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2025-2026学年甘肃省安阳市环县一中高二（上）开学数学试卷
一、单选题：本题共9小题，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列函数中，随的增大，增长速度最快的是( )
A. B. C. D.
2.已知集合或，，若，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
3.一组数据由个数组成，其中这个数的平均数为，若在该组数据中再插入一个数字则这组数据( )
A. 平均数变大 B. 方差变大 C. 平均数变小 D. 方差变小
4.若一系列函数的解析式和值域相同，但定义域不相同，则称这些函数为“同值函数”例如函数，与函数，即为“同值函数”，给出下面四个函数，其中能够被用来构造“同值函数”的是( )
A. B. C. D.
5.已知，是不同的直线，，是不同的平面，则( )
A. 若，，，则 B. 若，，，则
C. 若，，，则 D. 若，，，则
6.命题：，为真命题的一个充分不必要条件是( )
A. B. C. D.
7.已知，则的值为( )
A. B. C. D.
8.已知，，则( )
A. B. C. D.
9.已知，，均为单位向量，且，则( )
A.
B.
C. 当实数变化时，的最小值是
D. 若，，，则
二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
10.已知复数，互为共轭复数，则( )
A. B.
C. D.
11.已知实数，满足，则下列关系式恒成立的有( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.，若与的夹角为钝角，则的取值范围是______．
13.函数的零点个数为______．
14.在三棱锥中，，，，，，则该三棱锥外接球的表面积为______．
四、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数是定义在上的奇函数．
求的表达式；
判断在区间上的单调性，并证明你的结论．
16.本小题分
已知函数．
求的最小正周期和单调递增区间；
若且，求的值．
17.本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，，已知．
求角的大小；
若，当的周长取最大值时，求的面积．
18.本小题分
某市举办了党史知识竞赛，从中随机抽取部分参赛选手，统计成绩后对统计数据整理得到如图所示的频率分布直方图．
试估计全市参赛者成绩的第百分位数保留小数点后一位和平均数单位：分；
若用按比例分配的分层随机抽样的方法从，，三层中抽取一个容量为的样本，再从这人中随机抽取两人求抽取的两人都及格大于等于分为及格的概率．
19.本小题分
如图，在四棱锥中，侧面底面，底面为矩形，，为的中点，．
求证：；
若上存在点，使得平面，求的值；
若与平面所成角的正弦值为，求四棱锥的的体积．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.且
13.
14.
15.因为函数是定义在上的奇函数，
所以，
又，
所以，
即，
所以，，
此时，经检验，符合题意；
在上单调递增，证明如下：
任取，
则，，，，
则，
所以，
所以在上单调递增．
16.解：因为，
所以，
令，解得，
所以的单调递增区间为；
由可得，所以，
因为，所以，
所以，
所以
．
17.解：因为，由正弦定理得，
因为，所以，
又因为，且，所以，
又因为，
所以，即；
在中，由余弦定理，
得，即，
所以，当且仅当时取等号，
所以周长的最大值为，
此时面积．
18.，则，
；，
故百分位数在，
则百分位数为，
平均数为；
因为按比例分配的分层随机抽样，故，，三层中抽取的样本量分别为：
，
，
，
从这人中随机抽取两人，
记中抽取的人编号为，
抽取的人编号为、，
抽取的人编号为、、，
记事件“抽取的两人都及格”，
，，，，，，，，，，，，，，，
所以，
，，，，，，，，，，
所以，
所以．
19.证明：在四棱锥中，连接，
因为，所以，
又因为侧面底面，侧面底面，侧面，
所以平面，又平面，所以，
又因为，，，平面，
所以平面，
又因为平面，所以，
又平面，平面，则，
因为，，平面，所以平面，
又因为平面，
所以．
取中点为，连，，
因为，平面，平面，所以平面，
又因为平面，，，平面，
所以平面平面，平面，所以平面，
因为，平面，平面，
所以平面，，平面，平面平面，
所以，
又为中点，则为中点，
此时；
由可知，所以为等腰直角三角形，
又，所以，设，则，
记点到面的距离为，
因为，平面，平面，所以平面，
因为，所以，
设与平面所成角为，
所以，
即，
整理得，
则或，
解得或，
即或
所以或．
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