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2025-2026学年四川省自贡市荣县中学高二（上）入学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数是虚数单位，则对应的点在( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.已知，，若，则( )
A. B. C. D.
3.一个射击运动员打靶次的环数为：，，，，，下列结论不正确的是( )
A. 这组数据的平均数为 B. 这组数据的众数为
C. 这组数据的中位数为 D. 这组数据的方差为
4.已知两个随机事件和，其中，，，则( )
A. B. C. D.
5.在中，，，其面积为，则等于( )
A. B. C. D.
6.已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则( )
A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若，，，则
D. 若，，则
7.如图，已知长方体的底面为正方形，为棱的中点，且，，则四棱锥的外接球的体积为( )
A.
B.
C.
D.
8.设是内一点，且，，定义，其中、、分别是、、的面积，若，则的最小值是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.抛掷一枚骰子次，记“向上的点数是，，“为事件，“向上的点数是，“为事件，“向上的点数是，，“为事件，“向上的点数是，，，“为事件，则下列关于事件，，，判断正确的有( )
A. 与是互斥事件但不是对立事件 B. 与是互斥事件也是对立事件
C. 与是互斥事件 D. 与不是对立事件也不是互斥事件
10.已知，则下列结论中错误的是( )
A. 的最大值为 B. 在区间上单调递增
C. 的图象关于点对称 D. 的最小正周期为
11.在锐角中，角，，所对的边分别为，，，且，则下列结论正确的有( )
A.
B. 的取值范围为
C. 的取值范围为
D. 的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某校高二年级选择“理化生”，“理化地”，“史政地”和“史政生”组合的学生人数分别为，，和，现采用分层抽样的方法从这些学生中选出人参加一项活动，则“史政生”组合中选出的学生人数为______．
13.如图，为测量山高，选择和另一座的山顶为测量观测点，从点测得点的仰角，点的仰角以及；从点测得，己知山高，则山高______
14.已知在一个长、宽、高分别为、、的封闭长方体形状的铁盒中装有两个大小相同的小钢球，则每个小钢球的最大体积为 不计铁盒各侧面的厚度
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，．
与夹角的余弦值；
若与垂直，求的值．
16.本小题分
已知函数．
求函数的单调增区间；
若，且，求的值．
17.本小题分
的内角，，的对边分别为，，，已知．
求；
若，证明：是直角三角形．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，平面，且是的中点．
求证：平面；
求异面直线与所成角的正切值；
求直线与平面所成角的正弦值．
19.本小题分
对于平面向量，定义“变换”：，
若向量，，求；
求证：；
已知，，且与不平行，，，判断与的大小，并证明．
参考答案
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10.
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13.
14.
15.解：，，
，
与夹角的余弦值为．
，，
，，
又向量与垂直，
则，
解得．
16.解：，
令，得，
所以函数的单调增区间为；
由可得，
又因为，所以，
而，所以，
所以；
所以
．
17.解：，
，解得，
，
；
证明：，，
由正弦定理可得，
，
，，
，可得，可得是直角三角形，得证．
18.证明：平面，平面，，
又四边形是矩形，，
，平面，
平面，，
又是的中点，，，
，所以平面；
解：底面是矩形，，
异面直线与所成角即为直线与直线所成的角，
由得平面，平面，
平面，，为直角三角形，
又是的中点，，，
在中，即为异面直线与所成角，故，
异面直线与所成角的正切值为；
解：取中点为，连接，，
在中，，分别为线段，的中点，故，
平面，平面，
，
由得平面，平面，，
，，又，，
，
设点到平面的距离为，直线与平面所成角为，
则，解得：，
故，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
19.因为向量，
因此，
因此．
证明：因为．
因此，
．
因此．
证明：，
，
由可得，
又因为
，即，
可得，
且在内单调递减，，
可知，
因此．
因此．
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