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2025-2026学年云南省保山市腾冲八中高二（上）开学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.过点的直线与圆相切，则直线的倾斜角为( )
A. B. 或 C. 或 D. 或
2.下列说法中，正确的是( )
A. 过点且在，轴上的截距相等的直线方程为
B. 直线在轴上的截距为
C. 直线的倾斜角为
D. 过点并且倾斜角为的直线方程为
3.一个动圆的圆心在抛物线上，且动圆恒与直线相切，则动圆必过定点( )
A. B. C. D.
4.设向量，，不共面，则下列向量组可作为空间的一组基的是( )
A. B. C. D.
5.若表示面积为的圆的方程，则实数的值为( )
A. B. C. D.
6.已知，，若，，且平面，则等于( )
A. B. C. D.
7.已知实数，满足，其中，则实数的最小值为( )
A. B. C. D.
8.已知，是椭圆上两点，，分别在的左、右焦点，，，则的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知双曲线，则( )
A. 的焦点坐标为 B. 的渐近线方程为
C. 的虚轴长为 D. 的离心率为
10.已知直线：，其中，则( )
A. 直线过定点
B. 当时，直线与直线垂直
C. 若直线与直线平行，则
D. 当时，直线在两坐标轴上的截距互为相反数
11.已知是边长为的正六边形内一点含边界，且，，则( )
A. 的面积恒为 B. 存在，使得
C. D. 的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量为平面的法向量，点在内，点在外，则点到平面的距离为______．
13.正四面体棱长为，，且，以为球心且半径为的球面上有两点，，，则的最小值为 ．
14.设，则直线：，：与：围成的三角形的面积的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
的顶点，的坐标分别为，．
求线段的中垂线在轴上的截距；
若点的坐标为，求垂心的坐标．
16.本小题分
如图所示，正四面体的高的中点为，的中点为．
求证：，，两两垂直；
求
17.本小题分
已知直线经过点．
若原点到直线的距离为，求直线的方程；
若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程．
18.本小题分
在如图所示的几何体中，四边形是菱形，是矩形，平面，，，，为的中点．
求证：平面；
求平面与平面夹角的余弦值．
在线段上是否存在点，使直线与平面所成的角为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．
19.本小题分
已知点为椭圆上一动点，，为左右两焦点，点到坐标原点的最大距离为，的最大面积为．
求椭圆的方程；
过动点不在坐标轴上作圆的两条切线，切点分别为，，直线交椭圆于，两点，求的面积的最大值．
参考答案
1.
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4.
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6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.的顶点，的坐标分别为，，
的中点是，直线的斜率是，
线段中垂线与线段垂直，
线段中垂线的斜率是，
线段的中垂线方程是，即，
令，得，即线段的中垂线在轴上的截距为；
，边上的高所在直线的斜率为，
，边上的高所在直线的方程为，即，
，边上的高所在直线的斜率为，
，边上的高所在直线的方程为，即，
联立和，得，，
垂心的坐标为．
16.证明：设，正四面体的棱长为，
则，，
，，
．
，，
同理，，
、、两两垂直；
解：
．
，
，
，
，
，．
17.解：直线经过点．
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
原点到直线的距离为，符合条件；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，
则，解得，
直线的方程为，即．
综上，直线的方程为或．
直线在两坐标轴上的截距相等，
当直线在轴上的截距时，直线在轴上的截距，
此时直线过点，，
直线方程为，即，
当直线在轴上的截距时，直线在轴上的截距，
设直线方程为，把代入得，解得，
直线方程为，即．
综上，直线的方程为或．
18.证明：以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，则，即，
令，则，，所以，
所以，即，
又平面，所以平面．
解：由知，平面的法向量为，
同理可得，平面的法向量，
设平面与平面的夹角为，则，，
故平面与平面夹角的余弦值为．
解：设存在点满足符合题意，则，
所以，
由知，平面的法向量，
因为直线与平面所成的角为，
所以，，解得，
若不存在点符合题意．
19.解：依题意有，，，，．
椭圆的方程为．
设切点，，，圆的方程为，
切线方程：，切线方程：，
切线都过点，，，方程：，
设交点，，
与椭圆方程联立，
化简得，
，，
，
又到直线距离为，的面积，
令，，，
，，．
当且仅当，即，，时等号成立．
故的面积的最大值为．
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