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2025-2026学年湖南省长沙市名校联考联合体高二（上）第一次入学
数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设 = (2 + )，则 =( )
A. 1 + 2 B. 1+ 2 C. 1 2 D. 1 2
2.样本数据 2，6，5，13，4，8 的第 60 百分位数为( )
A. 2 B. 4 C. 6 D. 13
3.已知非零向量 ， ， ，则“ = ”是“ = ”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
4.如图所示，梯形 ′ ′ ′ ′是平面图形 用斜二测画法得到的直观图， ′ ′ = 2， ′ ′ =
′ ′ = 1，则平面图形 的面积为( )
A. 1
B. 32
C. 3 34
D. 3
5.工厂组织全体员工就作业能力进行测试，全体员工得分均在[30,150]内，将其分成[30,50)，[50,70)，[70,90)，
[90,110)，[110,130)，[130,150]共六组，数据绘制成如图所示的频率分布直方图，若该工厂共有 200 名员
工，则估计得分少于 70 分的人数为( )
A. 30 B. 35 C. 40 D. 45
6.已知函数 ( ) = [ln( + 2 + 1)]( 1) 2 ，若 ( ) = 6，则 ( ) =( )
A. 6 B. + 2 C. 6 D. 2
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7. 模型在金融、物理等学科具有重要应用.在进行正态分布的合理调整之后，可得一种 模型的定
价公式： = ，其中 代表期权的初始合理价格与金融资产现价之差， 为执行价格， 为利率，
为期权的有效期.已知 = 6000， = 2， 2 = 4 1，则 2 1 =( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
8 .在△ 中， = 2 ( + 4 )，则 的最大值为( )
A. 7 B. 5 C. 3 D. 2
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若实数 ， 满足 4 2 + 4 + 3 2 = 6，则 的可能取值有( )
A. 3 B. 6 C. 3 D. 1
10 ∠ = 2 .已知直三棱柱 1 1 1的各个顶点均在球 的表面上，且 3， = 2 3， 1 = 4，则( )
A. ， 64 2 为异面直线 B.球 的体积为 3
C. ⊥平面 1 1 D.

直线 与平面 所成的角为4
11.对于集合 中元素之间的一个关系“ ”满足以下三个条件：
① ∈ ， ；
② ， ∈ ，若 ，则 ；
③ ， ， ∈ ，若 ， ，则 ．
则称“ ”是集合 的一个等价关系.例如：“图形的相似性”是所有平面几何图形构成的集合的一个等价关
系，而“直线的平行关系”不满足条件①，所以不是等价关系.据此，下列关系中为等价关系的是( )
A.方程的同解 B.向量的共线 C.集合的包含 D.命题的充要条件
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.已知第二象限角 满足 3 + 1 = 0，则 2 =______．
13.已知平面向量 = (2,5)， = (1, )，若向量 在向量 2 29方向上的投影向量的模为 29 ，则 =______．
14.在三棱锥 中，点 到平面 的距离为 6，点 ， 为边 ， 的中点，且△ 为正三角形，
若 = = 2 ，则点 到平面 的距离为______．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
设复数 1 = + 2 ， 2 = 1 + 3 ，其中 ∈ ．
(1)若| 1| = | 2|，求 的值；
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(2)若 1 2在复平面内对应的点位于第四象限，求 的取值范围；
(3)探究是否存在 ，使得 1 2 ∈ ，并说明理由．
16.(本小题 15 分)

已知 ， ， 分别是△ 的内角 ， ， 的对边，且 = 2 ．
(1) 求 ；
(2) = 1若 4，△ 的面积为 15，求△ 的周长．
17.(本小题 15 分)
如图，三棱柱 中， = ， ， 分别为线段 ， 的中点，且 ⊥平面 ．
(1)证明： // ；
(2)证明：∠ 为二面角 的平面角；
(3)若∠ = 60°，且 ⊥ ，求二面角 的大小．
18.(本小题 17 分)
某班级有 50 名学生，现在发起自愿订阅语文、数学、英语资料的活动，已知订阅语文资料的学生有 名，
订阅数学资料的学生有 名，订阅英语资料的学生有 名，且 + + < 50.从 50 名学生中随机抽取一名学
生，记 =“订阅了语文资料”， =“订阅了数学资料”， = 1“订阅了英语资料”， ( ) = 50．
(1)若 = 12， = 15， = 18，求这三个数据的平均数和方差；

(2)若 = 10， = 15，求 ( )的最大值；
(3)求 ( ) + ( ) + ( )的最小值. (参考公式：对于随机事件 ， ， 有 ( ∪ ∪ ) = ( ) + ( ) +
( ) ( ) ( ) ( ) + ( )
19.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = tan( + )( > 0, | | < 2 )， (0) =
3
3 ，且 ( )在区间(0, 6 )上单调递增，记 的最大值
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为 0，设 ( ) = tan( 0 + )．
(1)求 ( )的解析式；
(2)在△ 中， ( 2 ) = 3， = 2，其内切圆半径为 ，点 满足 ⊥ ．
①求 的最大值；
②当 取得最大值时，求 长的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.4 27
13.5 29或 5
14.6
15.(1)由 1 = + 2 ， 2 = 1 + 3 ，
得| | = 21 + 4，| 2| = 9 2 + 1，
令| 1| = | 2
3 6
2|，解得 = 8，即 =± 4 ；
(2) 1 2 = 1 + (2 3 ) ，
其在复平面内对应的点为( 1,2 3 )，
1 > 0
由题意可得 2 3 < 0，解得 > 1；
(3) 1 2 = + 3 2 + 2 6 = 5 + (2 + 3 2) ，令 2 + 3 2 = 0，
该方程无实数解，故不存在 ，使得 1 2 ∈ ．
16. 解：(1)根据 = 2 ，由正弦定理得 = 2 ，
整理得 + = 2 ，即 sin( + ) = 2 ，
因为△ 中，sin( + ) = sin( ) = ，
所以 = 2 1，结合正弦定理得 = = 2；
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(2) = 1由 4， ∈ (0, )，得 = 1 cos
2 = 154 ，
所以 1△ = 2 = 15
15
，即 8 = 15，解得 = 8，
8
由余弦定理 2 = 2 + 2 2 ，可得(2 )2 = 2 + ( 2 ) 4，
整理得 3 4 + 4 2 64 = 0，解得 2 = 4(舍负)，所以 = 2．
8
所以 = = 4， = 2 = 4，可得△ 的周长为 + + = 10．
17.(1)证明：由三棱柱性质，四边形 为平行四边形，故 BC// ，
又 ， 分别为线段 ， 的中点，则易有 = ，
即四边形 为平行四边形，则 // ，
又由三棱柱性质有 // ，
故 AD// ；
(2)证明：由于 ⊥平面 ， 平面 ，故 A ⊥ ，又 = ，
由三棱柱性质知△ ≌△ ，则 = ，
又 为线段 的中点，故 EF⊥ ，
由于 ⊥ ， ⊥ ，且 ∩ = ， ， 平面 ，
故 EF⊥平面 ，
由(1)可知 // ，即点 在平面 内，又 = = ，
则四边形 为平行四边形，且 ⊥平面 ，
又 平面 ，故 EF⊥ ，
由于平面 与平面 的交线 满足 ⊥ ， ⊥ ，
故∠ 为二面角 的平面角．
(3)由于 ⊥平面 ， // ，
故 BC⊥平面 ，
连接 ，同理可证∠ 为二面角 的平面角，
由于 ⊥ ，且 为线段 的中点，故 AE= ，
又∠ = 60°，故△ 为等边三角形，
不妨设 = = = 2 ，则 = 3 ，
由于 = ， ⊥ ，
故△ 为等腰直角三角形，故 = ，即 = 2 ，
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1
则 cos∠ = = 2 = 2，
又由图有∠ < 90°，故∠ = 60°，
则∠ = ∠ = 60°．
18.(1)因为 = 12， = 15， = 18，
12+15+18
所以这三个数据的平均数 = 3 = 15，
2 2
2 = (12 15) +(15 15) +(18 15)
2 9+0+9
方差 3 = 3 = 6，
(2)依题意，同时订阅了三种资料的有 50 × ( ) = 1 人，

设订阅了数学和英语的有 人，减去其中订阅了语文的人数，所以满足 的人数有 1 人，
显然 1 不能为负数，所以 ≥ 1，且 ≤ 10，

所以 0 ≤ 1 ≤ 9 9，所以 0 ≤ ( ) ≤ 50，
9
所以 ( )的最大值为50．
(3)由题知 ( ∪ ∪ ) = ( ) + ( ) + ( ) ( ) ( ) ( ) + ( )，
所以 ( ) + ( ) + ( ) = ( ) + ( ) + ( ) + ( ) ( ∪ ∪ )，
即 ( ) + ( ) + ( ) = + + +150 ( ∪ ∪ )，
因为总共买了三种资料的有一人，
所以 ( ∪ ∪ ) = + + ( ) ( ) ( ) + 1，
因为 ( ) ≥ 1， ( ) ≥ 1， ( ) ≥ 1，
所以 ( ∪ ∪ ) ≤ + + 1 1 1 + 1 = + + 2，
所以所有买了资料的同学至多有 + + 2 人，
( ∪ ∪ ) ≤ + + 2所以 50 ，所以 ( ) + ( ) + ( ) ≥
3
50．
3
当仅有一人买了三种资料，其余所有人均只买一种资料或不买资料时取得最小值50．
19.(1)由函数 ( ) = tan( + )( > 0, | | < 2 )， (0) =
3
3 ，
3
即 (0) = = 3 ，由| | < 2，可得 = 6，
故 ( ) = tan( + 6 )，
因为 ( )在区间(0, 6 )上单调递增，
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所以当 ∈ (0, 6 )时， + 6 ∈ ( 6 ,
+ ) ( , 6 6 2 2 )，
即 6 +

6 ≤ 2 ≤ 2，
又因为 的最大值为 0，
所以 0 = 2，可得 ( ) = tan(2 + 6 )；
(2) ①此时 ( 2 ) = tan( +

6 ) = 3，
由 ∈ (0, ) ，可得 = 6，
不妨记△ 内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，因为 = = 2，
由余弦定理可得 2 = 2 + 2 2 ，
即 4 = ( + )2 (2 + 3) ≥ ( + )2 2+ 3 24 ( + ) ，
可得( + )2 ≤ 16(2 3)，
即 4 = ( + )2 (2 + 3) ，
= ( + )
2 4
故 22+ 3 = (2 3)[( + ) 4]，
1
由内切圆半径为 ，利用等面积法可得：2 =
1
2 ( + + ) ，
= = 2 3 ( + +2)( + 2) 2 3于是 + + 2 + +2 = 2 ( + 2)，
1
又因为 ≤ 24 ( + ) ，
所以(2 3)( + )2 4(2 3) ≤ 1 24 ( + ) ，
于是(7 4 3)( + )2 ≤ 32 16 3，
4(8 4 3)
故 + ≤ 7 4 3 =
2( 6 2)
2 3 = 2 6 + 2 2，
= 2 3 2 3故 2 ( + 2) ≤ 2 (2 6 + 2 2 2) = 3 + 6 2 2，
当且仅当 = = 6 + 2时，等号成立．故 的最大值为 3 + 6 2 2．
②当 取到最大值时，此时 = = 6 + 2，记 的中点为 ，易知 = 1，
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于是由等腰三角形性质可知 = 2 1 = 2 + 3，
因为 ⊥ 1， 的中点为 ，所以 = 2 = 1
故 ≤ + = 3 + 3且 ≥ = 1 + 3，
当且仅当 ， ， 三点共线时等号成立．故 A 长的取值范围是[1 + 3, 3 + 3]．
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