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2026届高三微专题12.3 离散型随机变量及其分布列、数字特征
1.随机变量的有关概念
(1)随机变量：一般地，对于随机试验样本空间中的每个样本点都有唯一的实数与之对应，我们称为随机变量．用大写英文字母表示随机变量，如；用小写英文字母表示随机变量的取值，如.
(2)离散型随机变量：可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量.
注：离散型随机变量X的每一个可能取值为实数,其实质代表的是“事件”,即事件是用一个反映结果的实数表示的.
2.离散型随机变量的分布列
一般地，设离散型随机变量的可能取值为，我们称取每一个值的概率为的概率分布列，简称分布列．
与函数的表示方法类似，离散型随机变量的分布列也可以用表格表示：
… …
… …
3.离散型随机变量的分布列的性质
⑴；
⑵.
注意：① 列出随机变量的所有可能取值；② 求出随机变量的每一个值发生的概率.
4.离散型随机变量的均值与方差
⑴离散型随机变量的均值的概念
一般地，若离散型随机变量的概率分布为：
… …
… …
则称为随机变量的均值或数学期望,数学期望简称期望.
⑵离散型随机变量的方差的概念
一般地，若离散型随机变量的概率分布列为：
… …
… …
则称
为随机变量的方差，有时也记为.称为随机变量的标准差.
【重要结论】
1.随机变量的线性关系
若是随机变量, 是常数, 则也是随机变量.
2.分布列性质的两个作用
(1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值.
(2)随机变量所取的值分别对应的事件是两两互斥的,利用这一点可以求相关事件的概率.
3.离散型随机变量的均值与方差的常用性质
⑴,其中为常数；
⑵，为常数，是随机变量；
⑶；
⑷；
⑸若相互独立,则；
1.【人教A选择性必修三P60 练习 T3】设某项试验的成功率是失败率的倍，用随机变量去描述次试验的成功次数，则等于( )
A. B. C. D.
2.【人教A版选择性必修三P71习题7.3 T3】若是离散型随机变量，，又已知，则的值为( )
A. B. C. D.
(
考点
一
离散型随机变量分布列的性质
)
【典例精讲】
例1.(2025·河北省·期末考试)随机变量的分布列为，其中是常数，则( )
A. B. C. D.
例2.(2025·河北省衡水市·月考试卷)（多选）设随机变量的分布列为，，则( )
A. B.
C. D.
【方法储备】
离散型随机变量分布列的性质的应用：
(1)利用“概率之和为1”可以求相关参数的值．
(2)利用“在某个范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率．
(3)可以根据性质判断所得分布列结果是否正确．
【拓展提升】
练1-1(2025·黑龙江省绥化市期末)(多选)设随机变量的分布列，则( )
A. B. C. D.
练1-2(2025·江苏省苏州市月考) 一校园公用电话在某时刻恰有个学生正在使用或等待使用该电话的概率为，根据统计得到，其中为常数，则在该时刻没有学生正在使用或等待使用该电话的概率为( )
A. B. C. D.
(
考点二 离散型随机变量的数字特征
)
例3.(2025·河南省·期末考试)已知随机变量的概率分布如表所示，且，则( )
A. B. C. D.
例4.(2025·江苏省南京市·模拟题)不透明口袋中有个相同的黑色小球和红色白色蓝色的小球各个，从中任取个小球，表示当时取出黑球的数目，表示当时取出黑球的数目，则下列结论中成立的是( )
A. B.
C. D.
例5.(2025·湖北省黄石市月考)甲、乙两人进行射击比赛，一局比赛中，先射击的一方最多可射击次，一旦未击中目标即停止，然后换另一方射击，一旦未击中目标或两方射击总次数达次均停止，本局比赛结束，各方击中目标的次数即为其本局比赛得分已知甲、乙每次射击击中目标的概率分别为和，两人的各次射击是否击中目标相互独立一局比赛中，若甲先射击．
求甲、乙得分相同的概率
设乙的得分为，求的分布列及数学期望．
【方法储备】
1.离散型随机变量的分布列的求解步骤：
第一步：确定的所有可能取值（）,并明确每个取值代表的意义；
第二步：求出相应的概率 （）；
第三步：写出分布列或列出分布列;
第四步；根据分布列的性质对结果进行检验.
注意：
⑴利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值及检查分布列的正确性.
⑵随机变量所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求随机变量在某个范围内的概率.
2.离散型随机变量分布列的常见类型及解题策略：
⑴与排列组合有关的分布列的求法.可由排列组合、概率知识求出概率,再求出分布列.
⑵与频率分布直方图有关的分布列的求法.可由频率估计概率,再求出分布列.
⑶与互斥事件有关的分布列的求法.弄清互斥事件的关系,利用概率公式求出概率,再列出分布列.
⑷与独立事件(或独立重复试验)有关的分布列的求法:先弄清独立事件的关系,求出各个概率,再列出分布列
3.求离散型随机变量的期望与方差：
⑴求解离散型随机变量的分布列，利用离散型随机变量的期望与方差的公式，进行计算；
⑵二项分布的期望、方差可直接利用公式求解，但要注意模型及公式的正确性.
【拓展提升】
练2-1(2025·北京市·期中考试)袋中有个红球，个黄球，个绿球，现从中任取两个球，记取出的红球数为；若取出的两个球都是红球的概率为，一红一黄的概率为，则 ， ．
练2-2(2025·海南省·期中考试)
甲、乙两名同学与同一台智能机器人进行象棋比赛，记分规则如下：在一轮比赛中，如果甲赢而乙输，则甲得分；如果甲输而乙赢，则甲得分；如果甲和乙同时赢或同时输，则甲得分．设甲赢机器人的概率为，乙赢机器人的概率为求：
在一轮比赛中，甲的得分的分布列．
在两轮比赛中，甲的得分的分布列．
的均值和方差．
练2-3(2025·山东省济南市月考) 第届世界大学生夏季运动会将于今年在我国成都举行．某体校田径队正在积极备战，考核设有米、米和米三个项目，需要选手依次完成考核，成绩合格后的积分分别记为，和，，，，总成绩为累计积分和．考核规定：项目考核逐级进阶，即选手只有在低一级里程项目考核合格后，才能进行下一级较高里程项目的考核，否则考核终止．对于米和米项目，每个项目选手必须考核次，且全部达标才算合格；对于米项目，选手必须考核次，但只要达标次及以上就算合格．已知选手甲三个项目的达标率依次为，，，选手乙三个项目的达标率依次为，，，每次考核是否达标相互独立．
用表示选手甲考核积分的总成绩，求的分布列和数学期望；
证明：无论，和取何值，选手甲考核积分总成绩的数学期望值都大于选手乙考核积分总成绩的数学期望值．
(
考点三 方案与决策问题
)
【典例精讲】
例6.(2025·广东省湛江市模拟) 有甲、乙两家公司都需要招聘求职者，这两家公司的聘用信息如表所示．
甲公司 乙公司
职位 职位
月薪千元 月薪千元
获得相应职位概率 获得相应职位概率
若一人去应聘甲公司的职位,另一人去应聘乙公司的职位,记这两人被录用的人数和为，求的分布列.
若小方和小芳分别被甲、乙两家公司录用，求小方月薪高于小芳月薪的概率．
根据甲、乙两家公司的聘用信息，如果你是求职者，你会选择哪一家公司？说明理由．
例7.(2025·江苏省·月考试卷)某品牌布娃娃做促销活动：已知有个布娃娃，其中一些布娃娃里面有奖品，参与者可以先在个布娃娃中购买个，看完个布娃娃里面的结果再决定是否将剩下的布娃娃全部购买，设每个布娃娃有奖品的概率为，且各个布娃娃是否有奖品相互独立．
记个布娃娃中有个有奖品的概率为，当时，取得最大值，
求；
假如这个布娃娃中恰有个有奖品，以上问中的作为的值已知每次购买布娃娃需要元，若有中奖，则中奖者每次可得奖金元以最终奖金的期望作为决策依据，判断是否该买下剩下所有的个布娃娃；
若已知个布娃娃中有个布娃娃有奖品，从这堆布娃娃中任意购买个，若抽到个有奖品的布娃娃可能性最大，求的值为正整数
【方法储备】
随机变量的均值和方差从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据．一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定．
⑴当期望不同时，两个随机变量取值水平可见分歧,可对问题作出判断.
⑵若两个随机变量期望相同或相差不大，则可通过分析两变量的方差来研究随机变量的离散程度或者稳定程度，进而进行决策.
⑶实际应用中是方差（期望）大了好还是小了好,要根据这组数据反应的实际问题来判断.
【拓展提升】
练3-1.(2025·广东省茂名市·模拟题)甲、乙两人组队准备参加一项挑战比赛，该挑战比赛共分，关，规则如下：首先某队员先上场从第一关开始挑战，若挑战成功，则该队员继续挑战下一关，否则该队员被淘汰，并由第二名队员接力，从上一名队员失败的关卡开始继续挑战，当两名队员均被淘汰或者关都挑战成功，挑战比赛结束．若甲每一关挑战成功的概率均为，乙每一关挑战成功的概率均为，且甲、乙两人每关挑战成功与否互不影响，每关成功与否也互不影响．
已知甲先上场，，，，
求挑战没有一关成功的概率；
设为挑战比赛结束时挑战成功的关卡数，求；
如果关都挑战成功，那么比赛挑战成功．试判断甲先出场与乙先出场比赛挑战成功的概率是否相同，并说明理由．
练3-2(2025·浙江省温州市期末) 某景区有一个自愿消费的项目，在某特色景点入口处，工作人员会为每位游客拍一张与景点的合影，参观后，在景点出口处会将刚拍下的照片打印出来，游客可自由选择是否带走照片若带走照片则需支付元，没有被带走的照片会收集起来统一销毁该项目运营一段时间后，统计出平均只有三成的游客会选择带走照片为改善运营状况，该项目组就照片收费与游客消费意愿的关系做了市场调研，发现价格与消费意愿有较强的线性相关性统计出在原有的基础上，价格每下调元，游客选择带走照片的概率平均增加假设平均每天约有人参观该特色景点，每张照片的综合成本为元，每个游客是否选择带走照片相互独立．
若调整为支付元就可带走照片，该项目每天的平均利润比调整前多还是少
要使每天的平均利润达到最大值，应如何定价
练3-3(2025·河北省石家庄市模拟) 某学校组织“一带一路”知识竞赛，有，两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误，则该同学比赛结束；若回答正确，则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．类问题中的每个问题回答正确得分，否则得分；类问题中的每个问题回答正确得分，否则得分．已知学生甲能正确回答类问题的概率为，能正确回答类问题的概率为，且能正确回答问题的概率与回答次序无关．
若学生甲先回答类问题，，，，，记为学生甲的累计得分，求的分布列和数学期望．
从下面的两组条件中选择一组作为已知条件．学生甲应选择先回答哪类问题，使得累计得分的数学期望最大？并证明你的结论．①，；②，．
(
考点四 离散型随机变量概率与分布列的综合应用
)
【典例精讲】
例8.(2025·湖南省·联考题)甲、乙两个不透明的袋中各有个材质、大小相同的小球，甲袋中的小球分别编号为，，，，乙袋中的小球分别编号为，，，从甲袋中任取两个小球，编号记为，，从乙袋中任取两个小球，编号记为，．
Ⅰ若，设，求的分布列和数学期望．
Ⅱ设，，事件“”发生的概率记为．
(ⅰ)用含的组合数表示
(ⅱ)证明：当时，．
附：．
例9.(2025·四川省成都市·模拟题)马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，在人工智能、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用其数学定义为：假设我们的序列状态是，，，，，，那么时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态，即已知甲盒子中装有个黄球和个黑球，乙盒子中装有个黄球和个黑球个球的大小形状完全相同记操作：从甲、乙两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子中在重复次操作后，记甲盒子中黄球个数为，恰有个黄球的概率为，恰有个黄球的概率为，并记的数学期望为
求，；
求；
证明：是等比数列．
【方法储备】
离散型随机变量概率与分布列的综合应用是常考题目，解题时对应问题应用知识点，注意此部分可能与其它模块内容的联系.
【拓展提升】
练4-1.(2025·福建省·期末考试)一疫苗生产单位通过验血方法检验某种疫苗产生抗体情况，需要检验血液是否有抗体，现有份血液样本，每份样本取到的可能性均等，有以下两种检验方式：逐份检验，则需要检验次；混合检验，将其中且份血液样本分别取样混合在一起检验，若检验结果无抗体，则这份的血液全无抗体，因而这份血液样本只需检验一次就够了，若检验结果有抗体，为了明确这份血液究竟哪几份有抗体就要对这份再逐份检验，此时这份血液的检验总次数为次，假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果有无抗体都是相互独立的，且每份样本有抗体的概率均为．
假设有份血液样本，其中只有份血液样本有抗体，若采用逐份检验方式，求恰好经过次检验就能把有抗体的血液样本全部检验出来的概率；
现取其中且份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为，采用混合检验方式样本需要检验的总次数为若，求关于的函数关系式，并证明．
练4-2.(2025·湖北省·期末考试)
甲乙两人进行乒乓球比赛，规则如下：一每局胜者得分，负者得分二若比赛进行到有一人比对方多分或两人得分之和达到分时停止比赛设甲在每局中获胜的概率均为，第二局比赛结束时比赛停止的概率为，且各局胜负相互独立．
求
记表示比赛停止时已比赛的局数，求的分布列及数学期望
若不限定局数即删去两人得分之和达到分时停止比赛这一条件，设为比赛进行局后仍未停止比赛的概率，求数列的通项公式．
1.(2025·湖北省鄂州市·模拟题)一个被染满颜料的蚂蚱从数轴上的原点开始跳动，每次跳跃有等可能的概率向左或向右跳动个单位长度，蚂蚱所在的点会留下颜色则蚂蚱跳动次后染上颜色的点数个数的期望 ．
2.(2025·福建省模拟) 根据统计数据，某种植物感染病毒之后，其存活日数为正整数满足：对于任意的，的样本在的样本里的数量占比与的样本在全体样本中的数量占比相同，且均等于，即，则 ．
3..(2025·广西壮族自治区柳州市·模拟题)
不透明的口袋中装有编号分别为，，，的个小球，小球除编号外完全相同．现从中有放回地任取次，每次取个球，记取出的个球的最大编号为随机变量，则称服从参数为，的“”分布，记为
若，求；
若，且，求的最小值；
若，求证：且，．
【答案解析】
1.【人教A选择性必修三P60 练习 T3】
解：设，则．
依题意知，，解得．故．
故选B．
【人教A版选择性必修三P71习题7.3 T3】
解：因为，故随机变量的值只能为，
，解得或，所以．
故选：．
例1.解：，
，
，
例2.解：选项A，由已知可得，，即，故该选项正确；
选项B，，故该选项正确；
选项C，，故该选项正确；
选项D，，故该选项错误．
故选：．
练1-1.解：，
，
，则，
．
故选：．
练1-2.解：，即．
故选：．
例3解：由分布列的性质可得，，所以，
又因为，所以，即，
联立，解得，
所以．
故选：．
例4.解：当时，的可能取值为，，
，，
因此，；
当时，的可能取值为，，，
，，，
因此，，
所以，．
故选：．
例5.解：甲、乙各得分的概率；
甲、乙各得分的概率；
甲、乙各得分的概率；
故两人得分相同的概率为．
由题意知的所有可能取值分别为，，，，，
因为甲最多射击次，所以表示乙第一次射击就未击中目标，其概率与甲的得分无关，
故，同理，
时，考虑甲射击次和少于次两种情况，
，
同理，，
的分布列为：
．
练2-1.解：，所以，
取出的两个球一红一黄的概率：，，所以，则．
由于，，
．
故空答案为：；空答案为：．
练2-2.解：的可能取值为，，，根据记分规则，
得，
，
．
所以的分布列为：
的可能取值为，，，，，由于两轮比赛的结果是独立的，
所以，
，
，
，
，
所以的分布列为：
，
．
练2-3.解：选手甲考核积分的总成绩的所有可能取值为，，，．
，
．
所以的分布列为
所以数学期期．
证明：记选手乙考核积分的总成绩为，
则所有可能的取值为，，，．
，，
，
．
所以的分布列为
所以数学期望．
所以，
所以，即无论，和取何值，选手甲考核积分总成绩的数学期望都大于选手乙考核积分总成绩的数学期望．
例6.解：，，，
则，，，
所以的分布列为
小方月薪高于小芳月薪的概率：
入职甲公司，月薪的期望为，
方差，
入职乙公司，月薪的期望为，
方差，
乙公司月薪高于甲公司的概率为，
即，即两家公司月薪的期望相同，但甲公司月薪的波动性小，乙公司的月薪波动性更大，且甲公司月薪高于乙公司的月薪概率更大，故选甲公司．
例7.解：由题意可得，
，
令得．
当时， ；
当时， ，
的最大值点为，
因此当时，取最大值
由可知，
设剩下个布娃娃中有个奖品，获利为元，
则，
又．
因此，
因此该买下剩下所有的个布娃娃
设抽到个有奖品的布娃娃的可能性为，
则，根据题意可得
即，且，
化简得
解得，从而
练3-1.解：记甲先上场且挑战没有一关成功的概率为，
则，
依题可知，的可能取值为，，，
则
，
，
所以；
设甲先出场比赛挑战成功的概率为，乙先出场比赛挑战成功的概率为，
则
；
；
由
，
得，
则甲先出场与乙先出场比赛挑战成功的概率相同．
练3-2.解：当收费为元时，照片被带走的概率为，不被带走的概率为设每个游客的利润为元，则是随机变量，其分布列为：
元，故个游客的平均利润为元，
当收费为元时，照片被带走的概率为，不被带走的概率为，
设每个游客的利润为元，则是随机变量，其分布列为：
元，故个游客的平均利润为元，
该项目每天的平均利润比调整前多元；
设降价元，则，照片被带走的概率为，不被带走的概率为，
设每个游客的利润为元，则是随机变量，其分布列为：
，
当时，有最大值元，
当定价为元时，日平均利润的最大值为元．
练3-3.解：由题意得的可能取值为，，．
，，，
分布列如下表：
则的数学期望．
如果选择条件①．
若甲同学选择先回答类问题，得到对应的分布列为
若甲同学选择先回答类问题，得到对应的分布列为
，
所以甲同学先回答类问题的期望大．
如果选择条件②．
若甲同学选择先回答类问题，得到对应的分布列为
若甲同学选择先回答类问题，得到对应的分布列为
，，
所以甲同学先回答类问题的期望大．
例8.解：由题意得：设“甲在校运会铅球比赛中获优秀奖”为事件．
比赛成绩达到以上获优秀奖，甲的比赛成绩达到以上的有：，，四个，
所以，甲在校运会铅球比赛中获优秀奖的概率为，
所有可能取值为，，，．
甲在校运会铅球比赛中获优秀奖的概率为．
乙在校运会铅球比赛中获优秀奖的概率为事件，则．
丙在校运会铅球比赛中获优秀奖的概率为事件，则．
，
，
，
，
则
丙获得冠军的概率估计值最大．
因为铅球比赛无论比赛几次就取最高成绩比赛一次，丙获得的概率为，甲获得的概率为，
乙获得的概率为，并且丙的最高成绩是所有成绩中最高的，比赛次数越多，对丙越有利．
例9.解：由题目有：
；
由题目定义：假设我们的序列状态是，，，，，，
那么时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态，
即
记重复次操作后，甲盒子中恰有个黄球的概率为，
易得，
的所有可能得取值为，，，，
且，
，
，
，
所以的分布列为：
，
证明：记重复次操作后，甲盒子中恰有个黄球的概率为
，
而，
，
，
，
即，
首项是，
因此是公比为等比数列，故得证．
练4-1.解：设恰好经过次检验能把有抗体血液样本全部检验出来为事件，
所以，
所以恰好经过次检验就能把有抗体的血液样本全部检验出来的概率为．
由已知得，
的所有可能取值为，．
所以，，
所以，
若，则，
所以，，
所以，即，
所以关于的函数关系式为且
证明：令且，
所以，
令，，
所以得，
所以，，单调递减，
，，单调递增，
所以，所以，
因为且，
所以，即，
所以，即，
所以．
练4-2.解：第二局比赛结束时比赛停止的概率为，
则 ， 整理得：，
解得：或，
因为，所以；
的可能取值为，，，
，
，
，
则的分布列为：
数学期望：；
由题可得，，
当为奇数时，第局没有停，甲乙得分均为分，则，
当为偶数时，，
当为偶数时，数列是以为首项，为公比的等比数列，
，
为奇数时，为偶数，，
当时，也满足，
所以通项公式．
1.解：一个被染满颜料的蚂蚱从数轴上的原点开始跳动，
每次跳跃有等可能的概率向左或向右跳动个单位长度，
蚂蚱所在的点会留下颜色，
蚂蚱跳动次后染上颜色的点数个数的可能取值为，，，，
表示蚂蚱在，或者，之间来回跳动，
则；
表示蚂蚱由向右最远跳到，
可以为“右右左左”，“右左右右”，“右右左右”共种，
由对称性知由向左最远跳到，也有种，
由向左最远跳到，最右跳到，可能为“左右右左”，“右左左右”有种，
故一共有种，
则；
表示蚂蚱跳动为“右右右左”，“左左左右”，“左右右右”，“右左左左”，共种，
则；
表示蚂蚱跳动为“右右右右”，“左左左左”，共种，
则；
则．
故答案为：．
2.解：因为，所以，即，
所以，所以，
又，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以，
所以当时，，
当时，也满足上式，所以．
故答案为．
3.解：(1) 由 ~BM(2, 2), 得P( =2)=+=；
(2)由 ∽BM(4,m), =1,2,3,4,
得P( =k)=P( k)-P( k-1)=,k=1,2,3,4，
则 ( )=[+2(-)+3()+4()]=[4-(++)]
=4-[++],
令 ( ),得++4-=,
又f(m)=++ 在m上单调递减,
且f(1)=>,f(2)=>,f(3)=,故m的最小值为3；
(3) 由 ~BM(n, n), =1, 2,, n(n2),
得P( =k)=P( k)-P( k-1)=,k=1,2,,n,
所以E( )=kP( =k)=
={-[+++]}=n-[+()n++],
先证 R, +1,设g( )=-1, R,则 =，令 =0,得 =0,列表如下:
极小值
所以g( )g(0)=0,故 R,+1,当且仅当x=0时取等号,
令 =-(n,k=1,2,,n-1),则0<1-<,故<=(k=1,2,,n-1),
即()n<(k=1,2,,n-1),
所以+++<++++==[1-]<,
所以-+++]>-,
所以 ( )>n->n-1,故n2且n,E(X)>n-1.

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