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3.4实数的运算培优提升训练2025—2026学年浙教版七年级数学上册
一、选择题
1．下列说法正确的是（ ）
A．两个无理数的和一定是无理数 ； B．是分数；
C．1和2之间的无理数只有 ； D．2是4的一个平方根．
2．下面运算中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知实数a，b满足关系式，则的值是（ ）
A． B． C． D．
4．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，数轴上两点对应的实数分别是1和，若点到点的距离与点到点的距离相等，则点所对应的实数为（ ）
A． B． C． D．
6．若的整数部分是，小数部分是，则为（ ）
A． B． C． D．
7．实数，在数轴上的位置如图，则化简的结果是（ ）
A．0 B． C． D．
8．现对实数，定义一种运算：，则等于（ ）
A． B． C．2 D．6
二、填空题
9．规定用符号表示一个实数m的整数部分，表示一个实数m的小数部分，例如：，，按此规定的值为
10．已知实数，满足关系式，求的立方根 ．
11．如图，数轴上A，B两点对应的实数分别是1和．若，则点C所对应的实数为 ．
12．若与互为相反数，则 ．
三、解答题
13．计算：
(1)；
(2)；
14．某班将在期中学生表彰大会上邀请受表彰学生的家长参会，小王设计了如图所示的长方形邀请函：正面绘制了3个A类正方形和4个B类正方形，并对阴影部分进行上色，已知每个A类正方形的面积为2，每个B类正方形的面积是4．
(1)A类正方形的边长是___________；
(2)分别求出一个A类正方形和一个B类正方形的周长；
(3)求长方形邀请函的长和宽．
15．我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零．由此可得：如果，其中、为有理数，为无理数；那么必然有，且，据此，解决下列问题．
(1)如果，其中、为有理数，则___________，___________；
(2)如果，其中、为有理数，求的平方根．
16．计算：
(1)；
(2)．
17．根据所学知识，我们通过证明可以得到一个定理：一个非零有理数与一个无理数的积仍为一个无理数，根据这个定理得到一个结论：若 ，其中 ， 为有理数， 是无理数，则 ，．
证明：， 为有理数，
是有理数．
为有理数，是无理数，
．
．
．
(1)若 ，其中 ， 为有理数，则 ， ；
(2)若 ，其中 ，，， 为有理数， 是无理数，求证：，；
(3)已知的整数部分为，小数部分为，， 为有理数，，，，满足 ，求 ， 的值．
18．阅读材料：若点，在数轴上分别表示实数，，那么，之间的距离可表示为．例如，即表示3，1在数轴上对应的两点之间的距离；同样：表示5，在数轴上对应的两点之间的距离．根据以上信息，完成下列题目：
(1)已知，，为数轴上三点，点对应的数为，点对应的数为1．
①若点对应的数为，则，两点之间的距离为　　；
②若点到点的距离与点到点的距离相等，则点对应的数是　　．
(2)对于这个代数式．
①它的最小值为　　；
②若，则的最大值为　　
参考答案
一、选择题
1．D
2．D
3．C
4．A
5．B
6．B
7．A
8．B
二、填空题
9．
10．3
11．
12．
三、解答题
13．【解】（1）解：
；
（2）解：
；
14．【解】（1）解：∵A类正方形的面积为2，
∴A类正方形的边长是，
故答案为：；
（2）解：∵A类正方形的边长是，
∴A类正方形的周长是：，
∵B类正方形的面积是4，
∴B类正方形的边长是，
∴B类正方形的周长为；
（3）解：长方形的长为，宽为．
15．【解】（1）解：，其中，为有理数，为无理数，
∴，
∴；
（2）解：∵，，为有理数，为无理数，
∴，
解之，得．
则．
∴的平方根是．
16．【解】（1）解：
；
（2）解：
．
17．【解】（1）解：，
，
， 为有理数，
，，
，，
故答案为：，；
（2）证明：，
，
，，， 为有理数，
，都是有理数，
，，
，；
（3）解：，
的整数部分，小数部分，
，
，
，
， 为有理数，
，
解得：，
，．
18．【解】（1）解：①，两点之间的距离为；
故答案为：3；
②设点对应的数是，
则有，
解得或1（舍去），
故答案为：；
（2）解：①根据数轴的几何意义可得和3之间的任何一点均能使取得的值最小，
当时，的最小值为7．
故答案为：7；
②，
，，
，
的最大值为4．
故答案为：4．
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