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专题12.4 超几何分布、二项分布、正态分布
1.两点分布
⑴若随机变量服从两点分布，即其分布列为
0 1
其中，则称离散型随机变量服从参数为的两点分布．其中称为成功概率．
⑵两点分布的均值与方差：若随机变量服从参数为的两点分布，则，．
注意：
⑴两点分布的试验结果只有两个可能性，且其概率之和为；
⑵两点分布又称分布、伯努利分布，其应用十分广泛．
2.伯努利试验与二项分布
⑴ 重伯努利试验的定义
①我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验.
②将一个伯努利试验独立地重复进行次所组成的随机试验称为重伯努利试验.
⑵ 二项分布
一般地，在重伯努利试验中，设每次试验中事件发生的概率为，用表示事件发生的次数，则的分布列为.
如果随机变量的分布列具有上式的形式，则称随机变量服从二项分布，记作．
⑶两点分布与二项分布的均值、方差
①若随机变量服从两点分布,则.
②若,则.
3.超几何分布
一般地，假设一批产品共有件，其中有件次品，从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用表示抽取的件产品中的次品数，则的分布列为.
其中．
如果随机变量的分布列具有上式的形式，那么称随机变量服从超几何分布．
4.正态分布
⑴正态分布定义：
若随机变量的概率密度函数为，(,其中，为参数)，称随机变量服从正态分布，记为.
⑵正态曲线的特点
①曲线位于轴上方，与轴不相交；
②曲线是单峰的，它关于直线对称；
③曲线在时达到峰值；
④当时，曲线上升；当时，曲线下降.并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以轴为渐近线，向它无限靠近.
⑤曲线与轴之间的面积为1；
⑥决定曲线的位置和对称性；
当一定时，曲线的对称轴位置由确定；如下图所示，曲线随着的变化而沿轴平移。
⑦确定曲线的形状；
当一定时，曲线的形状由确定.越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散.
⑶正态分布的原则：正态分布在三个特殊区间的概率值
假设，可以证明：对给定的,是一个只与有关的定值.
特别地，，
，
.
上述结果可用右图表示.
此看到，尽管正态变量的取值范围是，但在一次试验中，的值几乎总是落在区间内，而在此区间以外取值的概率大约只有,通常认为这种情况几乎不可能发生.
在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量只取中的值，这在统计学中称为原则.
【重要结论】
1.对于小概率事件要有一个正确的理解：
小概率事件是指发生的概率小于的事件．对于这类事件来说，在大量重复试验中，平均每试验大约次，才发生1次，所以认为在一次试验中该事件是几乎不可能发生的．不过应注意两点：一是这里的“几乎不可能发生”是针对“一次试验”来说的，如果试验次数多了，该事件当然是很可能发生的；二是当我们运用“小概率事件几乎不可能发生的原理”进行推断时，也有犯错的可能性．
2.超几何分布和二项分布的区别
⑴超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要；
⑵超几何分布是“不放回”抽取，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的；而二项分布是“有放回”抽取（独立重复），在每次试验中某一事件发生的概率是相同的.
1.【人教A版选择性必修三 习题7.4 第8题 P81】为试验一种新药，某医院把该药分发给位患有相关疾病的志愿者服用试验方案为：若这位患者中至少有人治愈，则认为这种新药有效否则认为这种新药无效假设新药有效，治愈率为．
用表示这位志愿者中治愈的人数，求的期望
若位志愿者中治愈的人数恰好为，从人中随机选取人，求人全部治愈的概率
求经试验认定该药无效的概率保留位小数根据值的大小解释试验方案是否合理依据：当值小于时，可以认为试验方案合理，否则认为不合理
附：记，，，，，，参考数据如下：
2.【人教A版选择性必修三 复习参考题7 第10题 P91】现有甲、乙、丙、丁四个人相互之间传球，从甲开始传球，甲等可能地把球传给乙、丙、丁中的任何一个人，依此类推．
通过三次传球，球经过乙的次数为，求的分布列与期望；
设经过次传球后，球落在甲手上的概率为，
(ⅰ)求，；
(ⅱ)求，并简要解释随着传球次数的增多，球落在甲、乙、丙、丁每个人手上的概率相等．
(
考点
一
超几何分布
)
【方法储备】
1.求超几何分布的分布列的步骤：
⑴验证随机变量服从超几何分布，并确定参数的值；
⑵根据超几何分布的概率公式计算出随机变量取每一个值时的概率；
⑶用表格的形式列出分布列.
说明：
⑴超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数.超几何分布的特征是：
①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的概率分布.
⑵超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型.
2.二项分布与超几何分布的辨析
袋子中有大小相同的个球，其中有个红球，N-M个白球，令,设表示摸出的个球中的红球的个数，则
摸球方式 的分布
有放回摸球 二项分布
无放回摸球 参数为的超几何分布
【典例精讲】
例1.(2025·安徽省·期末考试)（多选）若10件产品中有4件次品和6件正品．现从中随机抽取3件产品，记取得的次品数为随机变量X，则下列结论正确的是
A. 若是有放回的抽取，则
B. 若是无放回的抽取，则
C. 若是有放回的抽取，X的数学期望
D. 若是无放回的抽取，X的数学期望
例2.(2025·安徽省合肥市·期末考试)3月14日某中学进行了以“数学对”为主题的知识竞赛，分初赛和决赛两个环节进行。初赛环节规则如下：每位选手从10道题中随机抽取3道题作答，3道题全部答对的选手晋级决赛。决赛环节进行三轮抢答，规则如下：每位选手每轮抢到题目且回答正确得10分，抢到题目但回答错误扣5分，该轮未参与抢答或未抢到题目不得分，每轮抢答情况相互独立，最终按照决赛中三轮抢答的总得分进行排名并表彰.
若某选手对于初赛环节中的10道题目，只有4道能回答正确，求他在初赛环节中答对题目数量的分布列和期望;
已知甲晋级决赛，甲在决赛中每轮抢到题目的概率为，能回答正确的概率为，求甲在决赛中总得分大于10分的概率.
【拓展提升】
练1-1.(2025·河南省三门峡市·月考试卷)某袋中装有大小相同质地均匀的黑球和白球共5个．从袋中随机取出3个球，恰全为黑球的概率为，则黑球的个数为 .若记取出3个球中黑球的个数为X，则 .
练1-2(2025·全国·模拟题)某商店售卖一种珠环，消费者从红、蓝两种颜色的装饰珠中各选出偶数个，按随机的顺序用绳子穿成“串”穿在一根绳子上，之后固定位置不可移位，再将绳子首尾相接连成“环”.小王现在选了6个红珠4个蓝珠穿成一个“串”.
如果小王将这一串装饰珠剪了一刀分成了两串，每串各有5个装饰珠，求这两串装饰珠都恰好是3个红珠和2个蓝珠的概率;
在把10个装饰珠连成环后，小王剪了两刀将珠环分成各含4个装饰珠和6个装饰珠的两串.设4个装饰珠串里红珠的个数为随机变量X，求 X的分布列与期望;
如果小王选了2m个红珠和2n个蓝珠以任意顺序连成一个“环”，求证：只需要在合适的位置剪两刀，总可将环分成两串，每串都恰好是m个红珠和n个蓝珠.
(
考点二
独立重复试验与二项分布
)
【方法储备】
1.解决二项分布的分布列问题的步骤：
⑴先判断随机变量是否服从二项分布，判断是否满足：
①对立性：一次试验中时间发生与否必居其一；②重复性：试验在相同条件下独立重复地进行，且每次试验事件发生的概率均为同一常数，③连续性：的取值是的整数，中间不间断；
⑵若该随机变量服从二项分布, 求出每次试验事件发生的概率；
⑶根据二项分布的分布列，列出相应的分布列.
2.与二项分布有关的期望与方差的求法
⑴求随机变量的期望与方差时,可首先分析是否服从二项分布,如果服从，则用公式
求解,可大大减少计算量.
⑵有些随机变量虽不服从二项分布,但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布, 则可以综合应用以及求出,同样还可求出.
3.求次独立重复试验中事件恰好发生次的概率
解题的一般思路是：根据题意设出随机变量分析出随机变量服从二项分布找到参数写出二项分布的分布列将值代入求解概率.
【典例精讲】
例3.(2025·福建省·单元测试)在高三的一个班中，有的学生数学成绩优秀，若从班中随机找出5名学生，那么数学成绩优秀的学生人数，则取最大值时 .
例4. (2025·辽宁省沈阳市模拟) 某会议室用盏灯照明，每盏灯各使用节能灯棍一只，且型号相同．假定每盏灯能否正常照明只与灯棍的寿命有关，该型号的灯棍寿命为年以上的概率为，寿命为年以上的概率为，从使用之日起每满年进行一次灯棍更换工作，只更换已坏的灯棍，平时不换．
Ⅰ在第一次灯棍更换工作中，求不需要更换灯棍的概率；
Ⅱ在第二次灯棍更换工作中，对其中的某一盏灯来说，求该灯需要更换灯棍的概率；
Ⅲ设在第二次灯棍更换工作中，需要更换的灯棍数为，求的分布列和期望．
【拓展提升】
练2-1(2025·江苏省盐城市·模拟题)为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康，要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售.已知某产品第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，两轮检测是否合格相互没有影响.若产品可以销售，则每件产品获利40元；若产品不能销售，则每件产品亏损80元.已知一箱中有4件产品，记一箱产品获利X元，则 .
练2-2.(2025·山东省·月考试卷)袋中有大小、形状完全相同的4个红球，2个白球，采用有放回摸球，从袋中随机摸出1个球，定义T变换为：若摸出的球是白球，则把图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变；若摸出的是红球，则将图象上所有的点向上平移1个单位，函数经过1次T变换后的函数记为，经过2次T变换后的函数记为，…，经过n次T变换后的函数记为现对函数进行连续的T变换．
若第一次摸出的是白球，第二次摸出的是红球，求；
记，求随机变量X的分布列及数学期望．
练2-3(2025·吉林省长春市模拟) 昭通苹果种植历史悠久，可追溯到民国十五年年，法国人贾海义从欧洲引入，种植于昆明并传入昭通昭通苹果主要品种有金帅、红富士等，经过驯化的富士系列苹果在昭阳区种植产量高、口味好、耐贮藏、含糖量高、风味佳，有成熟早、甜度好、香味浓、口感脆等特点昭通苹果开发公司从进入市场的“昭通苹果”中随机抽检个，利用等级分类标准得到数据如下：
等级 级 级 级
个数
以表中抽检的样本估计全市“昭通苹果”的等级，现从全市上市的“昭通苹果”中随机抽取个，求取到个级品的概率
某超市每天都采购一定量的级“昭通苹果”，超市记录了天“昭通苹果”的实际销量，统计结果如下表：
销量
天数
今年级“昭通苹果”的采购价为元，超市以元的价格卖出为了保证苹果质量，如果当天不能卖完，就以元退回供货商若超市计划一天购进或“昭通苹果”，你认为应该购进还是请说明理由．
(
考点三
正态分布
)
【方法储备】
1.求解正态分布的概率计算问题的一般步骤：
⑴根据题目中给出的条件确定与的值；
⑵将待求问题向，，这三个区间进行转化；
⑶利用在上述区间的概率、正态曲线的对称性和曲线与轴之间的面积为1求出最后结果．
2.解正态分布概率计算题的关键是借助正态曲线的对称轴确定所求概率对应的随机变量的区间与已知概率对应的随机变量的区间的关系,必要时可借助图形判断. 常用结论有：
⑴对任意的,有；
⑵；
⑶.
⑷当条件中无已知概率时,则要将区间转化为三个特殊区间,利用三个特殊区间的概率求解.
【典例精讲】
例5.(2025·陕西省西安市·模拟题)某类考试报名人数为10000人，已知考试的成绩服从正态分布，若录取分数线为350分，则录取人数约为 结果四舍五入取整数参考数据：若服从正态分布，则
例6.(2025·江苏省苏州市·月考试卷)为进一步提升人才选拔的公正性，某省拟在三年内实现高考使用新高考全国Ⅰ卷，为测试学生对新高考试卷的适应性，特此举办了一次全省高三年级数学模拟考试满分150分，其中甲市有10000名学生参加考试．根据成绩反馈，该省及各市本次模拟考试成绩X都近似服从正态分布
已知本次模拟考试甲市平均成绩为分，成绩位于区间内的学生共有4772人．甲市学生A的成绩为114分，试估计学生A在甲市的大致名次；
在参加该省本次模拟考试的学生中随机抽取500人作为研究样本，随机变量Y为本次考试数学成绩在之外的人数，求的概率及随机变量Y的数学期望．
附：参考数据：
参考公式：若有，
【拓展提升】
练3-1(2025·江苏省南京市模拟)（多选） 随机变量X~N(,)且P(X2)=0.5,随机变量Y~B(3,p),若E(Y)=E(X),则（ ）
A. =2 B. D(X)=2 C. p= D. D(3Y)=2
练3-2(2025·湖北省荆州市模拟) 为贯彻落实《健康中国行动(2019-2030年)》《关于全面加强和改进新时代学校体育工作的意见》等文件精神,确保2030年学生体质达到规定要求,各地将认真做好学生的体制健康监测.某市决定对某中学学生的身体健康状况进行调查,现从该校抽取200名学生测量他们的体重,得到如下样本数据的频率分布直方图.
(1)求这200名学生体重的平均数和方差(同一组数据用该区间的中点值作代表).
(2)由频率分布直方图可知,该校学生的体重Z服从正态分布N(,),其中近似为平均数,近似为方差.
①利用该正态分布,求P(50.73< Z69.27);
②若从该校随机抽取50名学生,记X表示这50名学生的体重位于区间(50.73,69.27]内的人数,利用①的结果,求E(X).
参考数据:9.27.若Z~N(,),则P(-< Z+)0.6826,
P(-2< Z+2)0.9544,P(-3< Z+3)0.9974.

(
考点四
离散型随机变量的分布
列及其
综合应用
)
【方法储备】
离散型随机变量的性质容易和其他知识相结合,所涉及的参数范围(最值)问题容易与函数、基本不等式相结合,做题时需注意分布列的性质与其他模块内容的联系.
【典例精讲】
例7.( 2025·福建省龙岩市模拟) 现有两个口袋，口袋中有个球，一部分是红球，另一部分是白球，从中取出一个球恰好是白球的概率为，口袋中有个球，个红球，个白球．若将两个口袋混合在一起，从中取出一个球，恰好是白球的概率为．
若甲从口袋中每次有放回地取一个球，直到取到白球停止，则恰好第三次后停止的概率；
甲乙两人进行游戏，由第三人从两个口袋中各取一个球，若同色甲胜，否则乙胜，通过计算说明这个游戏对两人是否公平；
从口袋中一次取个球，取到一个白球得分，取到一个红球得分，求得分的期望．
例8.(2025·河南省洛阳市·联考题)
已知某次数学考试中试卷有11道选择题，其中8道单选题，3道多选题此份试卷恰巧每个多选题都只有两个正确选项，单选题每题5分，选对得5分，选错得0分；多选题每题6分，全部选对的得6分，选对1个选项的得3分，有选错的得0分.甲、乙两位同学参加了此次数学考试，甲同学的试卷正常，而乙同学的试卷中选择题被打乱，无法分辨是单选题还是多选题，所以他认为11道选择题均是单选题，假设两人选对一个单选题的概率都是
设此次考试中甲同学选对了X道单选题，求X的数学期望；
若对于多选题，乙同学选对1个选项的概率为，记此次考试中乙同学选择题的得分为Y，求Y的数学期望；
已知甲同学遇到3个多选题时，每个题只能判断出有一个选项是正确的，且甲同学最多再选1个其他选项，假设他选对剩下1个选项的概率是，请你帮甲同学制定回答3个多选题的策略，使得分的期望最高.
【拓展提升】
练4-1(2025·江苏省泰州市·联考题)某人工智能芯片需经过两道独立的性能测试.首次测试测试通过率为，末通过测试I的芯片进入第二次测试测试，通过率为通过任意一次测试即为合格芯片，否则报废.
若某批次生产了n枚芯片，合格数为随机变量当，时，求X的期望与方差；
已知一枚芯片合格，求其是通过测试I的概率；
为估计中的，工厂随机抽取m枚合格芯片，其中k枚为通过测试记若要使得总能不超过，试根据参考内容估计最小样本量
参考内容：设随机变量X的期望为，方差为，则对任意，均有
练4-2(2025·广西壮族自治区·模拟题)某学校举行教师趣味篮球运动会比赛，选手在连续投篮时，规定：第一次投进得1分，若某次投进，则下一次投进的得分是本次得分的两倍；若某次未投进，则该次得0分，且下一次投进得1分.已知某教师连续投篮n次，记投中次数为X，总得分为Y，每次投进的概率为，且每次投篮相互独立.
当时，计算随机变量X的分布列；
①当时，求的概率；
②记的概率为，求的表达式.
1.(2025·浙江省绍兴市·期末考试)（多选）甲、乙两名高中同学历次数学测试成绩百分制分别服从正态分布，，其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法中正确的是
附：若随机变量X服从正态分布，则
A. 乙同学的平均成绩优于甲同学的平均成绩
B. 甲同学的平均成绩优于乙同学的平均成绩
C. 甲同学的成绩比乙同学成绩更集中于平均值附近
D. 若，则甲同学成绩高于80分的概率约为
2.(2025·河南省·模拟题)（多选）某企业使用新技术对某款芯片制造工艺进行改进．部分芯片由智能检测系统进行筛选，其中部分次品芯片会被淘汰，筛选后的芯片及未经筛选的芯片进入流水线由工人进行抽样检验．记A表示事件“某芯片通过智能检测系统筛选”，B表示事件“某芯片经人工抽检后合格”．改进生产工艺后，该款芯片的某项质量指标服从正态分布，现从中随机抽取M个，这M个芯片中恰有m个的质量指标位于区间，则下列说法正确的是 参考数据：若，则
A.
B.
C.
D. 取得最大值时，M的估计值为53
3.(2025·山东省烟台市·期末考试)某学校计划举办人工智能创新挑战赛，挑战赛包括个人赛和团队赛两种类型.个人赛中，每位选手回答随机给出的4个题目，若答对不少于3个题目，则其个人赛挑战成功.团队赛中，4名选手组成一个团队，且平分成两个小组分别挑战甲、乙两个题目.每个团队可自主从以下两种参赛方式中选择一种参赛：方式一，将甲、乙两个题目随机分配给两个小组，每小组中的两名选手各自独立答题，若两人中至少一人答对，则该小组挑战成功，若两小组都挑战成功，则该团队挑战成功；方式二，将甲、乙两个题目随机分配给两个小组，每小组中的两名选手各自独立答题，若两人都答对，则该小组挑战成功，若两小组至少有一组挑战成功，则该团队挑战成功.
某选手参加个人赛，若其前两个题答对的概率均为， 后两个题答对的概率均为，且各题答对与否互不影响，求该选手个人赛挑战成功的概率；
假设某团队的每位选手答对甲、乙两题的概率分别为p，，若对任意，均有选择方式二参赛时该团队挑战成功的概率更大，求的取值范围.

【答案解析】
1.【人教A版选择性必修三 习题7.4 第8题 P81】
解：(1) 每位患者治愈的概率为0.8,且每位患者是否治愈相互独立,
则治愈人数X~B(10,0.8),故E(X)=100.8=8；
(2)记事件A=“任选5位志愿者全部治愈”,
由（1）知，10位志愿者中治愈的人数为8人，则P(A)==；
(3) 记事件B= “经过试验该药被认定无效”, 事件B发生等价于{X4},
则p=P(B)=P(X4)=
=0.0001+0.0008+0.0055=0.0064.
因为0.0064<0.05,
所以可以认为试验方案合理.
2.【人教A版选择性必修三 复习参考题7 第10题 P91】
解：由题意可知，的可能取值为，，，
所以，
，
，
所以的分布列为：


的数学期望是；
由题意可知，，；
由题意可知，，
则，故数列是等比数列，
所以，则，
当时，，
所以当传球次数足够多时，球落在甲手上的概率趋向于一个常数，
又因为第一次从甲开始传球，而且每一次都是等可能地把球传给任何一个人，
所以球落在每个人手上的概率都相等，
所以球落在乙、丙、丁手上的概率为，
故传球次数足够多时，球落在甲、乙、丙、丁每个人手上的概率都是．
例1.解：若是有放回的抽取，则，
则，
，故选项A和C正确，
若是无放回的抽取，则X可能取0，1，2，3，
又，，
，，
所以，故选项B错误，选项D正确，
故选：
例2.解：设初赛答对题目数量为随机变量X，则X可能取值为，
，
，
，
，
因此X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
期望
设每轮得分为，则可能取值为：0，，10，
则，，
因为总得分，所以要求，则可能的得分组合为：
三次都得10分：，
两次得10分，一次得0分：，
两次得10分，一次得分：，
因此甲在决赛中总得分大于10分的概率为：
练1-1.解：设黑球的个数为n，由得，
记取出3个球中黑球的个数为X，X的取值可以为：1，2，3，
画出分布列如下：
X 1 2 3
P
，
故答案为：3；
练1-2.解：设两串装饰珠都恰好是3个红珠和2个蓝珠为事件A，
则
随机变量X的可能取值有0，1，2，3，4，
，，
，，
，
所以X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
所以，
编号：任选一个红珠记其编号为1，
并按顺时针方向依次给每个装饰珠编号2，3，4，5，6，，
编组：1号珠，连同它顺时针方向后的个装饰珠，
共个装饰珠编为一组，称为1号组;
2号珠，连同它顺时针方向后的个装饰珠，
共个装饰珠编为一组，称为2号组;
共组，每组均有个装饰珠.
则①不可能每组中红珠都多于或少于m个，
因为每个装饰珠都同时在组中，
所以每组中的红珠数目之和为，
若每组中红珠都多于或少于个，因为共组，
则此时红珠总数会多于或少于，
与每组中的红珠数目之和为矛盾.
②相邻两组中红珠数量最多相差
因为后一组的装饰珠为前一组的装饰珠去掉第一个并在最后加上一个，
所以它们之间只有2个装饰珠有区别，前一组装饰珠的第一个可能为红珠或蓝珠，
最后加上的这一个也可能为红珠或蓝珠，
所以有以下四种情形：
去掉红珠，加上红珠;
去掉红珠，加上蓝珠;
去掉蓝珠，加上蓝珠;
去掉蓝珠，加上红珠.
不论哪种情况，相邻两组中红珠数量只能相差1或
现假设没有任何一组中的红珠数量为m，
由①知，必存在两相邻号组 A，B， A中红珠数， B中红珠数，
即二者红珠数至少相差2，与②矛盾.
因此，必有某号组恰好有 m个红珠， n个蓝珠，
在该号组的两侧各剪一刀，即可满足条件.
例3.解：依题意，可得，
则，且
解得又，所以
故答案为
例4.解：Ⅰ设在第一次更换灯棍工作中，不需要更换灯棍的概率为 ，
则 ．
Ⅱ对该盏灯来说，第、次都更换了灯棍的概率为 ；
第一次未更换灯棍而第二次需要更换灯棍的概率为 ，
故所求概率为：
．
Ⅲ 的可能取值为，，，；
某盏灯在第二次灯棍更换工作中需要更换灯棍的概率为 ．
，
，
，
，
的分布列为：
此分布为二项分布 ．
．
练2-1.解：由题意得该产品能销售的概率为，
易知X的所有可能取值为，，，40，160，
设表示一箱产品中可以销售的件数，则，
所以，，1，2，3，4，
所以 ，
，
，
故
练2-2.解：第一次从袋中摸出的是白球，把函数变换为，
第二次从袋中摸出的是红球，把函数变换为，
所以 ;
经过3次T变换后，有4种情况：
若摸出的3个球都是白球，则；
若摸出的3个球为2个白球、1个红球，则；
若摸出的3个球为1个白球、2个红球，则；
若摸出的3个球都是红球，则 ，
所以随机变量X的可能取值为 ，
因为从袋中随机摸出1个球，是白球的概率为，是红球的概率为，
故，
，
，
，
所以所求随机变量X的分布列为
X 1 3
P
所以
练2-3.解：(1)由题意可知,从全市上市的“昭通苹果”中随机抽取1个,
取到A级品的概率P==,
从全市上市的“昭通苹果”中随机抽取10个,取到A级品的个数X~B(10,),
则P(X=4)==.
(2)当超市一天购进170kg“昭通苹果”时,设利润为,销量为,
则的可能取值为150,160,170,的可能取值为560,620,680,
P(=560)=P(=150)==,
P(=620)=P(=160)==,
P(=680)=P(=170)=1--=.
的分布列为:
560 620 680
P
E()=560+620+680=656.
当超市一天购进180kg“昭通苹果”时,设利润为,销量为,
的可能取值为150,160,170,180,的可能取值为540,600,660,720,
P(=540)=P(=150)==,
P(=600)=P(=160)==,
P(=660)=P(=170)==,
P(=720)=P(=180)=1---=,
利润的分布列为:
540 600 660 720
P
E()=540+600+660+720=663,
E()>E(),所以超市应计划一天购进180kg“昭通苹果”.
例5.解：，所以录取人数为人
故答案为：
例6.解：已知本次模拟考试成绩X近似服从正态分布，由题意可得，
因为，
所以，
即，解得，
因为甲市学生A在该次考试中成绩为114分，且，
又，
即，
所以，
即学生A在甲市本次考试的大致名次为1587名．
设事件B：在样本中抽取的学生在本次考试中数学成绩在之外，
由于成绩在之内的概率为，
所以，
所以随机变量 Y服从二项分布，即，
则，
Y的数学期望为
练3-1.解：因为 且 ，
所以 ，故， ，选项正确，选项错误；
因为 ，所以 ，所以 ，解得 ，选项 正确；
，选项 错误．
故选AC.
练3-2.解：(1)由题意可得=400.02+500.3+600.4+700.23+800.04+900.01=60;
=4000.02+1000.3+00.4+1000.23+4000.04+9000.01=86.
(2)①由(1)可知=60,==9.27,
则P(50.73< Z69.27)=P(60-9.27< Z60+9.27)=P(-< Z+)0.6826.
②由①可知1名学生的体重位于(50.73,69.27]的概率为0.6826.
因为X~B(50,0.6826),所以E(X)=500.6826=34.13.
例7.解：设口袋中有个白球，则由题知，解得，，
设事件表示从口袋中第次取出的是红球，则有，
设事件表示从口袋中有放回的各取球恰好第次后停止，
则．
设事件表示从口袋中取出一个球是红球，，
表示从口袋中取出一个球是红球，，
事件表示第三人从两个口袋中各取一球是同色球，有
，
所以游戏不公平．
设表示从口袋中一次取个球的得分，则的可取值为，，，
有，，，
从而．
例8.解：由题意，得，所以，
即X的数学期望为2；
由题意，对于单选题，乙同学每个单选题做对的概率为，
对于多选题，乙同学选对1个选项的概率为，
设乙同学做对单选题的个数为，多选题得3分的个数为，
则，，
所以，，
又此次考试中乙同学选择题的得分为，
所以；
对于每一道多选题，甲同学每个题只能判断出有一个选项是正确的，先把这个正确选项选上，
如果甲同学不继续选其他选项，肯定能得3分；
如果甲同学继续选其他选项的话，设此题的最终得分为Z，
则Z的所有可能取值为0，6，
所以Z的分布列为
Z
0 6
P
p
所以此题的得分期望是，
所以我们只需要比较3和6p的大小关系即可，
当，即时，每道多选题选2个选项的得分比只选1个选项高，所以建议甲同学3个多选题全部选2个选项；
当，即时，每道多选题选2个选项的得分与只选1个选项一样，所以甲同学每道多选题选择1个选项或2个选项都可以；
当，即时，每道多选题只选1个选项的得分比选2个选项高，所以建议甲同学3个多选题全部只选1个选项.
练4-1.解：每个芯片通过测试的合格率为，，
则，；
解法一：记事件A：通过测试I，事件B：通过测试II，事件C：芯片合格，
，
则；
解法二：记事件：经过测试I，事件：经过测试II，事件B：芯片合格，
，，，，
，
则；
因为，所以，，
解法一：，，
，，
又，当且仅当时等号成立，
，均有，
取，则，
根据题意要使得总能不超过，
当，即时满足条件，
最小样本量大约为1000；
解法二：由已知得对，，
，
记，，，
又，当且仅当时等号成立，
，均有，
取，则，
根据题意要使得总能不超过，
当，即时满足条件，
最小样本量大约为
练4-2.解：由题可知随机变量X服从二项分布： X∽，
则，
，
，
所随机变量X的分布列如下：
X 0 1 2
P
①因为，，
则；
②投篮n次得分为3分，有两种可能的情况：
情形一，恰好两次投进，且两次相邻;
情形二，恰好三次投进，且任意两次都不相邻，
当时，情形二不可能发生，
故
当时，情形一发生的概率为，
情形二发生是指，将次未投进的投篮排成一列，共有个空位，
选择其中3个空位作为投进的投篮，
故概率为，
所以，
综上，
1.解：由由图象得对称轴，可得A对B错；
甲图廋高，乙图矮胖，可知C正确；
对于D，，，有正态分布的密度曲线性质可知故 D对，
故选
2.解：对于A，依题意，经智能检测系统筛选合格的条件下，通过人工抽检合格的概率
大于直接进入人工抽检合格的概率，即，A正确；
对于B，由，得，
又，
于是，即，
因此，即，则，B错误；
对于C，
，C正确；
对于D，，
设，
，
解得，，由，
解得，即，
所以取得最大值时，M的估计值为53，D正确.
故选：
3.解：设前两题答对为事件概率各为，
后两题答对为事件概率各为，各题独立，
挑战成功需答对不少于3题，分两种情况：
答对4题：概率为，
答对3题：包含两种情况：
前两题对2，后两题对1：概率为，
前两题对1，后两题对2：概率为，
答对3题总概率为，
挑战成功总概率为答对3题与4题概率之和：；
由题意：团队选手答对甲题概率为p，乙题概率为，
方式一成功概率：两小组均成功每组至少1人答对，
小组甲题成功概率：；
小组乙题成功概率：；
方式一总概率；
方式二成功概率：至少一小组成功每组两人均答对，
小组1成功概率：；
小组2成功概率：
方式二总概率；
要求对任意，，即：，
展开整理得：，对任意恒成立，
令，需恒成立，
因开口向下，且顶点，
故在单调递增，
只需，即，解得或，又，
综上，的取值范围为

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