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2025-2026学年贵州省贵阳一中高二（上）开学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.设函数，则的值是( )
A. B. C. D.
3.向量，，若，且，则的值为( )
A. B. C. 或 D. 或
4.“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.对于样本频率分布折线图与总体密度曲线的关系，下列说法中正确的是( )
A. 频率分布折线图与总体密度曲线无关
B. 频率分布折线图就是总体密度曲线
C. 样本容量很大的频率分布折线图就是总体密度曲线
D. 如果样本容量无限增大、分组的组距无限减小，那么频率分布折线图就会无限接近总体密度曲线
6.正方体的棱长为，，，，分别为，，，的中点，则过且与平行的平面截正方体所得的截面的面积为( )
A. B. C. D.
7.高一班有名身高都不相同的同学去参加红歌合唱，他们站成前后对齐的排，每排人，则前排的同学都比后排对应的同学矮的概率为( )
A. B. C. D.
8.已知是边长为的等边三角形，点是的中点，点是线段上一点，满足，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.函数，，的最小正周期为，且方程在上有两个不相等的实数根，，则下列说法正确的是( )
A.
B. 把图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象，则
C.
D.
10.某企业协会规定：企业员工一周天要有一天休息，另有一天的工作时间不超过小时，且其余天的工作时间均不超过小时每天的工作时间以整数小时计，则认为该企业“达标”请根据以下企业上报的一周天的工作时间的数值特征，判断其中无法确保“达标”的企业有( )
A. 甲企业：均值为，中位数为
B. 乙企业：众数为，中位数为
C. 丙企业：众数和均值均为，下四分位数为，上四分位数为
D. 丁企业：均值为，方差为
11.如图，正方体的棱长为，动点，分别在线段，上，则下列命题正确的是( )
A. 直线与平面所成的角等于
B. 点到平面的距离为
C. 异面直线和所成的角为
D. 线段长度的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某校高一班有男生人，女生人已知某次数学测验中，男生成绩的平均数为，方差为，女生成绩的平均数为，方差为，则这次测验中班级总体成绩的方差为______．
13.已知复数，其中，且，则的最小值是______．
14.四边形和均为边长为的正方形，且它们所在的平面互相垂直，，，分别为，，的中点，则四面体外接球的表面积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，从参加环保知识竞赛的学生中抽出名，将其成绩均为整数整理后画出的频率分布直方图如下：观察图形，回答下列问题：
这一组的频数、频率分别是多少？
估计这次环保知识竞赛成绩的平均数、众数、上四分位数
从成绩是分以上的学生中选两人，求他们在同一分数段的概率．
16.本小题分
如图，在直三棱柱中，，分别是棱，的中点．
证明：平面；
Ⅱ若，且，求点到平面的距离．
17.本小题分
设的内角，，所对的边分别为，，，．
求；
若，，求边上的高．
18.本小题分
大冶市甲、乙两所学校之间进行排球比赛，采用五局三胜制先赢三局的学校获胜，比赛结束约定比赛规则如下：先进行两局男生排球比赛，后只进行女生排球比赛按照以往比赛经验，在男生排球比赛中，每局甲校获胜的概率为，乙校获胜的概率为；在女生排球比赛中，每局甲校获胜的概率为，乙校获胜的概率为设各局比赛相互之间没有影响且无平局．
求恰好比赛三局，比赛结束的概率；
求甲校以：获胜的概率．
19.本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，，请从下列条件中选择一个条件作答：注：如果选择条件和条件分别作答，按第一个解答计分
；．
求；
若的面积为，内角的角平分线交边于，求的最大值；
若，边上的中线，设点为的外接圆圆心，求的值．
参考答案
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14.
15.解：设第一组与第五组的高为，
则根据题意可得，解得，
所以这一组的频率为，其频数为；
这次竞赛的平均数为，
众数估计为，
因为前几组的频率依次为，，，
所以上四分位数在第组，且为；
记“取出的人在同一分数段”为事件，
因为之间的人数为，设为、、、，
之间有人，设为、，
从这人中选出人，有
、、、、、、、
、、、、、、、
，共个基本事件，
其中事件包括、、、、、、，共个基本事件，
则．
16.解：证明：取的中点，连接，，
因为，分别为中点，所以且，
因为，所以，
因为为中点，所以且，
即四边形为平行四边形，
所以，又平面，平面，
所以平面，
Ⅱ因为，且，所以，，
所以的面积为，
设三棱锥的高为，
则，
，
解得，
即点到平面的距离为．
17.解：由，
可得，结合，可知；
根据，可得，结合，得．
所以，
由正弦定理，得，
设边上的高为，则．
18.甲校连胜局，概率为，
乙校连胜局，概率为，
故恰好比赛三局，比赛结束的概率；
甲校以：获胜的情况如下：
前两局男生排球比赛中甲校全胜，第三局比赛甲校负，第四局比赛甲校胜，
概率为，
前两局男生羽毛球比赛中甲校胜负，第三局比赛甲校胜，第四局比赛甲校胜，
概率为，
故甲校以：获胜的概率．
19.若选，
在中，由及正弦定理，
得，
而，则，
显然，因此，，
则，得，解得，
又，所以；
若选，
由已知条件及正弦定理，得，
所以，
又，所以；
由得，，
又，
，
当且仅当时取等，
即的最大值为；
在中，由余弦定理，得，
由边上的中线，又因为，
两边平方得，
则，即，
解得，
令边，的中点分别为，，由点为的外接圆圆心，
得，，
，
，
所以．
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