∈D,使得f(y)=-f(x)成立,所以函数y=f(x)的值域关于原点对称.对于A,函数y=x3的值域为R,故A符合题意;对于B,函数y=的值域为{y|y≠1},故B不符合题意;对于C,函数y=x2的值域为[0,+∞),故C不符合题意;对于D,函数y=2x-5的值域为R,故D符合题意.故选AD.
16.解:(1)当a=4时,f(x)===4-,
由不等式的性质得x2≥0,则1+x2≥1,则0<≤1,可得-6≤-<0,可得-2≤4-<4,
故f(x)的值域为[-2,4).
(2)由题意知g(x)=(x2+1)·+=ax2+(a-4)x+.
因为函数h(x)=的值域为[0,+∞),所以g(x)≤0有解且g(x)无最大值.
当a=0时,符合题意;当a≠0时,根据二次函数的性质,可得解得0综上可得,a的取值范围为[0,2]∪[8,+∞).§2　函数
2.1　函数概念
【学习目标】
1.理解用集合与对应的语言来刻画函数,体会对应关系在刻画函数概念中的作用.
2.了解构成函数的要素.
3.会求一些简单函数的定义域和值域.
4.能够正确使用“区间”的符号表示某些函数的定义域.
◆ 知识点　函数的概念
1.定义
给定实数集R中的两个非空数集A和B,如果存在一个对应关系f,使对于集合A中的每一个数x,在集合B中都有　　　　确定的数y和它对应,那么就把对应关系f称为定义在集合A上的一个函数,记作y=f(x),x∈A.
其中集合A称为函数的定义域,x称为　　　,与x值对应的y值称为　　　　,集合{f(x)|x∈A}称为函数的值域.
2.函数的构成要素:　　　　、　　　　和　　　　.
3.同一个函数:如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,我们就称这两个函数是同一个函数.
【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数的定义域和值域一定是无限集合. (　 )
(2)根据函数的定义,定义域中的一个x可以对应着不同的y. (　 )
(3)f(a)表示当x=a时函数f(x)的值,是一个常量. (　 )
2.如何理解函数符号“y=f(x)”表示“y是x的函数”
◆ 探究点一　函数定义的应用
例1 (1)(多选题)以下从M到N的对应关系表示函数的是 (　 )
A.M=R,N=R,f:x→y=
B.M=R,N={y|y≥0},f:x→y=|x|
C.M={x|x>0},N=R,f:x→y=±
D.M={x|x≥2,x∈N*},N={y|y≥0,y∈N*},f:x→y=x2-2x+2
(2)[2024·安徽淮南高一期中] 设M={x|0≤x≤2},N={y|0≤y≤2},给出下列四个图形,其中能表示从集合M到集合N的函数关系的是 (　 )
A B C D
(3)下列各组函数表示同一个函数的是 (　 )
A.f(x)=,g(x)=x-1
B.f(x)=·,g(x)=
C.f(x)=,g(x)=x
D.f(x)=|x+2|,g(t)=
[素养小结]
判断两个函数是否为同一个函数,一定要看定义域和对应关系是否全部相同.定义域和值域分别相同的两个函数不一定是同一个函数,如果对应关系不同,那么这两个函数一定不是同一个函数.
◆ 探究点二　求函数的定义域
例2 求函数y=++(x+1)0的定义域.
变式 函数f(x)=的定义域为　　　　　　　.
[素养小结]
求函数定义域的方法及注意问题:
(1)使函数有意义的条件一般有:①分式的分母不为0;②偶次根式的被开方数非负;③对于y=x0,要求x≠0.
(2)不对解析式化简变形,以免定义域变化.
(3)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时,定义域是使得各个式子都有意义的公共部分的集合.
拓展 (1)已知函数y=f(x)的定义域是[-2,3],则y=f(2x-1)的定义域是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A. B.[-1,4]
C. D.[-5,5]
(2)已知函数f(2x-1)的定义域为(-1,9),则函数f(3x+1)的定义域为 (　 )
A. B.
C. D.(-2,28)
◆ 探究点三　函数的求值问题
例3 已知函数f(x)=x2+x-1.
(1)求f(2),f[f(2)],f(a+1);
(2)若f(x)=5,求x的值.
变式 (1)已知f(x)=则f+f等于 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.1 B. C.2 D.
(2)已知函数f(x)满足f(x)=则f[f(5)]=　　　　.
[素养小结]
函数求值问题的解题思路.
(1)已知函数的解析式求函数值,只需将自变量的值代入解析式即可求出相应的函数值,当自变量的值为含有字母的代数式时,要将代数式作为一个整体代入解析式求解.
(2)已知函数解析式,求对应函数值的自变量的值,只需将函数值代入解析式,建立关于自变量的方程即可求解,注意函数定义域对自变量取值的限制.
◆ 探究点四　求函数的值域
例4 求下列函数的值域.
(1)y=;
(2)f(x)=-x2+2x+1,x∈[0,3];
(3)f(x)=x-;
(4)y=.
变式 求下列函数的值域.
(1)y=-2;
(2)y=;
(3)y=x-;
(4)y=;
(5)y=(x>1).
[素养小结]
求函数值域的方法有观察法、图象法、分离常数法、换元法、判别式法等,对于一些常用的方法应熟练掌握.§2　函数
2.1　函数概念
一、选择题(本大题共9小题,每小题5分,共45分)
1.函数f(x)=-x+2,x∈{-1,1,2}的值域是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.0,1,3 B.0≤y≤3
C.{0,1,3} D.[0,3]
2.函数f(x)=的定义域是 (　 )
A.(-∞,4) B.(-∞,4]
C.(4,+∞) D.[4,+∞)
3.若函数y=f(x)的定义域为M={x|-2≤x≤2},值域为N={y|0≤y≤2},则函数y=f(x)的图象可能是 (　 )
A B C D
4.已知函数f(x)=,若f(a)=2,则实数a= (　 )
A. B.-3
C.3或-3 D.或-
5.下列函数的定义域和值域不相同的是 (　 )
A.f(x)=2x+1
B.f(x)=x2+5
C.f(x)=
D.f(x)=-x
6.已知f(x)=则f[f(-1)]的值为 (　 )
A.2 B.6
C.-1 D.-2
7.[2024·江西南昌高一期中] 若函数f(2x-1)的定义域为[-1,1],则函数y=的定义域为 (　 )
A.(-1,2] B.[0,2]
C.[-1,2] D.(1,2]
8.(多选题)下列各组函数中,表示同一个函数的是 (　 )
A.f(x)=x2与g(x)=
B.f(x)=x与g(x)=
C.f(x)=与g(x)=x
D.f(x)=x2-2x-1与g(t)=t2-2t-1
9.(多选题)给出以下四个判断,其中正确的是 (　 )
A.f(x)=与g(x)=表示同一个函数
B.函数y=f(x)的图象与直线x=1的交点最多有1个
C.若函数f(x)=x2的定义域A R,值域B={4},则满足条件的f(x)有3个
D.函数f(x)=的定义域为{x|x≠-1},值域为{y|y≠-2}
二、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分)
10.已知f(x)=x2+1,则f[f(-1)]=　　　　.
11.函数f(x)=的定义域为　　　　.
12.已知函数f(x)=,则函数f(x)的值域是　　　　.
三、解答题(本大题共2小题,共20分)
13.(10分)求下列函数的定义域.
(1)f(x)=;
(2)f(x)=·+(x-1)0;
(3)f(x)=.
14.(10分)已知函数f(x)=.
(1)求f,f,f,f的值;
(2)当实数a≠时,猜想f(a)+f(1-a)的值,并证明.
15.(5分)(多选题)设函数f(x)的定义域为D,若 x∈D, y∈D,使得f(y)=-f(x)成立,则称f(x)为“美丽函数”.下列函数中是“美丽函数”的有 (　 )
A.y=x3 B.y=
C.y=x2 D.y=2x-5
16.(15分)已知f(x)=.
(1)若a=4时,求f(x)的值域;
(2)函数g(x)=(x2+1)f(x)+,若函数h(x)=的值域为[0,+∞),求a的取值范围.

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