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2025-2026学年河南省濮阳第一高级中学高二（上）开学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数满足，则的虚部为( )
A. B. C. D.
2.某羽毛球俱乐部有队和队，其中队有名学员，队有名学员，为了解俱乐部学员的羽毛球水平，用比例分配的分层随机抽样的方法从该俱乐部中抽取一个容量为的样本，已知从队中抽取了名学员，则的值为( )
A. B. C. D.
3.某校为了加强食堂用餐质量，该校随机调查了名学生，得到这名学生对食堂用餐质量给出的评分数据评分均在内，将所得数据分成五组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图，估计学生对食堂用餐质量的评分的第百分位数为( )
A. B. C. D.
4.在中，内角，，的对边分别为，，，且，，则外接圆的直径为( )
A. B. C. D.
5.已知，是两条不同的直线，表示平面，且，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
6.记的内角，，的对边分别为，，，且，则是( )
A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 等边三角形 D. 钝角三角形
7.已知一个圆锥和圆柱的底面半径和侧面积分别相等，且圆锥的轴截面是等边三角形，则这个圆锥和圆柱的体积之比为( )
A. B. C. D.
8.已知正方形的边长为，点是边上的一点，且，点是边上的一点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在中，内角，，的对边分别为，，，且，，，则的可能取值为( )
A. B. C. D.
10.已知一组数据，，，，，，，由生成的一组新数据，，，，，，，则( )
A. 新数据的极差可能与原数据的极差相等
B. 新数据的平均数可能与原数据的平均数相等
C. 新数据的中位数一定比原数据的中位数大
D. 新数据的标准差一定比原数据的标准差大
11.在直三棱柱中，，，，点是棱上的一点，则下列说法正确的是( )
A.
B. 四棱锥的体积为
C. 直三棱柱外接球的表面积是
D. 的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，的夹角为，，，则 ______．
13.从分别写有，，，，的张卡片中不放回地随机抽取张，则抽到的张卡片上的数字之和不小于的概率为______．
14.在棱长为的正方体中，点是棱的中点，则直线与所成角的余弦值为______；点是正方体表面上的一动点，且满足，则动点的轨迹长度是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设，复数，．
若为纯虚数，求实数的值；
若复数是关于的方程的一个根，求的值．
16.本小题分
已知平面向量，，．
若，且，求和的值；
若，求的值；
若与的夹角为锐角，求的取值范围．
17.本小题分
小张和小胡两位同学进行两轮语文常识答题比赛，每轮由小张和小胡各回答一个问题，已知小张每轮答对的概率为，小胡每轮答对的概率为，在每轮比赛中，小张和小胡答对与否互不影响，各轮结果也互不影响．
求小张在两轮比赛中至少答对题的概率；
求在两轮比赛中，小张和小胡答对题目的个数相等的概率．
18.本小题分
在中，内角，，的对边分别是，，，且．
求；
若，求的面积的最大值；
若，，求．
19.本小题分
如图，在四棱锥中，四边形是平行四边形，平面平面，，，，点是棱上的一点．
记平面与平面的交线为，求证：．
若，求二面角的正弦值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.由题意，，
则，，
解得或；
由题意，，
即，
所以，，
解得，或，，
所以．
16.因为，，
所以；解得，；
若，则，解得，
所以，，
；
因为与的夹角为锐角，
所以且，不同向，即解得且；
故的取值范围是．
17.根据题意，设“小张在两轮比赛中至少答对题”，
则“小张在两轮比赛中全部答错”，
则；
根据题意，“小张在两轮比赛中答对题”，“小胡在两轮比赛中答对题”，，
“小张和小胡答对题目的个数相等”，
，
，
，
，
，
，
故．
18.由题意，
可得，
可得，
又因为，
可得，
因为，得，
可得，
所以，
由于，
可得；
因为，结合可得，
则，当且仅当时，等号成立，
可得的面积为，
所以的面积的最大值为；
因为，
因为，
可得，
可得，
可得，得，
所以，
可得，解得．
19.证明：四边形是平行四边形，，
又平面，平面，平面，
又平面平面，平面，
；
解：如图，分别取，的中点，，连接，，，
，，，
又，，
由余弦定理得，
又，，，
，
，即，即．
又平面平面，平面平面，平面，
平面，又，平面，
，，，分别为，的中点，
，，又，，
又，，平面，平面，
又平面，，为二面角的平面角．
，，，
，
，
即二面角的正弦值为．
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