资源简介

2026届高三微专题5 与圆有关的最值问题
1.求解与圆有关的最值问题，其通法是数形结合和转化化归思想，整体的思路为：
⑴定型：根据条件确定最值问题的类型；
⑵作图：根据几何意义，画出图形，利用数形结合思想分析；
⑶求值：根据图形，利用相关知识求解.
2.圆的最值类型：
⑴与距离有关的最值问题
①圆上的点到定点的距离的最值问题
i.圆外一点到圆上点的距离距离的最大值等于，最小值等于；
ii.圆内一点到圆上点的距离距离的最大值等于，最小值等于.
②圆上的点到定直线的距离的最值问题（直线与圆相离，圆心到直线的距离为）
圆上的动点到直线距离的最大值等于；最小值等于.
③切线长的最值问题
从圆外任一点向圆引两条切线，圆心,两切点分别为,我们把线段的长度叫做切线长，设圆的半径为,则有：
i.切线长的计算：，当半径给定时，最小时，切线长最小；
ii.四边形的面积、角度等的最值，转化为研究直角三角形，进一步转化为最值问题.
④圆上的点到其他曲线上的点间的距离最值问题
圆上动点与其他曲线上动点间的距离最值问题常转化为圆心与曲线上的动点距离问题.
⑤过定点的圆的弦长问题
已知圆及圆内一定点，则过点的所有弦中最长的为直径，最短的为与该直径垂直的弦.
⑵与面积有关的最值问题
与圆的面积的最值问题，一般转化为求圆的半径相关的函数关系或者几何图形的关系求最值.
⑶圆上的点的坐标满足的代数式的取值范围
①数形结合转化为代数的几何意义
i.求形如的最值问题,可转化为求斜率的最值问题,即过点和的直线斜率的最值问题；
ii.求形如的最值,可转化为求动直线截距的最值，即当直线与圆相切时,直线在y轴上的截距取得最值；或把代入圆的方程中,消去得到关于的一元二次方程,由求得的范围,进而求得最值；
iii.求形如的最值,可转化为圆上的点到定点的距离的最值.
②利用圆的参数方程或消元法转化为函数问题求最值.
(
考点
一
建立
函数关系求最值
)【方法储备】
根据已知条件列出相关的函数关系式，再根据关系式的特征选用基本不等式、函数单调性等方法求最值.解题时关键把握：构建正确的函数类型；确定自变量的取值范围，求解函数的最值.
【典例精讲】
例1.(2025·福建省漳州市·模拟题)已知直线与圆交于，两点，则的最大值为( )
A. B. C. D.
例2.(2025·湖北省武汉市·模拟题)过直线上任一点向圆作两条切线，切点为则的最小值为( )
A. B. C. D.
【拓展提升】
练1-1.(2025·浙江省杭州市·模拟题)已知、不与原点重合分别为直线与上的两点，，为动点，且，记三角形、的面积分别为、，若，则的取值范围是 ．
练1-2.(2025·浙江省·模拟题)在平面直角坐标系中，射线与直线，圆分别相交于，两点，若线段上存在点不含端点，使得对于圆上任意一点都满足，则的最大值为 ．
(
考点二 数形结合求
最值
)【方法储备】
圆不仅是轴对称图形,而且是中心对称图形,利用圆相关的定理、性质,从图形视角解答最值问题可极大的简化运算.当所求的代数式具有明显的几何意义，转化为几何问题，利用数形结合法求最值.
【典例精讲】
例3.(2025·福建省·期末考试)已知圆：，直线：，若与圆交于，两点，设坐标原点为，则的最大值为( )
A. B. C. D.
例4.(2025·湖北省·月考试卷)在直角梯形中，，，，，动点在以点为圆心，且与直线相切的圆上或圆内移动，设，则最大值是 ．
例5.(2025·山东省聊城市·月考试卷)已知圆与轴相交于两点，且与直线不相交．则下列选项正确的是( )
A. 的取值范围是
B. 为坐标原点，则的最小值为
C. 当圆与直线相切时，在下方
D. 若，过上一点作圆的切线为切点，则切线长的最小值为
【拓展提升】
练2-1.(2025·江苏省·月考试卷)已知正方形的边长为，点在以为圆心，为半径的圆上，则的最小值为( )
A. B. C. D.
练2-2.(2025·浙江省杭州市·期末考试)已知圆，圆，点在圆上，点在圆上，点在轴上，则的最大值为( )
A. B. C. D.
练2-3.(2024·江苏省宿迁市联考)（多选） 如图，，是圆：上的两个动点，的延长线与直线：交于点.若，则( )
A. 的最小值为
B. 的最大值为
C. 当时，弦的长取最大值
D. 的最大值为
(
考点三 圆与
向量
综合
求最
值
)【方法储备】
利用圆的向量方程的几何意义求解平面向量模长的最值问题，借助向量表达式提取出圆的方程，数形结合作出图形，借助圆的性质求解.
补充：已知平面向量 ，如果向量满足，则向量终点的轨迹是以的终点为圆心,为半径的圆.
【典例精讲】
例6.(2025·重庆市·月考试卷)已知，为单位向量，且，向量满足，则的最小值为( )
A. B. C. D.
例7.(2025·湖北省·联考)四边形是边长为的正方形，点是正方形内的一点，且满足，则的最大值是( )
A. B. C. D.
【拓展提升】
练3-1.(2025·安徽省·月考试卷)已知点和圆：，，是圆上两个动点，且，则为坐标原点的取值范围是( )
A. B. C. D.
练3-2.(2024·江苏省月考试卷)（多选） 已知，是圆上的两点，则下列结论中正确的( )
A. 若，则
B. 若点到直线的距离为，则
C. 若，则的最大值为
D. 的最小值为
(
考点四 利用
对称求最
值
)【方法储备】
求解形如(其中均为动点)且与圆有关的折线段的最值问题的基本思路：
①“动化定”：把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；
②“曲化直”：即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决．
【典例精讲】
例8.(2025·湖南省邵阳市·模拟题)已知在棱长为的正方体中，点是底面内的动点，点为棱上的动点，且，则的最小值为 ．
例9.(2025·湖南省·月考试卷)已知，，过轴上一点分别作两圆的切线，切点分别是，，当取到最小值时，点坐标为 ．
【拓展提升】
练4-1.(2025·北京市·模拟题)在直角坐标系中，全集，集合，已知集合的补集所对应区域的对称中心为，点是线段上的动点，点是轴上的动点，则周长的最小值为( )
A. B. C. D.
练4-2.(2024·山东省模拟题)（多选） 已知直线与圆交于，两点，点为圆上的一动点，点，记到的距离为，则下列结论正确的是( )
B. 的最大值为
C. 是等腰三角形
D. 点为直线上的动点，的最小值为
1.(2025·福建省·月考试卷)已知实数，，成公差非的等差数列，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为过点作直线的垂线，垂足为点，则，间的距离的最大值与最小值的乘积是( )
A. B. C. D. 前三个答案都不对
2.(2025·浙江省·专项测试)已知，，是非零向量，，，为任意实数，当与的夹角为时，的最小值是 ．
3. (2025·江苏省·模拟题)已知点，若圆上存在点，使得为坐标原点，则实数的取值范围为( )
A. B.
C. D.

【答案解析】
例1.解：圆：转化为标准形式为，圆心，半径，
直线：恒过定点，则，
设圆心到直线：的距离为，
则，
则的面积为，
当时，取得最大值，
则面积的最大值为．
故选：．
例2.解：因为过圆外一点，作圆的两条切线时，有两个切点，切点弦方程为，
所以根据题意设本题中圆外点，则的方程为，
化简可得：，
所以圆心到直线的距离为：，
所以，
，
当时，的最小值为．
故选：．
练1-1.解：如图，建立平面直角坐标系，由可知动点在以为圆心、为半径的圆上，设，

过点作两条直线的垂线、，垂足分别为、，由点到直线距离公式可得：，，
又，，
设，，
由得，
在上的单调递增区间是，，单调递减区间是，
又，，，，
，，
故答案为
练1-2.解：射线的斜率显然存在，设的方程为，不妨考虑，
则，，且，
因为圆上任意一点都满足，
不妨取点为直线与圆相交异于的一点，
所以，
又，所以，
所以，则
所以，，
要求的最大值，只需考虑，
所以，，
设，
则，
所以当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
所以，
所以的最大值为，
故答案为．
例3.解：
直线的方程可化为，
令且，
解得，
所以过定点，
又圆：的圆心为，半径为，
所以，．
因为，
所以，
又，
所以．
设，，
结合图形可知．
所以，其中，当时等号成立，
此时，，符合条件，即的最大值为．
故选：．
例4.解：以 为原点，分别以 方向为 轴，建立如图所示直角坐标系：
所以 ， ， ， ，所以 ， ，
因为圆 直线 相切，而直线 ，圆心 ，
所以半径 ，所以圆 ： ，
因为 ，
即 ，因为动点 在圆上或圆内移动，
所以 ，设 ，则 ，
所以不等式可化为： ，
所以 ，易得不等式有解，
所以 ，即 ，解得 ，
所以原式
，
所以当 ， ，即 ， 时，．
故答案为： ．
例5.解：对于，由题可知，圆的半径为，且圆与轴相切，
由题意，，即的取值范围是，故 A错误；
对于，设圆与轴的切点为，根据切割线定理，
于是，当且仅当时等号成立，
若和相等，则圆与轴相切，与题意不符，故无法取得最小值，故 B错误；
对于，当圆与直线相切时，，过作轴垂线为垂足，连接，如图，
则为直角三角形，于是，
此时，故 C正确；
对于，连接，易知为直角三角形，如图，
于是，
当与垂直时，最小，即最小，
此时，，
所以的最小值为，故D正确．
故选：．
练2-1.解：以为坐标原点，，所在的直线分别为，轴建立平面直角坐标系，如图所示．
设，所以，又，，，
所以，
令，即，所以直线与圆有公共点，所以，
解得，所以．
故选D．
练2-2.解：根据题意，圆，其圆心，半径，
圆，圆心，半径，
设圆与圆关于轴对称，则圆的圆心，半径，
设圆的点与关于轴对称，则，
如图，
则，当、、共线时，取得最大值，
而点在圆上，点在圆上，
故当、、、、五点共线时，取得最大值，
且其最大值为．
故选：．
练2-3.解：如图所示，
过点作圆的切线为切点，则有，
所以，则，
又因为为直线：上的动点，
所以点到直线上的点的距离的最小值为，故A，B正确；
当时，，
当时，点与点重合，，，
，故C错误．
当时，此时点，点，
取，此时，故D错误，
故选AB．
例6.解：因为，为单位向量，且，
所以，
所以，
所以，
因为，
所以，
则不妨设，，，
因为，
所以，即，
即点的轨迹为圆，且圆心为，半径为，
又
，
设点，
则，
根据点与圆的位置关系可得，
故的最小值为．
故选：．
例7.解：根据题意，建立如图所示的直角坐标系，
设，，，，，
则，，，，
故，
所以，
即，
故点在以点为圆心，为半径的圆周上运动，
所以的最大值为．
故选：．
练3-1.解：设线段的中点为，
，，
则，即的轨迹以为圆心半径为的圆，
即点在圆上，可设点，
则
，其中，，，
的最小值为，最大值为，
的范围是．
故选D．
练3-2.解：对，若，又，，故A错
对，若点到直线的距离为，由勾股定理知，故B对
对，，
几何意义为，到直线的距离之和的倍，
设中点为，，而中点的轨迹为，
所以，
所以的最大值为，故C错
对，，的最小值为，故D对
综上所述，选BD．
例8.解：如图一，， ，
又，．
如图二，建立平面直角坐标系，则，，，设点，
，化简得：，
则的轨迹方程是圆心为，的圆在第一象限包括坐标轴的部分，
点关于的对称点，
故答案为：．
例9.解：设，则，
，
，
等价于点，到定点的距离与定点的距离和的最小值，
点关于轴的对称点为，
故距离和的最小值为，
此时直线方程为，
令，可得，所以点坐标为．
故答案为．
练4-1.解：点到直线的距离，
直线为圆的切线，
集合的补集所对应的区域为圆的内部，故，
作直线及轴作点的对称点，，则，，
故所求值为线段的长度，由两点间距离公式可知，
故选B．
练4-2.解：对于，由圆，可得，半径为，
点到直线的距离为，则，故A错误；
对于，由题意，可作下图：
设点为弦的中点，直线，，则点到直线的最大距离为，故B错误；
对于，由选项B与题意，
易得，，则直线的斜率，，
由，则直线的斜率，
则直线的方程为，则，
即点在直线上，为的中垂线，是等腰三角形，故C正确；
对于，如图：设圆心关于直线的对称点坐标为，
，解得，则．
则点关于直线的对称点在圆，圆心，
当三点共线时取得最小值，
最小值为故D正确．
故选CD．
1.解:直线中，，成等差数列即直线恒过点，
又，于是点的轨迹是以为直径的圆，如图，
该圆的圆心为，半径为，因此，
故，于是所求最大值与最小值之积为．
故选：．
解：设，因为与的夹角为，
即的终点在上运动，设，
，，
即，得，
即的终点的运动轨迹为以为圆心，以为半径的圆，
根据向量减法的几何意义可知，的最小值为
直线上的点与圆上的点连线的最小值，
圆心到直线的距离为，
则直线上的点与圆上的点连线的最小值为，
即的最小值是．
故答案为．
3.解：设点，因为为坐标原点，，且．
根据两点间距离公式，则，．
所以，展开整理可得：．
所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆．
已知圆，其圆心为，半径．
因为圆上存在点满足条件，所以两圆有公共点．
根据两圆位置关系，两圆的圆心距．
两圆有公共点，则，即．
对于，两边平方得，展开整理得，，
，函数图象开口向上，所以恒成立．
对于，两边平方得，展开得，即，，解得
综上所得，．
故选：．

展开更多......

收起↑