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2025-2026 学年九年级上学期第一次月考卷
数学
（考试时间：120 分钟 试卷满分：120 分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：人教版九年级上册第二十一章一元二次方程 + 第二十二章二次函数。
第一部分（选择题 共 30 分）
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3分，满分 30 分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求的）
1．（本题 3 分）若 ， 为方程 2 3 + 2 = 0 的两个实数根，则 2 3 + 2 的值为（ ）
A． 2 B．0 C．2 D．4
2．（本题 3 分）若关于 的一元二次方程 1 2 + 3 2 = 0 有实数根，则 的取值范围是（ ）
A． ≥ 1 B． ≥ 1且 ≠ 1 C． > 1 D． > 1且 ≠ 1
8 8 8 8
3．（本题 3 分）如图，在 Rt △ 中．∠ = 90°， = 7， = 5，点 从点 出发以每
秒 1 个单位长度的速度向终点 C移动，同时，点 Q从点 C出发以每秒 2 个单位长度的速
度向终点 A移动．当一点到达终点时，另一点也停止移动．若△ 的面积等于 4，则它
们移动的时间是（ ）
A．1 秒或 4 秒 B．2 秒或 4 秒 C．2 秒 D．1 秒
4．（本题 3 分）关于抛物线 = 2 4 + 4，下列说法错误的是（ ）
A．开口向上 B．与 轴交于正半轴
C．对称轴是直线 = 2 D．当 > 2 时， 随 的增大而减小
5．（本题 3 分）已知点 2, 21 , 0, 2 , 3, 3 在二次函数 = 2 4 + 的图象上，则 1, 2, 3的大小关系
是（ ）
A． 2 < 3 < 1 B． 3 < 2 < 1 C． 3 < 1 < 2 D． 1 < 3 < 2
6．（本题 3 分）若函数 = ( 3) 2 4 + 2 的图象与 轴只有一个交点，则 的值为（ ）
A．3 或 5 B．3 C．4 或 5 D．5
是（ ）
7．（本题 3 分）在同一平面直角坐标系中，一次函数 = + 的图象和二次函数 = 2 的图象可能
A． B．
C． D．
8．（本题 3 分）某校计划举办劳动之星颁奖典礼，想在颁奖现场设计一个如图 1 所示的抛物线型拱门入口．要
在拱门上顺次粘贴“劳”“动”“之”“星”（分别记作点 ， ， ， ）四个大字，要求 与地面平行，且 ∥ ，
抛物线最高点的五角星（点 ）到 的距离为 0.6m， = 2m， = 4m，如图 2 所示，则点 到 的距
离为（ ）
A．2m B．1.8m C．2.4m D．1.5m
9．（本题 3 分）如图， 是抛物线 = 2 + 2在第三象限部分上的一点，过点 向 轴
和 轴作垂线，垂足分别为 、 ，则四边形 周长的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
10．（本题 3 分）如图，二次函数 = 2 + + ≠ 0 的函数图象经过点 1,2 ，且与
轴交点的横坐标分别为 1、 2，其中 1 < 1 < 0，1 < 2 < 2，下列结论：
① > 0；②2 + > 0；③4 2 + > 0；④当 = 1 < < 2 时， 2 + <
+ ；其中正确的有（ ）
A．①② B．①③ C．② D．④
第二部分（非选择题 共 90分）
二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，满分 15 分）
11．（本题 3 分）若( 3) 1 5 = 0 是关于 x的一元二次方程，则 m的值为 ．
12．（本题 3 分）若菱形 的一条对角线长为 3，另一条对角线的长是方程 2 7 + 12 = 0 的一个根，
则菱形 的周长为 ．
13 1．（本题 3 分）将抛物线 : = 2 + + 5向左平移 3 个单位长度得到抛物线 '，若抛物线 '经过坐
2 2
标原点，则 的值是 ．
14．（本题 3 分）如图，在平面直角坐标系中，菱形 的一边 在 x轴上，抛物线 = 2 5 + 4 经过
点 C、D，则点 B的坐标为 ．
15．（本题 3 8 24分）如图，抛物线 = 2 + + 2 与 x轴交于 A、B两点，与 y轴交于 C点，P为抛物线对
7 7
称轴上动点，则 + 取最小值时，点 P坐标是 ．
三、解答题（本大题共 8 小题，满分 75 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（本题 8 分）解方程：
(1) 2 + 8 + 12 = 0；
(2) + 2 = 3 + 6．
17．（本题 7 分）已知关于 x的一元二次方程 + 2 2 + 4 + 3 = 0．请完成下列各题．
(1)若方程有两个不相等的实数根，则 m的取值范围为________________；
(2)若该方程有两个不相等的实数根为 1， 2，且满足 1 + 2 2 1 2 = 2，求 m的值．
18．（本题 7 分）已知点 (2,8)与点 ( 1, )都在二次函数 = 2的图像上．
(1)求 和 的值，并直接写出该抛物线的对称轴、顶点坐标和开口方向；
(2)求该抛物线上纵坐标为 6的点的坐标；
(3)当 3 ≤ ≤ 1时， 求函数 的最大值和最小值．
19．（本题 8 分）阅读与思考．
阅读下面材料，并完成相应的任务．
求解二元一次方程组，需要通过消元把它转化为一元一次方程来解；求一元二次方程，需要把它转化为两
个一元一次方程来解；求解分式方程，需要通过去分母把它转化为整式方程来解．各类方程的解法不尽相
同，但是它们都用到一种共同的基本数学思想——“转化”，即把未知转化为已知来求解．用“转化”的数学思
想，我们还可以解一些新的方程．
例如，解一元三次方程 3 3 2 + 2 = 0，通过因式分解把它转化为 2 3 + 2 = 0，通过解方程 = 0
和 2 3 + 2 = 0，可得原方程 3 3 2 + 2 = 0的解为 1 = 0, 2 = 1, 3 = 2．
再例如，解根号下含有未知数的方程： 2 + 3 = ，通过两边同时平方转化为 2 + 3 = 2，解得： 1 = 1，
2 = 3，∴2 + 3 ≥ 0且 ≥ 0，∴ = 1不是原方程的解，∴原方程的解为 = 3．
请仔细阅读材料，解下列方程：
(1)解方程：3 3 + 2 2 = 0；
(2)解方程： 4 + 9 = + 1．
20．（本题 9 分）小爱学习了二次函数后，对函数 = 1 2进行了探究，在经过列表、描点、连线的
步骤后，得到如图所示的函数图象，请根据该函数图象回答下列问题：
(1)观察探究：
①写出该函数的一条性质：________；
②方程 1 2 = 1的解为________；
③若方程 1 2 = 有四个实数根，则 的取值范围是________．
(2)延伸思考：
函数 = 1 2的图象经过怎样的平移可得到函数 = 2 1 2 + 3的图象？请写出平移的过程．
21．（本题 10 分）如图，利用一面墙（墙的长度不超过 45m），用 79m长的篱笆围成一个矩形场地，并且
与墙平行的边留有 1m宽建造一扇门方便出入（用其他材料），设 = m，矩形 的面积为 m2．
(1)请求出 y与 x之间的函数关系式，并写出 x的取值范围；
(2)怎样围才能使矩形场地的面积为 750m2？
(3)当 x为何值时，矩形场地的面积最大？最大值为多少平方米？
22．（本题 12 分）项目化学习
项目主题：大同黄花的最优销售单价
项目背景：黄花，学名萱草，俗称金针菜．山西大同黄花因其营养价值极高，在全国独树一帜，可称“国内
一绝”某校学习小组以探究“大同黄花的最优销售单价”为主题展开项目学习．
驱动任务：探究大同黄花销售总利润与销售单价的关系．
研究步骤：
（1）学习小组到某农副特产专卖店了解到大同特级黄花干货的成本为 80 元/千克；
（2）该店在试营业期间，不断调整销售单价，并对黄花的销售量进行统计（不考虑其他因素）；
（3）数据分析，得出结论．
收集数据：
黄花销售单价 x（元/千克） … 92 96 100 104 108 …
每月销售数量 y（千克） … 880 840 800 760 720 …
问题解决：请根据此项目实施的相关信息完成下列任务：
(1)根据表中信息可知：该黄花每天的销售数量 y（千克）是黄花的销售单价 x（元/千克）的______函数（选
填“一次”或“二次”），y与 x的函数关系式为______．
(2)现计划在月销售成本不超过 40000 元的情况下，使得月销售利润达到 24000 元，销售单价应定为多少？
(3)若要使每月销售黄花获得的利润 w（元）最大，请通过计算说明黄花的最优销售单价，并求出最大利润．
23．（本题 14 分）综合与探究
如图，抛物线 = 2 + + 与 轴交于点 1, 0 , 3, 0 ，与 轴交于点 ．
(1)求此抛物线的表达式．
(2) 是位于第一象限内抛物线上的一个动点，当△ 的面积最大时，求此时点 的坐标及△ 的面积．
(3)抛物线的对称轴上是否存在一点 ，使得△ 是等腰三角形？若存在，直接写出点 的坐标；若不存在，
请说明理由．2025-2026 学年九年级上学期第一次月考卷
数学参考答案
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3分，共 30 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
C B D D A A C B D D
二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）
11．-1 12．6 2或 10 13．1
14．(2,0) 15．( 3 , 8 )
2 7
三、解答题：本大题共 8 小题，共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16．（每小题 4分，共 8分）
【详解】（1）解： 2 + 8 + 12 = 0，
移项，得： 2 + 8 = 12，
配方，得： 2 + 8 + 16 = 12 + 16，
即 + 4 2 = 4，
直接开平方，得： + 4 =± 2，
∴ = 4 2 = 6或 = 4+ 2 = 2，
∴方程的解为： 1 = 6， 2 = 2；……………………………………4 分
（2）解： + 2 = 3 + 6，
化简得： 2 6 = 0，
∵ = 1， = 1， = 6，Δ = 1 2 4 × 1 × 6 = 25，
∴ = 1 ± 25 = 1±5，
2×1 2
∴ = 1 5 = 2或 = 1+5 = 3，
2 2
∴方程的解为： 1 = 2， 2 = 3．……………………………………8 分
17．（7分）
【详解】（1）解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴Δ = 2 4 = 42 4 + 2 × 3 = 16 12 24 = 8 12 > 0
解得 < 2
3
∵ + 2 ≠ 0，
∴ < 2且 ≠ 2；……………………………………4 分
3
（2）解：∵该方程有两个不相等的实数根为 1， 2，
∴ 1 + 2 =
4
， 3
+2 1
2 = +2
∵ 1 + 2 2 1 2 = 2
∴ 4 2 × 3 = 2
+2 m+2
解得： = 7
经检验： = 7是原分式方程的解，且 7 < 2
3
∴ = 7．……………………………………7 分
18．（7分）
【详解】（1）解：已知点 2,8 在二次函数 = 2的图象上，
∴4 = 8，
解得， = 2，
∴二次函数解析式为 = 2 2，
∵点 1, 在二次函数图象上，
∴ = 2，
∵2 > 0，
∴抛物线的开口向上，顶点坐标为 0,0 ，对称轴为 = 0；……………………………………3 分
（2）解：抛物线上纵坐标为 6，即 = 6，
∴2 2 = 6，
解得， =± 3，
∴纵坐标为 6的点的坐标为 3, 6 ， 3, 6 ；……………………………………5 分
（3）解：∵二次函数的对称轴为 = 0，开口向上，
∴当 < 0时， 随 的增大而减小，当 > 0 时， 随 的增大而增大，
当 3 ≤ ≤ 1时， = 3时， = 2 × 3 2 = 18， = 0 时， = 0， = 1 时， = 2，
∴当 3 ≤ ≤ 1时，函数 的最大值为 18，最小值为 0．……………………………………7分
19．（8分）
【详解】（1）解：3 3 + 2 2 = 0
因式分解，得 3 2 + 2 = 0
∴ = 0 或 3 2 + 2 = 0；
即： = 0 或 + 1 2 = 0
3
= 0 = 1 = 2解得： 1 ， 2 ， 3 ……………………………………4分3
（2）解：两边同时平方得：4 + 9 = ( + 1)2，
整理得： 2 2 8=0；
解得： 1 = 2， 2 = 4
∵4 + 9 ≥ 0且 + 1 ≥ 0，
∴ ≥ 1
∴原方程的解为 = 4．……………………………………8 分
20．（9分）
【详解】（1）解：①由图象可得图象关于 轴对称，
故答案为：由图象可得图象关于 轴对称（答案不唯一）；
②由图象可得 = 2，0，2时， = 1，
故答案为： 1 = 2， 2 = 0， 3 = 2；
③由图象可得 1 < < 0 时，图象与直线 = 有 4个交点，
故答案为： 1 < < 0；……………………………………6 分（每空 2 分）
（2）解：将函数 = 1 2的图象先向右平移 2个单位长度，再向上平移 3个单位长度，可得到函数 =
2 1 2 + 3的图象．……………………………………9 分
21．（10分）
【详解】（1）由 = m 可知 边所用篱笆为 1 m，
∴ = = 79 1 = 40 1 m，
2 2
∴ = 40 1 = 1 2 + 40 ，
2 2
∵墙的长度不超过 45m，
∴ 0 < ≤ 45，
∴ = 1 2 + 40 0 < ≤ 45 ；……………………………………4 分
2
（2）在 = 1 2 + 40 中，
2
令 = 750，则 750 = 1 2 + 40 ，
2
解得 1 = 30， 2 = 50 > 45（不合题意，舍去），
∴ = 30，
∴当 为 30m， 为 25m 时，矩形场地的面积为 750m2；……………………………………8 分
3 ∵ = 1 2 + 40 = 1 40 2 + 800 1（ ） ，且 < 0，
2 2 2
∴当 = 40 时，y 取最大值 800，即矩形场地的面积最大为 800m2．……………………………………10 分
22．（12分）
【详解】（1）解：观察表格可知黄花每天的销售数量随着销售单价的增加而减小，可知是一次函数．
设一次函数关系式为 = + ，将点 92,880 , 96,840 代入，得
92 + = 880
96 + = 840，
= 10
解得 = 40 ，
∴一次函数关系式为 = 10 + 1800．
故答案为：一次函数，解析式为 = 10 + 1800；……………………………………4 分
（2）解：根据题意知，月销售利润为： = 80 = 10 + 1800 80 = 10 2 + 2600 144000，
∵月销售利润达到 24000 元，
∴ 10 2 + 2600 144000 = 24000，解得 1 = 120, 2 = 140，
当 1 = 120时，销售成本为 80 × 10 × 120 + 1800 = 48000 > 40000，不符合题意舍去；
当 2 = 140时，销售成本为 80 × 10 × 140 + 1800 = 32000 < 40000，符合题意；
故销售单价应定为 140 元；……………………………………8 分
（3）解：根据题意，得 = 10 2 + 2600 144000 = 10 130 2 + 25000，
∵ 10 < 0，
∴抛物线开口向下，函数有最大值，
即当 = 130时， 最大 = 25000，
答：当黄花的单价为 130 元/千克，最大利润为 25000 元．……………………………………12 分
23．（14分）
【详解】（1）解：把点 1, 0 , 3, 0 代入抛物线 = 2 + + 中，
0 = 1 +
得： 0 = 9 + 3 + ，
= 2
解得： = 3
∴抛物线的解析式为： = 2 + 2 + 3；……………………………………3 分
（2）解：如图，过点 Q 作 x 轴的垂线，交 于点 M，
抛物线 = 2 + 2 + 3中，令 = 0，则 = 3，
∴ 0,3 ，
设直线 的解析式为 = + ，
∴ = 3 = 13 + = 0，解得 = 3 ，
∴直线 的解析式为 = + 3，
设 , 2 + 2 + 3 ，则 , + 3 ，
∴ = 2 + 3 ，
2
∴△ 1的面积为 · 1 = 2 + 3 × 3 =
3 3 + 27，
2 2 2 2 8
∵ 3 < 0，
2
∴ = 3当 时，△ 27的面积最大，最大面积为 ，
2 8
此时 3 , 15 27，△ 的面积为 ；……………………………………8 分
2 4 8
2
（3）解：∵抛物线 = 2 + 2 + 3 的对称轴为 = = 1，
2× 1
设 1, ，
∴ 2 = 1 3 2 + 2 = 2 + 4, 2 = 12 + 3 2 = 2 6 + 10, 2 = 32 + 32 = 18，
①当 2 = 2时，
则 2 + 4 = 2 6 + 10，
解得： = 1，
此时， (1,1)；
②当 2 = 2时，
则 2 + 4 = 18，
解得： =± 14，
∴点 的坐标为 1, 14 或 1, 14 ；
③当 2 = 2时，
则 2 6 + 10 = 18，即 2 6 8 = 0，
解得： = 3 ± 17，
∴点 的坐标为 1,3 + 17 或 1,3 17 ；
综上，点 的坐标为(1,1)或 1, 14 或 1, 14 或 1,3 + 17 或 1,3 17 ．
……………………………………14 分

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