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2025-2026学年河南省部分学校高二（上）开学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.( )
A. B. C. D.
2.设集合，，则( )
A. B. C. D.
3.某人打靶时连续射击两次，则事件“至少一次中靶”是事件“至多一次中靶”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.小唐月日每天的运动时长单位：分钟统计数据如图所示，则( )
A. 小唐这天每天运动时长的平均数是
B. 小唐这天每天运动时长的极差是
C. 小唐这天每天运动时长的中位数是
D. 小唐这天每天运动时长的第百分位数是
5.如图，在正四棱台中，，，，分别为棱，，，的中点，则( )
A. 直线与直线是异面直线
B. 直线与直线是异面直线
C. 直线与直线共面
D. 直线与直线共面
6.已知，则( )
A. B. C. D.
7.位于灯塔的正西方向且相距海里的处有一艘甲船，需要海上加油，位于灯塔的东北方向的处有一艘乙船在甲船的北偏东方向上，则乙船前往支援处的甲船需要航行的最短距离是( )
A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里
8.如图，设，，线段与交于点，且，则( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量和均不共线，且，则向量可以是( )
A. B.
C. D.
10.已知函数的部分图象如图所示，其中为等边三角形，点的坐标为，则( )
A.
B.
C. 直线是图象的一条对称轴
D. 将的图象向左平移个单位长度后，所得图象与函数的图象重合
11.已知函数，函数有四个不同的零点，，，，且，则( )
A. 的取值范围是 B.
C. 的最小值是 D. 越大，的值越大
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某校有个班，每班有人，要求从每班随机选派人观看“校十佳歌手赛”决赛在这个问题中样本容量是______．
13.已知函数的定义域为，则函数的定义域为______．
14.如图所示的正六边形，是由六个直角边长分别为与的全等的直角三角形拼接而成的，该图形阴影部分绕着线段的中垂线旋转一周得到一个几何体，现在用密度为的材料去制造该几何体，则该几何体的质量为______结果用表示
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某校举行了交通安全知识竞赛，初赛时，每位参赛选手回答道题，若道题全部答对，直接进入决赛；若道题都答错，直接淘汰；若恰好答对道题，则进入复赛复赛时，每位参赛选手回答道题与初赛时的题目不同，若道题都答对，则进入决赛，否则淘汰该校学生甲参加了这次交通安全知识竞赛，已知甲初赛时答对每道题的概率均为，复赛时答对每道题的概率均为，且各题答对与否互不影响．
求甲进入决赛的概率；
求甲至少答对道题的概率．
16.本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，，且．
求的大小；
已知，证明：是等腰三角形．
17.本小题分
已知函数，且．
求的定义域；
若，求；
求不等式的解集．
18.本小题分
如图，在中，，，的垂直平分线与，分别交于点，，且，沿将折起至的位置，得到四棱锥，如图．
设．
证明：．
已知，是否存在实数，使得平面？若存在，请求出；若不存在，请说明理由．
若与平面所成的角为，求二面角的余弦值．
19.本小题分
定义：区间的长度为，区间的长度为．
已知不等式在上的解集为，求的长度．
已知，函数．
求在上的零点之和；
若不等式在上的解集为，求的长度的最大值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：设事件表示“甲进入决赛”，
甲初赛答对题进入决赛的概率为，
甲初赛答对题进入决赛的概率为，
则；
设事件表示“甲至少答对道题”，
甲初赛答对题的概率，
甲初赛答对题，复赛答对题的概率为，
甲初赛答对题，复赛答对题的概率为，
所以．
16.在中，在中，角，，所对的边分别为，，，
由，
根据正弦定理可得，
整理得，
由余弦定理得，
而，
所以；
证明：由，
根据正弦定理可得，
由知，
因此，即，所以是等腰三角形．
17.解：由题意得解得，即的定义域为；
由，得或，解得或；
当时，，在上分别为增函数、减函数，
则是增函数，
由，得，解得，
即的解集为，
当时，同理可得是减函数，
由，得，解得，即的解集为．
18.证明：如图，在中，记的中点为，连接，
由题意，是的中位线，
因为，，所以，，
在中，由正弦定理得，
即，
解得．
因为，且，所以，
因为是的垂直平分线，所以是等腰直角三角形，
所以，
在翻折后，，．
因为，有，所以是等腰直角三角形，
故FD，，与相交于，且，平面，
所以平面，
因为平面，平面，
所以．
由知在四棱锥中，，，两两垂直，
延长至点，使得，则．
延长至点，使得，则．
因为，，所以，
平面，平面，
所以平面，
因为，，所以，
平面，平面，
所以平面，
因为，且，平面，
所以平面平面，
因为平面，所以平面．
此时，即．
过作于，过作，交于，连接，
则即为二面角的平面角，
因为，，与相交于，且，平面，
所以平面，又因为平面，
所以平面平面，
所以是直线在平面的投影，
故即为与平面所成角，所以，
因为，所以，
因为，，且为的中点，所以，
因为，，故，
在中，，，，
所以，，
在中，，，，所以，
在中，，，，
由余弦定理得，
即二面角的余弦值为．
19.由题意得，
得，得，
因为，所以，即，
故A的长度为；
由，得，，
由，得或，
所以方程在上均有两个实数根，
即在上有个零点，
设的两根为，，的两根为，，
得，
且，
则，
所以在上的零点之和为；
由，得或，由可得，
则的长度为，
易得，
则
，
当且仅当，即时等号成立，
所以，
由，得，所以，
所以，故B的长度的最大值为．
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