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2025-2026学年广东省梅州市平远中学高二（上）开学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数满足，为虚数单位，则复数的共轭复数( )
A. B. C. D.
3.为空间任意一点，若，若，，，四点共面，则( )
A. B. C. D.
4.已知向量，则( )
A. B. C. D.
5.若，则( )
A. B. C. D.
6.一个质地均匀的正八面体的八个面上分别标有数字到，将其随机抛掷两次，记与地面接触面上的数字依次为，，事件：，事件：，事件：，则( )
A. ，互斥 B.
C. D. ，，两两独立
7.对于函数，下列结论正确的是( )
A. 在上单调递增 B. 在上最小值为
C. 为偶函数 D. 的图象关于原点对称
8.在中为边的三等分点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，则( )
A. 为偶函数 B.
C. 无零点 D. 在上单调递减
10.已知空间向量，，下列结论正确的是( )
A.
B. ，夹角的余弦值为
C. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，且，则实数
D. 在上的投影向量为
11.如图所示，在正方体中，，分别是，的中点，是线段上的动点，则下列判断正确的是( )
A. 三棱锥的体积是定值
B. 过，，三点的平面截正方体所得的截面是六边形
C. 存在唯一的点，使得
D. 与平面所成的角为定值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.有一组按从小到大顺序排列的数据：，，，，，，若其极差与平均数相等，则这组数据的中位数为______．
13.用斜二测画法得到的水平直观图是边长为的正三角形则的面积是______．
14.已知在三棱锥中，，，，平面平面，则三棱锥外接球的表面积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
求的最小正周期和对称轴方程；
求在区间上的最大值，并求出此时对应的的值．
16.本小题分
为了解中学生的体育锻炼情况，调查小组在某中学随机抽取了名学生，统计了他们某一周的综合体育活动时间单位：时，并按照，，，，，将样本数据分成组，制成如图所示的频率分布直方图．
补全频率分布直方图，并估计该校学生每周综合体育活动时间的中位数与平均数；
利用频率估计概率，若从该校随机抽取两名学生，且两名学生的体育活动情况互不影响，求这两名学生中至少有一人每周综合体育活动时间不低于小时的概率．
17.本小题分
如图，已知在中，内角，，所对的边分别为，，，且．
求的值；
若，为边上一点，且，求的长．
18.本小题分
如图，在三棱柱中，，分别是，上的点，且，设，，．
试用，，表示向量；
若，，，求异面直线与的夹角的余弦值．
19.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，．
证明：平面；
当二面角的正切值为时，求直线与平面所成角的大小．
参考答案
1.
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14.
15.
16.
17.解：由题意及正弦定理可得：，
故，
又，故，而，
则；
在中，由余弦定理可得：，
故，
，
所以
，
因为，即，
所以．
故．
18.解：由，
可得
，
由，
可得，
则；
由，，，
可得，，，
则，
，
则，
则异面直线与的夹角的余弦值为．
19.解：在中，由余弦定理得，
显然，则，即，
由，，，
得≌，则，即，
又，，平面，
所以平面；
取中点，连接，，
如图，
由，，则，，
即为二面角的平面角，
由知，平面，平面，则，，
于是，，
而，
，，，
于是，又，，，平面，
因此平面，又，
则平面，
过作于点，平面，于是，
而，，平面，
则平面，
因此直线与平面夹角即为，
在中，，，
且，则，
所以直线与平面夹角为．
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